DiapoM1_01 - ARGUMENTOS Y CUANTIFICADORES.pdf
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- 1. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Argumentos y Cuantificadores Alonso Pérez Departamento de economı́a Universidad del Pacı́fico Matemáticas I 1 / 14
- 2. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Argumentos Definición Un argumento es una lista de proposiciones P1, ..., Pn llamadas premisas junto con una proposición adicional Q llamada conclusión. Un argumento se representa por P1, ..., Pn ` Q. Ejemplos: 1) Cuando llueve el piso está mojado. En este momento está lloviendo. Por lo tanto el piso está mojado. p → q, p ` q, p : Esta lloviendo, q : El piso esta mojado. 2 / 14
- 3. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 2) Si termino la tarea voy a la playa. No terminé la tarea. Por lo tanto no iré a la playa. p → q, ¬p ` ¬q. 3) Tu vas a la playa si y solo si terminas la tarea. Si vas a la playa, entonces no vas al gimnasio. Por lo tanto, vas al gimnasio o terminas la tarea. p ↔ q, p → r ` ¬r ∨ q. 3 / 14
- 4. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Argumento Válido Definición Un argumento es válido cuando asumiendo que todas las premisas son verdaderas necesariamente la conclusión también lo es. Ejemplo: Muestre que cada uno de los siguientes argumentos es válido. 1. ¬q, p → q ` ¬p 2. p → q, p → ¬q ` ¬p 3. p → q, q → r ` p → r 4. p, q ` p ∧ q 5. p, p ↔ q ` q 6. p ∨ q, ¬p ` q 4 / 14
- 5. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Teorema Un argumento es válido si y sólo si P1 ∧ P2 ∧ · · · ∧ Pn → Q es una tautologı́a. Ejemplo: Analice la validez de los siguientes argumentos: a) p → q, q → r, ¬r ` ¬p b) p Y q, q Y r ` p ∨ r c) p → (r ∨ q), r → (¬q) ` p → r 5 / 14
- 6. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Cuantificadores Definición Una variable es un sı́mbolo que representa un miembro no especificado de una colección determinada llamada conjunto universal. Ejemplo: • Denotamos por C la colección de todas las pizarras de la U.P. • Si x ∈ C, entonces en este caso x es una variable, ella representa cualquier pizarra de la universidad. 6 / 14
- 7. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Definición • El cuantificador universal se define como la expresión “Para todo ...” y se denota por ∀. • El cuantificador existencial se define como la expresión “Existe ...” y se denota por ∃. En términos de proposiciones tenemos ∀x ∈ C, [P(x)]≡La propiedad P(x) se cumple para todo x ∈ C. ∃x ∈ C, [P(x)]≡La propiedad P(x) se cumple para algún x ∈ C. 7 / 14
- 8. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Ejemplos: • Con la notación introducida en los ejemplos anteriores la expresión ∀x ∈ C, [P(x)] significa “Para toda pizarra x en la U.P., x es blanca” = “Toda pizarra en la U.P. es blanca”. • Además, la expresión ∃x ∈ C, [P(x)] significa “Existe una pizarra x en la U.P. tal que x es blanca” = “Al menos una pizarra en la U.P. es blanca”. 8 / 14
- 9. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Proposición Para toda colección C y predicado P tenemos ¬(∀x ∈ C, [P(x)]) ≡ ∃x ∈ C, [¬P(x)], ¬(∃x ∈ C, [P(x)]) ≡ ∀x ∈ C, [¬P(x)]. Observación: A veces se nos pide demostrar que ∀ x ∈ C, [P(x)] no es cierto. Una forma serı́a encontrar por lo menos un elemento a ∈ C tal que ¬P(a). Dicho elemento que muestra la falsedad del enunciado es llamado un contraejemplo. 9 / 14
- 10. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Ejemplos: Niegue las siguientes proposiciones: a) Existe al menos algún número real irracional o cualquier número natural es par, si es que cada número real es racional. b) ∀x ∈ U, [x 6∈ A, ] c) ∀x, z ∈ I, ∀y ∈ R, [x < y < z → y ∈ I]. 10 / 14
- 11. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Es posible considerar predicados que dependen de dos variables. Por ejemplo, sean • A la colección de alumnos de la universidad, • M la colección de profesores de Mate 1, y • P(x, y) = “el alumno x está matriculado con el profesor y”. • ∀x ∈ A, ∀y ∈ M, [P(x, y)] ≡ “Todo alumno está matriculado con todo profesor de Mate 1”. A M 11 / 14
- 12. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 Ejercicios Adicionales 1. Dado el siguiente argumento: Si el arma tiene las huellas del acusado, entonces el acusado disparó el arma. El acusado no disparó el arma o es culpable. Si el acusado no disparó el arma, entonces no es culpable. Por lo tanto, si el arma tiene las huellas del acusado, entonces es culpable, o el acusado es culpable si y solo si disparó el arma. Traduzca al lenguaje lógico proposicional y analice si es válido. 2. Niegue la siguiente proposición ∃x ∈ C, ∃y ∈ C, [(0 ≤ t ≤ 1) → (tx + (1 − t)y ∈ C)] 12 / 14
- 13. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 3. Estableciendo primero un diccionario, muestre que el siguiente argumento es inválido: Si eres un alumno de la U.P. entonces eres inteligente. De hecho, tú eres inteligente y emprendedor. Por consiguiente, si eres emprendedor, entonces debes ser de la U.P. 13 / 14
- 14. Argumentos y Cuantifi- cadores Alonso Pérez Argumentos Argumento Válido Cuantificadores Ejercicios Adicionales Clase 01 4. Dado el siguiente argumento: Si hay menos automóviles en las carreteras, la contaminación será aceptable. O bien tenemos menos automóviles en las carreteras o bien se tendrı́a que cobrar por el uso de las carreteras, o bien ambas cosas. Si se cobra por el uso de las carreteras, la temperatura aumentará en verano hasta un nivel insoportable. La temperatura no aumentará en verano hasta un nivel insoportable. Por tanto, la contaminación es aceptable. Traduzca al lenguaje lógico proposicional y analice si es válido. Rpta: p → q, p ∨ r, r → s, ¬s ` q 14 / 14