Control estadístico calidad Seis Sigma

CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD Y SEIS SIGMA
UNIVERSIDAD DEL
NORESTE
“CONTROL ESTADÍSTICO DE LA
CALIDAD Y SEIS SIGMA”
ING. INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
CONTROL ESTADISTICO DE LA
CALIDAD
MARTIN CASTILLO
ILSE DAMARIZ CASANOVA
REBOLLEDO
6° CUATRIMESTRE
CICLO ESCOLAR 2016/02

CAPITULO 1
CONCEPTOS CLAVE
Variables de entrada en el proceso: Definen las características de los insumos y las
variables de operación y control de un proceso.
Variables de salida: Son las características de calidad en las que se reflejan los resultados
obtenidos por un proceso.
Calidad: característica de un producto o servicio que le confieren su aptitud para satisfacer
necesidades explicitas o implícitas.
Satisfacción del cliente: Es la percepción de éste acerca del grafo con el cual sus
necesidades o expectativas han sido cumplidas.
Tiempo de ciclo: Es el tiempo que transcurre desde que el cliente inicia in pedido que se
transforma en requerimientos de materiales, órdenes de producción y otras tareas, hasta que
todo se convierte en un producto en las manos de éste.
Competitividad: Es la capacidad de una empresa para generar valor para el cliente y sus
proveedores de mejor manera que sus competidores.
Productividad: Es la capacidad de generar resultados utilizando ciertos recursos. Se
incrementa maximizando resultados y/u optimizando recursos.
Eficiencia: Relación entre los resultados logrados y los recursos y reduciendo tiempos
desperdiciados por paros de equipo, falta de material, retrasos, etcétera.
Eficacia: Grado con el cual las actividades planeadas son realizadas y los resultados
previstos son logrados. Se atiende maximizando resultados.
Acciones preventivas: Son aquellas que se implementan para eliminar la causa de una no
conformidad potencial o de alguna otra situación potencial no deseable.
Acciones correctivas: Se emplean para eliminar la causa de una no conformidad detectada.
Es decir están orientadas a prevenir recurrencias.
Sistema de medición de desempeño: Se refiere a cuantificar los signos vitales de la
organización y con base en ellos encauzar el pensamiento de los empleados y fijas
prioridades.
Conformancia: Consiste en cumplir con las especificaciones de calidad y enfocarse a reducir
el retrabajo y los desperdicios.

Variabilidad: Se refiere a la diversidad de resultados de una variable o de un proceso.
6M: Son los materiales, mano de obra (gente), mediciones, medio ambiente, máquinas y
métodos que conforman un proceso.
Pensamiento estadístico: Filosofía de aprendizaje y acción que establece la necesidad de
un análisis adecuado de los datos de un proceso, como una acción indispensable para
mejorar su calidad (reducir su variabilidad)
Ciclo de la calidad (ciclo PHVA): Proceso de cuatro etapas para desarrollar proyectos de
mejora; consiste en planear, hacer, verificar y actuar (PHVA).
PREGUNTAS
1. ¿Qué es un proceso?
Es un conjunto de actividades mutuamente relacionadas o que interactúan, las cuales
transforman elementos de entrada en resultados.
2. ¿Qué es una variable de salida (característica de calidad) de un proceso?
Son las características de calidad en las que se reflejan los resultados obtenidos por un
proceso.
3. ¿Qué es calidad?
Características de un producto o servicio que le confieren su aptitud para satisfacer
necesidades explícitas o implícitas.
4. ¿Cuáles son los tres indicadores de la competitividad y de la satisfacción del cliente?
La calidad del producto, el precio y la calidad del servicio.
5. ¿Cuál es la relación entre calidad, precio y tiempo de entrega, tanto desde el punto
tradicional como actual?
Se hacen las cosas mejor que otros, cuando se es capaz de ofrecer mejor calidad a bajo
precio y mediante un buen servicio.
6. Explique la reacción en cadena que se da al mejorar la calidad, y señale quién la
formuló por primera vez.
Al mejorar la forma en que se realizan todas las actividades se logra una reacción que genera
importantes beneficios; por ejemplo, se reducen reprocesos, errores, retrasos, desperdicios y
artículos defectuosos; asimismo, disminuye la devolución de productos, las visitas a causa de
la garantía y las quejas de los clientes y fue presentado por primera vez en 1950 por Edwards
Deming.
7. ¿Qué significa que una empresa sea competitiva?
Es la capacidad de una empresa para generar valor para el cliente y sus proveedores de
mejor manera que sus competidores.

8. La productividad la constituyen la eficiencia y la eficacia. Proporcione una definición
general de productividad y explique sus dos componentes.
La productividad es la capacidad de generar resultados utilizando ciertos recursos. Se
incrementa maximizando resultados y/u optimizando recursos. Y sus dos componentes: La
eficiencia es la relación entre los resultados logrados y los recursos empleados. Se mejora
optimizando recursos y reduciendo tiempos desperdiciados por paros de equipo, falta de
material, retrasos, etcétera y la eficacia es el grado con el cual las actividades planeadas son
realizadas y los resultados previstos son logrados. Se atiende maximizando resultados.
9. ¿Por qué es fundamental establecer un buen sistema de medición del desempeño de
la organización?
Porque es fundamental como decidir qué y cómo se va a medir su salud y desempeño, ya que
la elección de lo que un negocio o un área mide y analiza comunica valor, encauza el
pensamiento de los empleados y fija las prioridades.
10. Explique cómo han evolucionado los criterios para medir el desempeño de una
organización.
Se incorporan nuevas métricas y criterios para evaluar la salud y el desempeño de la
organización. Nuevas formas de tomar decisiones y establecer prioridades.
11. Muestre en forma gráfica las cinco guías clave para evaluar el desempeño de una
organización y explique qué aspectos incluyen cada una de estas guías.
12. Se dice que la variabilidad siempre existe. Comente tres situaciones prácticas
donde se refleja esto.
1.- El tiempo que tardamos en trasladarnos de nuestra casa al trabajo o escuela es diferente
de un día a otro.
2.- La temperatura del ambiente es distinta de una hora a otra.
3.- Lo dulce de una bebida que es preparada en casa es diferente de un día a otro aunque
aparentemente se preparó igual.
13. ¿Cuáles son las 6 M en las que se divide un proceso?
Son los materiales, mano de obra (gente), mediciones, medio ambiente, máquinas y métodos
que conforman un proceso.

14. ¿Por qué es necesario el control estadístico?
Para poder realizar mediciones y así convertir las ideas en acción, o sea medir lo que es clave
e importante en los procesos y así mejorar los resultados para generar cambios óptimos.
15. Se dice que el pensamiento estadístico es una filosofía de aprendizaje y acción,
¿por qué aprendizaje y por qué acción?
Pensar en forma estadística implica tomar información del proceso para conocerlo
(aprendizaje), y también es actuar de acuerdo con ese aprendizaje (acción).
16. Explique los tres principios del pensamiento estadístico.
En el primer principio del pensamiento estadístico se habla de procesos interconectados para
enfatizar que los procesos no operan de manera aislada, más bien, interactúan con el resto
del sistema, el segundo principio reconoce que los resultados de todos los procesos son
variables, y esto ya lo hemos justificado antes y quedará en evidencia a lo largo del libro y el
tercer principio es una de las razones y objetivos principales de esta obra: reducir la
variabilidad hasta lograr el nivel de calidad Seis Sigma.
17. Describa la forma en que el pensamiento estadístico puede ayudar en los niveles
estratégico, directivo y operacional de una organización.
Estratégico – Crea estrategias y las comunica, Emplea datos de varias fuentes para dirigir,
Desarrolla e implementa sistemas de medición para dirigir el progreso y estimula a los
empleados a experimentar nuevas formas de hacer su trabajo.
Directivo – Desarrolla proyectos estructurados, fija metas y se enfoca en los procesos y no
reclama a los empleados por su variación.
Operacional – Conoce la variación, gráfica datos de los procesos e identifica medidas clave y
oportunidades de mejora.
18. Describa en qué consiste el ciclo de la calidad o ciclo PHVA.
Proceso de cuatro etapas para desarrollar proyectos de mejora; consiste en planear, hacer,
verificar y actuar (PHVA).
19. ¿A qué tipo de problemas se les debe aplicar la metodología de los ocho pasos?
Problemas recurrentes o a proyectos de mejora.
20. De las cuatro fases del ciclo de la calidad, a su juicio ¿en cuáles es necesario hacer
mayor énfasis? Argumente.
La fase hacer, ya que es en la cual consta que lo que se planifico llevarlo a cabo, ya sea en
pequeña escala o sobre una base de ensayo.
21. A un equipo de mejora se le responsabiliza de resolver un problema importante, y
como una estrategia de eficiencia y prontitud en la primera reunión empiezan a
proponer soluciones a tal problema. ¿Están procediendo de manera correcta?
No, primero se debe seleccionar y caracterizar el problema para posteriormente identificar
todas las posibles causas, reconocer las que en realidad afectan y posteriormente proponer
soluciones al problema.

22. Investigue quiénes fueron Edwards Deming y Joseph Juran, resaltando sus aportes
a la calidad.
Edward Deming fue un estadístico estadounidense que hizo grandes aportaciones a la
calidad, tales como: el ciclo de Deming, los Catorce Puntos, y las 7 Enfermedades de la
Gerencia.
Joseph Juran fue un consultor de gestión de la calidad que creó la Trilogía de Juran que
consiste en tres procesos de gestión: la planificación, control de calidad y la mejora de la
calidad.
23. Averigüe qué son las normas IS0-9000.
Es un conjunto de normas sobre calidad y gestión de calidad, establecidas por
la Organización Internacional de Normalización (ISO).
 Estandarizar las actividades del personal que trabaja dentro de la organización por
medio de la documentación.
 Incrementar la satisfacción del cliente al asegurar la calidad de productos y servicios de
manera consistente, dada la estandarización de los procedimientos y actividades.
 Medir y monitorear el desempeño de los procesos.
 Incrementar la eficacia y/o eficiencia de la organización en el logro de sus objetivos.
 Mejorar continuamente en los procesos, productos, eficacia, entre otros.
 Reducir las incidencias negativas de producción o prestación de servicios.
 Mantienen la calidad.
24. Utilizando una base de datos académica, como por ejemplo scholar.google.com,
encuentre un artículo técnico en donde se reporte la realización de un proyecto de
mejora donde se apliquen técnicas estadísticas o el ciclo PHVA. Lea y comprenda de
manera general lo que se hizo, y sintetice haciendo lo siguiente.
a) Anote los detalles de la referencia académica: nombre de los autores, año de
publicación, capítulo del trabajo y revista donde se publicó.
Martín Almagro-Gorbeat, Pablo Alonso, José Enrique Benito, Ana M 0 Martín, José Luis
Valencia. 1997. Capítulo 8. Universidad Complutense, Madrid.
b) Describa el problema abordado y el porqué era importante.
Deseaban conocer con precisión la validez de los resultados obtenidos, por lo que dicha tarea
debería considerarse como última fase del proceso antes de dar por finalizado cualquier
proyecto de prospección. Le han puesto especial interés en obtener una fórmula estadística
que permita mejorar la precisión y optimizar el método de trabajo utilizado en la ocasión
anterior para controlar la calidad de cualquier prospección arqueológica.
c) Sintetice el procedimiento seguido para su solución.
Realizaron una hipótesis de trabajo, recolectando los datos necesarios, después realizando
una prospección de la muestra control, una determinación del número total de yacimientos y
por último, se realiza una determinación estadística de la calidad de la prospección y se
analizan los resultados para generar conclusiones.

d) Señale algunos de los análisis estadísticos que se hicieron.
Determinación inicial del nivel de calidad aceptable
Determinación de la unidad muestral
Determinación del tamaño de la muestra
Nivel y tipo de inspección
Obtención de una muestra aleatoria
e) Cuáles fueron los beneficios obtenidos con el proyecto de mejora.
Darse cuenta de que se debían prospectar por áreas o tomar muestras más pequeñas, y
comprobar que los métodos utilizados son convenientes para el área a estudiar, así como el
control y verificación de la calidad aceptable.
25. Haga algo similar a lo que se propone en el ejercicio anterior, pero ahora donde se
proponga alguna metodología o estrategia de mejora.
El método que utilizaron se ha inspiró en el de inspección por atributos, computaron el número
de defectos (yacimientos o hallazgos no encontrados) por la superficie que se inspecciona
calculada en número de unidades de prospección controladas. El grado de disconformidad se
expresa en número de defectos (yacimientos no encontrados) en cada 100 unidades de
muestreo o cuadrículas. De este modo obtuvieron el NCA: NCA = (yacimientos no
encontrados/n unidades inspeccionadas) x 0,01
CAPITULO 2
CONCEPTOS CLAVE
Capacidad de un proceso. Consiste en conocer la amplitud de la variación natural del
proceso para una característica de calidad dada; esto permitirá saber en qué medida tal
característica de calidad es satisfactoria.
Estadísticos. Cantidades o mediciones que se obtienen a partir de los datos de una muestra
y que ayudan a resumir las características de las mismas.
Tendencia central. Valor en torno al cual los datos o mediciones de una variable tienen a
aglomerarse o concentrarse.
Media. Medida de tendencia central que es igual al promedio aritmético de un conjunto de
datos, que se obtienen al sumarlos y el resultado se divide entre el número de datos.
Mediana. Medida de tendencia central que es igual al valor que divide a la mitad a los datos
cuando son ordenados de menor a mayor
Moda. Medida de tendencia central de un conjunto de datos que es igual al dato que se repite
más veces.

Desviación estándar muestral. Medida de la variabilidad que indica que tan esparcidos
están los datos con respecto a la media.
Desviación estándar del proceso. Refleja la variabilidad de un proceso. Para su cálculo se
debe utilizar un número grande de datos que hayan sido obtenidos en el transcurso de un
lapso amplio.
Rango. Medición de la variabilidad de un conjunto de datos que es resultado de la diferencia
entre el dato mayor y el dato menor de tal conjunto.
Coeficiente de variación. Medida de variabilidad que indica la magnitud relativa de la
desviación estándar en comparación con la media. Es útil para contrastar la variación de dos o
más variables que están medidas en diversas escalas.
Desigualdad de Chebysev. Resultado teórico que relaciona X y S, y establece el porcentaje
mínimo de datos que caen en el intervalo (X- kS,X + kS), con k> 1.
Regla empírica. Resultado práctico que relaciona a X y S, y establece el porcentaje de datos
de la muestra que cae dentro del intervalo (X-leS, X+ k5) con k= 1, 2, 3
Limites reales. Se obtienen con Jl- 30'y Jl+ 30', e indican de dónde a dónde varía la salida de
un proceso
Histograma. Representación gráfica de la distribución de un conjunto de datos o de una
variable, donde los datos se clasifican por su magnitud en cierto número de clases. Permite
visualizar la tendencia central, la dispersión y la forma de la distribución.
Tabla de frecuencias. Representación en forma de tabla de la distribución de unos datos, a
los que se clasifica por su magnitud en cierto número de clases.
Distribución sesgada. Forma asimétrica de la distribución de unos datos o una variable,
donde la cola de un lado de la distribución es más larga que la del otro lado.
Distribución multimodal. Forma de la distribución de unos datos en la que se aprecian
claramente dos o más modas (picos).
Dato raro o atípico. Medición cuta magnitud es muy diferente a la generalidad de las
mediciones del conjunto de datos correspondiente.
Rango intercuartílico. Es igual a la distancia entre el cuartil inferior y el superior, y determina
el rango en el que se ubican SO% de los datos que están en el centro de la distribución.
Estratificación. Consiste en clasificar y analizar datos de acuerdo con las distintas fuentes de
donde proceden, como, por ejemplo por máquinas, lotes, proveedores, turnos, etcétera.
Sesgo. Es una medida numérica de la asimetría en la distribución de un conjunto de datos.

Curtosis. Estadístico que mide qué tan elevada o plana es la curva de la distribución de unos
datos respecto a la distribución normal.
Cuantiles. Medidas de localización que separan por magnitud un conjunto de datos en cierto
número de grupos o partes que contienen la misma cantidad de datos. Por ejemplo, los
deciles dividen los datos en 10 grupos.
PROBLEMAS
2.1 Con sus palabras y apoyándose en gráficas, conteste los siguientes incisos.
a) ¿Qué es la tendencia central y que es la variabilidad de un proceso o unos datos?
La tendencia central: Es un valor en torno al cual los datos o mediciones de una variable
tienden a aglomerarse o concentrarse.
Variabilidad de un proceso: Es saber que tan diferentes son entre sí.
 Desviación estándar muestral: Medida de la variabilidad que indica qué tan esparcidos
están los datos con respecto a la media.
 Desviación estándar del proceso: Refleja la variabilidad de un proceso. Para su cálculo
se debe utilizar un número grande de datos que hayan sido obtenidos en el transcurso
de un lapso amplio. Se denota con la letra griega sigma σ.
 Rango: Medición de la variabilidad de un conjunto de datos que es resultado de la
diferencia entre el dato mayor y el dato menor de tal conjunto.
 Coeficiente de variación: Medida de variabilidad que indica la magnitud relativa de la
desviación estándar en comparación con la media. Es útil para contrastar la variación
de dos o más variables que están medidas en diversas escalas
b) Represente de manera gráfica y mediante curvas de distribución, dos procesos con
la misma variabilidad pero diferente tendencia central.

c) Elabore la gráfica de dos procesos con la misma media pero diferente dispersión.
d) Represente dos procesos cuya forma de distribución es diferente.
2.2. Si una característica de calidad debe estar entre 30 ± 2, y se sabe que su media es
𝜇 = 29.9; entonces, ¿se tiene buena calidad, se cumple con las especificaciones?
Paso 1. Datos: 𝜇 = 29.9, 𝐸𝐼 = 30 − 2 = 28, 𝐸𝑆 = 30 + 2 = 32
Paso 2.
Fórmula:
-
Paso 3.
Procedimiento
:
-
350325300275250
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
X
Densidad
Poisson 300
Distribución Media
Normal 300 6
Distribución Media Desv.Est.
Gráfica de distribución (Damariz Rebolledo)

Paso 4.
Gráfica:
Paso 5.
Resultados,
interpretacione
s y toma de
decisiones.
No sabemos si se cumple con las especificaciones porque no conocemos
la desviación estandar de la población (proceso).
Todo parece indicar que el proceso está ligeramente descentrado por la
izquierda
No tenemos informacion suficiente (desconocemos Cp) para evaluar la
calidad, pero podemos suponer que no es buena porque el proceso no
está centrado.
2.3 ¿De qué manera afectan los datos raros o atípicos a la media? Explique su
respuesta.
Un dato raro es una medición cuya magnitud es muy diferente a la generalidad de las
mediciones del correspondiente conjunto de datos.
Para poder determinar la media, se necesita de cierta cantidad de mediciones ya que si
obtendríamos datos raros causaría una dificultad al realizar el cálculo porque no sería una
respuesta correcta,
2.4 Un grupo de 30 niños va de paseo en compañía de tres de sus maestras. La edad de
los niños varía entre 4 y 8 años, la mitad tiene 5 años o menos. La edad que se repite
más es la de 4. La edad de las tres maestras es diferente, pero es cercana a los 30 años.
Con base en lo anterior, incluyendo a las tres maestras, proponga un valor aproximado
para la media, la moda, y la mediana de la edad de los 33 paseantes. Argumente sus
propuestas.
Paso 1
Datos
X =33
Paso 2
Formula
-
Paso 3
Procedimiento
-
Paso 4
Gráfica -
3228 30𝜇 = 29.9

Paso 5
Resultado
Media: 11, aproximadamente ya que hay valores extremos.
Moda: 4, La tendencia central de los datos es la cantidad que más se
repite.
Mediana: 5, este es el valor medio, ya que menciona 50% tiene una edad
inferior a 5 años.
2.5 En una empresa se llevan los registros del número de fallas de equipos por mes; la
media es de 4 y la mediana de 6.
Paso 1. Datos Media: 4
Mediana: 6
Paso 2.
Fórmula
-
Paso 3.
Procedimiento
-
Paso 4.
Gráficas
-
Paso 5.
Resultados
interpretaciones
y toma de
decisiones.
a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas,
¿qué número reportaría? ¿Por qué?
Reportaría el 6, porque da el valor medio de fallas que ocurrieron en cada
mes. Es decir; que el 50% de fallas es inferior a 6 y el otro 50% es
superior a 6.
b) ¿La discrepancia entre la media y la mediana se debió a que
durante varios meses ocurrieron muchas fallas?
Si, por que al haber distintas fallas en unos meses y en otros no. Esto
proporciona valores extremos que influyen en el análisis de los datos,
perdiendo representatividad el valor que se tiene de la media.
2.6. De acuerdo con los registros de una empresa, el ausentismo por semana del
personal de labor directa es de 25 personas en promedio, con una desviación estándar
de 5. Con base en esto, conteste:
a) ¿Entre qué cantidad se espera que usualmente varíe el número de personas que no
acuden a trabajar por semana? La cantidad de personas que no está yendo a trabajar varía
entre aproximadamente 20 personas, lo que es un 68% de los casos.

b) Si en la última semana hubo 34 ausencias, ¿significa que pasó algo fuera de lo
normal, por lo que se debe investigar qué sucedió y tomar alguna medida urgente para
minimizar el problema? Significa que algo está incorrecto, ya que si la media poblacional es
de 25 personas y el registro de ausentismo en la última semana está demasiado elevado,
significa que se debe analizar y tomar medidas urgentes para minimizar el problema.
2.7 En una empresa se lleva un registro semanal del número de empleados que acuden
a la enfermería de la empresa a recibir atención médica. De acuerdo con los datos de
los primeros seis meses del año se tiene que el número promedio por semana es de 16,
y la desviación estándar es de 3.5. Con base en esto conteste los siguientes dos
incisos:
Paso 1:
Datos
μ = 16 σ= 3.5
Paso 2:
Fórmula
𝐿𝑅 = 𝜇 ± 3𝜎
Paso 3:
Procedimiento
𝐿𝑅 = 16 + (3)(3.5) = 26.5
𝐿𝑅 = 16 − (3)(3.5) = 5.5
Paso 4:
Resultados a) ¿Entre qué cantidades se espera que varíen usualmente el
número de empleados que acuden a la enfermería por semana?
Se espera que acudan a la enfermería por semana entre 26 y 5 empleados.
A pesar de que los datos se ven afectados por datos demasiado aleatorios
que afectan a la media y a la desviación estándar.
b) Si en la última semana acudieron a la enfermería 25 personas,
esto significa que en esa semana pasó algo fuera de lo usual.
Conteste sí o no y explique por qué.
No, porque se refiere a la última semana en la que se contó para tomar la
media, por lo tanto, existen datos que se encuentran alejados y afectan a la
media.
2.8. De acuerdo con cierta norma, a una bomba de gasolina en cada 20 L se le permite una
discrepancia de 0.2 L. En una gasolinera se hacen revisiones periódicas para evitar infracciones
y ver si se cumplen las especificaciones (El = 19.8, ES= 20.2}. De acuerdo con los resultados de
15 inspecciones para una bomba en particular, la media y la desviación estándar de los 15 datos
son 19.9 y 0.1, respectivamente. De acuerdo con esto, ¿se puede garantizar que la bomba
cumple con la norma? Argumente su respuesta.

Paso 1. Datos
El = 19.8, ES= 20.2,
μ=19.9 σ=0.1
Paso 2.
Fórmula 𝐿𝑅𝐼 = 19.9 − 3(0.1) = 19.6
Paso 3.
Procedimiento Calculado en Minitab
Paso 4.
Gráficas
Paso 5.
Resultados,
interpretación
y decisiones
Para garantizar que se cumple c0on la norma, los limites reales deben
estar dentro de los límites de las especificaciones.
Con los resultados obtenidos se puede evidenciar que el LRI es menor a
EI, lo cual indica que la bomba no cumple con la norma.
2.9 La desigualdad de Chebyshev y la regla empírica establecen la relación entre la
media y la desviación estándar. Explique esta situación y señale si se aplica para el
caso muestra poblacional o para ambos.
Si una variable aleatoria tiene una desviación estándar pequeña, esperaríamos que la
mayoría de los valores se agrupen alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que
una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es
mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si
pensamos en la probabilidad en términos de un área, esperaríamos una distribución continua
con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos
que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la
mayor parte de su área cercana a µ.
2.10.- Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras
de hule, cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de ±3 mm. Al final del
turno un inspector toma muestras e inspecciona que la longitud cumpla

especificaciones. A continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas
máquinas:
Paso 1. Datos 199.2 201.7 200.9 201 200.6 199.5 199 199.2 199 198.9
199.7 201.4 200.7 201.4 200.1 198.6 198.4 198.8 199 199.2
201.8 201.4 200.5 201.4 201.3 200.3 199.1 198.5 198.7 197.9
202 200.8 201.2 201.1 200.6 198.5 198.8 198.9 199.1 200.3
201 202.1 201.7 201.2 200.7 198.2 198.3 198.8 200.3 199.6
201.5 200.7 201.2 201 201.8 199.6 198.9 198.7 200.5 199.4
200 200.9 201.2 200.6 200.5 198.2 199.6 199.2 198.1 198.7
199.8 201 200.5 202 200.5 198.4 199 199.3 198.3 198.5
200.7 201.5 200.1 201 200.8 199 198.7 199.7 199.6 198.7
201.4 201.2 201.4 201.5 200.3 199.7 200.5 197.8 199 198.6
200.4 201.3 200.2 201.6 200.7 199.7 198.4 199.9 199.7 198.5
Paso 2. Fórmula
Mediana=
𝑛
2
x=
𝜀𝑖
𝑛
𝑠2
=
𝜀(𝑋𝑖−𝑋)2
𝑛−1
S=√
𝜀(𝑋𝑖−𝑥)2
𝑛−1
Paso 3.
Paso 4. Gráfica
Paso. 5
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones
a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas
señale si la tendencia central del proceso es adecuada.
Las medidas de tendencia central del proceso son:
Las modas son 199, 200.5, 201.4
La mediana es 200.1
La media es 200
1er cuartil 198.97
Mediana 200.10
3er cuartil 201.00
Máximo 202.10
199.78 200.21
199.60 200.50
1.02 1.33
A-cuadrado 1.84
Valor p <0.005
Media 200.00
Desv.Est. 1.16
Varianza 1.34
Asimetría -0.03705
Curtosis -1.25761
N 110
Mínimo 197.80
Prueba de normalidad de Anderson-Darling
Intervalo de confianza de 95% para la media
Intervalo de confianza de 95% para la mediana
Intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar
201.75201.00200.25199.50198.75198.00
Mediana
Media
200.50200.25200.00199.75199.50
Intervalos de confianza de 95%
Informe de resumen de LONGITUD Damariz Rebolledo

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los
límites reales. A partir de éstos decida si la variabilidad de los
datos es aceptable.
La desviación estándar es 1.16
Los límites reales son aproximadamente 198.97 y 201.
c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central,
variabilidad, acantilados, sesgos, etc).
d) Con la evidencia obtenida antes, cuál es su opinión acerca de
lo adecuado o no de la longitud de las tiras que se cortaron en
el periodo que representan las mediciones.
La longitud no es la adecuada, ya que presenta diversas variaciones
dando como resultado un proceso con una distribución multimodal, es
decir, presenta 3 realidades diferentes.
e) utilizando el sesgo y curtosis estandarizadas, y la evidencia
gráfica, ¿qué puede decir respecto a la normalidad de los
datos?
Debido a que la curtosis es negativa, la curva es plana, lo que quiere decir
es que las diferencias entre los datos son menos fuertes, sin embargo
afectan de manera seria la capacidad del proceso.
2.11 En el caso del ejercicio anterior, considere que los primeros 55 datos (ordenados
por renglón) corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra. Ahora conteste lo
siguiente.
a) Evalué las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) y con respecto
a la longitud ideal (200).
Estadísticos descriptivos: Maquina 1, Maquina 2
N para
Variable Media Desv.Est. Mediana Modo moda
Maquina 1 201.12 1.35 201.00 201.4 6
Maquina 2 199.01 0.677 199.00 199 6
La máquina 2 es más exacta que la máquina 1.
b) Analice la dispersión de ambas maquinas utilizando la desviación estándar y la regla
empírica.
Estadísticos descriptivos: Maquina 1, Maquina 2
Variable Desv.Est. Varianza Q1 Q3 Curtosis

Maquina 1 1.35 1.83 200.60 201.40 33.69
Maquina 2 0.677 0.458 198.50 199.60 -0.25
De acuerdo a las especificaciones ambas máquinas cumplen las tolerancias permitidas. Pero
la máquina 2 es la más exacta a la media ideal de 200 mm, porque su desv. Est. es menor a
la de la máquina
c) Haga un histograma para cada máquina e intérprete cada uno de ellos.
La máquina 1: Tiene un sesgo positivo y tiene hacia la izquierda.
La máquina 2: Tiene un sesgo negativo y tiende hacia la derecha.
d) De acuerdo a lo anterior, ¿cuál es el problema de cada máquina?
La máquina 1 tiene menor precisión, la mayoría de sus valores son inferiores a la media ideal
(200 mm).
La máquina 2 es más precisa, pero la mayoría de sus valores son superiores e inferiores.
e) Considere que cada máquina es operada por una persona diferente, y determine
cuáles son las posibles causas de los problemas señalados en el inciso anterior y
señale qué haría para corroborar cuáles son las verdaderas causas
 Causas:
a) Puede ser que la persona que está operando la máquina no esté revisándola
constantemente, ya que la máquina puede ser muy antigua y se descontrole fácilmente.
b) El operario no ha sido capacitado correctamente.
 Precauciones:
a) Revisar constantemente la máquina.
b) Evaluar al operario

f) Vuelva a analizar el histograma realizado en el inciso c) del ejercicio anterior y vea si
de alguna forma se vislumbraba lo que detectó con los análisis realizados en este
ejercicio.
En ambas graficas se demuestra que la máquina 2 es más precisa, aunque la mayoría de sus
valores son superiores e inferiores.
2.12 En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una
encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de
los clientes internos. La encuesta consiste de 10 preguntas, y cada una de ellas evalúa
diferentes aspectos del servicio proporcionado. Las respuestas para cada pregunta es
un número entre O y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenidos se
suman los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario. A
continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios.
Paso 1
Datos
78 68 70 35 41
78 84 87 42 42
82 75 77 34 45
85 78 82 44 42
81 76 84 49 35
86 76 48 34 38
80 82 49 30 39
73 85 39 43 42
84 91 39 31 43
78 80 43 34 29
Paso 2
Formula Mediana=
𝑛
2
x=
𝜀𝑖
𝑛
𝑠2
=
𝑛−1
S=√
𝑛−1
Paso 3
Paso 4
Gráfica
8472604836
12.5
10.0
7.5
5.0
2.5
0.0
X
_
C1
Frecuencia
Histograma de C1 (Damariz Rebolledo)
(con intervalo de confianza t de 95% para la media)

Paso 5
Resultado a) Calcule las medidas de tendencia central, de dispersión a los
datos anteriores y dé una primera opinión acerca de la calidad
en el servicio :
La media de los datos de satisfacción es 59.80
La mediana de los datos de satisfacción es 58.50
Las modas de los datos de satisfacción son 42 y 78
La varianza de los datos de satisfacción es 446.29
La desv. Estandar es de los datos de satisfacción es 21.13
b) Realice el histograma e interprételo con cuidado.
El conjunto de datos de satisfacción está ligeramente descentrado
por la izquierda.
La distribución es bimodal
c) ¿Qué es lo más destacado que observa en el histograma?
Que la distribución es bimodal
d) ¿Tendría alguna utilidad hacer un análisis por separado de cada
una de las preguntas? Explique.
Si, por que los datos presentan mucha variación y no permiten
precisar en qué aspectos hay menor satisfacción
e) ¿Hay normalidad en los datos? Argumente.
No, ya que el valor P es mayor a 0.089,
Y el estadístico AD
2.13. En una fábrica de piezas de asbesto una característica importante de la calidad es
el grosor de las láminas. Para cierto tipo de lámina el grosor óptimo es de 5 mm y se
tiene una discrepancia tolerable de 0.8 mm, ya que si la lámina tiene un grosor menor
que 4.2 mm se considera demasiado delgada y no reunirá las condiciones de
resistencia exigidas por el cliente. Si la lámina tiene un grosor mayor que 5.8 mm,
entonces se gastará demasiado material para su elaboración y elevarán los costos del
fabricante. Por lo tanto, es de suma importancia fabricar las láminas con el grosor
óptimo, y en el peor de los casos dentro de las tolerancias especificadas. De acuerdo
con los registros de las mediciones realizada en los últimos tres meses se aprecia un
proceso con una estabilidad aceptable, el grosor medio es 𝝁= 4.75, la mediana 4.7, y la
desviación estándar 𝝈 = 0.45

Paso 1. Datos
𝜇 = 4.75 𝜎 = 0.45 la mediana 4.7
Paso 2.
Fórmula Mediana=
𝑛
2
x=
𝜀𝑖
𝑛
𝑠2
=
𝑛−1
S=√
𝑛−1
Paso 3.
Paso 4.
Gráfica
4.8 4.2 4.6 5.1 5 4.6 4.4 5.1 5.2 4.9 4.5
4.5 4.6 4.9 5.3 5.3 5 5 4.7 4.5 4.7 5
4.7 5.3 5.2 5.1 5.1 4.6 4.2 4.7 4.6 4.6 5.2
5.7 5.2 4.8 5 5.1 4.8 4.5 4.8 5.2 5.3 4.7
4.5 4.7 4.7 5.3 4.5 4.7 5.3 5 4.9 4.8 5.9
5.3 4.1 5.1 5 5.2 4.9 5.1 5 5 4.7 5.3
4.4 5.1 4.9 5.1 4.1 4.4 4.8 4.9 5.3 4.6 5.6
5.1 5 4.8 5.2 5.1 4.5 4.4 5.2 4.9 5.1 5
4.6 5 4.7 4.7 4.9 5.3 4.7 5.6 5 4.4 5
4.9 4.9 5.1 5 4.9 5.3 5.3 5.1 4.4 5 4.5

Paso 5.
Resultados
interpretacione
s y toma de
decisiones
a) De acuerdo con la media y la mediana, ¿el centrado del proceso
es adecuado?
El centrado del proceso no es el adecuado, todo parece indicar que el
proceso esta descentrado con mucha variabilidad.
b) Si considera sólo la media y la mediana, ¿puede decidir si el
proceso cumple con las especificaciones?
El proceso no es adecuado para el trabajo, y no cumple con las
especificaciones, requiere de modificaciones serias.
c) Calcule los límites reales, haga la gráfica de capacidad y señale
si el proceso cumple con especificaciones.
Si cumple con las especificaciones ya que la media cae dentro de los límites
reales.
2.14 En el problema anterior, con el propósito de mejorar la calidad que se tenía en
cuanto al grosor de las láminas, se implementó un proyecto de mejora siguiendo la
metodología Seis Sigma (vea el capítulo 16). Varios de los cambios implementados
fueron relativos a mejora y estandarización de los procedimientos de operación del
proceso. Para verificar si el plan tuvo éxito, se eligieron láminas de manera aleatoria y
se midió su grosor. Los 120 datos obtenidos durante tres días se muestran a
continuación:
Paso 1:
Datos
4.8 4.3 4.8 5.1 4.9 4.6 4.9 4.6 5.00 4.9 4.8 4.5
4.7 5.7 4.5 5.3 4.4 5.1 4.6 4.9 4.2 4.6 5.3 5.2
4.7 4.1 5.1 5.00 5.00 4.9 4.6 4.9 5.2 4.8 4.7 5.1
4.9 4.8 4.7 5.1 5.1 5.3 5.1 5.00 5.3 5.00 5.1 5.2
4.9 5.00 5.00 5.3 5.1 5.1 4.5 5.2 4.1 5.1 4.9 4.9
4.6 5.00 4.6 4.8 4.7 4.9 4.4 4.5 5.3 5.3 4.4 5.00
4.2 4.5 5.3 5.1 4.8 4.4 4.7 5.3 5.1 4.7 4.7 4.8
1er cuartil 4.7000
Mediana 4.9000
3er cuartil 5.1000
Máximo 5.9000
4.8322 4.9512
4.8000 5.0000
0.2921 0.3770
A-cuadrado 0.85
Valor p 0.028
Media 4.8917
Desv.Est. 0.3291
Varianza 0.1083
Asimetría 0.018781
Curtosis 0.232272
N 120
Mínimo 4.1000
5.75.45.14.84.54.2
Mediana
Media
5.004.954.904.854.80
Informe de resumen de grosor(Damariz Rebolledo)

5.00 5.00 4.9 5.2 5.6 5.1 5.2 4.5 4.6 5.2 4.9 5.00
5.3 4.9 5.00 4.4 4.9 4.7 4.6 5.3 4.8 4.7 4.6 5.1
4.4 5.00 4.5 5.00 5.2 4.7 5.00 5.3 5.6 5.00 5.00 4.5
Proyecto
Mediana = 4.7 μ = 4.75 σ = 0.45
Nuevo
Mediana = 4.90 μ = 4.88 σ = 0.3155
Paso 2:
Fórmula 𝜇 =
𝛴 𝑋
𝑁
𝜎 = √
𝛴 (𝑋 − 𝜇)²
𝑁
Paso 3:
Procedimiento 𝜇 =
586.30
120
= 4.88 Calculado en Minitab
Paso 4:
Datos σ = 0.3155
μ= 4.9
Paso 5:
Fórmula 𝐿𝑅 = 𝜇 ± 3𝜎
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =
(𝐿𝑅𝐼 + 𝐿𝑅𝑆)
2
Paso 6:
Procedimiento 𝐿𝑅𝐼 = 4.9 − (3)(0.3155) = 3.93
𝐿𝑅𝑆 = 4.9 + (3)(0.3155) = 5.83
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 =
(3.93 + 5.83)
2
= 4.88
Paso 7:
Gráfica

Paso 8:
Resultados
a) Calcule la media y mediana de estos datos, y compárelas con las
que se tenían antes del proyecto, decida si con los cambios se
mejoró el centrado del proceso.
En comparación con las medidas que se tenían antes, sin embargo, no se
encuentra en lo óptimo, si no dentro de los límites tolerables. Se puede en el
histograma que aún está descentrado y con mucha variabilidad.
b) Calcule la desviación estándar y, con ésta, obtenga una
estimación de los nuevos límites reales y decida si la variabilidad
se redujo.
Se redujo la variabilidad en comparación con las medidas que se tenían
antes, ya que esta disminuye de acuerdo con la desviación estándar, más
los límites si son capaces de ser cumplidos ya que la media de los mismos
se encuentra entre ellos, aunque aún sigue habiendo variabilidad, lo cual
significa que debe reducirse debido a que no es lo óptimo.
c) Construya un histograma, inserte las especificaciones e
interprételo.
Se observa que el histograma se encuentra descentrado y con mucha
variabilidad. Tiene una curva leptocúrtica, por lo tanto, no es lo normal.
d) De acuerdo con todo lo anterior, ¿el proyecto dio buenos
resultados? Argumente.
Los resultados son aceptables, más sin embargo, no son los óptimos, ya que
aún existe variabilidad. Lo bueno es que los límites y las medias están
dentro de las especificaciones dadas por el proyecto.
e) Si se observaron mejoras, ¿son suficientes para garantizar un
producto dentro de especificaciones?
No, puede haber la probabilidad de que funcione, aunque esto no es
asegurable, de acuerdo con lo mencionado anteriormente.
1st Quartile 4,7000
Median 4,9000
3rd Quartile 5,1000
Maximum 5,7000
4,8288 4,9429
4,8798 5,0000
0,2800 0,3614
A-Squared 1,01
P-Value 0,011
Mean 4,8858
StDev 0,3155
Variance 0,0995
Skewness -0,198957
Kurtosis -0,098073
N 120
Minimum 4,1000
Anderson-Darling Normality Test
95% Confidence Interval for Mean
95% Confidence Interval for Median
95% Confidence Interval for StDev
5,75,45,14,84,54,2
Median
Mean
5,004,954,904,85
95% Confidence Intervals
Summary Report for números (Damariz Rebolledo)

2.15 En la elaboración de envases de plástico primero se elabora la preforma, para la
cual se tienen varios criterios de calidad, uno de ellos es el peso de esta. Para cierto
envase se tiene que el peso debe estar entre 28.00 ± 0.5 g. A continuación se muestran
los últimos 112 datos obtenidos mediante una carta de control para esta variable.
Paso 1. Datos.
Paso 2. Formula
MEDIANA=
𝑛
2
𝜇 =
∑ 𝑋𝑖𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑆 = √
∑ (𝑋𝑖 − 𝑋)2𝑖
𝑛
Paso 3.
Procedimiento
Calculado en minitab
Paso 4.
Gráfica
1er cuartil 27.872
Mediana 27.960
3er cuartil 28.087
Máximo 28.390
27.949 28.003
27.931 28.000
0.127 0.165
A-cuadrado 0.41
Valor p 0.340
Media 27.976
Desv.Est. 0.144
Varianza 0.021
Asimetría 0.186808
Curtosis -0.288861
N 112
Mínimo 27.630
28.3528.2028.0527.9027.75
Mediana
Media
28.0027.9827.9627.94
Informe de resumen Damariz Rebolledo

Paso 5.
Resultados,
interpretaciones y
toma de decisiones.
a) Obtenga las medidas de tendencia central y señale si la
tendencia central de las mediciones es adecuada.
 La media de los pesos es de 27.98 g.
 La mediana de los pesos de los envases es de 27.96g.
 La varianza de los pesos es de 0.021
 La desviación estándar de los datos obtenidos es de 0.1437.
 La moda del peso de los envases es de 27.94
La tendencia central es la adecuada, puesto que está en el rango marcado
por la empresa.
b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites
reales y con base en estos decida si la variabilidad de los datos
es aceptable.
La desviación estándar de los datos es de 0.1437.
Es aceptable puesto que está dentro del rango de .5 que la empresa está
manejando para el peso de sus botellas.
c) obtenga un histograma e interprételo (tendencia central,
variabilidad, acantilados, sesgos, etc.).
Tendencia central:
 La media de los pesos es de 27.98 g.
 La mediana de los pesos de los envases es de 27.96g.
 La desviación estándar de los datos obtenidos es de 0.1437.
 La moda del peso de los envases es de 27.94
La tendencia central es la adecuada puesto que está en el rango marcado
por la empresa.
Variabilidad:
Los valores de los datos no varían más de 1 del valor más pequeño al más
grande, lo cual especifica la empresa, por lo tanto es aceptable.
Acantilados:
Con lo que se puede observar en el histograma mis pesos están saliendo en
mayoría en el rango de -.5 y los que son +.5 son más dispersos.
Sesgo:

Está un poco más inclinado al lado positivo, sin embargo es mínimo.
d) ¿Es adecuado el peso de las preformas?
Si es el adecuado puesto que está en el rango establecido por la misma
empresa como rango de tolerancia.
e) ¿Hay evidencias en contra de la normalidad de los datos?
Se podrían tomar como evidencia en contra algunos datos que están un poco
más dispersos que la mayoría, sin embargo están dentro del estándar.
2.16 Una característica clave en la calidad de las pinturas es su densidad, y un
componente que influye en ésta es la cantidad de arenas que se utilizan en su
elaboración. La cantidad de arena en la formulación de un lote se controla por medio
del número de costales, que según el proveedor contienen 20 kg. Sin embargo,
continuamente se tienen problemas en la densidad de la pintura que es necesario
corregir con retrabajo y reprocesos adicionales. En este contexto se decide investigar
cuánta arena contienen en realidad los costales. Para ello, se toma una muestra
aleatoria de 30 costales de cada lote o pedido (500 costales). Los pesos obtenidos en
las muestras de los últimos tres lotes se muestran adelante. Las especificaciones
iniciales que se establecen para el peso de los costales de arena son de 20 ± 0.8 kg.
Paso 1.
Datos
Paso 2.
Fórmula Mediana=
𝑛
2
x=
𝜀𝑖
𝑛
𝑠2
=
𝑛−1
S=√
𝑛−1
Paso 3.
Procedimiento Calculado con minitab
Paso 4.
Gráfica

1er cuartil 19.100
Mediana 19.600
3er cuartil 20.000
Máximo 29.100
19.424 19.925
19.400 19.700
1.043 1.402
A-cuadrado 5.95
Valor p <0.005
Media 19.674
Desv.Est. 1.196
Varianza 1.430
Asimetría 5.5306
Curtosis 43.5561
N 90
Mínimo 17.800
282624222018
Mediana
Media
20.019.819.619.4
Informe de resumen de LOTES Damariz Rebolledo
1er cuartil 19.000
Mediana 19.250
3er cuartil 19.650
Máximo 21.000
19.147 19.560
19.100 19.477
0.441 0.745
A-cuadrado 0.52
Valor p 0.167
Media 19.353
Desv.Est. 0.554
Varianza 0.307
Asimetría 1.00450
Curtosis 1.40174
N 30
Mínimo 18.600
21.020.520.019.519.018.5
Mediana
Media
19.519.419.319.219.1
Informe de resumen de LOTE 1 Damariz Rebolledo
1er cuartil 18.800
Mediana 19.350
3er cuartil 19.700
Máximo 20.700
19.039 19.554
18.923 19.600
0.550 0.928
A-cuadrado 0.17
Valor p 0.920
Media 19.297
Desv.Est. 0.690
Varianza 0.476
Asimetría 0.064659
Curtosis -0.257977
N 30
Mínimo 17.800
20.520.019.519.018.518.0
Mediana
Media
19.619.419.219.0

Paso 6:
Resultados a) De acuerdo con los 90 datos, ¿el centrado del proceso es
adecuado?
El centrado es adecuado, pero requiere un debido control.
b) ¿la variabilidad es poca o mucha? Apóyese en los estadísticos
adecuados.
La variabilidad es mucha ya que están muy alejados uno del otro.
c) Obtenga un histograma para los 90 datos, inserte las
especificaciones.
d) Dé su conclusión general acerca de si los bultos cumplen con el
peso especificado.
Los bultos no cumplen con el peso especificado ya que no están dentro de
los límites permitidos.
e) Haga un análisis de cada lote por separado y con apoyo de
estadísticos y gráficas, señale si hay diferencias grandes entre
los lotes.
Si analizamos los 3 lotes juntos, tendríamos como resultado 2 realidades, ya
que un conjunto de datos queda fuera de la curva, por lo tanto, el proceso no
es el adecuado.
f) ¿Las diferencias encontradas se podrían haber inferido a partir
del histograma del inciso e)?
Si los lotes se analizan por separado, podemos encontrar diversos
resultados. El lote 1 está centrado por la izquierda, con una distribución
bimodal, mientras que el lote 2 está centrado y el lote 3 está totalmente a la
izquierda dejando un conjunto de datos fuera de la curva; por lo tanto
concluimos que es mejor analizar los datos por separado, para tener una
mejor visión de la realidad.
g) Obtenga un diagrama de caja para cada lote y compárelos.
1er cuartil 19.700
Mediana 20.000
3er cuartil 20.400
Máximo 29.100
19.743 21.003
19.823 20.200
1.344 2.268
A-cuadrado 6.55
Valor p <0.005
Media 20.373
Desv.Est. 1.687
Varianza 2.846
Asimetría 5.0888
Curtosis 27.0454
N 30
Mínimo 19.600
2826242220
Mediana
Media
21.020.520.0

2.17 En una empresa que fabrica y vende equipo para fotocopiado utilizan como un
indicador importante de la calidad en el servicio posventa, el tiempo de respuesta a
solicitudes de apoyo técnico debido a fallas en los equipos. Para problemas mayores,
en cierta zona del país se estableció como meta que la respuesta se de en un máximo
de 6 horas hábiles; es decir, de que habla el cliente solicitando apoyo, y que si el
problema se clasifica como grave no deben pasar más de 6 horas hábiles para que un
técnico acuda a resolver el problema. A continuación se aprecian los tiempos de
respuesta en horas para los primeros nueve meses del año (65 datos).
Paso 1. Datos
Paso 2.
Fórmula Mediana=
𝑛
2
x=
𝜀𝑖
𝑛
𝑠2
=
𝑛−1
S=√
𝑛−1
Paso 3.
Procedimiento Calculado en minitab
Paso 4.
Gráficas
Paso 5.
Resultados,
interpretacione
s y toma de
decisiones
a) Calcule las medidas de tendencia central y con base en éstas,
¿cree que se cumple con la meta?
De acuerdo a las medidas de tendencia central se llega a la conclusión de
que los límites no sobrepasan y por esto se cumple la meta que se
estableció.
b) Aplique la regla empírica, interprete y diga qué tan
bien se cumple la meta.
Si se cumple la meta
1er cuartil 4.2000
Mediana 5.4000
3er cuartil 6.8000
Máximo 8.3000
4.9328 5.7763
4.9572 5.9000
1.3134 1.9218
A-cuadrado 0.48
Valor p 0.225
Media 5.3545
Desv.Est. 1.5601
Varianza 2.4340
Asimetría -0.333250
Curtosis -0.546564
N 55
Mínimo 1.7000
8.06.44.83.21.6
Mediana
Media
5.85.65.45.25.0
Informe de resumen de Tiempos de respuestas (Damariz Rebolledo)

2.18. Los siguientes datos representan las horas caídas de equipos por semana en tres
líneas de producción.
Paso 1.
Datos.
Paso 2.
Formulas.
MEDIANA=
𝑛
2
𝜇 =
∑ 𝑋𝑖𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑆 = √
∑ (𝑋𝑖−𝑋)2𝑖
𝑛
Paso3.
Procedimiento
c) Haga un histograma e interprete sus aspectos más
relevantes.
Se presenta mucha variabilidad y está descentrada.
d) A partir del análisis que se ha realizado, ¿qué
recomendaciones daría para ayudar a cumplir mejor
la meta?
Daría una clasificación menor de tiempo para los problemas que
son considerados como graves.

Paso 4.
Gráficas
1er cuartil 6.0500
Mediana 7.1000
3er cuartil 7.7500
Máximo 8.6000
6.4387 7.3053
6.2198 7.5802
0.8197 1.4604
A-cuadrado 0.33
Valor p 0.493
Media 6.8720
Desv.Est. 1.0498
Varianza 1.1021
Asimetría -0.226827
Curtosis -0.940712
N 25
Mínimo 5.0000
8765
Mediana
Media
7.57.06.5
Linea 1 Damariz Rebolledo
1er cuartil 6.2500
Mediana 6.9000
3er cuartil 7.5500
Máximo 9.2000
6.5830 7.4090
6.4198 7.4000
0.7813 1.3920
A-cuadrado 0.23
Valor p 0.779
Media 6.9960
Desv.Est. 1.0006
Varianza 1.0012
Asimetría 0.133962
Curtosis 0.008161
N 25
Mínimo 5.0000
98765
Mediana
Media
7.507.257.006.756.50
Linea 2 Damariz Rebolledo
1er cuartil 6.3500
Mediana 7.5000
3er cuartil 8.1000
Máximo 8.5000
6.9667 7.6893
6.7594 8.0802
0.6835 1.2178
A-cuadrado 1.21
Valor p <0.005
Media 7.3280
Desv.Est. 0.8754
Varianza 0.7663
Asimetría -0.51749
Curtosis -1.29007
N 25
Mínimo 5.8000
8.48.07.67.26.86.46.0
Mediana
Media
8.07.57.0
Linea 3 Damairz Rebolledo

Paso 5.
Interpretación.
a) Analice los datos por cada línea y anote las principales
características de la distribución de los datos.
Linea 1
Media: 6.8720
Desv: 1.0498
Mediana: 7.100
Linea 2.
Media: 6.9960
Desv: 1.0006
Mediana:6.9000
Linea 3.
Media: 7.3280
Desv: 0.8754
Mediana: 7.500
Las Lineas 1 y 2 son muy parecidas en cuanto a su media y mediana, sin
embargo la desv. Estándar de cada una es muy diferente. Por lo cual
guiándonos por la Desv. Podemos decir que la línea 1 tiene menos control,
sin embargo las demás líneas tienen mas caídas de producción.
b) Compare las tres líneas, ¿Nota alguna diferencia importante?
La línea 2 tiene caídas aparentemente similares y las líneas 1 y 3 tienen
caídas parecidas.
2.19 Una característica importante en la calidad de la leche de vaca es la concentración
de grasa. En una industria en particular se fijó 3.0% como el estándar mínimo que debe
cumplir el producto que se recibe directamente. de los establos lecheros. Por medio de
muestreos y evaluaciones en cierta época del año se obtuvieron los siguientes 90 datos
sobre concentración de grasa en cierta región.
Paso 1. Datos
Paso 2.
Fórmula Mediana=
𝑛
2
x=
𝜀𝑖
𝑛
𝑠2
=
𝑛−1
S=√
𝑛−1

Paso 3.
Procedimiento Calculado en minitab
Paso 4.
Gráficas
Paso 5.
Resultados,
interpretación y
toma de
decisiones
a) Calcule las medidas de tendencia central y de variabilidad, y
comente acerca del cumplimiento del estándar mínimo para la
concentración de grasa.
La media de los datos es de 3.18
La desviación estándar es de 0.31
La varianza de los datos es de 0.09
b) Obtenga un histograma, inserte el estándar mínimo e intérprete
de manera amplia.
El conjunto de datos de grasa está ligeramente descentrado por la derecha y
la distribución es bimodal.
c) La población de donde provienen estos datos, ¿cumple el
estándar mínimo?
Si, cumple con los estándares fijados en el conjunto de datos
d) ¿Se puede suponer distribución normal?
Sí, porque los datos concuerdan y no existe mucha variabilidad.

2.20 En la elaboración de envases de plástico es necesario garantizar que cierto tipo de
botella en posición vertical tenga una resistencia mínima de 20 kg fuerza. Para
garantizar esto, en el pasado se realizaba una prueba del tipo pasa-no-pasa, donde se
aplicaba la fuerza mínima y se veía si la botella resistía o no. En la actualidad se realiza
una prueba exacta, en la que mediante un equipo se le aplica fuerza a la botella hasta
que ésta cede, y el equipo registra la resistencia que alcanzó. ¿Qué ventajas y
desventajas tiene cada método?
En la prueba pasa-no-pasa la ventaja sería que puede que haya menos probabilidad de que
las botellas se rompan, ya que la fuerza aplicada es mínima, sin embargo, el control de la
calidad no sería tan eficiente, ya que el rango de fuerza aplicada es mínimo, y no se tiene una
garantía de que la botella resista una fuerza mayor.
En la prueba exacta, como su nombre lo dice, el control de calidad es más exacto, ya que se
tiene un registro de la resistencia promedio que una botella puede soportar sin romperse, por
lo tanto, ya se tiene una media de presión registrada y un control establecido, teniendo así
mejores resultados y productos de mayor calidad.
2.21 En el caso del problema anterior, a continuación, se muestran 100 datos obtenidos en las
pruebas destructivas de la resistencia de botellas.
Paso 1: Datos 28,3 26,1 28,4 27,7 26,9 27,2 27,4 25,6 26,8 27,9 28,3 27,8
26,8 28,1 26,3 25,2 27,7 27,3 26,2 29,5 29,5 28,7 27,0 24,7
26,6 26,9 28,1 28,6 26,2 27,0 29,4 27,6 26,9 25,3 23,7 27,6
26,5 26,2 28,7 29,3 27,0 27,7 28,6 27,3 27,2 29,2 27,7 26,2
28,1 27,7 27,0 27,8 27,6 29,5 24,9 26,5 27,6 26,5 26,5 24,7
24,8 27,2 25,5 25,1 28,8 26,4 25,2 29,1 25,5 28,7 28,6 27,2
30,4 25,9 28,8 26,6 27,1 25,8 28,0 23,7 28,3 26,4 25,7 23,8
27,7 26,5 25,0 26,8 26,4 26,7 27,6 29,7 27,4 26,3 27,1 27,4
27,0 28,3 25,3 26,4
Paso 2:
Fórmula 𝜇 =
𝛴 𝑋
𝑁
𝜎 = √
𝛴 (𝑋 − 𝜇)²
𝑁
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +
𝑁
2
− 𝐹𝑖 − 1
𝑓𝑖
∙ 𝑡𝑖
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +
[𝑓𝑖 − (𝑓𝑖 − 1)]
[𝑓𝑖 − (𝑓𝑖 − 1)] + [𝑓𝑖 − (𝑓𝑖 − 1)]
∙ 𝑡𝑖

𝐿𝑅 = 𝜇 ± (3)(𝜎)
𝐶𝑣 =
𝜎
𝜇
(100)
Paso 3:
Procedimiento
𝜇 = 27.095
𝜎 = 1.389
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 27.100
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 27.7
𝐿𝑅𝐼 = 27.095 − (3)(1.389) = 22.928
𝐿𝑅𝑆 = 27.095 + (3)(1.389) = 31.262
𝜎2
= 1.929
𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 23.700
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 30.400
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 6.700
𝐶𝑣 = 5.126
Paso 4.
Gráficas
Paso 5:
Resultados
a) Calcule las medidas de tendencia central y de variabilidad.
Se encuentran calculadas en el paso 3: Procedimiento.
1st Quartile 26,300
Median 27,100
3rd Quartile 28,075
Maximum 30,400
26,819 27,371
26,800 27,452
1,219 1,613
A-Squared 0,25
P-Value 0,753
Mean 27,095
StDev 1,389
Variance 1,929
Skewness -0,182670
Kurtosis -0,101006
N 100
Minimum 23,700
Anderson-Darling Normality Test
95% Confidence Interval for Mean
95% Confidence Interval for Median
95% Confidence Interval for StDev
30,028,527,025,524,0
Median
Mean
27,427,327,227,127,026,926,8
95% Confidence Intervals
Summary Report for C1 (Damariz Rebolledo)

b) Estime los límites reales y comente si las botellas cumplen la
resistencia mínima que se desea garantizar.
Si cumplen, ya que la media cae dentro de los límites reales, por lo tanto, se
cumple con las especificaciones.
c) Obtenga un histograma, inserte una línea vertical en el valor de
la resistencia mínima e interprete ampliamente.
Como se observa en el paso 4: gráficas, el histograma se encuentra un
poco sesgado a la derecha, tiene mucha variabilidad, y no se muestra
fácilmente el valor de la resistencia mínima, por lo tanto, puede que sea
conveniente realizar otros ajustes.
d) Con base en los análisis anteriores. ¿considera que el proceso
cumple con la especificación inferior?
No, ya que como mencionado anteriormente, no se muestra en el
histograma que muchos datos cumplan con esa especificación.
2.22. En una empresa que elabora productos lácteos se tiene como criterio de calidad
para la crema que ésta tenga un porcentaje de grasa de 45 con una tolerancia de ± 5. De
acuerdo con los muestreos de los últimos meses se tiene una media de 44 con una
desviación estándar de 1.3. Haga un análisis de capacidad para ver si se está
cumpliendo con la calidad exigida, represente gráficamente los datos y comente los
resultados obtenidos.
Paso 1. Datos:
𝜇 = 44, 𝜎 = 1.3
𝐸𝐼 = 45 − 5 = 40, 𝐸𝑆 = 45 + 5 = 50
Paso 2.
Fórmula:
𝐶 𝑝 =
𝐸𝑆 − 𝐸𝐼
6𝜎
Paso 3.
Procedimiento:
𝐶 𝑝 =
50 − 40
6(1.3)
𝐶 𝑝 =
10
7.8
= 1.28

Paso 4. Gráfica:
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones.
Todo parece indicar que el proceso está descentrado por la izquierda.
Se tiene información necesaria para evaluar la calidad donde 𝐶 𝑝 es mayor
que 1 pero menor que 1.33 (1 < 𝐶 𝑝 < 1.33) cuando el proceso está
centrado, donde el proceso está parcialmente adecuado, y requiere de un
control estricto, pero podemos suponer que no es buena porque el proceso
no está centrado.
2.23 El volumen en un proceso de envasado debe estar entre 310 y 330 mi. De acuerdo
con los datos históricos se tiene que µ= 318 y σ= 4. ¿El proceso de envasado funciona
bien en cuanto al volumen? Argumente su respuesta.
Paso 1. Datos
EI=310 ES= 330 µ= 318 σ= 4
Paso 2.
Fórmula
𝐶 𝑝 =
𝐸𝑆 − 𝐸𝐼
6𝜎
Paso 3.
Procedimiento
𝐶 𝑝 =
330 − 310
6(4)
𝐶 𝑝 =
20
24
= 0.8333
Paso 4.
Gráficas
5040 45𝜇 = 44
330310 𝜇 = 318

Paso 5.
Resultados,
interpretación y
decisiones
Si hacemos una nalisis de la media poblacional y relacionamos con los
limites de control esta se encuentra dentro de rango por lo tanto se puede
afirmar que el proceso marcha bien mas sin embargo todo parece indicar
que el proceso está descentrado por la izquierda.
Se tiene información necesaria para evaluar la calidad donde 𝐶 𝑝 es menor
que 1 pero mayor que 0.67 (0.67 < 𝐶 𝑝 < 1) cuando el proceso está
centrado, donde el proceso no es adecuado para el trabajo. Es necesario
un análisis del proceso. Requiere de modificaciones serias para alcanzar
una calidad satisfactoria.
2.24 En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de co2 ( gas)
esté entre 2.5 y 3.0. En el monitoreo del proceso se obtuvieron los siguientes 115 datos:
Paso 1.
Datos
2.61 2.62 2.65 2.56 2.68 2.51 2.69 2.53 2.67 2.66 2.63 2.52 2.61 2.64 2.49
2.58 2.61 2.53 2.57 2.56 2.52 2.58 2.64 2.59 2.73 2.51 2.61 2.71 2.64 2.59
2.60 2.61 2.55 2.66 2.69 2.56 2.61 2.49 2.63 2.72 2.67 2.52 2.64 2.62 2.64
2.65 2.67 2.61 2.50 2.65 2.57 2.55 2.64 2.66 2.56 2.60 2.59 2.56 2.57 2.66
2.56 2.62 2.63 2.57 2.60 2.53 2.61 2.60 2.52 2.62 2.67 2.58 2.53 2.57 2.66
2.51 2.57 2.55 2.57 2.58 2.52 2.61 2.55 2.55 2.60 2.64 2.56 2.60 2.57 2.48
2.64 2.67 2.60 2.59 2.67 2.56 2.63 2.57 2.61 2.49 2.60 2.70 2.67 2.65 2.60
2.58 2.59 2.65 2.67 2.61 2.52 2.65 2.57 2.52 2.64
Paso 2.
Fórmulas
𝑋̅ =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥 𝑛
𝑛
𝑆 = √
(𝑥1 − 𝑥̅)2 + (𝑥2 − 𝑥̅)2 + ⋯ + (𝑥 𝑛 − 𝑥̅)2
𝑛 − 1
Paso 3.

Paso. 4
Gráfica
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones
a) Por medio de medidas de tendencia central determine si la
tendencia central de las mediciones es adecuada.
Media: 2.5989
Desv. Estándar: 0.0558
Varianza: 0.00311
Mediana: 2.6000
Moda: 2.61
b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites
reales y, con base en éstos, decida si la variabilidad de los datos
es aceptable.
Variable N N* Media estándar Desv.Est. Varianza CoefVar
Mínimo
% de Co2 115 0 2.6250 0.0259 0.2779 0.0772 10.59
2.4800
c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central,
variabilidad, acantilados, sesgos, etc).
Paso 4
d) Con la evidencia obtenida antes, ¿cuál es su opinión acerca de
la capacidad del proceso referido?
Hay una cierta cantidad que no cumple con el rango de calidad
(falta agregar más Co2)
2.702.652.602.552.50
25
20
15
10
5
0
Media 2.599
Desv.Est. 0.05580
N 1 1 5
co2
Frecuencia
Normal
Damariz Rebolledo

CAPITULO 3
CONCEPTOS CLAVE
Experimento aleatorio: Su resultado no puede anticiparse aun cuando se repita bajo las
mismas condiciones.
Espacio muestra: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.
Evento: Es un subconjunto del espacio muestra de un experimento aleatorio.
Variable aleatoria: Función que asocia un número a cada resultado de un experimento
aleatorio.
Variable aleatoria discreta: Variable a la que se pueden numerar los posibles valores que
toma
Distribución de probabilidad de X: Es una descripción del conjunto de los valores posibles
de X con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores
Experimento Bemoulli: Ensayo aleatorio que sólo tiene dos resultados posibles llamados
"éxito" y "fracaso".
Distribución binomial 𝝁, p: Proporciona la probabilidad de observar x éxitos en una
secuencia den experimentos Bernoulli independientes con una probabilidad constante p de
éxito.
Distribución geométrica: Proporciona: la probabilidad de requerir X repeticiones
independientes de un experimento Bernoulli para observar el primer éxito
Distribución hipergeométrica: Da la probabilidad de obtener X éxitos en n experimentos
Bernoulli, donde la probabilidad de éxito cambia de un experimento al siguiente.
Distribución normal: Es una distribución continua cuya densidad tiene forma de campana.
Es muy importante tanto en la estadística teórica como en la aplicada.
Gráfica de probabilidad: Procedimiento que permite determinar si los datos muéstrales se
ajustan a una distribución específica.
PROBLEMAS
3.1 Señale qué es una variable aleatoria e incluya un par de ejemplos de variables
aleatorias discretas y otro par de continuas.
Es la función que asocia un número a cada resultado de un experimento aleatorio.
a) Variable aleatoria discreta: (Conjunto finito o numerable)
Una recepcionista recibe 20 llamas por día, Una muestra de tornillos defectuosos en un
proceso es de 15.
b) Variable aleatoria continua: (Intervalo finito o infinito)
Peso, volumen, longitud.

3.2. ¿Qué es una distribución de probabilidad?
Es una descripción del conjunto de los valores posibles de X con la probabilidad asociada a
cada uno de estos valores.
3.3. ¿Qué es una función de densidad de probabilidades y qué requisitos debe cumplir?
La distribución se representa a través de una tabla que relaciona resultados con
probabilidades, o bien, por medio de una fórmula. En el caso discreto, la función f(x) = P(X =
x) que va del rango de X al intervalo [0, 1] recibe el nombre de función de probabilidad, y
cumple con las siguientes propiedades:
l.f(x) = P(X = x).
2.f(x) � O para toda x (no hay probabilidades negativas).
3.lf(x) = 1 (la suma de las probabilidades de todos los posibles valores de X es igual a 1).
3.4 Explique en cada caso qué tipo de variables siguen una distribución binomial, de
Poisson e hipergeométrica. Mencione dos ejemplos de cada una de ellas.
a) Distribución binomial:
Son variables del tipo “pasa, no pasa”; es decir, variables que tienen que cumplir con
determinado criterio. La probabilidad de éxito es constante.
 Un proceso produce 5% de piezas defectuosas si se encuentran X número de piezas
defectuosas en las siguientes 20.
 Un virus está afectando al 20% de la población si X cantidad de las siguientes 30
personas estudiadas lo tienen.
b) Distribución de Poisson:
La variable que calcula la distribución de Poisson es la cantidad de defectos en un sistema.
 Numero de impurezas en un líquido dado su volumen.
 Numero de defectos en una línea de producción.
c) Distribución Hipergeometrica:
En esta distribución, la probabilidad de éxito del experimento no se mantiene constante,
pero sigue el tipo de variable “pasa, no pasa”. Determinada debido a que el tamaño de la
muestra es muy pequeño.
 Se toma una muestra de una línea de producción que se sabe contiene defectos.
 Se estudia el efecto de una vacuna en una porción de la población que se sabe
contiene viruela.
3.5 ¿Cuál es la relación entre la distribución normal y la distribución ji-cuadrada?
Si a es un número entero, entonces r(a) = (a- 1). La media y la varianza de una distribución ji-
cuadrada con k grados de libertad están dadas por E (X) = k y <r2 = 2k. Esta distribución es
relevante para hacer inferencias acerca de la desviación estándar, o; de una población con

distribución normal, ya que, si se obtiene una muestra de tamaño n, entonces el estadístico
tiene una distribución ji-cuadrada con n- 1 grados de libertad (S2, es la varianza muestra).
3.6 ¿Cómo se relaciona la distribución T de Student con la ji-cuadrada?
Tanto la distribución T y la Ji-cuadrada, manejan n-1 grados de libertad cuando se busca la
densidad.
Ambas se acercan a la distribución normal, Ji-cuadrada cuanto más crecen sus grados de
libertad y T cuando el tamaño de la muestra aumenta.
Además la distribución T, necesita de una variable que tenga una distribución Ji-cuadrada.
La distribución Ji-cuadrada sirve principalmente para analizar la desviación estándar, mientras
que la distribución T sirve para analizar la media poblacional.
3.7. El departamento de compras inspecciona un pedido de 500 piezas eléctricas, para
lo cual toma una muestra aleatoria de 20 de ellas y se prueban. El vendedor asegura
que el porcentaje de piezas defectuosas es sólo de 5%, así, suponiendo el peor de los
casos según el vendedor, p = 0.05, responda lo siguiente:
Paso 1.
Datos
Hipergeomètrica= 500 piezas
N=20
M=5%
P= 0.05
Paso 2.
Fórmula
Probabilidad (x>2) =? Variable
discreta p(x>2) =p(x≥3) =?
Paso 3.
Procedimiento
Paso 4.
Gráfica

Paso 5.
Resultados,
interpretación y
toma de
decisiones
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestra de
defectuosos sea mayor a 10%?
La probabilidad del porcentaje de muestra es de 0.0716
b) ¿cuál es la probabilidad de obtener una o menos piezas
defectuosas?
La probabilidad para obtener las piezas que son defectuosas es de 0.0736

3.8 Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de
defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se prueban.
Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse.

3.9 Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de unidades
defectuosas producidas, para ello toma una muestra aleatoria de 250 y encuentra 25
defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje de calculadoras
defectuosas que se produce es de 10%, ¿es real esta afirmación?
Argumente su respuesta.

3.10. Un fabricante de galletas desea que, con probabilidad de 0.95, cada galleta
contenga al menos una pasa.
Paso 1.
Datos
Probabilidad =0.95
𝜇 = 1
Paso 2.
Formula 𝑓( 𝑥, ʎ) =
𝑒−ʎ
ʎ 𝑥
𝑥!
Paso 3.
procedimiento 𝑓(7,1) =
𝑒−1
17
7!
= 0.00008324
Paso 4. grafica
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones
¿Cuántas pasas en promedio por galleta deberá agregar a la masa
como mínimo?
Deberá agregar a la masa como mínimo 0.6321
¿Cuál es la probabilidad de que una galleta contenga más de seis
pasas?
La probabilidad de que una galleta contenga más de 6 pasas es del
0.00008324
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
1
0.6321
0
Poisson; Media=1
Gráfica de distribución( Damariz Rebolledo)
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
7
0.00008324
0
Poisson; Media=1
Gráfica de distribución(Damariz Rebolledo)

3.11. En un almacén se inspeccionan todos los lotes de cierta pieza que se reciben;
para ello, se emplean muestras de tamaño 100. Se sabe que el proceso genera 1% de
piezas defectuosas y se tiene el criterio de rechazar el lote cuando se encuentran más
de tres piezas defectuosas en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote?
¿Cuál es la probabilidad de que se tengan que inspeccionar 10 lotes antes de rechazar
el primero del día?
Paso 1.
Datos
N : 100, p: 0.01, x < 3
Paso 2.
Fórmula
Probabilidad
Paso 3.
Procedimiento
Paso 4.
Gráfica
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones
y decisiones
De acuerdo con la gráfica de distribución binomial, la probabilidad de
aceptar un lote es de 0.01837.
3.12. Una caja contiene cuatro artículos defectuosos y ocho en buen estado. Se sacan
dos artículos al azar.
Paso 1.
Datos
M=8 , k=4 , N=12, n=2
Paso 2.
Formula
-
Paso 3.
procedimiento
-
6543210
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
Binomial, n=100, p=0.01

Paso 4.
Gráfica
Paso5.
Resultados
interpretaciones
y toma de
decisiones
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea bueno?
La probabilidad de que sea al menos uno bueno es de P(X>=1)=0.9091
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo
(buenos o malos)?
La probabilidad de que los dos sean del mismo tipo buenos o malos es
𝑃( 𝑋 = 2) + 𝑃( 𝑋 = 0) = 1 − 𝑃( 𝑋 = 1)
𝑃 = 1 − 𝑂. 4242 = 0.5758
c) ¿Cuál es el valor esperado de los artículos buenos?
Valor esperado= 𝑛𝑝 = 𝑛 ∗
𝑀
𝑁
𝑛𝑝 = 2 ∗
8
12
𝑛𝑝 = 0.833
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
1
0.9091
0
Hipergeométrico; N=12; M=8; n=2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
2
0.4242
0
Hipergeométrico; N=12; M=8; n=2

3.13 Un gerente de producción de cierta compañía está interesado en probar los
productos terminados que están disponibles en lotes de tamaño 50. Le gustaría
retrabajar el lote si puede estar seguro de que 10% de los artículos están defectuosos
en la muestra. Entonces, decide tomar una muestra de tamaño 10 sin reemplazo y
retrabajar el lote si encuentra uno o más defectuosos en la muestra. ¿Es éste un
procedimiento razonable? Argumente su respuesta.
Paso 1.
Datos
N=50 M=5 n=10
Paso 2.
Fórmula
Paso 3.
Procedimiento
Paso 4.
Gráfica
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones
¿Es éste un procedimiento razonable?
No ya que está tomando solo una pequeña muestra de toda la población y
podría haber más defectuosas en el resto que no está tomando.
3.14. Una máquina llena cajas de cereal y lo hace siguiendo una distribución normal
con varianza igual a 0.01 onzas. ¿Qué nivel de contenido deberá fijarse en la máquina sí
se desea que sólo 1% de las cajas contenga menos de 20 onzas?
Paso 1.
Datos
𝜇 = 20 𝜎 = 0.01
Paso 2.
Fórmula Calculado en Minitab
Paso 3.
543210
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Probabilidad
Hipergeométrico, N=50, M=5, n=10

Paso 4.
Gráficas
Paso 5.
Resultados, interpretaciones y
toma de decisiones.
El nivel de contenido que deberá fijarse en la máquina
para que el 1% de las cajas contenga menos de 20
onzas es de 20.02.
3.15 En una compañía aérea 40% de las reservaciones que se hacen con más de un
mes de anticipación son canceladas o modificadas. En una muestra de 20
reservaciones ¿Cuál es la probabilidad de que 10,11 o 12 reservaciones no hayan
cambiado?
a) Conteste usando la distribución binomial.
40
30
20
10
0
X
Densidad
20.02
0.01
20
Normal, Media=20, Desv.Est.=0.01
Gráfica de distribución Damariz Rebolledo

b) Resuelva con base en la distribución normal con la media y la varianza de la
binomial considerando el rango de 9.5 a 12.
3.16. Se hace un estudio de la duración en horas de 20 focos y se obtienen los
siguientes datos: 138.62, 37, 62, 25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52,
1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68.
Paso 1. Datos 138.62, 37, 62, 25.00, 59.36, 87.50, 75.49, 56.46, 33.86, 61.30, 323.52,
1.50, 186.34, 193.65, 11.34, 52.20, 381.41, 2.68.
Paso 2. Fórmulas 1 -x
Paso 3.
Procedimiento
Paso 4.
Gráfica

3.17 Una máquina realiza cortes de manera automática de ciertas tiras metálicas con
media µ=40,1 cm y una desviación estándar 0,2 cm. La media óptima de tales tiras debe
ser de 40 cm con un tolerancia de más o menos 0,5 cm. Suponiendo distribución
normal estime el porcentaje de las tiras que cumple con las especificaciones
Paso 1.
Datos
Media: µ=40.1 cm
Desviación estándar: 0.2 cm
Media Optima: 40 cm
Tolerancia: 0.5 cm
Especificación inferior= 39,5
Especificación Superior = 40,5
Paso 2.
Fórmula
X: Medida de corte de las tiras metálicas (cm) ~ N( µ,σ2)
Z= (X-µ)/σ
Paso 3.
Procedimiento P( 39,5 < X <40,5)= P[( 39,5-40,1)/0,2 < Z < ( 40,5-40,1)/0,2]=??? P[-
3< Z< 2]=0,976
Paso 4. Gráficas
Paso 5
Resultados,
Interpretaciones y
toma de decisiones
a) Encuentre, mediante gráficas de probabilidad,
una distribución continua que se ajuste de
manera adecuada a los datos.
 La gráfica de probabilidad se encuentra en el
paso 4
b) Considere una distribución exponencial con parámetro
= 1 - x obtenga la probabilidad de que los focos duren
más de 300 horas
 La probabilidad de que los focos duren más de 300 horas
es del 95%

Paso 5. Resultados
interpretaciones y
toma de decisiones.
a) Si usted tiene que reportar la tendencia central de fallas,
¿qué número reportaría? ¿Por qué?
Si el objetivo es reportar que valores de número de fallas se
encuentran centrados reportaría el 6 que representa a la mediana ya
que esto me confirma en un 50% existen fallas menores a 6 y en otro
50% son mayores. Y también porque la mediana no se ve afectada
cuando existe un dato o cuando la distribución de datos se encuentra
sesgadas.
b) ¿La discrepancia entre la media y la mediana se debió a que
durante varios meses ocurrieron muchas fallas?
Se podría decir que si, ya que si el número de muestra es
relativamente grande o también se podría confirmar que en estas
tomas de medidas de fallas pueda que exista un dato raro o hay un
sesgo muy importante.
3.18 Verifique si los siguientes datos se ajustan bien a una distribución normal.
Paso 1
Datos
2.51 2.29 2.31 2.19 2.09 2.48 2.65 2.50 2.48 2.27 2.26 2.86 3.73 2.98 1.08 2.25
2.10 3.30 3.15 2.27 2.23 2.61 2.11 5.70 2.31 2.00 2.35 1.76 2.91 1.84 2.09 2.78
2.32 2.59 1.87 2.59 2.07 3.10 2.32 2.59 2.42 2.04 2.13 1.98 2.02 2.18 2.26 2.10
2.69 2.60
Paso 2
Formula
Paso 3
Procedimiento
Paso 4.
Gráfica
Paso 5
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones
De acuerdo al valor p nos damos cuenta que los datos no siguen una
distribución normal. Ya que estos estan dentro de el rango 0.05 ó 0.10.

3.19. Una compañía refresquera históricamente reporta un promedio de 0.5% de
botellas por debajo del nivel de llenado estipulado. Considere una muestra aleatoria de
1 000 refrescos a los que se mide el volumen cuidadosamente.
Paso. 1
Datos
Promedio= 0.5%
Muestras aleatorias (N)= 1000
X= 5,10
Paso 2
Formulas
(
𝑛
𝑥
)= 𝑃 𝑥(1 − 𝑝) 𝑛−𝑥
Paso 3
Sustitución
(
𝑛
𝑥
)= 0.55(1 − 0.5)1000−5
= 0
(
𝑛
𝑥
)= 0.510(1 − 0.5)1000−10
= 0
Paso 4
Gráficas
-
Paso 5
Resultados,
Interpretacione
s y toma de
decisiones
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 5 o menos botellas tengan un
nivel insatisfactorio de llenado?
 La probabilidad de que 5 o más botellas tengan un nivel de
insatisfacción de llenado es de 0.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que 10 o más botellas tengan un
nivel insatisfactorio de llenado?
 La probabilidad de que 10 o más botellas tengan un nivel de
insatisfacción de llenado es de 0.
c) Un grupo de consumidores mide cuidadosamente el volumen de
500 botellas y encuentran 10 o más con un nivel insatisfactorio
de llenado. ¿Qué deberían concluir? justifique su respuesta.
 Las técnicas de probabilidad utilizadas en los refrescos no son
las adecuadas.
3.20 Una fábrica de muebles encontró que el número de quejas concernientes a los
pedidos de madera enviados por un proveedor son 6 en promedio por año. ¿Cuál es la
probabilidad de que no haya ningún reclamo el año próximo? ¿Y en el próximo
cuatrimestre?
Paso. 1
Datos
µ= 6 quejas
Paso. 2
Formula
f(x, 𝜆)=
𝑒−𝜆 𝜆 𝑋
𝑋!
Paso. 3
Procedimiento
f(0;6)= e-6
(6)0
/0= 2.4787 x 10-3
Paso. 4
Gráfica -

Paso. 5
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones
La probabilidad de que no haya ningun reclamo el próximo año es de
2.4787 x 10-3
3.21 Una máquina produce artículos defectuosos con probabilidad p = 0.05. Suponiendo
independencia entre los artículos, ¿cuál es la probabilidad de que el vigésimo artículo
sea el primer defectuoso? ¿Y cuál de que el primero ocurra en el lugar vigésimo o
antes?
Paso 1.
Datos
P= 0.05
µ1 = 20
µ2 ≤ 20
Paso 2.
Fórmula
Paso 3.
Procedimiento
Paso 4.
Gráficas
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones
La probabilidad de que el vigésimo artículo salga defectuoso es de p =
0.396.
La probabilidad de que el primero que ocurra sea el vigésimo o antes es
de p = 0.572
3.22. Suponga que Z es una variable aleatoria normal estándar (N (0,1)). Calcule las
siguientes probabilidades:
Paso 1: Datos a) P (Z<-0.62)
Paso 2: Formula
𝑃(
𝑋 − µ
σ
≤
X − µ
𝜎
)
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Densidad
11.64
0.05
10
Normal, Media=10, Desv.Est.=1
Gráfica de distribución Damariz Rebolledo

Paso 3:
Sustitución
𝑃(
−0.62 − 0
1
≤
−0.62 − 0
1
)
Paso 4:
Resultado 0,267629
Paso 1:
Datos
b) P (Z> 1.06)
Paso 2:
Formula
𝑃(
𝑋 − µ
σ
≤
X − µ
𝜎
)
Paso 3:
Sustitución
𝑃(
1.06 − 0
1
≤
1.06 − 0
1
)
Paso 4:
Resultado 0,855428
Paso 1:
Datos
c) P (-0.37< Z <0.51)
Paso 2:
Formula
𝑃(
𝑋 − µ
σ
≤
X − µ
𝜎
)
Paso 3:
Sustitución
𝑃(
−0.37 − 0
1
≤
0.51 − 0
1
)
Paso 4:
Resultados -0,37 0,355691
0,51 0,694974
Paso 1:
Datos
d) P (IZI 0.47)
Paso 2:
Formula
𝑃(
𝑋 − µ
σ
≤
X − µ
𝜎
)
Paso 3:
Sustitución
𝑃(
0.47 − 0
1
≤
0.47 − 0
1
)
Paso 4:
Resultados 0,680822

3.23. Una variable aleatoria discreta X tiene la siguiente función de probabilidades:
a) Represente con una gráfica de barras la distribución de probabilidad de esta
variable X.
b) Dibuje también la función de distribución acumulada F(x).
c) Encuentre la media y la desviación estándar de la variable aleatoria X.
La media es de: 3 y la desviación estándar de: 1.581
0.54
0.3
0.1
0.05
0.01
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
1 2 3 4 5
Distribución de Probabilidad (Damariz
Rebolledo)
0.0598568
0.0438386
0.0333061 0.0310271 0.0292983
0
0.02
0.04
0.06
0.08
1 2 3 4 5
Distribución Acumulada (Damariz
Rebolledo)

3.24 Suponga que la probabilidad de detectar una grieta de 0.003 pulgadas en una pieza
metálica es de 0.20. Si se envían a inspección una serie de estas piezas, sea Y el
número de piezas que será necesario revisar para observar la primera grieta. Utilice un
modelo de probabilidad adecuado y obtenga lo siguiente:
a) P (Y ≥ 5)
La probabilidad que Y sea mayor igual a 5 es de 0.4096 (CALCULADO EN EXCEL)
b) P (Y ≤ 4)
La probabilidad que Y sea menor igual a 4 es de 0.4096 (CALCULADO EN EXCEL)
c) E (Y)
La probabilidad de E (Y) es de 0.4096 (CALCULADO EN EXCEL)
d) Var (Y)
La probabilidad de Var (Y) es de 0.4096 (CALCULADO EN EXCEL)
3.25. Sí X sigue una distribución normal con media 5 y varianza 4, encuentra la
constante c tal que:
a) P(X<c) = 0.8749
Paso 1.
Datos:
𝑃( 𝑋 < 𝐶) = 0.8749 𝑃( 𝑍 < 1.15) = 0.8749
𝜇 = 5 𝜎 = 4
Paso 2.
Fórmula: TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL Z
Paso 3.
Procedimiento: 𝑋 = 5 + 1.15 ∗ 2 = 7.3
Paso 4.
Gráfica:
-
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones y
toma de
decisiones.
La constante c de una distribución normal Z de 1.15 con una media de
5 y varianza de 4, dado que el valor X es menor, fue 7.3.
a) P(c<X) = 0.6406
Paso 1.
Datos:
1 − 𝑃( 𝑍 > 0.6406) = 0.3594 𝑍 = −0.36
𝜇 = 5 𝜎 = 4
Paso 2.

Paso 3.
Procedimiento: 𝑋 = 5 − 0.36 ∗ 2 = 4.28
Paso 4. Gráfica:
-
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones y
toma de
decisiones.
La constante c de una distribución normal Z de -0.36 con una media de
5 y varianza de 4, dado que el valor X es mayor, fue 4.28.
c) P(|X-5|<c) = 0.95
Paso 1.
Datos:
𝑃((𝑋 − 5) < 𝐶) = 0.95 𝑍 = 1.65
𝜇 = 5 𝜎 = 4
Paso 2.
Paso 3.
Procedimiento: 𝑋 = (5 + 1.65 ∗ 2) + 5 = 13.3
Paso 4.
Gráfica: -
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones y
toma de
decisiones.
La constante c de una distribución normal Z de 1.65 con una media de 5
y varianza de 4, dado que el valor X es menor, con un valor absoluto de
5, fue 13.3.
3.26. El grosor de ciertas placas de metal puede considerarse una variable aleatoria
normal con media µ=20 mm y una desviación estándar de ð=0.04 mm.
Paso 1.
Datos.
X: medida de corte de las tiras metálicas (cm) ~ N( µ,σ2)
LI: 19.95
LS: 20.10
µ=20
Paso 2.
Formulas. Z= (X-µ)/σ
Paso3.
Procedimiento. Calculado en minitab

Paso 4.
Gráfica
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones y
toma de decisiones.
a) ¿Qué porcentaje de placas defectuosas se esperaría
observar si las especificaciones son [19.95, 20.10]?
Se espera un porcentaje de 88.81% de placas defectuosas.
b) ¿Cuánto tendrían que valer las especificaciones para
que el desperdicio fuera a lo más de 5%?
Deberían de estar entre los 19.972 y 20.028 para tener un 5% de
desperdicio aproximadamente.
3.27. Una compañía automotriz otorga una garantía de 5 años o 100000 kilómetros para
el diferencial de un automóvil. Históricamente 5 % de los compradores de estos autos
han reclamado el servicio de garantía.
Paso 1.
Datos
Garantía: 5% de los compradores
10
8
6
4
2
0
X
Densidad
19.95
0.8881
20.120
Gráfica de distribución a) Damariz Rebolledo
10
8
6
4
2
0
X
Densidad
19.972
0.5161
20.02820
Gráfica de distribución b) Damariz Rebolledo

Paso 2.
Fórmula
𝑃( 𝑋 = 𝑥)
Paso 3.
Procedimiento
𝑃( 𝑥 = 0) =
10!
0! (10 − 0)!
(0.05)0
(1 − 0.05)10−0
= (0.95)10
= 0.5987
Paso 4.
Gráficas
-
Paso 5.
Resultados
interpretaciones y
toma de decisiones.
a) Encuentre la probabilidad de que a un nuevo
distribuidor le reclamen la garantía en el décimo auto
vendido.
Existe el 59.87% de que no reclamen la garantía y un 40.1263%
de que la reclamen
b) Sea X igual al número de autos vendidos hasta el
primer reclamo. Encuentre el valor esperado de X, su
varianza y la desviación estándar.
(
𝑛
𝑥
) =
𝑛!
𝑥! ( 𝑛 − 𝑥)!
𝜎2
= 𝑉( 𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
𝜎 = √𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
3.28 En relación a una distribución uniforme:
a) Represente
gráficamente la
función de
probabilidad de una
distribución uniforme
discreta que toma los
valores {1,2,3,4,5}.

b) Grafique la
función de densidad
de una distribución
uniforme continua
con parámetros a= 1
y b = 5.
c) Comente las
diferencias entre los
dos casos anteriores.
La desviación estándar es más grande en la gráfica número dos,
ya que la cantidad de datos solo son dos, no como en la gráfica
número uno que son cinco datos.
d) Calcule la media y
varianza para ambas
distribuciones.
Grafica Numero Uno:
Media: 3
Desviación Estándar: 2.828
Grafica Numero Dos:
Media: 3
Desviación Estándar:1.581
e) Grafique la
distribución
acumulada para
ambos casos.
3.29. Vaya al capítulo 13 lea y reporte los aspectos básicos sobre las distribuciones
exponenciales, Weibull y lognormal.
Distribución exponencial Weibull:
Modelo muy versátil debido a que su función de riesgo puede ser decreciente, constante o creciente,
dependiendo del valor de su parámetro de forma.
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
X
Densidad
-0,09870
0,025
6,099
0,025
3
Normal; Media=3; Desv.Est.=1,581

Dada su flexibilidad, la distribución Weibull es de las más utilizadas para describir la vida de productos,
ya que permite modelar productos con tasas de riesgo creciente, constante y decreciente.
Distribución exponencial lognormal:
Modela el tiempo de falla de procesos de degradación (fatiga, desgaste), y puede servir cuando los
tiempos a la falla son el resultado de muchos efectos pequeños que actúan de manera multiplicativa
El modelo lognormal es apropiado cuando los tiempos a la falla son el resultado de muchos efectos
pequeños que actúan de manera multiplicativa. Esto hace que al sacar el logaritmo dichos efectos se
conviertan en efectos que actúan de manera aditiva sobre el logaritmo del efecto global o logaritmo
del tiempo de falla, y estos últimos tienden a distribuirse normal.
3.30. Con la distribución del ejercicio 25 del capítulo 13, conteste lo siguiente:
Paso 1.
Datos:
𝑓( 𝑡) = (
1
10000
) 𝑒
−𝑡
1000⁄
𝑡 > 0
Paso 2.
Fórmula: Calculado en Excel
Paso 3.
Procedimiento: Calculado en Excel
Paso 4. Gráfica:
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones y
toma de
decisiones.
a) Grafique la función de densidad, comente en qué rango
es el tiempo de vida del producto.
b) Obtenga la probabilidad de que el producto dure más de
100 horas, más de 500, y entre 100 y 500 horas.
La probabilidad es de 0.2675 (CALCULADO EN EXCEL)
c) Calcule la media y varianza para esta distribución.
Media Varianza
202.50 5.00
30.428.827.225.624.0
14
12
10
8
6
4
2
0
Media 27.22
Desv.Est. 1.430
N 55
RESISTENCIA
Frecuencia
Normal
Histograma de RESISTENCIA

3.31 Mediante un software estadístico genere 200 muestras de tamaño cinco de una
distribución normal estándar. Por ejemplo en Excel con =DISTR.NORM.
INV(ALEATORI0(),0,1) se genera un número aleatorio de una distribución normal
estándar, por lo tanto se puede repetir esta instrucción en cinco columnas, y en 200
renglones. Para cada muestra de tamaño 5 calcule la media, la desviación estándar de
la muestra. Además haga lo siguiente.
Paso 1.
Datos
Paso 2.
Fórmula:
Mediana=
𝑛
2
x=
𝜀𝑖
𝑛
𝑠2
=
𝑛−1
S=√
𝑛−1
T=
𝑋̅
𝑆/√ 𝑛
Paso 3.
Procedimiento: Muestras calculadas en excel =DISTR.NORM. INV(ALEATORI0
Calculado en Minitab

Paso 4. Gráfica:
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones
y toma de
decisiones.
En la gráfica del histograma se puede observar que parece ser una
distribución de Chi-cuadrada, también al elevar los valores al cuadrado.
Así cómo también se observa que la distribución es bastante parecida a
una T student con n grados de libertad.
3.32. Ilustrando el teorema central del límite. Utilice un software estadístico para
generar 300 muestras aleatorias cada una de tamaño 4 de una distribución uniforme en
el intervalo [6,14]. Cada muestra se puede hacer con Excel con la instrucción
ALEATORIO( )*(14-6)+6. Calcule la media para cada muestra, a las 300 medias
represéntelas en un histograma.
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
X
Densidad
2.015
0.05
0
1er cuartil -0.73418
Mediana 0.01053
3er cuartil 0.75541
Máximo 3.06599
-0.14253 0.14887
-0.20320 0.08870
0.95419 1.16135
A-cuadrado 0.36
Valor p 0.457
Media 0.00317
Desv.Est. 1.04756
Varianza 1.09738
Asimetría 0.0634387
Curtosis -0.0921733
N 201
Mínimo -2.97897
3210-1-2-3
Mediana
Media
0.20.10.0-0.1-0.2
Informe de resumen de Datos aleatorios (Damariz Rebolledo)

Paso 1. Datos Muestras
Paso 2.
Fórmula
(HOJA DE EXCEL) =ALEATORIO( )*(14-6)+6
Paso 3.
Procedimiento
Cálculos realizados en Excel y Minitab

Paso 4.
Gráficas
Paso 5.
Resultados
interpretaciones
y toma de
decisiones.
a) Comente la forma del histograma.
En el histograma se muestran claramente el resultado de un experimento
aleatorio el cual no puede anticiparse aun cuando se repita bajo las
mismas condiciones de aleatoriedad; mas sin embargo en la gráfica se
muestra el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.
b) Obtenga la media de las medias y la desviación es-tándar de
las medias.
Variable media desv.est.
Muestras 9.989 2.310
c) ¿de manera aproximada qué distribución siguen las medias de
las muestras? Argumente.
Siguen la distribución de probabilidad x en donde se describe el conjunto
de los valores posibles que podrían tomar las 300 variables de x con la
probabilidad asociada a cada uno de los valores.
13.512.010.59.07.56.0
25
20
15
10
5
0
MUESTRAS
Frecuencia
Histograma de MUESTRAS (Damariz Rebolledo)

3.33 Repita el ejercicio anterior, pero ahora use un tamaño de muestra de tamaño 10.
Comente sobre las similitudes y diferencias.
Paso 1.
Datos:
Paso 2.
Fórmula (HOJA DE EXCEL) =ALEATORIO( )*(14-6)+6

Paso 3.
Procedimiento: Calculado en Excel y Minitab
Paso 4. Gráfica:
Paso 5.
Resultados,
interpretaciones y
toma de
decisiones.
En el histograma se muestran claramente el resultado de un
experimento aleatorio el cual no puede anticiparse aun cuando se
repita bajo las mismas condiciones de aleatoriedad; mas sin
embargo en la gráfica se muestra el conjunto de resultados
posibles de un experimento aleatorio.
b) Obtenga la media de las medias y la desviación estándar de
las medias.
Variable Media Desv.Est.
Muestras 10.016 2.301
c) ¿De manera aproximada qué distribución siguen las medias
de las muestras? Argumente.
Siguen la distribución de probabilidad X en donde se describe el
conjunto de los valores posibles que podrían tomar las 300
variables de X con la probabilidad asociada a cada uno de los
valores.
13.512.010.59.07.56.0
25
20
15
10
5
0
muestras
Frecuencia
Dámariz Rebolledo

3.34. Repita el ejercicio 32 pero ahora utilice la distribución exponencial con parámetro
𝝀=3 para generar las muestras. En Excel los números aleatorios exponenciales se
pueden obtener con = -LN (1-ALEATORIO())*𝝀
Paso 1.
Datos:
𝜆=3 300 medias

Paso 2.
Fórmula: (HOJA DE EXCEL) Las 300 muestras con tamaño de 4 y las 300 medias
de estas.
(MINITAB) Se calculó la media y Desv. Estándar.
Paso 3.
Procedimiento: (HOJA DE EXCEL) = -LN (1-ALEATORIO())*𝜆
Paso 4.
Gráfica:
Paso 5.
Resultados,
interpretacione
s y toma de
decisiones.
El histograma presentó una mayor concentración de las 300 medias hacia
el lado izquierdo entre 0.5 a 6.0 teniendo así una media de 2.995 con una
desviación estándar de 1.760.
b) Obtenga la media de las medias y la desviación estándar de las
medias.
Media=2.995 Desv. Est=1.760
c) ¿De manera aproximada qué distribución siguen las medias de
las muestras? Argumente.
La distribución de 300 medias de las 300 muestras de esta población es
aproximadamente normal debido a que no está en el límite central y está
un poco desviada a la izquierda.
10.59.07.56.04.53.01.50.0
50
40
30
20
10
0
Media 2.995
Desv.Est. 1.760
N 300
C1
Frecuencia
Normal
Histograma de C1 (Damariz Rebolledo)

Población y muestra
Población
Conjunto formado por la totalidad
de individuos, objetos o medidas de
interés sobre los que se realiza un
Estudio.
Muestra
Parte de una población.
Que conserva las características más
importantes de dicha población.
Parámetro
Es un valor representativo y
descriptivo de una población, como
la media o la desviación estándar. Inferencia estadística
Es hacer afirmaciones válidas
acerca de una población o proceso
con base en la información
contenida en una muestra.Estadístico
Medidas o funciones de los datos
muéstrales que ayudan a
caracterizar la distribución de tales
datos.
Inferencia
Estadística
Distribución de una variable aleatoria x
Relaciona el conjunto de los valores
posibles de X con la probabilidad
asociada a éstos.
Parámetros y
Estadísticos
Estimador Puntual
Estadístico que estima el valor de un
parámetro.
Error Estándar
Desviación estándar de un estadístico
que ayuda a determinar qué tan
precisas son las estimaciones que se
realizan con tal estadístico.
Intervalo de Confianza
Forma de estimar un parámetro en la
cual se calcula un intervalo que indica
con cierta probabilidad un rango donde
puede estar el parámetro.
Distribuciones de
Probabilidad
Estimación Puntual
y Por Intervalo
Prueba de Hipótesis
Planteamiento de
una hipótesis
estadística
Hipótesis Estadística
Es una afirmación sobre los valores de
los parámetros o una característica de
una población o proceso, que puede
probarse a partir de la información
contenida en una muestra.
Hipótesis Nula 𝑯 𝒐
Afirmación acerca del valor de un
parámetro poblacional que se considera
válida para desarrollar el procedimiento
de prueba.
Hipótesis Alternativa 𝑯 𝑨
Afirmación que se aceptará si los datos
muéstrales proporcionan evidencia de
que la hipótesis nula es falsa.
Estadístico de
Prueba
Estadístico de Prueba
Fórmula que permite calcular un
número a partir de los datos y de
𝐻𝑜. La magnitud de este número
permite discernir si 𝐻𝑜 se rechaza o
no.
Región de Rechazo
Conjunto de posibles valores del
estadístico de prueba que llevan a
rechazar 𝐻𝑜.
Región de aceptación
Conjunto de posibles valores del
estadístico de prueba donde no se
rechaza 𝐻𝑜.
Pruebas de una y
dos colas
Hipótesis Bilateral
Es cuando la hipótesis alternativa es
del tipo “no es igual”, por lo que
puede haber evidencia en contra de
𝐻𝑜 en cualquier lado de la
distribución de referencia.
Hipótesis Unilateral
Es cuando la hipótesis alternativa es
del tipo “no es igual”, por lo que
puede haber evidencia en contra de
𝐻𝑜 en cualquier lado de la
distribución de referencia.
Riesgo de una
decisión equivocada
Error Tipo II
Es cuando se rechaza una 𝐻𝑜 que
es verdadera.
Error Tipo II
Es cuando se acepta una 𝐻𝑜 que es
falsa.
Potencia de la Prueba
Es la probabilidad de rechazar 𝐻𝑜
cuando es falsa.
3 Criterios de
Rechazo o
Aceptación
equivalentes
Intervalo de Confianza
Significancia observada a
significancia predefinida
Estadístico de prueba frente
a valor critico Significancia Predefinida
Es el riesgo máximo que se está
dispuesto a correr con respecto al
error tipo I.
Significancia
Calculada/Observada (valor –p)
Ces el área bajo la distribución de
referencia más allá del valor del
estadístico de prueba.
CAPITULO 4 – ELEMENTOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICA (MAPA SEMÁNTICO)

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