Hiperestáticos: Resolución por el Método de las Deformaciones de una viga continua de dos tramos

1. Hiperestáticos
Método de las Deformaciones
Viga continua de dos tramos
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura
Consideraciones Preliminares
El método propone fijar los nudos
tanto angular como linealmente,
analizando el efecto que tienen las
cargas externas sobre la estructura;
para luego imponer pequeños
desplazamientos a las estructuras
para cada una de las restricciones
impuestas y calcular su efecto sobre
los esfuerzos internos.
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t

3. Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura
Finalmente, aplicando el principio de
superposición de efectos, se
determina el efecto conjunto. Por
cada componente de desplazamiento
desconocida se establece una
ecuación de equilibrio.
Formamos un sistema de ecuaciones
que permita determinar dichas
deformaciones y mediante las mismas
obtenemos los esfuerzos en la
estructura.
Consideraciones Preliminares
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t

4. Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
LPM
LPMbMa
PRbPRa



32
5
1
16
3
;0
16
11
;
16
5
Barra articulada - empotrada
cargada con una carga P en L/2

5. Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Barra doblemente empotrada
cargada con una carga uniforme
2
22
24
1
12
;
12
2
;
2
L
q
M
L
q
MbL
q
Ma
L
q
RbL
q
Ra




6. Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Barra doblemente empotrada
con un giro  en A
















L
JE
Mb
L
JE
Ma
L
JE
Rb
L
JE
Ra
2
4
6
6
2
2

7. Hallar las reacciones de vínculo
para la viga continua de dos
tramos de la figura
Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente
empotradas y empotradas/articuladas
Consideraciones Preliminares
Barra articulada - empotrada
con un giro  en A












L
JE
Mb
L
JE
Rb
L
JE
Ra
3
3
3
2
2

8. Definimos el Sistema
Fundamental:
Resolución
Procedemos a fijar angularmente
el nudo B de forma tal que no
pueda rotar. De esta forma la única
restricción impuesta al sistema
será 1 = 0. En consecuencia el
sistema fundamental resultante
será la que se muestra en la figura
y estará conformado por una barra
empotrada-articulada (barra
horizontal BC), y una barra
empotrada-empotrada (barra
horizontal AB).
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t

9. Definimos el Sistema
Fundamental:
Resolución
Una vez hecho esto, analizaremos
el efecto que tienen las cargas
externas (q y P) sobre este sistema
fundamental; para luego imponer
pequeños desplazamientos a las
estructuras para cada una de las
restricciones impuestas (en este
caso la rotación del nodo B) y
calcular su efecto sobre los
esfuerzos internos. Aplicando el
principio de superposición, se
determina el efecto conjunto.
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t

10. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
Como puede observarse en la
figura, las cargas exteriores
deformarán a las barras AB y BC
de acuerdo con el siguiente
esquema…
…por lo tanto, de tablas, el momento en el
vínculo A y en nodo B debido a la acción
de las cargas exteriores (q) serán: 12
2
0
)(
0
)(
Lq
MM qBqA


con:
 
 




mL
mtq
5
/1
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
 mt  083,2

11. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
… y en cuanto a las reacciones en los
apoyos tendremos: 2
0
)(
0
)(
Lq
RR qBqA


con:
 
 




mL
mtq
5
/1
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
 t5,2
R0
A(q) R0
B(q)

12. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
Como puede observarse en la
figura, las cargas exteriores
deformarán a las barras AB y BC
de acuerdo con el siguiente
esquema…
…mientras que, el momento en el nodo B
debido a la acción de las cargas exteriores
(P) serán:
LPM PB 
16
30
)(
con:
 
 




mL
tP
4
4
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
 mt  3
R0
A(q) R0
B(q)

13. Analizaremos el efecto
que tienen las cargas
externas
… y en cuanto a las reacciones en los
apoyos tendremos:
PR PB 
16
110
)(
con:
 
 




mL
tP
4
4
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
 t75,2
R0
A(q) R0
B(q) R0
B(P)
PR PB 
16
50
)(  t25,1
R0
C(P)

14. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
El esquema sería el que se presenta en
la figura, y su efecto será para la barra
AB (para un valor unitario de ):
L
JE
B




4
1
B1
mA
con:
 




mL 5
1
L
JE
mA


2
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
JE 
5
2
JE 
5
4
4EJ
L
6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L
BA

15. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
… y en cuanto a las reacciones en los
apoyos tendremos:
B1
mA
con:
 




mL 5
1
2)(1)(
6
L
JE
RR BA




A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
JE  24,0
RA() RB1()
4EJ
L
6EJ
L2
6EJ
L2
2EJ
L
BA

16. Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
…mientras que el efecto para la barra
BC (para un valor unitario de ) será:
L
JE
B




3
2
B1
mA
con:
 




mL 5
1
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
JE 
4
3
B C
3EJ
L
3EJ
L2
3EJ
L2
B2
RA() RB1()

17. B C
3EJ
L
3EJ
L2
3EJ
L2
Imponemos ahora pequeños
desplazamientos para las restricciones
impuestas (rotación del nodo B)
… y en cuanto a las reacciones en los
apoyos tendremos:
22
3
L
JE
RR CB


B1
mA
con:
 




mL 5
1
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
JE  12,0
B2
RA() RB1() RB2() RC()

18. Planteamos el
equilibrio del nudo B y
calculamos 1…
…para ello planteamos  M = 0 en el
nodo B:
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
B1
mA
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
B2
M 0
)(qBM 0
)(PBM 11   B 012  B
    0
4
3
5
4
3083,2 1 





 JEmtmtM  








JE
mt 2
1 592,0
…y reemplazando valores será:
RA() RB1() RB2() RC()
R0
A(q) R0
B(q) R0
B(P) R0
C(P)

19. MBCMBA
MAB
Con 1 calculamos los
pares extremos de
barra…
…para la barra AB será:
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
B1
mA
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
B2


 ABM
0
)(PBM
11   B
12   B
…y reemplazando valores será:
0
)(qAM
BAM 0
)(qBM
1 Am
…para la barra BC será:


 BCM
0CBM
 
 
 











0
556,2
556,2
846,1
CB
BC
BA
AB
M
mtM
mtM
mtM
RA() RB1() RB2() RC()
R0
A(q) R0
B(q) R0
B(P) R0
C(P)

20. …para la barra AB será:
M0
A(q) M0
B(q)
A B
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
M0
B(P)
B1
mA
A B
5 m 4 m
2 m
C
  1
B2


 ABR
0
)(PBR
  11   BR
  12   BR
…y reemplazando valores será:
0
)(qAR
BAR 0
)(qBR
  1  AR
…para la barra BC será:


 BCR
CBR
 
 
 







tRR
tRRR
tRR
CBC
BCBAB
ABA
36,2
28,5
361,1
RA() RB1() RB2() RC()
R0
A(q) R0
B(q) R0
B(P) R0
C(P)
 PCR0
RA RB RC
  1  CR
Con 1 calculamos los
pares extremos de
barra…

21. Trazamos los diagramas de
Cuerpo Libre, Momentos
Flexores y Corte…
Cuerpo Libre  
 
 
 










mtM
tR
tR
tR
A
C
B
A
846,1
36,2
28,5
361,1
Momentos Flexores
-2,556 t.m
1,846 t.m
M
+
-
2,72 t.m
Corte
-2,36 t
1,361 t
2,639 t
Q
+
- --2,639 t
+
RA RB RC
5 m 4 m
2 m
C
1 t/m 4 t
A B
MAB

22. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

23. Muchas Gracias