Unidad ii

Capítulo II Representación de un Proyecto mediante una Red 28
CAPÍTULO II
REPRESENTACIÓN DE UN PROYECTO
MEDIANTE UNA RED
2.1 Redes de actividades
2.1.1 Elementos de una red
Hay algunos principios básicos que se tienen que comprender y seguir al
preparar un diagrama de red. También hay diferentes formatos que se pueden usar
para dibujar el diagrama. Un formato es la actividad en el cuado, conocido también
como actividad en el nodo, y otro formato es la actividad en la flecha.
Antes de empezar a hacer una red de actividades empezaremos por definir
algunos de los elementos que forman a una red.
Se llama red a la representación gráfica de las actividades que muestran sus
eventos, secuencias, interrelaciones y el camino critico.
Se llama camino critico a la serie de actividades que indica la duración total del
proyecto. Cada una de las actividades se representa por una flecha que empieza en un
evento y termina en otro (fig. 2.1), es decir no solamente se llama camino critico al
método sino también a la serie de actividades contadas desde la iniciación del proyecto
hasta su terminación, que no tienen flexibilidad en su tiempo de ejecución, por lo que
cualquier retraso que sufriera alguna de las actividades de la serie provocaría un retraso
en todo el proyecto.
Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una actividad. Se
determina en un tiempo variable entre el más temprano y el más tardío posible, de
iniciación o de terminación.
A los eventos se les conoce también con los nombres de nodos.
Evento
i
Evento
j
Fig. 2.1 Actividades representadas como flechas
M.A. MIGUEL VARGAS GUEVARA

El evento inicial se llama i y el evento final se denomina j. El evento final de una
actividad será el evento inicial de la actividad siguiente.
Las flechas no son vectores, escalares ni representan medida alguna. No
interesa la forma de las flechas, ya que se dibujarán de acuerdo con las necesidades y
comodidad de presentación de la red (ver figura 2.2). Estas flechas pueden ser
horizontales, verticales, ascendentes, descendentes curvas, rectas, quebradas, etc.
Fig. 2.2 Ejemplos de algunas flechas utilizadas en el diagrama
En los casos en que haya necesidad de indicar que una actividad tiene una
interrelación o continuación con otra se insertará una actividad ficticia entre ambas
mediante una línea punteada, también llamada liga, que tiene una duración de cero.,
esto permite que las actividades tengan combinaciones únicas de números de eventos
predecesor-sucesor, tal y como se muestra en la figura 2.3.
A A
B B
C
1 1
2
3 3 4
2
Fig. 2.3 Ejemplos de algunas actividades ficticias o ligas
La liga puede representar en algunas ocasiones un tiempo de espera para poder
iniciar la actividad siguiente.
A continuación se presenta un ejemplo de un caso en el que se tiene que utilizar
una actividad ficticia para mostrar relaciones de precedencia que de lo contrario no se
podrían presentar. La situación es la siguiente:
• Las actividades A y B se pueden hacer en forma simultanea.

• Cuando se termina la actividad A se puede iniciar la actividad C.
• Cuando se terminan ambas actividades A y B, se puede realizar la actividad D.
Para presentar la forma lógica se tiene que utilizar una actividad ficticia, como se
muestra en la figura 2.4.
A
1 3 5
2 4 6B
C
D
Fig. 2.4 Ejemplo de una actividades ficticias o ligas
En cierto sentido la actividad ficticia 3-4 extiende la actividad A como lo indica la
fig. 2.4, para mostrar que, además de ser necesaria con el fin de iniciar la actividad C,
también se necesita su terminación (junto con la terminación de la actividad B) con el fin
de iniciar la actividad D.
El formato que se muestra en la figura 2.5 es incorrecto porque señala que se
tienen que terminar las actividades A y B, con el fin de que se puedan iniciar las
actividades C y D, cuando de hecho, sólo se tiene que terminar la actividad A (no la A y
la B) para que se pueda iniciar la actividad C.
A
1
3
4
2 5B
C
D
Fig. 2.5 Incorrecto
Varias actividades pueden terminar en un mismo evento o partir de un mismo
evento, ver fig. 2.6.
(a) (b)
Fig. 2.6 (a) Incorrecto (b) Correcto

Deben eliminarse las relaciones ilógicas entre actividades conocidas como lazo.
Al preparar un diagrama de red, no se permite dibujar actividades en un lazo porque
representa una ruta de actividades que se repiten a perpetuidad, tal y como se muestra
en la fig. 2.7.
A
BC
Fig. 2.6 (a) Relación ilógica de actividades (lazo)
Al construir la red debe evitarse lo siguiente:
1 Dos actividades que parten de un mismo evento y llegan a un mismo evento. Esto
produce confusión de tiempo y de continuidad. Debe abrirse el evento inicial o el
evento final en dos eventos y unirlos con una liga
2 Partir una actividad de una parte intermedia de otra actividad. Toda actividad debe
empezar invariablemente en un evento y terminar en otro. Cuando se presenta este
caso, a la actividad base o inicial se le divide en eventos basándose en porcentajes
y se derivan de ellos las actividades secundarias. Ver. fig. 2.7.
Fig. 2.7 (a) Incorrecto (b) Correcto
3 Dejar eventos sueltos al terminar la red. Todos ellos deben relacionarse con el
Fig. 2.8 (a) Incorrecto (b)
evento inicial o con el evento final. Ver. Fig. 2.8.
Correcto

Algunos proyectos tie e se repiten varias veces.
or ejemplo, obsérvese un proyecto que incluye pintar tres habitaciones. Para pintar
tres expertos (uno para la preparación, otro para
pintar los techos y paredes y el otro para el retoque final.
a que todas las actividades se
nen un grupo de actividades qu
P
cada habitación se requieren las siguientes actividades:
1. Preparar la habitación que se va a pintar.
2. Pintar el techo y las paredes.
3. Retoque final.
Supóngase que se dispone de
Quizá parezca lógico dibujar un diagrama de red para el proyecto como el que
aparece en la figura 2.9. Sin embargo, la figura 2.9 señal
tienen que hacer en un orden sucesivo, lo que significa que en cualquier momento sólo
una persona está trabajando mientras las otras dos esperan. Por otra parte la fig. 2.10
señala que las tres habitaciones se pueden hacer al mismo tiempo, lo cual no es
posible, porque sólo se dispone de un experto para cada tipo de actividad.
Fig. 2.9 Actividades que se realizan en forma consecutiva
Fig. 2.10 Actividades realizadas en forma simultánea o concurrente
En la fig iento, que se
puede utilizar para preparar el diagrama de este proyecto. Señala que cada experto,
. 2.11 se muestra la técnica conocida como escalonam
después de terminar una habitación, puede comenzar a trabajar la siguiente. Este
enfoque permite que el proyecto se termine en el tiempo más corto posible, al mismo
tiempo que se hace mejor uso de los recursos disponibles (los expertos).

Fig. 2.11 Actividades realizadas en escalonamiento
2.1.2 Red con activ
En el formato de actividad en el nodo, cada actividad esta representada por una
y la descripción de cada una se escribe dentro
trar cuáles actividades se deben de terminar
inado de 1) “Lavar el
idades en nodos
circulo (o cuadro) en el diagrama de red
del circulo, mediante la letra o carácter designado para ello. Cada una de las
actividades esta representada por un circulo y sólo por uno. Además a cada circulo se
le asigna un número de actividad único.
Las actividades tienen una relación de precedencia, es decir están vinculadas
en un orden de precedencia para mos
antes de iniciar otras. Las flechas que vinculan los círculos muestran las direcciones de
precedencia. No se puede iniciar una actividad hasta que se hayan terminado todas las
que preceden y que están vinculadas con ellas mediante flechas.
Ciertas actividades se tienen que hacer en un orden consecutivo. Por ejemplo,
en la fig. 2.12 se muestra que sólo después de que se haya term
automóvil”, se puede iniciar 2) “Secar automóvil”. Debe uno fijarse que se utilizo un
número para designar la actividad, por lo que en el diagrama se utilizará este número.
1 2
Fig. 2.12 Actividades en orden consecutivo
Algunas actividade ltánea. Por ejemplo: 1)
Obtener voluntarios y 2) Comprar materiales se pueden hacer al mismo tiempo, una vez
s se pueden realizar en forma simu
que se han terminado ambas se puede iniciar 3) Construir el puesto. En forma similar,
cuando se concluye 4) Pintar el puesto se puede iniciar y trabajar en forma simultánea
ambas actividades 5) Desmontar el puesto y 6) Limpiar. Ver fig. 2.13.

1 5
3 4
2 6
Fig. 2.13 Actividades en forma simultánea
2.1.3 Red con actividades en las fechas
En el formato de actividad en la flecha la actividad está representada por una
ón de la actividad se escribe encima de laflecha en el diagrama de red y la descripci
flecha o con el código designado para ello, tal y como lo muestra la fig. 2.14.
Lavar automóvil
1
Secar automóvil
ó bien
2
Fig. 2.14 Actividades en la flecha
Cada actividad esta representada por una flecha y sólo por una flecha. La cola
de la flecha señala el inicio de la actividad y la cabeza representa su terminación. El
emplo
mano o
largo y el alcance de la flecha de ninguna forma señalan la importancia de la actividad.
En la red con actividades en las flechas, las actividades están vinculadas por
círculos denominados eventos. Un evento representa la culminación de las actividades
que entran al mismo y el inicio de las que salen de él. Todos los diagramas utilizados
en el punto 2.1.1 de este capítulo, utilizaron este formato para su representación.
Se tienen que terminar todas las actividades que entran en un evento (círculo)
antes de poder iniciar cualquier otra actividad dependiendo de ese evento. Por ej
la fig. 2.13 mostrada en esta forma de representación, esta dada en la fig. 1.15
Las dos formas son correctas, aunque en no es práctico estar colocando la
descripción de las actividades del proyecto, en su caso si ya se codifico de ante
se le dio un carácter alfanumérico a cada una de las actividades, estos pueden
utilizarse para indicar la actividad.

1
Obtener voluntarios
Comprar materiales
Construir
el puesto
Pintar el
puesto
Desarmar
el puesto
Limpiar
5
3
6
4
2
Fig. 2.15 Formas correctas de presentar actividades en la flecha
.2 Análisis de redes de actividades
.2.1 CPM
ema a considerar no es posible ver cada uno de las técnicas por separado
están íntimamente relacionados entre si, tal y como se detalla en los
tos. En esencial, consiste en la representación del plan de un
2
2
2.2.2 PERT
En el t
ya que estos
siguientes párrafos.
El método de la ruta crítica es una técnica para la planeación y la dirección de
todo tipo de proyec
proyecto a través de un diagrama esquemático o red que bosqueja tanto la secuencia y
la interrelación de todas las partes componentes del proyecto, como el análisis lógico y
la manipulación de dicha red para determinar el mejor programa general de operación.
Es un método muy adecuado para utilizarse en cualquier tipo de proyecto, ya que
brinda un enfoque mucho más preciso y útil, que el de la gráfica de Gantt , por otra
parte, permite la evaluación pronta y la comparación de programas opcionales de
trabajo, de métodos de trabajo de tipos de equipo. Cuando el mejor plan para la
ejecución del proyecto se ha preparado de esta forma, el diagrama de la ruta crítica
indica con claridad las operaciones de campo que controlan la ejecución secuencial de
las tareas. Por último, a medida que avanza el proyecto, el diagrama suministra al

director del proyecto la información precisa acerca de los efectos de cada variación o
retraso en el plan adoptado, lo que permite la identificación de la operación que requiera
un pronto remedio.
Esta técnica, lamentablemente, recibió una variedad de nombres, en la que se
incluyen los de análisis de red, análisis de la ruta crítica, programación de la ruta crítica,
La técnica de la ruta crítica tuvo su origen entre 1956 y 1958 en dos problemas
en cuanto a la planeación y el control de proyectos en
ontrol de los contratos para el programa de cohetes Polaris. Estos
y estimación y programación de los costos mínimos, pero la designación de método de
la ruta crítica (abreviado como CPM por sus iniciales en inglés) es el más satisfactorio,
ya que no hay limitaciones implícitas en su uso. El método de la ruta crítica puede
emplearse no sólo para la planeación y el control proyectos, sino también para los
programas de investigación, los problemas de mantenimiento, la promoción de ventas, y
las operaciones relacionadas con la construcción en otras industrias.
Antecedentes históricos
paralelos, pero diferentes,
Estados Unidos.
En uno de los casos, la U.S. Navy (Marina de EE.UU.) pretendía resolver lo
concerniente al c
contratos incluían investigación y desarrollo, así como la manufactura de panes
componentes nunca antes fabricadas. Por esta razón, ni los costos ni los tiempos
podían estimarse con precisión, y la duración de los trabajos hasta su terminación tenía
que basarse en probabilidades. Se pidió a los contratistas que estimasen sus
necesidades operativas de tiempo sobre tres bases: la optimista, la pesimista, y la más
probable. Estas estimaciones, entonces, se evaluaron matemáticamente para
determinar la fecha de terminación probable de cada contrato, y el procedimiento se
conoció como técnica de evaluación y revisión del programa, nombre que se abrevió
como PERT (por sus iniciales en inglés). El costo no se consideró como una variable.
Posteriormente, se introdujeron también los costos (sobre la misma base de
probabilidades) y el sistema se denominó PERTCO (PERT más costos). Es importante
por lo tanto comprender que los sistemas PERT implican un "enfoque probabilístico" en
cuanto a los problemas de planeación y control de los proyectos, y son más adecuados
para los informes acerca de trabajos en los cuales existen grandes incertidumbres.

En el otro caso, la E. I. du Pont de Nemours Company construía plantas químicas
importantes en Estados Unidos. Estos proyectos requerían que tanto el tiempo como el
requerido para cada proceso del trabajo para
siderable en tiempos y costos de
costo se estimase con precisión. El método de planeación y control que se desarrolló se
denominó originalmente planeación y programación del proyecto (PPS por sus iniciales
en inglés) y abarcaba el diseño, la construcción, y el trabajo de mantenimiento
requeridos para varias tareas grandes y complejas. El método PPS requiere
estimaciones realistas de costo y tiempo, y es por tanto, un método más definitivo que
el PERT. Este es el método que desde entonces ha evolucionado hasta llegar al
método de la ruta crítica y que encuentra un uso cada vez mayor en la industria. A
pesar de que pueden existir algunas incertidumbres en cualquier proyecto de
construcción, el costo y el tiempo requeridos para cada operación implicada pueden
estimarse de manera razonable, lo que permite entonces revisar todas las operaciones
por el método de la ruta crítica de acuerdo con las condiciones previstas y los riesgos
que pueden encontrarse en el terreno.
Una red crítica totalmente desarrollada es un modelo matemático lógico del
proyecto, basado en el tiempo óptimo
lograr el uso menos costoso de los recursos disponibles (mano de obra, maquinaria,
equipo, finanzas, etc.). Se ha orientado, por lo tanto, a los problemas individuales de un
proyecto en particular, y puede ser tan detallado como se desee para adecuarse a las
situaciones y riesgos previsibles. Durante la ejecución del proyecto permite la revisión
sistemática de situaciones actuales a medida que se presentan, de forma que pueden
concederse tolerancias en cuanto a los efectos de incertidumbre en la planeación
original, a la vez que permite llevar a cabo una reevaluación de incertidumbres futuras y
las medidas iniciadas como remedio para dichas operaciones, y sólo para tales
operaciones, que requieren corrección o aceleración.
Es de hecho significativo que en donde el método de la ruta crítica se ha puesto
en funcionamiento, se ha logrado una reducción con
los proyectos. Su uso en Estados Unidos, en la industria de la construcción, ha llevado
a disminuir hasta el 20% en tiempo de los proyectos, con respecto a otros proyectos
análogos que no emplearon el método de la ruta crítica como instrumento de dirección.
Esto ha sido posible porque el diagrama de red muestra con claridad los procesos
cuyos tiempos de terminación son responsables de la determinación de la duración total

del proyecto completo; estas operaciones críticas deben mantenerse "puntuales
continuamente". En su conjunto forman un camino conectado de operaciones a lo largo
de la red; esta es la ruta crítica a lo largo del proyecto. Todas las demás operaciones
tienen alguna tolerancia en sus fechas de iniciación y de terminación, y pueden
arreglarse (dentro de ciertos límites) para armonizar los requerimientos de trabajo y
equipo.
El uso del método de la ruta crítica permite la planeación más económica de
todas las operaciones para cumplir con las fechas de terminación deseables. Sustituye
rentes grados de intervención por la
l camino crítico actual,
ión, ejecución y control de todas y cada una
al juicio basado en la experiencia (o método de prueba y error o tanteo) antes utilizado
para seleccionar los tiempos de operación, los tamaños de las cuadrillas de obreros, los
equipos, etc.; con el método de la ruta crítica es posible determinarse con certeza la
fecha de terminación del proyecto. Y por último proporciona un medio para evaluar el
efecto de todas las variaciones, como son las órdenes de cambio, los trabajos extra, o
las deducciones, sobre el tiempo de terminación y el costo de los trabajos. En el
pasado, no se contaba con la base racional para calcular dichos efectos, lo cual condujo
a muchas discusiones desagradables. En la actualidad, el tiempo y el costo de cada
cambio en relación con el plan óptimo original pueden determinarse de forma rápida en
cualquier momento del periodo de construcción.
Un punto importante que debe observarse es el de que el método de la ruta
crítica es un proceso abierto que permite dife
dirección, de acuerdo con sus distintas necesidades y objetivos.
Luego entonces podemos decir que los métodos CPM/PERT aportaron los
elementos administrativos necesarios para formar el método de
utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar
que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.
Después de haber mencionado todo lo anterior, ahora es posible definir los que
es el método del camino critico:
“El método de Camino Crítico es un proceso administrativo de
planeación, programac

de las actividades componentes de un proyecto que debe
desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo optimo”1
.
Al aplicar el método de la ruta crítica en la planeación de un proyecto y en los
problemas relacionados con la misma, es necesario en primer lugar, contar con una
estimación precisa del tiempo y del costo de cada una de las operaciones que
comprende el proyecto. En la práctica, esto significa sencillamente que las estimaciones
comunes de costo directo, basadas en el estudio pormenorizado de las cantidades, se
prepara en la forma habitual. Las operaciones componentes del proyecto pueden ser
los elementos reales de trabajo que aparecen en la cuenta, o bien, tales elementos
pueden dividirse (o combinarse) en operaciones y procesos más adecuados a los
trabajos determinados que se tienen en cuenta. De esta manera la descomposición del
proyecto en sus operaciones individuales puede ser tan simple o tan detallada como se
desee; el requerimiento esencial es el de que el costo directo de cada operación se
estime por separado.
Después de haber hecho la estimación del costo directo, se calcula el tiempo
normal para terminar cada operación, a partir del total de horas-hombre, del total de
horas de planta requeridas o ambos por el método actual. No hay ninguna novedad en
la preparación del costo normal y de los datos de tiempo para uso con el método de la
ruta crítica, salvo que sirvan para lograr que la división en operaciones es adecuada de
acuerdo con la magnitud y la naturaleza de los trabajos.
Después de completar y enumerar los costos normales y los datos de tiempo
para cada operación, no es difícil ni tardado el enumerar los costos bajo situaciones
distintas de lo normal. De esta manera, los datos de costo y de tiempo se preparan
teniendo en cuenta variaciones como las de más horas de trabajo, el cambio de turnos,
los tamaños de las cuadrillas de trabajadores, el uso de equipos opcionales, los
cambios en los método de trabajo, o cualesquiera otras variaciones o recursos que
pueden resultar viables para el proyecto. Al principio, este procedimiento puede parecer
tedioso, en particular cuando hay la posibilidad de variaciones numerosas; pero con
algo de práctica, y mediante la aceptación de un orden de aproximación razonable en
los cálculos, tales enumeraciones opcionales se preparan rápidamente.
1
Agustín Montaño, INICIACIÓN AL METODO DEL CAMINO CRÍTICO, Editorial Trillas, México 1998, Pag. 14.

El análisis matemático requiere calcular las fechas teóricas tempranas y tardías
para todas las actividades sin tener en cuenta cualquier limitación de los recursos
disponibles. Las fechas resultantes no son la programación, sino que mas bien indican los
periodos de tiempo el los que las actividades se deberían programar dadas las
limitaciones de recursos y de otros tipos conocidas. Las técnicas más comunes conocidas
son:
• Método de la Ruta Crítica (CPM)— calcula un solo juego determinístico de fechas
tempranas y tardías de comienzo y finalización para cada actividad, basada en una
lógica de red secuencial y solo una duración. El foco de CPM es calcular la holgura
para poder determinar que actividades tienen la menor flexibilidad de programación.
Los algoritmos inherentes a CPM son muchas veces usados en otros tipos de
análisis matemáticos.
• Técnica de Evaluación y Revisión de Programas (PERT)— usa lógica secuencial de
red y una distribución por pesos para la duración de las actividades para calcular la
duración del proyecto. Aunque existen algunas diferencias superficiales, PERT se
diferencia de CPM en que PERT usa la media de la distribución (el valor esperado)
en lugar del el valor más probable usado originalmente en CPM (véase la Fig. 2.16).
PERT se usa poco hoy día aunque muchas veces se usan estimados que se
asemejan a PERT en cálculos de CPM.
Alto
Probabilidad
Relativa de
Ocurrencia
Distribución Beta
Pesimista
Bajo
Más Corto Más Largo
Posibles Duraciones
Optimista
Más Probable
(Usada en los cálculos
CPM originales)
Peso Ponderado PERT =
Optimista + 4 x Más Probable + Pesimista
6
Fig. 2.16 Cálculo de duración PERT
Para nuestro caso, estaremos utilizando los tiempos determinísticos, los cuales
se vieron en el punto 1.3.4 de la unidad I de este libro.

Construcción del diagrama de red
Ahora veremos un ejemplo de la construcción del diagrama de red para el
siguiente proyecto: Los directivos de la fábrica de artículos de plásticos “Platisa” han
acordado ampliar su departamento de producción para satisfacer la creciente demanda
de sus productos. Hicieron un estudio de mercado y el resultado confirmó su mayor
demanda para años venideros. Se determinó el tiempo disponible para esta ampliación,
el cual es de 30 días, para llevarlo a cabo en el mes de agosto, por ser el mes con más
baja producción de año de acuerdo con datos estadísticos de la propia empresa.
Los empresarios determinaron la estructura de la división del trabajo de la figura
2.17, así como el responsable de la actividad.
Ampliación
de la fabrica
Mantenimiento
y Producción
Ing. Rubio
Ing. Ruíz
Electricidad
Ing. Torres
Contratista
Ing. Tellez
1 2 3
Fig. 2.17 Estructura de División de Trabajo para el proyecto de construcción
Las personas nombradas son: Ingeniero Rubio como el responsable del proyecto
de ampliación, el cual tiene bajo su responsabilidad a tres personas, las que tienen la
siguiente responsabilidad; Ing. G. Ruíz, Jefe de mantenimiento y producción ; Ing. A.
Torres, ingeniero electricista contratado para ejecutar la función eléctrica; Ing. Tellez
ingeniero civil contratado para realizarla base de las máquinas y trabajos adicionales
necesarios. Los cuatro ingenieros se reunieron con el fin de determinar la relación de
las actividades que habrían de ejecutarse, obteniéndose la siguiente información:
a. Jefes de mantenimiento y producción.
1. Elaboración del proyecto parcial de ampliación.
2. Calculo del costo y preparación de presupuestos.
3. Aprobación del proyecto.
4. Desempaque de las maquinas nuevas.
5. Colocación de las maquinas viejas y nuevas.
6. Instalación de las maquinas.

7. Pruebas generales.
8. Arranque general.
9. Revisión y limpieza de maquinas viejas.
10.Pintura de maquinas viejas.
11.Pintura y limpieza del edificio.
b. Ingeniero electricista.
12.Elaboración del proyecto eléctrico.
13.Calculo de los costos y presupuestos.
14.Aprobación del proyecto.
15.Instalación de un transformador nuevo.
16.Instalación de nuevo alumbrado.
17.Instalación de interruptores y arrancadores.
c. Ingeniero contratista.
18.Elaboración del proyecto de obra muerta.
19.Cálculo de los costos y presupuestos.
20.Aprobación del proyecto.
21.Cimentación de las máquinas.
22.Pisos nuevos.
23.Colocación de ventanas nuevas.
Una vez que se elaboraron las actividades a desarrollarse para el proyecto, se
realizó la matriz de responsabilidades, quedando como se ilustra en la tabla 2.1
Partida
de EDT
Partida de Trabajo
Ing.Rubio
Ing.Ruíz
Ing.Torres
Ing.Tellez
Javier
Héctor
Juan
Luis
A
1
2
3
4
5
6
7
8
Jefes de Mantenimiento y Producción
Elaboración del proyecto parcial de ampliación
Cálculo del costo y preparación del proyecto
Aprobación del proyecto
Desempaque de las máquinas nuevas
Colocación de las máquinas viejas y nuevas
Instalación de las máquinas
Pruebas generales
Arranque general
P
S
S
P
S
P
P
P
S S
P
P
P
P
S
S
S
S
S
S

Partida
de EDT
Partida de Trabajo
Ing.Rubio
Ing.Ruíz
Ing.Torres
Ing.Tellez
Javier
Héctor
Juan
Luis
9
10
11
B
12
13
14
15
16
17
C
18
19
20
21
22
23
Revisión y limpieza de máquinas viejas
Pintar las máquinas viejas
Pintar y limpiar el edificio
Ingeniero Electricista
Elaboración del proyecto eléctrico
Cálculo de los costos y presupuestos
Instalación de un transformador nuevo
Instalación del alumbrado nuevo
Instalación de interruptores y arrancadores
Ingeniero Contratista
Elaboración del proyecto de obra muerta
Cálculo de los costos y presupuestos
Cimentación de las máquinas
Colocación de pisos
Colocación de ventanas
P
P
P
P
P
P
P
S
S
P
P
P
P
P
P
S
P
P
Tabla 2.1 Matriz de responsabilidades para el proyecto de ampliación de la fabrica
La secuencia de actividades también la presentaron los responsables de las
actividades de acuerdo a la matriz de la tabla 2.1, previa junta. Por otra parte se
hicieron los estimados de los tiempos de ejecución (días) de cada una de las
actividades utilizando para ello la técnica de CPM, la cual no requiere de tiempos
probabilísticas, por lo que el tiempo dado es el que se considera como estándar para
cada una de las actividades, los datos resumidos se encuentran en la tabla 2.2.
En los casos del ingeniero electricista y del ingeniero contratista, se les pidió en
el contrato de ejecución de la obra tiempo que se iban a tardar en cada una de las
actividades, y en caso de incumplimiento se les impondrá una multa en base al tiempo
de retrazo (ver tema 1.3.4).

Actividad Secuencia Notas t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1, 12, 18
2
3
4, 9
5
6
7
8
---
10
11
---
13
14
15
16
17
6
19
20
21
2, 23
7
22
3, 14, 20 simultaneas
Final
---
3
1
0
2
6
4
6
0
7
2
12
3
1
0
3
6
2
3
1
0
6
4
3
Tabla 2.2 Matriz de secuencias y tiempos de ejecución
Como se puede observar en la tabla 2.2 las actividades 3, 8, 14 y 20 en la cual el
tiempo de ejecución es de cero, las cuales se refieren a la aprobación del proyecto tanto
en las actividades 3, 14 y 20, esto es debido a que el tiempo de aprobación es pequeño
y no influye en la secuencia pero si se tienen que aprobar para continuar el proyecto,
por otra parte la actividad 8 es donde inicia el arranque de la ampliación de la planta
que es donde finaliza el proyecto.
Ahora procederemos a dibujar la red, teniendo en cuenta los conceptos vistos en
el punto 2.1.1 de este libro. Se sugiere usar papel milimétrico o cuadriculado indicando
en la parte superior la escala con las unidades de tiempo elegidas, en nuestro caso en
días, en un intervalo razonable para la ejecución de todo el proyecto. Como en este

momento no se conoce la duración del mismo, ya que uno de los objetivos de la red es
conocerlo, este intervalo sólo es aproximado.
1 62 73 84 95 10
Fig. 2.18 Escala de tiempo para el proyecto (días)
A continuación se inicia la red dibujando las actividades que parten del evento
cero (inicio del proyecto). Cada una de ellas debe dibujarse de tal manera que el evento
j termine, de acuerdo con la duración, en el tiempo indicado en la escala superior. En la
Figura 2.19 se muestran las actividades iniciales del proyecto las cuales corresponden a
las actividades 1, 12 y 18, cada una con un tiempo de duración de tres días.
1
1
0 2
12
18
3 4 5
Fig. 2.19 Actividades iniciales del proyecto
A continuación no debe tomarse la numeración progresiva de la matriz de
secuencias para dibujar la red, sino las terminales de las actividades, de arriba hacia
abajo y de izquierda a derecha, según vayan apareciendo los eventos j.
En el caso anterior buscamos las secuencias de la actividad 1, después de la 12
y al último de la 18. En su orden, buscamos las secuencias de la 2, de la 13 y de la 19.
Si una actividad tiene cero de duración se dibuja verticalmente, ya sea ascendente o
descendente, de tal manera que no ocupe tiempo dentro de la red.
1
1 2
13
19
0 2
12
18
3 4 5
Fig. 2.20 Secuencia de las actividades iniciales

Rigurosamente, una actividad no puede tener tiempo de duración cero, ya que no
existiría; sin embargo, algunas actividades tienen tan escasa duración que ésta es
despreciable y no es conveniente que se considere una unidad de tiempo. Por ejemplo,
si la unidad con la que se trabaja de un día y la duración de la actividad es de cinco o
diez minutos, no hay razón para que esta actividad tenga asignado un día de trabajo.
En el caso que se desarrolla, la aprobación de los presupuestos se supone que tomarán
de media hora a una hora para su ejecución; pero como la unidad tomada en el
proyecto es de un día, el tiempo de ejecución se considera cero.
De acuerdo con las anotaciones de la matriz de secuencias las actividades 3, 14
y 20 deben ser simultáneas, por lo que necesitamos un evento común para terminar las
tres. Por necesidad de construcción, la actividad 14 quedará solamente indicada con el
número en forma paralela a la actividad 3, que también tiene duración cero. También
puede aparecer paralela a la actividad 20.
1
1 2
13
19
14 20
3
0 2
12
A
Detalle A
18
3 4 5
Fig. 2.21 Secuencia de las actividades simultáneas
En este tipo de red no hay necesidad de indicar las actividades con flechas, sino
sólo con líneas, excepto las ligas que indicarán la dirección de la continuidad.
Para seguir con el dibujo de la red, se debe recordar que al evento común
convergen las actividades 3, 14 y 20 y por lo tanto debemos buscar las secuencias a

estas tres actividades, que partirán lógicamente del mismo evento (ver Fig. 2.22).
Continuamos alargando las terminales 15, 4, 21 y 9, en este orden precisamente, de
acuerdo con el método adoptado
1
1 2
13
19
14 20
3
15
4
21
9
0 2
12
18
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Fig. 2.22 Secuencia de las actividades 3, 13 y 20
Siguiendo el mismo procedimiento encontramos que después de la actividad 15
sigue la 16 con duración de seis días; después de la actividad 4 sigue la 5 con duración
de seis días (ver Fig. 2.23); después de la actividad 21 sigue la 23 con duración de tres
días y también la 5 con duración de seis días; y después de la actividad 9 sigue la 10
con duración de dos días.
15 16
54
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Fig. 2.23 Secuencia de las actividades 15 y 4
Cuando una actividad es secuencia de dos o más actividades anteriores, debe
colocarse en la red a continuación de la actividad antecedente más adelantada.
Por ello es conveniente hacer la red con lápiz para poder borrar las actividades y
cambiarlas fácilmente de lugar. De esta manera, hay que modificar el diagrama de la
figura 2.23, ya que la actividad 5 es posterior a la 4 y a la 21; la quitamos del lugar que
termina en fecha anterior y la colocamos después de la 21 que aparece en fecha más
adelantada. Sin embargo, para que no se pierda la secuencia de la 4 con la 5 se coloca
una liga entre las dos (ver Fig. 2.24).
Buscamos la continuación de las terminales de las actividades 16, 5, 23 y 10,
encontrando que son respectivamente la 17 con dos días; la 6 con cuatro días; la 22
con cuatro días y la 11 con doce días (ver Fig. 2.25).

15
4
21 5
9
23
10
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Fig. 2.24 Secuencia de las actividades 15, 4, 21 y 9
15
4
21 5
17
20
11
22
9
23
10
4 5 6 7 8 9 10 11 17 2312 18 2413 19 2514 20 2615 21 2216
Fig. 2.25 Secuencia de las actividades 16, 5, 23 y 10
Las actividades secuentes a la 17, 6, 22 y 11 son respectivamente la 6 con
cuatro días; la 7 con seis días y ninguna para la 11, por lo que en la red sólo colocamos
una liga entre la terminación de la 17 y la iniciación de la 6 para indicar continuidad y
otra entre la terminación de la 22 y la iniciación de la 7 con el mismo objeto de
continuidad. Ahora colocamos la secuencia de la 6 solamente, pues ya hemos visto que
la 11 es final de proceso. La secuencia de la actividad 6 es la 7 con seis días y la
secuencia de la actividad 7 es la 8 con duración de cero. No existiendo ninguna otra
actividad posterior a las terminales de la red, debe considerarse que se ha terminado
con el proyecto, por lo que la duración del mismo es de 26 días.
En virtud de que no deben dejarse eventos sueltos, se pone una liga entre la
terminal de la 11 y el evento final del proyecto, quedando toda la red como se muestra
en la Fig. 2.26.
Al analizar la Fig. 2.26 se pueden observar las siguientes particularidades:
a) Las Las actividades que tienen duración cero se indican en forma vertical, bien
sea ascendente o descendente, como las correspondientes a las actividades 3,
20 y 8.
b) La actividad 14 con duración cero no aparece dibujada en la red por razones de
construcción y sólo se indica junto con la actividad 20 que tiene las mismas
características.

c) Las actividades que son secuentes a dos o más actividades anteriores aparecen
dibujadas a continuación de la antecedente que tenga en su evento final la fecha
más alta. Como la actividad 5 que es secuente de las actividades 4 y 21. La 4
termina al día 6 y la 21 termina el día 10. La actividad 7 es secuencia de las
actividades 6 y 22 y está colocada enfrente de la que tiene la fecha más alta al
terminar, o sea la actividad 6. Esta misma actividad 6 es posterior a las
actividades 17 y 5 y está colocada a continuación de la 5 por la razón ya dada.
d) Las ligas que aparecen en la gráfica significan lo siguiente: la actividad 5 es
continuación de la 4; la 6 es continuación de la 17; la 7 continúa de la 22 y la 11
acabará al concluir el proyecto.
0 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 265 6
1
12
18 19
20
4
21
9 10
23 22
11
8
765
17
14
13
15 16
3
2
Fig. 2.26 Red del proyecto en su totalidad.
La red anterior se puede dibujar con colores para indicar diferentes
responsabilidades: por ejemplo, la responsabilidad del ingeniero electricista se dibuja en
rojo, la del ingeniero civil con verde y la del ingeniero de planta con azul.
2.3 Cálculos de la ruta crítica
2.3.1 Determinación de la Ruta Crítica
Una vez que se ha realizado el diagrama de flechas para la construcción de un
proyecto queda clasificar las actividades en dos tipos: las que afectan y las que no
afectan la duración del proyecto; entonces, a cada actividad se le puede dar el
calificativo de “crítica”, o de “no crítica”, el primer paso para el control efectivo del

proyecto es la identificación de las cadenas de actividades críticas como la Ruta Crítica
dentro de la red, ya que estas cadenas determinan la duración del proyecto. El
determinar que tan cerca de ser críticas están las actividades y cadenas de actividades
no críticas permite llevar a cabo una programación efectiva del resto del proyecto.
Dado que es esencial contar con un diagrama de flechas para determinar la
duración del proyecto y las rutas críticas, los cálculos se llevan a cabo con más
facilidad sobre la misma red, ya que basta sumar las duraciones de determinadas
actividades individuales.
Aplicando lo anteriormente descrito a nuestro diagrama final de la Fig. 2.26
podemos darnos cuenta que existen dos rutas críticas las cuales son:
1) La ruta formada por las actividades: 12, 13 21, 5, 6, 7 y 8, las cuales tienen un
tiempo de 3, 1, 6, 6, 4, 6, 0, las que al sumar nos dan 26 días de duración del
proyecto.
2) La ruta formada por las actividades:18, 19, 20, 21, 5, 6, 7 y 8, las cuales tienen
un tiempo de 3, 1, 0, 6, 6, 4, 6, 0, las que al sumar nos dan 26 días de duración
del proyecto.
En la Fig. 2.27 se presenta las dos rutas críticas anteriores marcadas con línea
más gruesa. Para cada una de las rutas anteriores se dicen que son críticas, debido a
que cualquier atraso en la ejecución de las actividades en esa ruta hace que el proyecto
se desfase, es decir que termine en un tiempo mayor al programado.
0 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 265 6
1
12
18 19
20
4
21
9 10
23 22
11
8
765
17
14
13
15 16
3
2
Fig. 2.27 Rutas críticas del proyecto.

2.3.2 Determinación de las holguras
Aunque las actividades críticas deben terminarse tan pronto como sea posible,
para evitar que el proyecto prolongue su duración, esto no es aplicable en el caso de las
actividades no críticas, ya que éstas cuentas con más tiempo para su terminación que
el estrictamente necesario. De esta manera, sus tiempos de iniciación y de terminación
limitados, por supuesto, por los tiempos de iniciación y terminación de sus eventos,
pueden alterarse sin afectar su duración del proyecto; estas actividades y cadenas no
críticas tienen una holgura dentro de los tiempos disponibles para su ejecución.
El tiempo de holgura lo podemos definir entonces como el tiempo máximo de
retraso que puede experimentar una actividad sin que se retrase el proyecto completo.
Entonces una vez que se tiene la duración estimada para cada actividad ne la
red y una ventana del tiempo global en la que se debe terminar el proyecto, es
necesario determinar (sobre la base de las duraciones y el orden de precedencias), si
es posible realizar las actividades en el tiempo de terminación requerido. Para decidir
esto, se puede calcular un programa del proyecto que proporcione una tabla de tiempos
para cada actividad y que muestre:
1. Los tiempos (o fechas) más tempranos en que se puede iniciar y terminar cada
actividad, sobre la base del tiempo (o fecha) de inicio estimado del proyecto.
2. Los tiempos (fechas) más tardíos en que se tiene que iniciar cada actividad con
el fin de completar el proyecto en el tiempo (fecha) de terminación requerido.
Tiempos de inicio y terminación más tempranos
Conociendo la duración estimada para cada actividad en la red y utilizando como
referencia el tiempo estimado de inicio del proyecto, se pueden calcular los dos tiempos
siguientes para cada actividad:
1. El tiempo de inicio más temprano (ES por sus siglas en inglés, Earliest Star
Time) es lo más pronto en que se puede iniciar una actividad en particular, y
calculada sobre la base del tiempo de inicio estimado del proyecto y de las
duraciones estimadas para las actividades precedentes.
2. El tiempo de terminación más temprano (EF, por sus siglas en ingles, Earliest
Finish Time) es lo más pronto en que se puede terminar una actividad en

particular, y calculada sumando la duración estimada de la actividad al tiempo de
inicio más temprana de la misma.
EF=ES + duración estimada
Los tiempos EF y ES se determinan calculando hacia delante, es decir,
trabajando a través del diagrama de red desde el inicio del proyecto hasta el final del
mismo, la tabla 2.3 muestra estos valores.
Tiempos de inicio y terminación más tardíos
Conociendo la duración estimada para cada actividad en la red y usando como
referencia el tiempo de terminación requerido del proyecto, se pueden calcular los dos
tiempos siguientes para cada actividad:
1. El tiempo de terminación más tardío (LF) es lo más tarde que se puede
completar una actividad en particular para que todo el proyecto se concluya en la
fecha acordada, y se calcula sobre la base del tiempo de terminación requerido
del proyecto y la duración estimada para actividades sucesivas.
2. El tiempo de inicio más tardío (LS) es la fecha más tardía en que se puede
iniciar una actividad en particular para que todo el proyecto se complete en su
fecha de terminación requerida, y se calcula restando la duración estimada de la
actividad, del tiempo de terminación más tardío:
LS=LF – duración estimada
Los tiempos LS y LF se determinan calculando hacia atrás, es decir trabajando a
través del diagrama de red desde el final del proyecto hasta el inicio del mismo, la tabla
2.3 muestra estos cálculos.
Al igual que los tiempos de inicio y terminación más tempranos, los tiempos de
inicio y terminación más tardíos por lo general no aparecen en el propio diagrama de
red, sino más bien en una tabla de programas por separado (ver tabla 2.3).
Holgura
La diferencia entre la fecha de inicio más temprana y la fecha de inicio más tardía
es la holgura, o bien la diferencia entre la fecha de terminación más temprana y la fecha
de terminación más tardía.
Holgura = LS – ES ó bien Holgura = LF - EF

Fecha más temprana Fecha más tardíaActividad
i
Duración
ti (ES) de inicio (EF) de term. (LS) de inicio (LF) de term.
Holgura
1 3 0 3 1 4 1
2 1 3 4 4 5 1
3 0 4 4 5 5 1
4 2 4 6 8 10 4
5 6 10 16 10 16 0
6 4 16 20 16 20 0
7 6 20 26 20 26 0
8 0 26 26 26 26 0
9 7 4 11 5 12 1
10 2 11 13 12 14 1
11 12 13 25 14 26 1
12 3 0 3 0 3 0
13 1 3 4 3 4 0
14 0 4 4 5 5 1
15 3 4 7 5 8 1
16 6 7 13 8 14 1
17 2 13 15 14 16 1
18 3 0 3 0 3 0
19 1 3 4 3 4 0
20 0 4 4 4 4 0
21 6 4 10 4 10 0
22 4 13 17 16 20 3
23 3 10 13 13 16 3
Tabla 2.3 Holgura del proyecto para cada una de las actividades.
También en la tabla anterior se puede notar que las actividades que no tienen
holgura, son precisamente aquellas actividades que se encuentran en la ruta crítica, y
las actividades no críticas son aquellas que tienen una holgura mayor a cero.
En la Fig. 2.27 que en forma normal requiere 26 días para su terminación, lo que
corresponde a las actividades que se encuentran en la ruta crítica descrita en el punto
anterior de este capítulo, pero como se aprecia en la gráfica, la actividad 15, 16 ó 17 se
puede atrasar cualquiera de ellas un día sin que afecta la duración del proyecto, que es
precisamente la liga que se encuentra de la actividad 17 a la actividad 6.
Entonces podemos decir que en donde existen ligas que van de izquierda a
derecha, representan las holguras (o los atrasos) que se pueden dar en las actividades,
sin que afecte a la duración normal del proyecto. Así también en la Fig. 2.27 se tiene
una holgura de 4 días en la actividad 4 la cual se puede iniciar al inicio del día 5 ó hasta
el inicio del día 9 sin que se vea afectada la duración del proyecto. En forma análoga la

actividad 23 ó la 22 pueden sufrir un retraso de 3 días (que representa la holgura)
cualquiera de ellas. De la misma manera la actividad 9, 10 ó la 11 se puede retrasar 1
día cualquiera de ellas.
En otras palabras, el tiempo de holgura total disponible para la cadena de
actividades puede usarse una sola vez. Puede consumirse en forma parcial por cada
actividad, si así se desea, pero no puede usarse por separado por ambas, ya que sólo
hay disponible un periodo total.
2.4 Probabilidad de cumplimiento de la programación del proyecto
Recuérdese que la duración estimada para cada actividad es el tiempo total
estimado que transcurre desde el momento en que se inicia la actividad hasta el
momento en que se termina. Con los proyectos que tienen un alto grado de
incertidumbre sobre la duración estimada de la actividad, PERT aborda este problema
al emplear tres estimados de la duración para cada actividad:
1. El tiempo optimista (to) es el tiempo en que se puede completar una actividad en
particular, si todo va perfectamente y no hay complicaciones. Una regla práctica
es que sólo debe existir una posibilidad en diez de terminar la actividad en
menos tiempo que el tiempo estimado optimista.
2. El tiempo más probable (tm) es aquel en que se completará con más frecuencia
una actividad en particular bajo condiciones normales. Si una actividad se ha
repetido muchas veces, la duración real que ocurra con más frecuencia se puede
usar como el tiempo estimado más probable.
3. El tiempo pesimista (tp) es el tiempo en que se puede terminar una actividad en
particular bajo circunstancias adversas, como la presencia de complicaciones
inusuales o imprevistas. Una regla práctica es que debe existir sólo una
posibilidad en diez de completar la actividad en un tiempo mayor al tiempo
estimado pesimista.
Establecer estas tres evaluaciones de tiempo hace posible tomar en cuenta la
incertidumbre al estimar cuánto durará una actividad. El tiempo más probable tiene que

ser mayor o igual al optimista y el pesimista tiene que ser mayor o igual al más
probable.
No es necesario hacer tres estimados para cada actividad. Si alguien tiene
amplia experiencia o información sobre cuánto tiempo se requirió para realizar
actividades muy parecidas en proyectos ya terminados, quizá sea preferible hacer sólo
un estimado sobre cuánto tiempo se espera que requiera una actividad (como se
estudió en la unidad anterior). Sin embargo, el usar los tres tiempos estimados (to, tm y
tp ) puede ser útil cuando hay un alto grado de incertidumbre sobre cuánto tiempo
puede requerir una actividad.
En la planeación en red, cuando se usan los tres tiempos estimados para cada
actividad, se supone que los tres siguen una distribución de probabilidades beta.
Con base en esta suposición es posible calcular una duración esperada, te (también
conocida como media o promedio), para cada actividad a partir de los tres estimados de
tiempo. La duración esperada se calcula usando la fórmula siguiente:
6
4 pmo
e
ttt
t
++
=
Supóngase que el tiempo optimista para una actividad es de 1 semana, el más
probable es de 5 y el pesimista es de 15. En la Fig. 2.28 se muestra la distribución de
probabilidad beta para esta actividad. La duración esperada para ésta es:
6
6
15)5(41
=
++
=et
1 5 156
tp
te
to tm
Tiempo estimado
Probabilidad
Fig. 2.28 Distribución de probabilidades beta

Supóngase que el tiempo optimista para otra actividad es de 10 semanas, el más
probable es de 15 y el pesimista de 20. En la Fig. 2.29, se muestra la distribución de
probabilidad beta para esta actividad. La duración esperada para ésta es:
15
6
20)15(410
=
++
=et
10 2015
tp
te
to tm
Tiempo estimado
Probabilidad
Fig. 2.29 Distribución de probabilidades beta
Como coincidencia , esto resulta lo mismo que el estimado más probable.
Las crestas de las curvas en las figuras 2.28 y 2.29 representan los tiempos más
probables para sus actividades respectivas. La duración estimada te divide el área total
bajo la curva de probabilidad beta en dos partes iguales. En otras palabras, el 50% del
área bajo cualquier curva de probabilidad beta estará a la izquierda de te y el 50%
estará a la derecha. Por ejemplo, en la figura 2.28, se muestra que el 50% del área bajo
la curva está a la izquierda de 6 semanas y el otro 50% del área está a la derecha de 6
semanas. Por lo tanto, existe una posibilidad del 50% de que una actividad requerirá
más o menos tiempo de su duración estimada. Dicho de otra forma, hay una
probabilidad de 0.5 de que una actividad necesite más tiempo que te y una probabilidad
de 0.5 que requiera menos tiempo que te. En la figura 2.28, hay una posibilidad del 50%
de que la actividad tome realmente más de 6 semanas y una probabilidad del 50% de
que requiera menos de 6.
Se supone que, según progresa un proyecto, algunas actividades requerirán
menos tiempo que su duración esperada y algunas actividades necesitarán más. Se
supone, además, que cuando todo el proyecto esté terminado, la diferencia neta total
entre todas las duraciones esperadas y todas las duraciones reales será mínima.

Fundamentos de probabilidad
La planeación de red en la que se usan tres estimados de tiempo para cada
actividad se puede considerar una técnica estocástica o probabilística, puesto que toma
en cuenta la incertidumbre en la duración de la actividad al incorporar tres estimados
que se supone se distribuirán de acuerdo a la distribución de probabilidad beta.
Cualquier técnica que use sólo un estimado de tiempo se considera que es una técnica
determinista. Puesto que se supone que los tres tiempos estimados para cada actividad
siguen una distribución de probabilidad beta, es posible calcular la probabilidad, o
posibilidad, de que en realidad se complete el proyecto antes de su fecha de
terminación requerida. Si sólo se usa un tiempo estimado para cada actividad, no se
pueden hacer estos cálculos.
Cuando se usan los tres tiempos estimados, todas las actividades en la ruta
crítica del diagrama de red se pueden integrar para obtener una distribución de
probabilidad total. El teorema central del límite de la teoría de la probabilidad expresa
que esta distribución total de probabilidad no es una distribución de probabilidad beta
sino una distribución normal de probabilidad, que tiene forma de campana y es
simétrica alrededor de su valor medio. Además, esta distribución de probabilidad total
tiene una duración esperada que es igual a la suma de las duraciones esperadas de
todas las actividades que integran la distribución total, y una varianza que es igual a la
suma de las varianzas de todas las actividades que integran la distribución total.
La varianza de la distribución de probabilidad beta de una actividad se determina
con la fórmula siguiente:
2
2
6 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
==
op tt
Varianza σ
Obsérvese que la varianza de la distribución normal es la suma de las varianzas
de la distribución beta.
Mientras que la duración esperada (que divide el área bajo una distribución de
probabilidad en dos partes iguales) es una medida de la tendencia central de una
distribución, la varianza es una medida de la dispersión, o variación, de una distribución
de su valor esperado. La desviación estándar, σ, es otra medida de la dispersión de
una distribución y es igual a la raíz cuadrada de la varianza. La desviación estándar
proporciona una mejor representación visual de la desviación de una distribución de su

media, o valor esperado, que la variación. En el caso de una distribución normal (véase
figura 2.30), el área dentro de una desviación estándar de la media (a ambos lados)
incluye aproximadamente el 68% del área total bajo la curva, el área dentro de dos
desviaciones estándar incluye aproximadamente el 95% del área total bajo la curva y el
área dentro de tres desviaciones estándar incluye alrededor del 99% del área total bajo
la curva.
Fig. 2.30 Distribución normal de probabilidad
Como se observó antes, la desviación estándar es una medida de la dispersión
de una distribución. En la figura 2.31, se muestran dos distribuciones normales. La
distribución en (a) de la figura 2.31 está más extendida y por lo tanto tiene una
desviación mayor que en (b). Sin embargo, en ambas el 68% del área bajo la curva está
incluido dentro de una desviación estándar de la media.
Fig. 2.31 Distribución normales de probabilidad
La distribución de probabilidad total de las actividades incluidas en la ruta crítica
de un diagrama de red es una distribución normal, con una media igual a la suma de las

duraciones esperadas de la actividad individual y una varianza igual a la suma de las
varianzas de la actividad individual. Obsérvese la red sencilla en la figura 2.32.
Supóngase que el proyecto se puede iniciar en el tiempo 0 y tiene que completarse para
el día 42. En la figura 2.33, se muestran las distribuciones de probabilidad para las
actividades en la figura 2.32.
Actividad to tm tp te
A 2 4 6 4
B 5 13 15 12
C 20 18 35 20
Total 20 35 56 36
La duración esperada para cada actividad es como sigue:
Actividad A días4
6
6)4(42
=
++
=et
Actividad B días12
6
15)13(45
=
++
=et
Actividad C días20
6
35)18(413
=
++
=et
Total = 36 días
Si se suman las tres distribuciones, se obtiene una media total, o sea, tp total:
Total días36
6
56)35(420
=
++
=et
Este resultado es el mismo que la suma de las tres duraciones individuales
calculadas previamente: 4+12+20 = 36 días. En (d) de la Fig. 2.33, aparece la
distribución de probabilidad total. La duración total esperada para la ruta 1-2-3-4 es de
36 días. Por lo tanto, el proyecto tiene el tiempo de terminación esperado más temprano
del día 36. como se afirmó anteriormente, el proyecto tiene un tiempo de terminación
requerido del día 42.
1
12 204
2 3
A B C
2-4-6 5-13-15 13-18-35
4
Fig. 2.32 Distribución de probabilidad normales

Fig. 2.33 Distribuciones de probabilidad
La distribución total tiene un tiempo medio transcurrido igual a la suma de las tres
medias individuales, o duraciones esperadas. Hay una probabilidad de 0.5 de que el
proyecto se cumpla antes del día 36 y una probabilidad de 0.5 de que se termine
después.
Para el ejemplo de la fig. 2.32, las varianzas para las distribuciones beta de las
tres actividades son las siguientes:
Actividad A 444.0
6
26
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=σ
Actividad B 778.2
6
515
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=σ
Actividad C 444.13
6
1335
2
2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=σ
Total = 16.666
La varianza para la distribución total, que es una distribución de probabilidades
normal, es la suma de las tres varianzas individuales, o sea, 16.666. La desviación
estándar, σ, de la distribución total es:
días08.4666.16estandarDesviación 2
==== σσ

En la fig. 2.34, al igual que en (d) de la figura 2.33, se muestra la curva de la
probabilidad total, junto con las desviaciones estándar.
Fig. 2.33 Distribuciones de probabilidad
La fig. 2.34 es una curva normal, por lo que el 68% de su área total está
contenida dentro de ±1σ (desviación estándar) de te, o entre 31.92 y 40.08 días; el 95%
de su área está entre 27.84 y 44.16 días, y el 99% de su área está entre 23.76 y 48.24
días. Esta distribución de probabilidad se puede interpretar en la forma siguiente:
• Hay una posibilidad del 99% (probabilidad de 0.99) de terminar el provecto entre
23.76 y 48.24 días.
• Hay una posibilidad del 95% (probabilidad de 0.95) de terminar el proyecto entre
27.84 y 44.16 días.
• Hay una posibilidad del 47.5% (probabilidad de 0.475) de terminar el proyecto entre
27.84 y 36 días.
36 y 44.16 días.
31.92 y 40.08 días.
31.92 y 36 días.
• Hay una posibilidad del 34% (probabilidad de 0.34) de terminar el proyecto entre 36
y 40.08 días.
27.84 y 31.92 días.

40.08 y 44.16 días.
• Hay una posibilidad del 0.5% (probabilidad de 0.005) de terminar el proyecto antes
de 23.76 días.
• Hay una posibilidad del 0.5% (probabilidad de 0.005) de terminar el proyecto
después de 48.24 días.
Por lo tanto, se puede afirmar que la razón del área bajo ciertas partes de la
curva normal al área total bajo la curva está relacionada con la probabilidad.
Cálculo de la probabilidad
El tiempo de terminación más temprano esperado para un proyecto está
determinado por la ruta crítica a través del diagrama de red. Es igual al tiempo de inicio
programado del proyecto más la suma de las duraciones esperadas de las actividades
en la ruta crítica que conduce del inicio del proyecto a la terminación del mismo. Como
se expresó antes, la probabilidad de completar realmente un proyecto antes de su
tiempo de terminación más temprano esperado es de 0.5, puesto que la mitad del área
bajo la curva de distribución normal se encuentra a la izquierda de este tiempo
esperado; la probabilidad de completar un proyecto después de su tiempo de
terminación más temprano esperado es de 0.5, puesto que la mitad del área bajo la
curva de distribución normal se encuentra a la derecha de este tiempo esperado. El
conocimiento del tiempo de terminación requerido para un proyecto hace viable calcular
la probabilidad de que realmente se complete el proyecto antes de este tiempo.
Para encontrar la probabilidad de completar un proyecto antes de su tiempo de
terminación requerido, se usa la fórmula siguiente:
t
EFLF
Z
σ
−
=
Los elementos en esta fórmula son:
• LF es el tiempo de terminación requerido (la terminación más tardía) para el
proyecto.
• EF es el tiempo de terminación más temprano esperado para el proyecto (la media
de la distribución normal).

• σt es la desviación estándar de la distribución total de las actividades en la ruta más
larga (la que requiere más tiempo) que conduce a la terminación del proyecto.
En la ecuación anterior, Z mide el número de desviaciones estándar entre EF y
LF en la curva de probabilidad normal. Este valor Z se tiene que convertir a un número
que dé la proporción del área bajo la curva normal que se encuentra entre EF y LF.
Puesto que el área total bajo una curva normal es igual a 1.0, la probabilidad de
completar el proyecto antes de su tiempo de terminación requerido es igual a la
proporción del área bajo la curva que esté a la izquierda de LF.
El tiempo de terminación más temprano (EF) esperado para la red sencilla de
tres actividades en la figura 2.32 se calculó que era de 36 días. Recuérdese que el
tiempo de terminación requerido (LF) para el proyecto es de 42 días, o sea 6 días más
tarde que el (EF). En la figura 2.34, se muestra la curva normal para el proyecto, siendo
EF = 36 días y LF = 42 días.
Fig. 2.34 Distribución normal de probabilidad para el proyecto o muestra
La proporción del área bajo la curva a la izquierda de LF es igual a la
probabilidad de terminar el proyecto antes de 42 días. EF divide el área bajo la curva en
dos partes iguales, cada una de ellas conteniendo la mitad, por lo que la proporción del
área a la izquierda de EF es 0.5. Ahora se tiene que encontrar la proporción del área
entre EF y LF y añadir esto a 0.5 para obtener la proporción del área total a la izquierda
de LF. Utilizando la ecuación anterior para encontrar la proporción del área entre EF y
LF, se puede calcular Z:
47.1
08.4
3642
=
−
=
−
=
t
EFLF
Z
σ

El valor de Z=1.47 señala que hay 1.47 desviaciones estándar (1 desviación
estándar es 4.08 días) entre EF y LF. Sin embargo, el valor Z no da directamente la
proporción del área bajo la curva entre EF y LF. Para encontrar esta área, se tiene que
convertir el valor Z a un número que dé el área directamente, usando la tabla del área
bajo la curva de la distribución normal nos da un valor de 0.42922. Este número señala
que la probabilidad de realmente completar el proyecto entre EF y LF, o de 36 a 42
días, es de 0.42922; por lo tanto existe una posibilidad del 42.922%. sin embargo,
puesto que el interés es encontrar la probabilidad de completar realmente el proyecto
en algún momento antes de los 42 días, se tiene que añadir la probabilidad de terminar
antes de 36 días. Esto significa que la probabilidad de concluir el proyecto antes de 42
días es igual a la probabilidad de acabar antes de 36 días, más la probabilidad de
terminar entre 36 y 42 días.
0.50000+0.42922 = 0.92922
La probabilidad de completar el proyecto antes de su tiempo de terminación
requerido de 42 días; hay una probabilidad de 92.922%.
Resumiendo si cada actividad del diagrama de red para un proyecto tiene tres
estimados de tiempos (optimista, más probable y pesimista), es posible calcular la
probabilidad de que realmente se complete el proyecto antes de su tiempo de
terminación requerido usando los métodos estudiados anteriormente. Sin embargo, hay
que tener cuidado al interpretar esta probabilidad, en especial cuando hay varias rutas
que son casi tan largas como la ruta crítica. Si las desviaciones estándar de estas rutas
alternativas son muy diferentes a las de la ruta crítica, la probabilidad de que el proyecto
se termine realmente antes de su tiempo de terminación requerido quizá sea menor
cuando se usan estas rutas en los cálculos de probabilidad que cuando se usa la ruta
crítica. Con frecuencia esta discrepancia sólo se presenta cuando dos o más rutas que
son iguales o casi iguales en longitud conducen a la terminación del proyecto.
Preguntas y Ejercicios adicionales
1.- ¿Por qué los proyectos serán tan importantes en el fututo? ¿Cuál será la tendencia
probable en el promedio de duración del proyecto?

2.- ¿Qué se entiende por ruta crítica en una red? ¿Cómo se identifica? ¿Cómo se
identifican las rutas que están cerca de ser críticas?.
3.- Determinar la duración del siguiente proyecto y señalar su camino crítico.
Actividad Secuencia t
0 1 ---
1 2, 3, 4 2
2 5 4
3 6, 7 6
4 8 3
5 9 4
6 9, 10 5
7 11 3
8 11 6
9 --- 2
10 --- 3
11 --- 3
0 1, 2 ---
1 3, 4 2
2 5, 9, 10 4
3 7 6
4 6, 7 3
5 7 4
6 --- 5
7 --- 3
8 --- 6
9 8 2
10 11 3
11 --- 3
5.- Un proyecto consta de 10 actividades. Empleando la información de la tabla
siguiente, elaborar un diagrama de red PERT para representar el proyecto. ¿Cuál es la
duración estimada del proyecto?.
Tiempo (días)
Actividad
Pesimista Probable Optimista
Actividad
precedente
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
10
2
3
20
31
15
20
6
4
5
6
1
2
18
26
12
15
5
2
3
5
1
1
17
21
10
13
4
2
2
---
---
A
A
B
C, D, E
D, E
B
G
E, H, I

6.- Hitech Controls Inc. Comenzó un proyecto para desarrollar un controlador neural
inteligente para robots marinos. La fase de desarrollo del prototipo se ha subdividido en
13 actividades que se muestran a continuación, determinar cuánto tiempo requiere el
proyecto ¿qué actividades son críticas? ¿por qué son críticas?.
Tiempo estimado
Código Actividad
Actividad
precedente tp tm to
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
Búsqueda preliminar de tecnología
Aprobación de fondos y mano de obra disponible
Selección del grupo de proyecto
Estudios hidrodinámicos
Desarrollo de la teoría de control
Inteligencia artificial
Desarrollo de la red neural
Prueba de hardware
Codificación del software
Prueba de campo
Diseño del prototipo
Simulación
Prueba final
---
---
A
C
D
C
C
G
F
E
H, F
I, J
K, L
4
1
0.5
8
6
8
15
8
8
4
8
4
9
3
0.5
0.5
7
5
7
12
7
7
3
7
3
7
2
0.5
0.5
4
3
6
8
4
7
3
6
3
5
0 1 ---
1 2, 3 2
2 5, 9 4
3 7, 14 7
4 12, 15 2
5 13, 15 3
6 11 6
7 10 3
8 --- 5
9 4 2
10 11 3
11 --- 2
12 11 8
13 6 4
14 6 5
15 8 3
Nota: Evitar que se crucen las ligas.

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