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Análisis de varianza de un factor para comparar la absorción de humedad en diferentes agregados de concreto
- 1. Problema 1 • Suponga que en un experimento industrial a un ingeniero le interesa la forma en que la absorción media de humedad del concreto varia para 5 agregados de concreto diferentes. Las muestras se exponen a la humedad durante 48 horas y se decide que para cada agregado deben probarse 6 muestras, lo que hace que se requiera probar un total de 30 muestras. • El modelo que se considera para esta situación es la siguiente. Se tomaron 6 observaciones de cada una de las 5 poblaciones, con medias 1, 2… y 5, respectivamente.
- 2. Planteamiento de hipótesis 𝐻0 = 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = ⋯ = 𝜇5 𝐻1 = 𝐴𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝛼 = 0.05 Hipótesis y datos Datos 𝑛 = 5 𝑘 = 6
- 4. Tabla anova Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Cuadrados medios F calculada Tratamientos 85356.46 4 21339.115 f = 4.3 Error 124020.34 25 4960.813 Total 209376.8 29
- 5. Condición y conclusión • 𝐻𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑠𝑖 𝑓 > 𝑓𝑎 𝑘 − 1, 𝑘(𝑛 − 1) Tablas: Puntos porcentuales de la distribución F: 𝒂 = 𝟎. 𝟎𝟓 𝒇𝒂[𝒌 − 𝟏, 𝒌(𝒏 − 𝟏)] 𝒇𝟎.𝟎𝟐𝟓 𝟒, 𝟐𝟓 = 𝟑. 𝟑𝟓 Conclusión: Se rechaza 𝐻𝑜 Los agregados no tienen entre si el mismo promedio de absorción. 𝒅𝒇𝟐 𝒂 𝒅𝒇𝟏 4 25 0.05 3.35
- 6. Prueba de Turkey • El método de Tukey se utiliza en ANOVA para crear intervalos de confianza para todas las diferencias en parejas entre las medias de los niveles de los factores mientras controla la tasa de error por familia en un nivel especificado. Es importante considerar la tasa de error por familia cuando se hacen comparaciones múltiples, porque la probabilidad de cometer un error de tipo I para una serie de comparaciones es mayor que la tasa de error para cualquier comparación individual. Para contrarrestar esta tasa de error más elevada, el método de Tukey ajusta el nivel de confianza de cada intervalo individual para que el nivel de confianza simultáneo resultante sea igual al valor que usted especifique. ¿Qué es el método de Tukey para comparaciones múltiples? - Minitab
- 7. Prueba de Turkey Datos 𝑆2 = 4960.84 𝑎 = 0.05 𝑘 = 5 n = 6 Planteamiento 𝐻0 = 𝑀1 = 𝑀2 = 𝑀3 = 𝑀4 = 𝑀5 𝐻1 = 𝐴𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 2 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 Formulas 𝑞 = 𝑞 𝛼, 𝑘, 𝑣 𝑆2 𝑛 Sustitución Tablas Puntos porcentuales superiores de la . distribución de rangos estudentizados *Interpolando se obtiene el valor de 4.16 Con el valor de q se revisa en la tabla de las diferencias de medias cuales superan ese valor de q. Es decir los valores de la diferencia entre la media 3 y la media 5 con respecto a la media 4 son superior a 119.62, por ende se rechaza la hipótesis nula. Grados de libertad Valor de tabla 25 4.16 𝑞 = 4.16 4960.84 6 = 119.62
- 8. Prueba de Turkey Diferencia de medias M5 610.67 M3 610.5 M2 569.33 M1 553.33 M4 465.17 M4 465.17 M5-M4 145.5 M3-M4 145.33 M2-M4 104.16 M1-M4 88.16 M1 553.33 M5-M1 57.34 M3-M1 57.17 M2-M1 16 M2 569.33 M5-M2 41.34 M3-M2 41.17 M3 610.5 M5-M3 0.17 M5 610.67
- 9. Prueba de Turkey Condición Si el valor de q es inferior a la diferencia de medias, quiere decir que esas medias no se consideran iguales. Diferencia de medias M5 610.67 M3 610.5 M2 569.33 M1 553.33 M4 465.17 M4 465.17 145.5>119.62 Diferente 145.33>119.62 Diferente 104.16<119.62 Igual 88.16<119.62 Igual M1 553.33 57.34<119.62 Igual 57.17<119.62 Igual 16<119.62 Igual M2 569.33 41.34<119.62 Igual 41.17<119.62 Igual M3 610.5 0.17<119.62 Igual M5 610.67 Conclusión Se rechaza Ho Las medias 5 y 3 difieren de las media 4. Por lo tanto, la resistencia promedio a la tensión de las seis máquinas no son iguales
- 10. Prueba de Duncan • Es un test de comparaciones múltiples. • Permite comparar las medias de los t niveles de un factor después de haber rechazado la Hipótesis nula de igualdad de medias mediante la técnica ANOVA. • Todos los tests de comparaciones múltiples son tests que tratan de perfilar, tratan de especificar, tratan de concretar, una Hipótesis alternativa genérica como la de cualquiera de los Test ANOVA. • El Test de Duncan es muy similar al Test Tukey , pero en lugar de trabajar con un umbral fijo trabaja con un umbral cambiante. Un umbral que dependerá del número de medias implicadas en la comparación. Bibliografía: https://estadisticaorquestainstrumento.wordpress.com/2013/0 1/28/test-de-duncan/
- 11. Prueba de Duncan Datos 𝑆2 = 4960.84 𝑎 = 0.05 𝑘 = 5 n = 6 Planteamiento 𝐻0 = 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇5 𝐻1 ≠ 𝜇1 ≠ 𝜇2 ≠ ⋯ ≠ 𝜇5 Formulas 𝑅𝑝 = 𝑟𝑝 𝑆2 𝑛 Valores de tabla *Se obtuvieron los valores interpolando Sustitución 𝑅𝑝2 = 2.912 4960.84 6 = 83.74 𝑅𝑝3 = 3.060 4960.84 6 = 87.98 𝑅𝑝4 = 3.155 4960.84 6 = 90.71 𝑅𝑝5 = 3.221 4960.84 6 = 92.61 𝒗 P=2 P=3 P=4 P=5 25 2.912 3.060 3.155 3.221
- 12. Prueba de Duncan Condición Si el valor de Rp es mayor que el valor de la diferencia de medias, estas medias son diferentes 𝑅𝑝2 = 83.74 𝑅𝑝3 = 87.98 𝑅𝑝4 = 90.71 𝑅𝑝5 = 92.61 Diferencia de medias M5 610.67 M3 610.5 M2 569.33 M1 553.33 M4 465.17 M4 465.17 145.5>92.61 Diferente 145.33>90.71 Diferente 104.16>87.98 Diferente 88.16>83.74 Diferente M1 553.33 57.34<90.71 Igual 57.17<87.98 Igual 16<83.74 Igual M2 569.33 41.34<87.98 Igual 41.17<83.74 Igual M3 610.5 0.17<83.74 Igual M5 610.67 Conclusión Se rechaza Ho Las medias 1, 2, 3 y 5 son diferentes a la media 4.
- 13. Prueba de Kruskal - Wallis • La prueba de Kruskal-Wallis, también llamada prueba H de Kruskal- Wallis, es una generalización de la prueba de la suma de rangos para el caso de k > 2 muestras. Se utiliza para probar la hipótesis nula H0 de que k muestras independientes provienen de poblaciones idénticas. Presentada en 1952 por W. H. Kruskal y W. A. Wallis, la prueba constituye un procedimiento no paramétrico para probar la igualdad de las medias, en el análisis de varianza de un factor, cuando el experimentador desea evitar la suposición de que las muestras se seleccionaron de poblaciones normales. Bibliografía Prueba de Kruskal-Wallis: Qué es, ventajas y cómo se realiza (questionpro.com)
- 14. Prueba de Kruskal - Wallis Absorción Rango 415 1 417 2 438 3 449 4 450 5 457 6 499 7 508 8 511 9 517 10.5 517 10.5 522 12 551 13 555 14 563 15 Sistema de misiles 1 2 3 4 5 551 595 639 417 563 457 580 615 449 631 450 508 511 517 522 731 583 573 438 613 499 633 648 415 656 632 517 677 555 679 Sistema de misiles (en rangos) 1 2 3 4 5 13 19 25 2 15 6 17 21 4 22 5 8 9 10.5 12 30 18 16 3 20 7 24 26 1 27 23 10.5 28 14 29 Absorción Rango 573 16 580 17 583 18 595 19 613 20 615 21 631 22 632 23 633 24 639 25 648 26 656 27 677 28 679 29 731 30
- 15. Prueba de Kruskal – Wallis (con valores repetidos) Planteamiento 𝐻0: 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 𝐻1: 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 Formulas 𝐻 = 12 𝑛 𝑛 + 1 𝑖=1 𝑘 𝑅𝑖 2 𝑛𝑖 − 3 𝑛 + 1 1 − Σ𝑇 𝑛3 − 𝑛 Condición Si hcalculada>htabla se rechaza Ho Tablas Valores críticos de la distribución ji cuadrada: 1.66>5.991 Sustitución H = 12 30 31 33202 6 + 34162 6 + ⋯ + 36642 6 − 3 31 1 − 23 − 2 303 − 30 ℎ = 1.66 Conclusión Se rechaza 𝐻0 La absorción no es igual Y a=0.05 4 5.991