DETERIMNANTES CON MATRICES

1. DETERMINANTES
Leibniz , 1693
Mclaurin, 1729
Cramer, 1750
Vandermonde, 1772
Lagrange, 1775
Laplace,
Jacobi,
Cauchy, 1812

2. bcad
dc
ba
AA 





)(teDeterminan
A
A


columnavectoreslospordadoamoparalelogrdelorientadaÁrea
filavectoreslospordadoamoparalelogrdelorientadaÁrea

3. bcad
dc
ba
AA 





)(teDeterminan
A
A


columnavectoreslospordadoamoparalelogrdelorientadaÁrea
filavectoreslospordadoamoparalelogrdelorientadaÁrea
signo de |A|:
Es positivo si el giro al ir de F1 a
F2 en sentido antihorario es
menor de 180º
En caso contrario es negativo

4. 322311332112312213322113312312332211
333231
232221
131211
)(teDeterminan
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
AA













A
A


columnavectoreslospordadoorientadopedoparalelepíVolumen
filavectoreslospordadoorientadopedoparalelepíVolumen
(Lagrange 1775)

5. signo del |A|:
si al girar un tornillo, con la dirección
de F3, en el sentido rotatorio de F1 a
F2, éste avanza en el sentido de
F3
F3
F2F1
F3 F3

6. PROPIEDADES
0
000
023
122


Si una fila es NULA el determinante es 0
0
366
023
122




Si dos filas son PROPORCIONALES
el determinante es 0

7. Si intercambiamos dos filas el
determinante cambiará su signo
122
023
112
122
112
023
112
122
023
112
023
122









8. Si una fila es NULA salvo en un elemento
El valor que tienen no afecta al valor del determinante pues
siempre se multiplicarán por algún 0 de la fila del 3.
9
32
01
·3
322
011
030







 


9. Si una fila es NULA salvo en un elemento
9
32
01
)·3()3()·3(
9
322
011
030







 


Adjunto
322
011
030

Adjunto de un elemento es
el valor del determinante
que queda al eliminar la fila
y la columna, precedido del
signo + ó –, según la
posición del elemento.




10. Si multiplicamos a una fila por k, el valor del
determinante queda multiplicado por k
112
023
122
112
023
122




k
kkk
112
023
122
112
023
122
112
023
122
· 3




























k
kkk
kkk
kkk
k¡Ojo!

11. Si una fila es suma de dos filas su determinante
es la suma de dos determinantes, uno con cada
fila
327
023
122
112
023
122
)3()1()2()1()7()2(
023
122










12. 9)7·(13)·2(2*2
12
23
·1
12
03
)·2(
11
02
·2
112
023
100
112
023
020
112
023
002
112
023
100020002
112
023
122








 







 







































































¿Cómo calcular un determinante de orden 3 ?
+Desarrollar por filas (o columnas)

13. Si a una fila se le suma una proporcional a otra
fila, el determinante no varía
)1·(43·2
13
42
13




kk

15. 9
30
23
·1
030
023
122
)(
112
023
122
9064304
2·1·01)·3)·(2(2·2·11)·3·(12·0)·2(1·2·2
112
023
122
13 






 







FF
¿ Cómo calcular un determinante de orden 3 ?
+Método de Sarrus
+Conseguir filas de CEROS y desarrollar

16. 45
712
23
)·1(
001
71210
232
2
121
3810
412
·1
0121
03810
1123
0412
)2(
2125
03810
1123
0412
)3(
2125
3021
1123
0412
13
12
2423







 









































CC
CC
FFFF
¿ Cómo calcular un determinante de orden >3 ?
+Conseguir filas de CEROS y desarrollar
¡Ojo! La operación siempre será: FILA CAMBIANTE – MÚLTIPLO DE OTRA FILA

17. Otras propiedades de los determinantes
AkAk
A
A
BABA
AA
I
n
T
n






·
1
··
1
1