Este documento describe los sistemas con un grado de libertad y amortiguación. Explica que la solución de la ecuación diferencial para un sistema subamortiguado puede escribirse como una función exponencial decreciente. También describe cómo calcular el decremento logarítico para determinar la amortiguación presente en un sistema, y que la razón de amortiguación en sistemas estructurales es generalmente menor al 20% de la amortiguación crítica. Finalmente, presenta varios problemas para practicar estos conceptos.

1. Sistemas con un grado de libertad, con amortiguación 35
( f < 1), (2) sistem a con am o rtig u ació n crítica ( f = 1), y (3) sistem a so b ream o rtig u ad o
( f > 1). P ara un sistem a su b a m o rtig u a d o , la so lu ció n de la ecu ació n d iferen cial p u e­
de escribirse com o
y ( t) = e - ^ T
en la cual
(o — J k/m es la frecu en cia sin am o rtigu ació n
cüd = w V 1 - es la frecu en cia co n am o rtigu ació n ,
t = c/ccr es la razó n de am o rtigu ació n ,
ccr = 2J km es la am o rtig u ació n crítica
y d on d e yo y vq so n , respectivam en te, el desp lazam ien to y la velo cid ad in iciales.
U n m étodo com ú n p a ra d eterm in ar la am o rtig u ació n presente en un sistem a es
calc u lar el decrem en to lo g arítm ico , el cu al se d efine com o el logaritm o n atu ral de la
razó n de d os am p litu d es co n secu tivas m áxim as en vib ració n libre, esto es,
* - 1
6 = ln — .
72
L a razó n de am o rtig u ació n en los sistem as estru ctu rales es generalm en te m enor
del 2 0 % de la am o rtig u ació n crítica (£ < 0,2). E n tales sistem as, la frecu en cia en v i­
b ració n libre co n am o rtig u a ció n es ap ro xim ad am en te ig u al a la frecu en cia sin a m o rti­
gu ació n .
, v0 + y o ?w
y o eos c ú D t + ------------------s e n u )D /
coD
PROBLEMAS
2.1 R epita el problem a 1.2 suponiendo que la am ortiguación en el sistem a es igual al 15%
de la am ortiguación crítica.
2.2 R epita el problem a 1.6 su poniendo que la am ortiguación en el sistem a es el 1% de la
am ortiguación crítica.
2.3 Se ha observado que la am plitud de vibración del sistem a en la figura P2-3, decrece un
F ig u ra P 2 -3

2. 5% en cada ciclo. Determine el coeficiente de amortiguación c del sistema. En este sis­
tema k = 50 kp/cm y m = 12,5 kp -segVcm.
2.4. Se ha observado experimentalmente que la amplitud de vibración libre de cierta estruc­
tura, modelada como un sistema con un grado de libertad, decrece de 2,5 cm a 2,0 cm
en 10ciclos. ¿Cuál eselporcentaje de amortiguación en el sistema con respecto a la amor­
tiguación crítica?.
2.5. Demuestre que los desplazamientos en sistemas con amortiguación crítica y con amor­
tiguación sobrecrítica, para un desplazamiento inicial yo y una velocidad inicial u0pue-
den ser descritos como
y =e'ult í y 0(l + wt) + v0 t] para £=1
y = ("yo cosh co'Dt + —— senhcj^ f~| para |> 1
L OJD J
donde co'D = oj/? 2 - 1.
2.6. Una estructura se modela como un oscilador con amortiguación. La constante de su re­
sorte esk = 5 000 kp/cm y su frecuencia natural sin amortiguación cu = 25 rad/seg. Ex­
perimentalmente se determinó que una fuerza de 500 kp producía una velocidad rela­
tiva de 2,5 cm/seg en el elemento de amortiguación. Determine: (a) la razón de amor­
tiguación £, (b) el período de amortiguación Tn, (c) el decremento logarítmico 5 , y
(d) la razón entre dos amplitudes consecutivas máximas.
2.7 En la figura 2-4 se ha indicado que los puntos de tangencia a la curva del movimien­
to corresponden a la condición eos (ai¡>
t- a) = 1. En consecuencia, la diferencia en ojdí
entre dos puntos de tangencia consecutivos es 2n. Demuestre que la diferencia en <
odí
entre dos amplitudes consecutivas máximas es también igual a 27t.
2.8 Demuestre que en un sistema subamortiguado en vibración libre el decremento loga­
rítmico puede escribirse como
r- i , y¡
5 =—ln-
36 Sistemas con un grado de libertad, con amortiguación
k y i+k
donde k es el número de ciclos entre las amplitudes máximas yt e yí+K.
2.9 Un sistema con un solo grado de libertad se compone de un peso de 180 kp y un resor­
te de rigidez k = 500 kp/cm. Experimentalmente se ha determinado que una fuerza de 50
kp produce una velocidad relativa de 30 cm/seg. Determine: (a) la razón de amortigua­
ción f, (b) la frecuencia de vibración con amortiguación fn, (c) el decremento logarít­
mico 6 , y (d) la razón de dos amplitudes consecutivas máximas.
2.10 Resuelva el problema 2.9 suponiendo que el coeficiente de amortiguación es c = 1,5
kp-seg/cm.
2.11 Un sistema es modelado por dos masas vibratorias m¡ y mi interconectadas por un re­
sorte k y por un elemento de amortiguación c como se muestra en la figura P2-11. De­
termine para este sistema la ecuación diferencial del movimiento en función del movi­
miento relativo entre las dos masas, u = y2 -y.

3. Sistemas con un grado de libertad, con amortiguación 37
-+V2
'”1 c 2
(1 ti I
------[|-------l [t
Figura P 2-11
k
2.12 Determine el movimiento relativo u=y2 -y¡ para el sistema mostrado en la figura P2-11
en función de la frecuencia natural cu, la frecuencia con amortiguación wDy la razón de
amortiguación Sugerencia: Defina la masa equivalente del sistema, M = m¡m2/{m¡ +
mi).

4. 64 Respuesta de sistemas con un grado de libertad a excitaciones armónicas
y
u = y - y s es el desplazamiento relativo.
En el caso de una excitación armónica del cimiento, la solución de la ec. (3.38) en
función del movimiento relativo es de la misma forma que la solución de la ecua­
ción (3.10) en la cual la fuerza es aplicada a la masa.
En este capítulo, también hemos demostrado que la amortiguación puede ser
determinada experimentalmente, ya sea a partir de la amplitud máxima, o a partir
del ancho de banda de la curva que representa la relación entre la amplitud del des­
plazamiento y la frecuencia del sistema excitado por una fuerza armónica.
Dos problemas de aislamiento antivibratorio fueron tratados en este capítulo: (1) la
transmisión del movimiento del cimiento a la estructura; y (2) la transmisión de la
fuerzk de la estructura al cimiento. La transmisibilidad Trse define en el primer caso
como la razón entre la amplitud máxima del movimiento transmitido y la amplitud
de excitación armónica en el apoyo de la estructura. Análogamente, en el segundo
caso, la transmisibilidad Trse define como la razón entre la amplitud máxima de la
fuerza transmitida a la cimentación y la amplitud de la fuerza armónica que excita
la estructura. En ambos casos, la transmisibilidad, T, está dada por
3.1 Un motor eléctrico con un peso total W= 500 kpestá montado en el centro de una viga
simplemente apoyada como se muestra en la figura P3-1. La excentricidad del rotor es
W'e = 1,0 kp • cm. Determine el movimiento permanente en dirección vertical para una
velocidad del motor de 900 rpm. Suponga la amortiguación en el sistema igual al 10%
de la amortiguación crítica. No considere la masa de la viga.
PROBLEMAS
f / = 4 800 cm4
L = 5 m
Figura P 3-1

5. R e s p u e s ta d e s is te m a s c o n u n g ra d o d e lib e r ta d a e x c ita c io n e s a rm ó n ic a s 65
3.2 D eterm ine la fuerza m áxim a transm itida a los apoyos de la viga del problem a 3-1.
3.3 D eterm ine la am plitud perm anente del m ovim iento h o rizontal del pórtico de acero de
la figura P3-3. C onsidere el m iem bro superior del p órtico infinitam ente rígido y des­
precie la m asa de las colum nas y la am ortiguación en el sistem a.
W= 200 kp/m
Figura P 3-3
3.4 R esuelva el problem a 3-3 p a ra u n a am ortiguación en el sistem a del 8% de la am o rti­
guación crítica.
3.5 P ara el problem a 3.4 determ ine: (a) la fuerza m áxim a transm itida a los cim ientos y (b)
la transm isibilidad.
3.6 U n instrum ento delicado debe ser m ontado, interponiendo un resorte de aislam iento,
al piso de un lab o rato rio , el cual se ha determ inado que vibra verticalm ente con un m o­
vim iento arm ónico de am plitud 0,25 cm a 10 cps. Si el instrum ento pesa 50 kp , d eter­
m ine la rigidez requerida en el resorte de aislam iento para reducir la am plitud vertical
del m ovim iento a 0,025 cm. D esprecie la am ortiguación en el sistem a.
3.7 El depósito de agua m ostrado en la figura P3-7 está som etido al m ovim iento del terre-
W= 50000 kp
k=45000 kp/cm
/ / M W r
» y,(t)
Figura P 3 -7

6. 66 Respuesta de sistemas con un grado de libertad a excitaciones armónicas
no producido por un tren que pasa en la cercanía. El movimiento del terreno es idealizado
como una aceleración armónica del cimiento de la torre con una amplitud de 0,1 g a
un frecuencia de 10 cps. Determine el movimiento de la torre con relación a su cimien­
to. Suponga que la amortiguación efectiva es del 10%de la amortiguación crítica del sis­
tema.
3.8 Determine la transmisibilidad en el problema 3.7
3.9 Un motor eléctrico de un peso total de W = 1500 kp está montado sobre una viga sim­
plemente apoyada con voladizo como se muestra en la figura P3-9. La excentricidad
del motor es W'e = 60 kp • cm. (a) Calcule las amplitudes del movimiento vertical del
motor para velocidades de 800, 1000 y 1200 rpm. (b) Represente gráficamente la am­
plitud en función de las rpm del motor. Suponga que la amortiguación es igual al 10%
de la amortiguación crítica.
U
>
3.10 Una máquina de masa m descansa en un piso elástico como se muestra en la figura
P3-10. Con el fin de hallar la frecuencia natural del movimiento vertical, un vibrador
mecánico de masa m¡ es atornillado a la máquina y puesto en funcionamiento a varias
velocidades hasta hallar la frecuencia resonante /,. Determine la frecuencia natural /„
del sistema máquina-piso en función def, y los datos dados.
3.11 Determine la frecuencia a la cual un oscilador con amortiguación vibra con máxima an
plitud. Determine también la amplitud máxima y el ángulo de fase correspondiente.
3.12 Una estructura modelada como un sistema amortiguado de resorte y masa (figura P3-12)
en el cual mg = 1200 kp; k = 16 000 kp/cm, y c = 20 kp • seg/cm, es sometida a la ex­
citación de una fuerza armónica. Determine: (a) la frecuencia natural, (b) la razón de

7. R e s p u e s ta d e s is te m a s c o n u n g ra d o d e lib e r ta d a e x c ita c io n e s a r m ó n ic a s 67
am ortiguación, (c) la am plitud de la fuerza aplicada cuando la am plitud m áxim a de la
m asa ha sido m edida y es igual a 1,0 cm , y (d) la am p litu d de la fuerza de excitación cu an ­
do la am plitud m edida es la m áxim a, que se supone igual a la am plitud de resonancia.
3.13 U n sistem a estructural m odelado com o un oscilador con am ortiguación es som etido a
la excitación arm ónica producida p o r un ro to r excéntrico. La constante del resorte k y
la m asa m son conocidas, no así la am ortiguación ni el valor de la excentricidad del ro ­
tor. En base a las m ediciones que se han hecho de las am plitudes del m ovim iento, Y r a
la resonancia e Y a u n a razón de frecuencia r # 1, determ ine las expresiones p ara cal­
cular la razón de am ortiguación f y la am plitud de la fuerza de excitación F r en resonan­
cia.
3.14 U n sistem a es m odelado p o r dos m asas vibrantes m i y m i interconectadas p o r un re­
sorte k y un elem ento de am ortiguación c . P ara una fuerza arm ónica F = F o sen id t apli­
cada a la m asa n t 2 determ ine: (a) la ecuación diferencial del m ovim iento, en función del
m ovim iento relativo de las dos m asas, u = y i - y ¡ y (b) la solución perm anente del m o­
vim iento relativo.
Figura P 3-12
m
> F(t) = Fo sen ojf
k
m m - ♦ FU) = F„ sen ut
Figura P 3 -1 4

8. Respuesta a excitaciones dinámicas generales 99
4.7 SUMARIO
En este capítulo hemos demostrado que la ecuación diferencial del movimiento,
para un sistema lineal, puede en general resolverse para cualquier excitación en fun­
ción de la integral de Duhamel. El cálculo numérico de esta integral puede llevarse
a cabo con cualquiera de los métodos corrientes de integración, tales como el méto­
do trapezoidal o el método de Simpson. Nosotros hemos preferido usar un método
numérico de integración, en el cual suponemos que la excitación se puede represen­
tar mediante una función de segmentos lineales. Basados en este supuesto, hemos ob­
tenido la respuesta exacta para cada incremento de tiempo. Los programas para mi­
crocomputador descritos en este capítulo emplean el método de integración directa.
En este método, la ecuación diferencial del movimiento se resuelve para cada incre­
mento de tiempo en base a las condiciones existentes al final del intervalo preceden­
te (condiciones iniciales para el nuevo intervalo) y a la acción de la excitación en el
intervalo, que se supone lineal. Dos programas se presentaron en este capítulo: (1)
Programa 2, «DIRECTA», para calcular la respuesta de un sistema con un grado de
libertad excitado por una fuerza aplicada a la masa (o una aceleración aplicada al apo­
yo), que se supone está representada por una función de segmentos lineales entre los
puntos que definen la excitación. (2) Programa 3, «IMPULSO», para calcular la res­
puesta de un sistema con un grado de libertad excitado por una de las funciones im­
pulsivas especificadas en el programa. Los programas presentados en este capítulo
nos permiten obtener como respuesta el desplazamiento, la velocidad y la acelera­
ción como funciones del tiempo, para cualquier sistema elástico con un grado de li­
bertad, sometido a una fuerza aplicada a la masa o una aceleración aplicada al apo­
yo del sistema.
PROBLEMAS
4 . 1 E l p ó r t i c o d e a c e r o m o s t r a d o e n la f i g u r a P 4 - 1 e s t á s o m e t id o a u n a f u e r z a h o r i z o n t a l ,
a p lic a d a a l a a l t u r a d e s u e le m e n t o h o r i z o n t a l , q u e d e c r e c e l in e a lm e n t e , e n 0 , 6 s e g u n ­
d o s , d e s d e u n v a l o r i n i c i a l d e 2 0 0 0 k p a c e r o . D e t e r m i n e : ( a ) e l d e s p l a z a m ie n t o h o r i ­
z o n t a l e n e l in s t a n t e t = 0 , 5 s e g y ( b ) e l m á x i m o d e s p l a z a m ie n t o h o r i z o n t a l . I g n o r e la
m a s a d e la s c o lu m n a s y s u p o n g a q u e e l e le m e n t o h o r i z o n t a l d e l p ó r t ic o e s r í g i d o .
D e s p r e c ie l a a m o r t i g u a c i ó n e n e l s is t e m a .
4 . 2 R e p i t a e l p r o b le m a 4 .1 p a r a u n a a m o r t i g u a c i ó n d e l 1 0 % d e la a m o r t i g u a c i ó n c r ít ic a .
4 . 3 P a r a la f u n c i ó n d e la e x c it a c ió n r e p r e s e n t a d a e n la f i g u r a P 4 - 3 , d e d u z c a la e x p r e s ió n p a r a
e l f a c t o r d i n á m i c o d e u n o s c i l a d o r s im p le s in a m o r t i g u a c i ó n c o m o f u n c i ó n d e t, cu, y tj.
4 . 4 E l p ó r t i c o q u e se m u e s t r a e n la f i g u r a P 4 - 1 e s tá s o m e t id o a u n a a c e le r a c ió n d e 0 , 5 g r e ­
p e n t i n a m e n t e a p lic a d a a s u c im i e n t o . D e t e r m i n e e l e s f u e r z o m á x i m o d e c o r t e e n la s c o ­
lu m n a s . D e s p r e c ie l a a m o r t ig u a c ió n .
4 . 5 R e p i t a e l p r o b le m a 4 . 4 p a r a u n a a m o r t i g u a c i ó n d e l 1 0 % d e la a m o r t i g u a c i ó n c r ít ic a .
4 . 6 P a r a e l s is t e m a d i n á m i c o m o s t r a d o e n la f i g u r a P 4 - 6 , d e t e r m i n e y r e p r e s e n t e e n u n d ia -

9. 100 Respuesta a excitaciones dinámicas generales
m
Figura P4-3
k - 200 kp/cm
-V W -
- t
1
F{t)
50 kp ■Flt)
1 000 kp
(a)
Figura P4-6
0.2 0.4
(b)
■í(seg)
g r a m a e l d e s p la z a m ie n t o c o m o f u n c i ó n d e t i e m p o , e n e l i n t e r v a l o 0 < t< 0 , 5 s e g . D e s ­
p r e c ie la a m o r t ig u a c ió n .
4.7 Repita el problema 4.6 para el 10%de la amortiguación crítica.

10. R e s p u e s ta a e x c ita c io n e s d in á m ic a s g e n e ra le s 101
4.8 La to rre de la figura P4-8(a), está som etida a u n a aceleración h o rizontal en su cim iento
a ( t ) com o se m uestra en la figura 4-8(b). D eterm ine el desplazam iento de la p arte su­
perior de la to rre con relación al cim iento en el instante t = 1,0 seg. D esprecie la am orti­
guación.
F ig u r a P 4 - 8
4.9 R epita el problem a 4.8 para un 20% de la am ortiguación crítica.
4.10 E n el problem a 4.9 determ ine el desplazam iento m áxim o en la parte superior de la torre
con relación al desplazam iento del cim iento.
4.11 El p órtico de la figura P4-1 l(a), está som etido al m ovim iento horizontal de los cim ien­
tos m ostrado en la figura 4-1 l(b). D eterm ine el desplazam iento m áxim o absoluto en la
parte superior del pórtico. D esprecie la am ortiguación.
10 000 kp
| Ks (cm)
(3 ) (b)
F ig u r a P 4 - 7 7

11. 102 R e s p u e s ta a e x c ita c io n e s d in á m ic a s g e n e r a le s
4.12 R epita el problem a 4.11 p ara un 10% de la am ortiguación critica.
4.13 U na estru ctu ra que ha sido m odelada [figura P4-13(a)] p o r el oscilador sim ple con u n
10% de la am ortiguación crítica (f = 0,10), está som etida a la fuerza im pulsiva m o stra d a
en la figura P4-13(b). D eterm ine la respuesta
k = 2 000 kp/cm
--------V A ------
m - 2 (kp-seg /cm )
f = 10%
— E —
■ m
(a)
m
(b)
Figura P 4 -1 3
4.14 D eterm ine la respuesta de la to rre de agua representada en la figura P4-14(a) cuando
es som etida a u n a aceleración im pulsiva de su cim iento d ad a p o r la función que se m ues­
tra en la figura P4-14(b). D esprecie la am ortiguación.
Figura P4-14

12. R e s p u e s ta a e x c ita c io n e s d in á m ic a s g e n e ra le s 103
4.15 R epita el problem a 4.14 p ara un 20% de la am ortiguación crítica.
4.16 D eterm ine la respuesta de la to rre en la problem a 4.14 cuando su cim iento experim en­
ta la aceleración im pulsiva m ostrada en la figura P14-16.
alf)
9
3.5
0.1
í(seg)
Figura P 4 -1 6
4.17 D eterm ine las fatigas m áxim as en el p órtico del problem a 4.11 haciendo uso de la res­
puesta en función del m ovim iento m áxim o relativo. C om pruebe que los m ism os resul­
tados pueden obtenerse en este problem a usando la respuesta en función de la acelra-
ción m áxim a absoluta.