1. Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Teoría de Grafos
Entrega Teorema 4 Colores y Coloración de Mapas
Jorge Vargas - jl.vargas66@uniandes.edu.co
Introducción
Para entender completamente el problema de los 4 colores debemos introducir primero unos
conceptos básicos asociados al tema, son los siguientes.
Coloración
Siempre se ha querido poder particionar un conjunto de objeto en clases dadas unas reglas, esto
es básicamente lo que busca la coloración, sino que con unas reglas específicas, en este caso se
busca tomar un conjunto y hacer que los que no están relacionados entre sí tomen el mismo color,
modelado como grafos es en esencia lo mismo, tomar los nodos del grafo que no tienen vértices
adyacentes en común, la figura 1 ilustra esto.
Fig.1 Conjunto Grafos
Se puede construir un grafo(G) con tantos colores como número de nodos tenga, es decir si el
grafo tiene k nodos se pueden generar k particiones. Pero lo que queremos en este caso, es lograr
optimizar el problema hallando el número mínimo de particiones, o colores, con los cuales se
pueda pintar, a esto se le conoce como número cromático, como se define “The mínimum
2. cardinal k for which G has a k-coloring is the chromatic number X(G) of G, and G is X(G)-
Chromatic” (Tommy R. Jensen, 1995). En base a lo anterior se puede decir que X(G) es el número
mínimo de colores para pintar al grafo G. En términos Matemáticos un grafo m-coloreado es un
producto cartesiano del conjunto V(G) de vértices de G, con el conjunto {1,2,3…,m} de m colores;
entonces sí:
El problema de colorear grafos puede ser muy complejo, y según (William Kocay, 2005) “there is a
O(ԑ) algorithm to determine wheter an arbitrary G is bipartite, and to construct a 2-coloring of it.
When X(G) ≥ E, the problem becomes NP-complete.” Es decir si el grafo es más de 3-coloreado el
problema de pintarlo puede ser bastante difícil.
Para hallar el número cromático se usa la siguiente formula, siendo d el grado promedio de los
nodos, G un grafo con m arcos y n vértices, y X el número cromático:
Grafos Críticos
Para seguir avanzando necesitamos saber el concepto de Grafo Critico. Un grafo crítico es un grafo
tal que si le removemos un vértice o arco crítico, su número cromático disminuye es decir:
Grafo Esfera
Cualquier grafo planar, se puede mapear en la superficie de una esfera y viceversa, como se ve en
la Figura 2 este mapeo resulta muy útil a la hora de ver como un mapa geográfico puede ser
expresado como un grafo.
3. Fig. 2 Grafo mapeado en esfera
Formula de Euler
Caras
Sea G un grafo planar con n vértices y e arcos, sí tomamos el grafo y le quitamos todos los vértices
dejando los arcos unidos, obtenemos el grafo imagen , este grafo tiene f caras, una cara es
básicamente una región de la imagen como vemos en la figura 3 hay 3 caras.
Figura 3 Grafos G y
Este grafo nos deja hallar la fórmula de Euler la cual nos muestra muchas propiedades del
grafo, entre estas si es árbol, entre otras:
Grafo Dual
Figura 4 Grafo Dual (Wikipedia)
4. El grafo dual es el grafo generado a partir de las caras de un grafo, ese grafo toma cada cara como
un vértice y las caras adyacentes entre sí quedan unidas con arcos.
Triangulaciones
A partir del grafo dual construimos un grafo con las caras del grafo G original, este grafo también
tiene ciertas propiedades, como la triangulación una triangulación, dado un grafo dual G* sin
ciclos ni arcos múltiples, todos los vértices de este son grado 3, es decir todas las caras tienen 3
caras adyacentes.
Si este grafo G* no es triangulación se puede convertir en uno bajo un proceso que se llama
Reducción, también hay un algoritmo, este quitando arcos y poniendo arcos diagonales en el
Grafo G original. Se conoce como triangulación ya que el grafo G está lleno de triángulos, cada
cara f es un triángulo.
Fig. 5 Algunos Grafos Triangulados (Wolfram Math World)
El problema de los 4 colores
Definición
“Dado cualquier mapa geográfico con regiones continuas, éste puede ser coloreado con
cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes (es decir, regiones que
compartan no sólo un punto, sino todo un segmento de borde en común) con el mismo color.”
(Wikipedia)
El problema de los 4 colores básicamente nos dice que dado un mapa, probar que este mapa,
representado como un grafo, en donde cada país tiene un color, es 4-coloreado; adicional a esto
se ha demostrado que hay mapas que no pueden ser coloreados solo con 3 colores, y que con 5
cualquier mapa es coloreado sin problema correctamente; pero no sí puede ser coloreado con 4.
Historia
“Se convirtió formalmente en un problema matemático cuando en 1850 un estudiante inglés de
Edimburgo, Francis Guthrie, a quien le gustaba dibujar y colorear mapas, se dio cuenta de que
5. siempre podía iluminar correctamente los mapas sin usar más de cuatro colores. Intuyendo que
esto podía ser demostrado, se lo contó a su hermano Frederick (que más tarde sería químico),
quien había estudiado con un prestigioso matemático inglés de la época llamado Augustus De
Morgan. Frederick se lo comunicó en 1852 a De Morgan quien no supo solucionar el problema pero
le pareció suficientemente interesante como para enviarle una carta a otro prestigiado
matemático inglés: Sir William Hamilton, quien decidió no hacerle caso al problema, hecho que
nunca sabremos si sucedió porque no pudo resolverlo o porque le pareció intrascendente.
Durante muchos años, matemáticos y no matemáticos, expertos y novatos intentaron resolver el
problema de los cuatro colores, es decir, demostrar que bastan cuatro colores para dar una
coloración correcta a cualquier mapa. El problema de los cuatro colores se hizo tan famoso en el
medio matemático, que en 1878 el matemático inglés Arthur Cayley lo propuso oficialmente a la
Sociedad Matemática de Londres (London Mathematical Society), una de las sociedades de
matemáticos más importantes del mundo en esa época, como un problema a resolver.
En 1879, el jurista y matemático inglés Sir Alfred Kempe publicó la que él creía ser una
demostración. Un año más tarde hacía aparecer en la revista Nature un artículo con el algo
infatuado título «Cómo iluminar un mapa con cuatro colores».
Durante una decada, los matemáticos creyeron el problema resuelto, entonces en 1890, P. J.
Heawood localizó un error fatal en la demostración de Kempe. Se entusiasmó Heawood tanto con
el problema, que toda su vida la dedicó a estudiarlo a fondo. Por más de sesenta años trabajó en él
desde ángulos muy distintos, obteniendo resultados interesantes que hicieron avanzar
considerablemente la topología, pero no consiguió resolver el problema original. “ (CPI O
CRUCE)
Luego de esto el teorema no fue retomado sino hasta la aparición de los computadores, aunque
sentó las bases de toda la teoría de grafos, cuando Heinrich Heesch sintió que con la ayuda de un
computador podría ser demostrado. Este trabajó durante 20 años entendiendo el problema y
como resolverlo con la ayuda del computador, de este modo desarrolló técnicas que guiaban la
forma de resolverlo.
En 1976, 124 años después de la aparición del problema, dos matemáticos de la Universidad de
Illinois en Estados Unidos, Kenneth Appel y Wolfgang Haken, usando una computadora Cray a
fuerza bruta analizaron 1900 tipos de mapas diferentes, los cuales les tomo 1200 horas (50 días)
en donde comprobó que para todos los mapas había una coloración de 4 colores.
6. Fig. 6 Mapa de la Tierra coloreado con 4 colores
Después de esto hubo una controversia entre los matemáticos, a los cuales a unos les pareció una
prueba lo suficientemente completa para probar el problema, pero a otros al no haber una prueba
matemática no les parecía que fuera una prueba lo suficientemente válida para demostrarlo.
Posteriormente, en 1996, unos matemáticos del Instituto tecnológico de Georgia lograron probar
la demostración era correcta, sin embargo se apoyaron de nuevo en el uso de computadores para
esto, por lo cual todavía queda el interrogante, sí ¿es posible probar el problema a mano, es decir
usando fórmulas matemáticas y no computadores?
Demostraciones
La reducción se puede usar también para convertir un grafo G en un grafo triangulación de la
forma es decir que cada vértice sea solo grado 3; esta se hace para poder evaluar algo que es
idéntico a lo original, en este caso si podemos probar una versión simplificada de un grafo pero
que en esencia es el grafo original, estaremos probando los 2, esto usado como técnica de
evaluación se le conoce como lazy evaluation.
En 1977 en la prueba Appel-Haken lo que hicieron ellos fue generar configuraciones irreducibles
de grafos, generaron aproximadamente 1900 configuraciones y probaron que estas se podían
colorear con 4 colores, sin embargo no se pudo probar sino hasta 1995 si todas esas
configuraciones eran en realidad todas irreducibles, además de esto aunque 1900 intentos son
muchos, no demuestra una verdadera completitud en la solución ya que se consideraba que esto
no tiene en cuenta los n casos posibles.
En 1995 la prueba de ROBERTSON, SANDERS, SEYMOUR y THOMAS demostró no probar del todo
el problema sin embargo era un enfoque más simple que solo requería 633 configuraciones; lo que
hicieron ellos fue a partir de un mapa geográfico se puede construir el grafo dual de este, como
7. vimos antes, poniendo un vértice dentro de esta región, y uniéndolo con los vértices de regiones
adyacentes; colorear el mapa es equivalente a colorear los vértices del grafo dual, de esta forma
los nodos adyacentes tienen diferentes colores.
El Teorema de los 4 colores 12.21 en (William Kocay, 2005) nos dice “Every planar graph can be
properly colored with four colors.”. Esto se puede probar de la siguiente manera, un grafo simple
planar, siempre es posible extenderlo a una triangulación simple usando una reducción del mismo;
como cada nodo solo va a tener 3 nodos adyacentes, entonces solo se necesitará 4 colores para
pintar todo el grafo.
Lo interesante de estas pruebas es que como dicen los autores de la prueba, esta no es una
prueba tradicional y jamás podrá ser probada a mano por un humano:
“However, an argument can be made that our `proof' is not a proof in the traditional sense,
because it contains steps that can never be verified by humans. In particular, we have not proved
the correctness of the compiler we compiled our programs on, nor have we proved the infallibility
of the hardware we ran our programs on. These have to be taken on faith, and are conceivably a
source of error “. (math.gatech.edu, 1995).
Bibliografía
math.gatech.edu. (1995). Obtenido de The Four Color Problem:
http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html
CPI O CRUCE. (s.f.). Obtenido de El teorema de los cuatro colores:
http://centros.edu.xunta.es/cpiocruce/webantiga/e_aula/webt4c/historia.htm
J.A. Bondy, U. M. (2008). Graduate Text in Mathematics. Springer.
Tommy R. Jensen, B. T. (1995). Graph Coloring Problems. John Wilye & Sons, Inc.
Wikipedia. (s.f.). Obtenido de Teorema 4 Colores:
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_colores
Wikipedia. (s.f.). Obtenido de Dual Graphs: http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_graph
William Kocay, D. L. (2005). Graphs, Algorithms, and Optimization. Chapman & Hall.
Wolfram Math World. (s.f.). Obtenido de Triangulated Graph:
http://mathworld.wolfram.com/TriangulatedGraph.html
