El documento describe diferentes tipos de relaciones funcionales entre conjuntos. Explica que una relación funcional asigna a cada elemento de un conjunto dominio un único elemento del conjunto rango. Se analizan ejemplos de relaciones funcionales inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. También se definen funciones reales inyectivas y sobreyectivas como f(x)=|x| y g(x)=2x.

1. RELACIONES FUNCIONALES
Dentro de todas las relaciones que se pueden definir de un conjunto A en un Conjunto
B, tenemos las relaciones funcionales, que son de suma importancia en
aplicaciones científica cotidianas.
Consideremos los conjuntos A = { a,b,c,d } y el conjunto B = { 1,2,3,5 }, observemos
las relaciones R y F, cuyo diagrama sagital aparece a continuación.
A R B A F B
a . .1 a . . 1
b . . 2 b . . 2
c . . 3 c . . 3
d . . 5 d . . 5
fig. 1 fig. 2

2. Sí analizamos las dos relaciones, observamos algunas
diferencias que las hacen particulares .
Hallemos el Dominio y el rango de las dos relaciones
así,
En la relación R tenemos que el dominio
Dom ( R ) = {a,b,c} y
el rango Rango ( R ) = {1,2,5}. Observamos que el
D (R) ǂ A y además en el conjunto A queda un
elemento (d) sin relacionarse y que el elemento b,
tiene doble correspondencia por tanto R no es una
relación funcional.
En la relación F tenemos que el dominio
Dom ( f ) = {a,b,c,d} o sea Dom ( f ) = A
y el rango Rango ( F ) = {1,2,3,5}

3. En la relación F tenemos que el dominio
Dom ( f ) = {a,b,c,d} o sea Dom ( f ) = A
y el rango Rango ( F ) = {1,2,3,5}
y además observamos que de ningún elemento del
conjunto A sale más de una sagita o flecha hacia los
elementos del conjunto B.
Las relaciones con las características de la relación F
reciben el nombre de relaciones funcionales
Así, Dados dos conjuntos A y B no vacíos. La
relación f:A B es una relación funcional o
simplemente función, si a cada elemento de A se
le asigna, mediante f, un solo (único) elemento de

4. A f B Si al elemento aɛA, le asigna-
a. .1 mos la función f, el elemento bɛB
b. .2 decimos que b es la imagen de a
c. .3 y escribimos b=f(a); a es la prei
d. .5 magen de b mediante f. para
determinar que una relación
f : A B, es una relación funcional o función, como
podemos observar f, cumple las condiciones.
D(f)=A, y que cada elemento de A tiene una sola
imagen en B.
Analicemos la relación f

5. CLASES DE RELACIONES FUNCIONALES
Las relaciones funcionales las podemos clasificar en:
A g B A h B A f B
1. .a 1. .a 1. .a
2. .b 2. .b 3. .b
3. .c 3. .c 5. .c
.d 5.
Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva .

6. Sí analizamos las relaciones funcionales, podemos
darnos cuenta que:
La relación funcional g es Inyectiva por cuanto, el
Dom (g) = A, sin importar que el Rango (g) ǂ B,
además cada bɛB es imagen de un único aɛA o
( uno a uno ).
La relación funcional h es sobreyectiva puesto que
el Dom (h) = A, el rango (h) = B, sin embargo aɛB es
doble imagen.
La relación funcional f es Biyectiva por cuanto
Dom (f) = A, el rango (f) = B y es uno a uno, o sea es
inyectiva y sobreyectiva.

7. Ahora, consideremos las relaciones funcionales de R en R,
f(x)= I x I y g(x) = 2x
y
2 2 .
1 1
-2 -1 1 2 x -2 -1 1 2 x
-2
f(x)= IxI g(x)=2x
En la función f, Ran(f)=R negativos, siendo cada uno de ellos la imagen de
dos elementos distintos de R. mientras que en la función g, todo elemento
de R es imagen de un único elemento del dominio de R. esto es: Ran(f) C R,
mientras que el Ran(g) = R. por tanto concluimos que:
f(x)=IxI es Inyectiva y g(x) = 2x es Sobreyectiva, además g(x) = 2x es
Biyectiva