Lista 1 de ejercicios de álgebra lineal (MA1004)

1. Lista 1, MA1004 ´Algebra Lineal
H´ector M´endez G´omez
7 de agosto de 2016
Ejercicio 1. Indique si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas
a. ( ) El m´etodo de Gauss-Jordan nos permite resolver un sistema n × m, Ax = b, cuando
podemos encontrar una matriz escalonada B tal que A es equivalente a B.
b. ( ) La matriz




1 0 4 5
0 1 2 8
0 0 1 0
0 0 0 3



 est´a en la forma escalonada reducida.
c. ( ) Para que el sistema
x − 3y = 1
2x + hy = k
tenga soluci´on ´unica, con k ∈ R, entonces h = 6.
d. ( ) La matriz A =
a b c
a −b c
es equivalente a B =
a 0 c
0 b 0
.
e. ( ) Sea A =
3 1
−6 −2
, entonces la ´unica soluci´on del sistema Ax = 0 es la soluci´on
(0, 0).
f. ( ) Si Ax = b es un sistema 4 × 5 con Rng(A) = Rng(A|b) = 4 entonces el sistema tiene
infinitas soluciones que dependen de 1 par´ametro.
g. ( ) Sea A ∈ M(5, 6, R). Si Rng(A) = 4 entonces Ax = 0 tiene soluciones no nulas.
h. ( ) Sea A una matriz 4 × 4 con Rng(A) = 3, entonces A no es equivalente a I3.
i. ( ) Sea B ∈ M(5, 50, R). Entonces Rng(B) puede ser a lo sumo 50.
j. ( ) Sea A ∈ M(5, R) con Rng(A) = 4 entonces Ax = 0 tiene solamente la soluci´on trivial.
k. ( ) Sean R y S matrices con rango r y s respectivamente, entonces A =
R 0
0 S
tiene
rango r + s.
l. ( ) Sea B ∈ M(p, s, R). La ´unica soluci´on de Bx = 0 es x = 0 so el rango de B es s.
m. ( ) Sea B ∈ M(5, 4, R). Entonces Rng(B) = 5.
Ejercicio 2. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones en dos variables y haga una inter-
pretaci´on gr´afica de cada uno.
1

2. a.
x − y = 0
x + y = 1
b.
2x + 4y = 6
3x + 6y = 5
c.
2x − y = 0
6x − 5y = 0
2x + 4y = 0
Ejercicio 3. Verifique que el sistema 2 × 2
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
tiene soluci´on si, y s´olo si a1b2 − a2b2 = 0.
Ejericio 4. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando el m´etodo de Gauss-
Jordan.
a.
x1 + x2 + x3 − x4 = −2
2x1 − x2 + x3 + x4 = 0
3x1 + 2x2 − x3 − x4 = 1
x1 + x2 + 3x3 − −3x4 = −8
b.
2x − 3y = 8
4x − 5y + z = 15
2x + 4z = 1
c.
y + 2z + 3t = 1
2x + y + 3z = 1
3x + 4y + 2z = 1
4x + 2y + t = 1
d.
x + 2y − 3z = 4
2x + 3y + 4z = 5
4x + 7y − 2z = 12
d.
x + 2y + 3z + 4t = 1
5x + 6y + 7z + 8t = 2
9x + 10y + 11z + 12t = 3
e.
x − z + 2t = 4
−6x + y + 8z − 15t = −32
−4x + y + 6z − 10t = −21
− y − 2z = −1
−2x + 2z − 5t = −11

3. Ejercicio 5. Considere el sistema de ecuaciones lineales:
x − y − αz = 1
αx + y − z = 1
−αx + 2y + z = −1
a. Usando el m´etodo de eliminaci´on gaussiana determine el valor de α para el cual el sistema
tiene infinitas soluciones.
b. ¿Para qu´e valor de α el sistema no tiene soluci´on ?
c. Aplique la regla de Cramer para encontrar el valor de z cuando α = 0.
Ejercicio 6. Considere el sistema de ecuaciones lineales
x1 − αx2 + 2x3 = −1
−x1 + αx2 − αx3 = 1
x2 + x3 = α
Utilizando el m´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan:
a. Resuelva el sistema para el valor de α para el cual se tienen infinitas soluciones y encuentre
estas soluciones.
b. Encuentre el valor de α para los cuales, el sistema posee soluci´on ´unica.
c. Aplique la regla de Cramer para encontrar el valor de x2 cuando α = 0.
Ejercicio 7. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
(b + 1)x + (b + 4)y − (b + 4)z = 1
bx + 4y − 4z = 2
x + by − 2z = b + 1
Sea A la matriz asociada al sistema. Utilizando el m´etodo de Gauss-Jordan
a. Determine los valores de b para los cuales el sistema tiene soluci´on ´unica.
b. Determine los valores de b para los cuales el sistema tiene infintas soluciones.
c. Encuentre los valores del par´ametro b para los cuales el sistema NO tiene soluci´on.
d. Utilizando regla de Cramer, determine el valor de x cuando b = 1.
Ejercicio 8. Considere el sistema de ecuaciones lineales
x + 2y − 3z = α
2x + y − z = β
2x + 4y − 6z = 2α + 2
Utilizando el m´etodo de eliminaci´on gaussiana, demuestre que el sistema es inconsistente sin
importar los valores de α y β.
Ejercicio 9. Considere el sistema de ecuaciones lineales
x1 + x2 − x3 = 2
x1 + 2x2 + x3 = 3
x1 + x2(α2 − 5)x3 = α
Utilizando el m´etodo de eliminaci´on de Gauss-Jordan

4. a. Determine el valor de α para el cual el sistema no tiene soluci´on.
b. Resuelva el sistema para el valor de α para el cual se tienen infinitas soluciones y encuentre
estas soluciones.
c. Encuentre los valores de α para los cuales, el sistema posee soluci´on ´unica.
d. Para el caso α = 0 calcule el valor de x3 utilizando la regla de Cramer.
Ejercicio 10.Considere el sistema de ecuaciones lineales
x + αy − z = α
αx + y + z = 0
x + y + αz = α2
Utilizando el m´etodo de eliminaci´on de gaussiana
a. Determine el valor de α para el cual el sistema no tiene soluci´on.
b. Resuelva el sistema para el valor de α para el cual se tienen infinitas soluciones y encuentre
estas soluciones.
c. Encuentre los valores de α para los cuales, el sistema posee soluci´on ´unica.
d. Para el caso α = 2 calcule el valor de y utilizando la regla de Cramer.
Ejercicio 11. Usando eliminaci´on gaussiana determine los valores de λ para que el sistema de
ecuaciones lineales
x − y + λz = −2
−x + 2y − λz = 3
λx + y + z = 2
tenga soluci´on ´unica y encuentre dicha soluci´on.
Ejercicio 12. Considere el sistema de ecuaciones lineales
3x + 4y + 5z = 4
x + 2y = 2
x − y + kz = −1
a. Utilice eliminaci´on gaussiana para determinar los valores de k para los cuales el sistema
tiene soluci´on ´unica y calcule dicha soluci´on.
b. ¿Para qu´e valor de k el sistema anterior tiene infinitas soluciones? Justifique.
Ejercicio 13. Determine el rango de la matriz




1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 17




Ejercicio 14. Considere la matriz
B =


α −1 1
1 2 −α
1 2 −1



5. a. ¿Para qu´e valores de α la matriz B tiene rango menor a 3?
b. ¿Qu´e valores de α hacen que el sistema Bx = 0 tenga soluciones no triviales? ¿Cu´ales son
estas soluciones?
Ejercicio 15. Pruebe que el sistema
x + 2y + 3z − 3t = a
2x − 5y − 3z + 12t = b
7x + y + 8z + 5t = c
admite soluci´on si, y s´olo si, 37a + 13b = 9c. Encuentre las soluciones cuando a = 2 y b = 4.
Ejercicio 16. Considere el sistema de ecuaciones cuya notaci´on matricial se expresa como
Ax = 0 donde A =
a b
c d
.
Encuentre los valores a, b, c y d para que el sistema tenga:
a. Soluci´on ´unica. ¿Cu´al ser´ıa la soluci´on en este caso?
b Infinitas soluciones con un par´ametro.
c Infinitas soluciones con dos par´ametros.
d. ¿Es posible que el sistema sea inconsistente? Justifique su respuesta.
Los siguientes problemas no son necesarios hacerlos, pero ellos muestran el tipo de problemas
cotidianos que pueden resolverse usando lo aprendido hasta ahora.
Ejercicio 17. En el grupo 2 de MA1004 los estudiantes est´an muy felices por su regreso a
clases, y desean comprar 4 pizzas para celebrar: una de jam´on y queso, dos supremas, y una
margarita (para los vegetarianos), y se gastan 10,5 d´olares (est´an baratas!). A la semana si-
guiente, vuelven a festejar y compran 2 de jam´on y queso, 2 supremas, y 3 margaritas; se gastan
20 d´olares. Sabiendo que las pizzas de jam´on y queso cuestan lo mismo que una suprema y una
margarita juntas. ¿Cu´al es el precio de cada pizza?
Ejercicio 18. Una empresa multinacional tiene tres minas: una en Australia, una en Canad´a,
y la otra en Per´u. La empresa extrae N´ıquel, Cobre y Hierro de tal manera que:
a. En Australia se extrae 2 % de n´ıquel, el 4 % de cobre y el 12 % de hierro.
b. En Canad´a se extrae 4 % de n´ıquel, el 10 % de cobre y el 2 % de hierro.
c. En Per´u se extrae 2 % de n´ıquel, el 6 % de cobre y el 2 % de hierro.
¿Cu´antas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 26 toneladas de N´ıquel, 68 de
Cobre y 40 de Hierro?
Ejercicio 19 Sea p(x) = ax2 +bx+c un polinomio cuadr´atico. Suponga que p(1) = 3, p(−1) = 0
y p(2) = 5.Encuentre el criterio de dicho polinomio.