Ecuaciones diferenciales solución 2017 1T

1. Ecuaciones Diferenciales
Soluci´on Examen 2017 1T
´Angel Guale
Junio del 2017
Problema 1.
Encuentre la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial
y − 4y + 4y = e2x
ln(x)
Soluci´on
Primero se resuelve la homog´enea
y − 4y + 4y = 0
m2
− 4m + 4 = 0
(m − 2)2
= 0
m1,2 = 2
C.F.S = {e2x
, xe2x
}
Para la soluci´on particular, por variaci´on de par´ametro
Yp = u1e2x
+ u2xe2x
Calculando el wronskiano
W(e2x
, xe2x
) =
e2x
xe2x
2e2x
e2x
(1 + 2x)
= e4x
(1 + 2x) − e4x
(2x)
= e4x
Obtenemos las derivadas de u1 y u2 por determinantes
u1 =
0 Y2
g(x) Y2
W(e2x, xe2x)
=
0 xe2x
e2x
ln(x) e2x
(1 + 2x)
e4x
=
−xe4x
ln(x)
e4x
= −x ln(x)
1

2. u2 =
Y1 0
Y1 g(x)
W(e2x, xe2x)
=
e2x
0
2e2x
e2x
ln(x)
e4x
=
e4x
ln(x)
e4x
= ln(x)
Integrando tenemos que u1 y u2 son:
u1 = −x ln(x) dx
= −
1
4
x2
[2 ln(x) − 1]
= −
1
2
x2
ln(x) +
1
4
x2
u2 = ln(x) dx
= x [ln(x) − 1]
= x ln(x)
Por lo tanto, la soluci´on particular ser´ıa
Yp = −
1
2
x2
ln(x) +
1
4
x2
e2x
+ (x ln(x) − x) xe2x
=
1
2
x2
ln(x) e2x
−
3
4
x2
e2x
Finalmente la soluci´on general es la suma de la homog´enea y la particular
YG = YH + YP
YG = C1e2x
+ C2xe2x
+
1
2
x2
ln(x) e2x
−
3
4
x2
e2x
2 Angel Guale L.

3. Problema 2.
Hallar el radio y el intervalo de convergencia de la serie
∞
n=0
(−1)n
4n
x + 1
3
2n
Soluci´on
∞
n=0
(−1)n
4n
x + 1
3
2n
=
∞
n=0
(−1)n
4n · 32n
(x + 1)2 n
=
∞
n=0
(−1)n
4n · 9n
(x + 1)2 n
Por criterio del cociente absoluto
l´ım
n→∞
an+1
an
< 1
l´ım
n→∞
1
4n+1 · 9n+1
1
4n · 9n
< 1
L =
1
36
Por lo tanto
|x + 1|2
< 36
|x + 1| < 6
De donde se tiene que el radio de convergencia es R = 6, y el intervalo de
convergencia es
−7 < x < 5
3 Angel Guale L.

4. Problema 3.
Representar con su serie de Maclaurin a la funci´on
F(x) =
x
0
Cos(t) − 1
t
dt
Soluci´on
Cos(t) =
∞
n=0
(−1)n
t2n
(2n)!
Cos(t) − 1 =
∞
n=1
(−1)n
t2n
(2n)!
Cos(t) − 1
t
=
∞
n=1
(−1)n
t2n−1
(2n)!
x
0
Cos(t) − 1
t
=
∞
n=1
(−1)n
t2n
2n(2n)!
x
0
x
0
Cos(t) − 1
t
=
∞
n=1
(−1)n
x2n
2n(2n)!
4 Angel Guale L.

5. Problema 4.
El picudo es un insecto que se come la planta de algod´on y al atacar el
60 % del cultivo, es imposible erradicarlo. Un agricultor tiene 50 hect´areas de
plantas de algod´on, y durante una inspecci´on de rutina determin´o que el insecto
est´a presente en 5 hect´areas. Al d´ıa siguiente, en una segunda inspecci´on, se
observ´o que la cantidad de hect´areas atacadas por el insecto era igual a 10.
¿Cu´antos d´ıas tiene el agricultor para salvar su cultivo si se conoce que la raz´on
de aumento del n´umero de hect´areas infectadas por el picudo respecto del tiempo
es proporcional al cuadrado de las hect´areas no infectadas?
Soluci´on
Sea H el n´umero de hect´areas infectadas
dH
dt
= k(50 − H)2
t en d´ıas
dH
(50 − H)2
= k dt
(50 − H)−1
= kt + C
1
50 − H
= kt + C
Se conoce que H(0) = 5 y H(1) = 10. Evaluando tenemos:
En el d´ıa 0 tenemos H(0) = 5
1
45
= C
En el d´ıa 1 tenemos H(1) = 10
1
40
= k + C
k =
1
40
−
1
45
k =
5
40(45)
k =
1
360
La soluci´on particular obtenida es:
1
50 − H
=
1
360
t +
1
45
El 60 % de 50 es 30, entonces para H = 30
1
20
=
1
360
t +
1
45
1
360
t =
1
20
−
1
45
1
360
t =
1
36
t = 10
El cultivo no podr´a salvarse en el d´ıa 10.
5 Angel Guale L.

6. Problema 5.
Encuentre, si es posible, la soluci´on del siguiente problema de valor inicial
y − (a − by)y = 0, y(0) = 100
con a y b constantes distintas de cero.
Soluci´on
y − (a − by)y = 0
dy
dx
= (a − by)y
dy
(a − by)y
= dx
A
a − by
+
B
y
dy = x + C
Ay + B(a − by) = 1
Si y = 0
B(a) = 1
B =
1
a
Si y =
a
b
A
a
b
= 1
A =
b
a
Entonces
A
−b
ln|a − by| + B ln|y| = x + C
−
1
a
ln|a − by| +
1
a
ln|y| = x + C
Evaluando la condici´on inicial y(0) = 100
ln
y
a − by
= ax + C2
ln
100
a − 100b
= C2
Finalmente la soluci´on es:
ln
y
a − by
= ax + ln
100
a − 100b
6 Angel Guale L.

7. Es posible despejar y de la ecuaci´on anterior:
y =
100aeax
a + 100b(eax − 1)
NOTA: Se pod´ıa resolver la ecuaci´on como una del tipo Bernoulli.
7 Angel Guale L.