Analizar mediante una aproximación bayesiana, las ocurrencias de lluvia aplicada a balances hídricos mensuales seriados en la cuenca alta del río Chira – Piura (subcuencas de los ríos San Pablo y Quiroz)

1. 1Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
APROXIMACION BAYESIANA PARA LA ESTIMACION DE OCURRENCIAS DE EVENTOS
LLUVIOSOS APLICADA A BALANCES HIDRICOS SERIADOS
Pedro Rau
Investigador asociado. Universidad Nacional de Ingeniería. FIC. IMEFEN. Lima. Perú
praul@uni.pe
1. Objetivo
Analizar mediante una aproximación bayesiana, las ocurrencias de lluvia aplicada a balances hídricos
mensuales seriados en la cuenca alta del río Chira – Piura (subcuencas de los ríos San Pablo y Quiroz)
2. Resumen
La estimación del número de ocurrencias de lluvia tiene mucha aplicación en los balances hídricos tales
como el de Thornwaite y Matter en combinación con el método del US – SCS.
En la aplicación del balance modificado en forma seriada, considerando que la metodología de la curva
número se aplica a eventos aislados y no a láminas de lluvia mensual, se requiere de la siguiente
información (a) el número de eventos lluviosos ocurridos en cada mes y (b) la lámina precipitada en cada
uno de ellos. Dado que esta información con frecuencia es difícil de obtener se propone en el articulo, en
primera instancia y para resolver el apartado (a) anterior, una metodología basada en el teorema de Bayes
para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia mensual.
Según la metodología, se aplicó a la cuenca alta del río Chira en base a las estaciones pluviométricas de:
Ania Cabuyal (19 años), Laguna Seca (18 años) y Talaneo (29 años).
3. Justificación
En la mayoría de las situaciones, la información disponible para estimar valores de recarga en acuíferos
freáticos es escasa, lo cual impide la aplicación de métodos directos de evaluación (análisis de
fluctuaciones de niveles freáticos, balances hídricos localizados, técnicas isotrópicas, etc.). Es aquí donde
cobra relevancia las metodologías prácticas que requieren información frecuentemente disponible. El
presente articulo abarca hasta la obtención de los pronósticos del número de ocurrencias de lluvia
mediante la teoría bayesiana. La zona a la cual se aplica el artículo, pertenece a la cuenca alta del Río
Chira, limite con otras cuencas (Huancabamba y Majaz), áreas con recursos mineros aprovechables y por
lo cual requieren de estudios de contaminación, fluctuaciones y recarga en acuíferos.
4. Metodología
Según la metodología empleada en el artículo técnico base, realizado por Erik Zimmerman (PHI, 2003),
titulado: “Aproximación bayesiana para estimación de ocurrencias de lluvia aplicada a balances hídricos
mensuales seriados”
4.1. Aproximación bayesiana para la estimación del numero mensual de ocurrencias de eventos
lluviosos
Suponemos tener valores de precipitación mensual, P, y un número al azar de eventos de lluvia
N, en el mes considerado, el cual debe vincularse con P. Suponemos también conocidas la probabilidad a
priori del número de eventos para el mes dado f(N). Al respecto, se podría adoptar una función de
distribución de probabilidad para N, ajustada para cada mes de año. Ahora, el pronóstico mejoraría si se
utiliza una información adicional disponible: la precipitación mensual P. Suponemos conocida la densidad
de probabilidad condicional f(P|N) correspondiente al monto de lluvia mensual asociado al número de
eventos N. Entonces, según el teorema de Bayes puede determinarse la probabilidad a posteriori,
f(N|P),de la siguiente manera:
… (1)
siendo f(P) la probabilidad que la precipitación del mes dado sea P. Según el teorema de probabilidades
totales, se tiene que:
…(2)
donde Nmax es un número del máximo de eventos posible durante un mes que se analiza. El problema es
que normalmente ni la probabilidad a priori de que el número de eventos sea N, f(N) ni la probabilidad
condicional f(P|N) son conocidas. Todorovic (1967) estableció una función de distribución de eventos de
lluvia del tipo Poisson. Esta propuesta es compartida por muchos investigadores: Eagleson (1972), Cox e
Isham (1994), Arnaud y Lavabre (1999), Vanlesberg y Silber (1999), entre otros. Entonces, dado un

2. 2Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
periodo de tiempo de un mes en el cual se registran muestras de N tormentas, y dado el número medio de
eventos, λ1,.la función de la distribución de N del tipo Poisson y, por ende la función de probabilidad a
priori f(N), puede escribirse de la siguiente manera:
…(3)
El periodo considerado, un mes, debe ser meteorológicamente homogéneo, lo cual significa que la
probabilidad de que una tormenta ocurra es la misma en cualquier momento en el periodo. Todorovic
(1967, citado por Antigüedad et al., 1995) propuso una función de distribución acumulada para la
precipitación total, P, producida por N tormentas mediante una distribución del tipo Gamma, según la
siguiente ecuación:
… (4)
El significado físico de λ2 es la inversa de la lámina media de la precipitación producida por una
sola tormenta. La misma puede estimarse como:
…(5)
donde Pm es la lámina media mensual. Esta distribución condicional es de tipo Gamma y
asumiéndose que λ2 es invariable a lo largo del periodo homogéneo. La función de densidad de
probabilidad puede ser obtenida por derivación de (4), según la siguiente formulación:
… (6)
Esta distribución de probabilidad condicional, también es del tipo Gamma (distribución de Erlang)
cuyos parámetros son N y λ2 (Montgomery y Runger, 1996). Combinando las ecuaciones (1), (2), (3), y (6)
la función de distribución de la probabilidad a posteriori puede determinarse mediante:
…(7)
4.2. Procedimiento - Algoritmo
1. Datos disponibles: Una serie de precipitaciones mensuales, P, y los valores de los promedios
mensuales para los números de eventos de lluvia, Nm, y la respectiva lámina media mensual, Pm.
2. Asignar parámetros de las distribuciones probabilísticas: λ1=Nm y λ2 estimada con (5).
3. Calcular para cada año y cada mes valores de la probabilidad a posteriori f(N|P) usando (7), donde N
varía de 1 a Nmax.
4. Seleccionar un valor óptimo de N, Nop, para cada mes y año tal que f(Nop|P) es la mayor de f(N|P), con
N=1. . . Nmax.
5. Recopilación de la información
La disponibilidad de la información de la región analizada comprende tres estaciones pluviométricas de la
cuenca alta del Río Chira: Ania Cabuyal, Laguna Seca y Talaneo (Grafico 3.1). Los periodos de registro
para cada estación son:
Cuadro 3.1. Estaciones pluviométricas empleadas
Estación Ubicación Altitud
msnm
Periodo de registro
Ania Cabuyal Long79º29’ Lat04º51’ 2450 1973 – 1991, 1994 – 1995
Laguna Seca Long79º29’ Lat04º53’ 2450 1973 – 1990, 1994 – 1995
Talaneo Long79º33’ Lat05º02’ 3430 1964 – 1992

3. 3Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
Grafico 3.1. Cuenca del Río Chira y ubicación de las 3 estaciones.
6. Aplicación de la metodología
La disponibilidad de información pluviométrica en la región de estudio permitió el contraste de la
metodología propuesta con los registros de ocurrencias mensuales de eventos de lluvia, a lo largo de una
serie de años y en diferentes estaciones de medición. Se contó con registros de 6 estaciones
pluviométricas ubicadas en la parte alta de la provincia de Ayabaca (distritos de Pacaipampa y Ayabaca).
La consistencia de la información fue analizada mediante simple análisis (doble masa), contrastándose las
estaciones entre sí. Este análisis previo permitió seleccionar 3 estaciones, las que presentan registros con
periodos similares, similar cobertura geográfica (entre Ania Cabuyal y Laguna Seca debido a su
proximidad, la estación Talaneo servirá para realizar algunas deducciones) y de buena calidad de la
información. Las estaciones seleccionadas y la cantidad de años de registros pluviométricos fueron los
siguientes: Ania Cabuyal, 19 años; Laguna seca, 18 años y Talaneo, 29 años.
CUENCA DEL RIO PIURA
CUENCA DEL
HUANCABAMBA
Proyecto Río
Blanco
HISTOGRAMA - ANIA CABUYAL
0
100
200
300
400
500
600
700
800
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1994
1995
Años
Pmensual(mm)
PRECIPITACION MEDIA MENSUAL
HISTOGRAMA - LAGUNA SECA
0
100
200
300
400
500
600
700
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1994
1995
Años
Pmensual(mm)
PRECIPITACION MEDIA MENSUAL

4. 4Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
6.1. PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN: En software empleado MS – Excel, se generan dos
tablas cada una con los estadísticos de la media y desviación estándar..
Cuadro 6.1. Precipitaciones mensuales (P)
ESTACION Parametro ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC TOTAL
ANIA
CABUYAL
PROM 193.926 217.653 183.521 175.547 66.737 32.589 23.042 19.295 19.768 59.647 80.458 123.632 1195.82
Desv.
Sta 99.580 141.916 83.114 90.227 47.425 46.323 23.957 22.819 16.714 32.057 49.240 79.435 313.949
LAGUNA
SECA
PROM 229.294 263.228 233.039 230.450 113.994 43.828 42.894 32.750 32.594 108.228 83.872 166.283 1580.46
Desv.
Sta 119.251 104.881 82.748 119.869 93.281 35.224 43.177 33.062 27.130 68.350 64.319 116.626 399.774
TALANEO
PROM 71.114 74.048 94.281 68.825 41.285 40.211 32.164 28.146 30.814 48.361 38.033 55.432 621.526
Desv.
Sta 40.297 39.267 42.694 38.870 25.391 28.443 19.161 23.623 16.421 25.489 27.716 37.882 167.249
Cuadro 6.2. Ocurrencias promedio de lluvia (N)
ESTACION Parametro ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC TOTAL
ANIA
CABUYAL
PROM 13.263 12.611 12.642 12.500 7.221 4.474 4.000 3.158 3.263 7.737 7.558 10.558 98.984
Desv. Sta 4.817 4.309 3.915 3.640 3.207 4.695 3.844 2.949 2.281 2.766 4.166 4.537 21.095
LAGUNA
SECA
PROM 17.939 15.883 15.767 16.333 11.889 7.644 6.611 5.778 5.167 11.556 9.122 13.294 136.983
Desv. Sta 5.150 4.933 3.172 4.875 4.086 4.186 4.132 3.606 2.572 3.185 4.825 4.141 15.682
TALANEO
PROM 11.900 11.331 13.297 10.783 9.117 8.500 7.286 6.103 8.000 8.462 7.414 8.586 110.779
Desv. Sta 5.960 4.158 5.496 5.778 5.948 5.863 4.333 4.459 5.134 4.145 4.671 4.675 38.063
El comportamiento de la variable N (ocurrencias de lluvia) se puede distinguir mediante el uso
del coeficiente de variación, el cual se ubica entre el 11 % y 100 %. Esto se ve acentuado durante los
meses de inverno, haciendo evidente la dificultad de pronosticar correctamente el número de ocurrencias
de lluvia si es que se trabajara como una variable aleatoria independiente, ya que se generaría un amplio
rango de valores para N. El presente trabajo propone la parametrización de esta variable para su mejor
pronóstico. La aplicación de la ecuación 7, lleva a diseñar una base de datos compleja para la obtención
de resultados. Siguiendo el procedimiento – algoritmo, se obtienen los valores de λ1 y λ2
Cuadro 6.3. Valores promedio de λ1 y λ2
ESTACION Param. ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
ANIA
CABUYAL
λ 1 13.26 12.61 12.64 12.50 7.22 4.47 4.00 3.16 3.26 7.73 7.56 10.56
λ 2 0.08 0.07 0.08 0.08 0.14 0.17 0.33 0.32 0.25 0.14 0.13 0.10
HISTOGRAMA - TALANEO
0
50
100
150
200
250
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
Años
Pmensual(mm)
PRECIPITACION MEDIA MENSUAL

5. 5Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
ESTACION Param. ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
LAGUNA
SECA
λ 1 17.94 15.88 15.77 16.33 11.89 7.64 6.61 5.78 5.17 11.56 9.12 13.29
λ 2 0.09 0.07 0.08 0.09 0.15 0.21 0.45 0.36 0.56 0.13 0.21 0.12
TALANEO
λ1 11.90 11.33 13.30 10.78 9.12 8.50 7.29 6.10 8.00 8.46 7.41 8.59
λ 2 0.20 0.19 0.15 0.17 0.23 0.54 0.27 0.29 0.34 0.18 0.31 0.20
Del cuadro 6.3 se distingue para λ2: las estaciones Ania Cabuyal y Laguna seca presentan
valores muy cercanos debido al modulo pluviométrico casi similar de ambas estaciones que a su vez se
encuentran muy próximas, definiendo una región. La estación Talaneo tiene un comportamiento totalmente
distinto por encontrarse en otra subcuenca y presenta una información más consistente.
7. Resultados
Aplicando la ecuación (7), se logra obtener la probabilidad a posteriori para cada estación. El análisis
comprende la obtención de dichas probabilidades para cada año y mes. Luego de cada mes se extrae la
probabilidad mayor la cual arrastra el número de eventos mas probable con la cual se origino. Estos
números de eventos se van recopilando año a años conformándose la tabla de número de eventos
pronosticados
Cuadro 7.1. Ejemplo - Probabilidades a posteriori – Talaneo año 1964
Pm 1964 ENE 49.7 FEB 52.7 MAR 98.1 ABR 85.7 MAY 43.0 JUN 57.2 JUL 38.1 AGO 64.4 SEP 40.0 OCT 75.4 NOV 27.8 DI 40.8
1 8.20E-07 3.71E-10 1.38E-12 6.34E-11 1.67E-07 2.16E-08 5.81E-06 3.20E-09 1.80E-07 2.73E-09 7.96E-06 6.14E-08
2 2.01E-05 2.37E-08 1.35E-10 4.57E-09 5.36E-06 8.73E-07 1.04E-04 1.60E-07 5.76E-06 1.37E-07 1.43E-04 2.27E-06
3 1.64E-04 5.04E-07 4.42E-09 1.10E-07 5.72E-05 1.18E-05 6.27E-04 2.67E-06 6.15E-05 2.28E-06 8.59E-04 2.80E-05
4 6.70E-04 5.36E-06 7.22E-08 1.32E-06 3.05E-04 7.96E-05 1.88E-03 2.22E-05 3.28E-04 1.90E-05 2.58E-03 1.73E-04
5 1.64E-03 3.42E-05 7.08E-07 9.47E-06 9.76E-04 3.22E-04 3.39E-03 1.11E-04 1.05E-03 9.49E-05 4.64E-03 6.38E-04
6 2.68E-03 1.46E-04 4.62E-06 4.55E-05 2.08E-03 8.70E-04 4.06E-03 3.70E-04 2.24E-03 3.16E-04 5.57E-03 1.57E-03
7 3.13E-03 4.43E-04 2.16E-05 1.56E-04 3.17E-03 1.68E-03 3.48E-03 8.82E-04 3.41E-03 7.53E-04 4.77E-03 2.77E-03
8 2.74E-03 1.01E-03 7.55E-05 4.01E-04 3.63E-03 2.43E-03 2.24E-03 1.57E-03 3.90E-03 1.35E-03 3.07E-03 3.66E-03
9 1.86E-03 1.79E-03 2.06E-04 8.02E-04 3.22E-03 2.73E-03 1.12E-03 2.19E-03 3.46E-03 1.87E-03 1.53E-03 3.76E-03
10 1.01E-03 2.54E-03 4.48E-04 1.28E-03 2.29E-03 2.46E-03 4.48E-04 2.43E-03 2.46E-03 2.08E-03 6.14E-04 3.09E-03
11 4.52E-04 2.95E-03 7.98E-04 1.68E-03 1.33E-03 1.81E-03 1.47E-04 2.21E-03 1.43E-03 1.89E-03 2.01E-04 2.08E-03
12 1.68E-04 2.85E-03 1.18E-03 1.83E-03 6.46E-04 1.11E-03 4.00E-05 1.67E-03 6.95E-04 1.43E-03 5.48E-05 1.16E-03
13 5.27E-05 2.34E-03 1.49E-03 1.69E-03 2.65E-04 5.77E-04 9.22E-06 1.07E-03 2.85E-04 9.16E-04 1.26E-05 5.52E-04
14 1.42E-05 1.64E-03 1.60E-03 1.34E-03 9.33E-05 2.57E-04 1.82E-06 5.90E-04 1.00E-04 5.04E-04 2.50E-06 2.24E-04
15 3.31E-06 9.97E-04 1.50E-03 9.17E-04 2.84E-05 9.90E-05 3.13E-07 2.81E-04 3.06E-05 2.40E-04 4.29E-07 7.90E-05
16 6.75E-07 5.30E-04 1.22E-03 5.50E-04 7.58E-06 3.34E-05 4.69E-08 1.17E-04 8.15E-06 9.99E-05 6.43E-08 2.43E-05
17 1.22E-07 2.49E-04 8.81E-04 2.91E-04 1.78E-06 9.95E-06 6.21E-09 4.30E-05 1.92E-06 3.67E-05 8.51E-09 6.62E-06
18 1.95E-08 1.04E-04 5.64E-04 1.37E-04 3.73E-07 2.63E-06 7.30E-10 1.41E-05 4.01E-07 1.20E-05 1.00E-09 1.60E-06
19 2.79E-09 3.88E-05 3.23E-04 5.77E-05 6.98E-08 6.24E-07 7.69E-11 4.11E-06 7.50E-08 3.51E-06 1.05E-10 3.46E-07
20 3.60E-10 1.30E-05 1.67E-04 2.19E-05 1.18E-08 1.33E-07 7.28E-12 1.08E-06 1.26E-08 9.24E-07 9.98E-12 6.73E-08
21 4.20E-11 3.96E-06 7.78E-05 7.50E-06 1.79E-09 2.56E-08 6.24E-13 2.57E-07 1.93E-09 2.20E-07 8.56E-13 1.19E-08
22 4.45E-12 1.10E-06 3.30E-05 2.34E-06 2.48E-10 4.50E-09 4.87E-14 5.57E-08 2.67E-10 4.76E-08 6.67E-14 1.90E-09
23 4.31E-13 2.76E-07 1.28E-05 6.65E-07 3.14E-11 7.20E-10 3.46E-15 1.10E-08 3.37E-11 9.41E-09 4.74E-15 2.77E-10
24 3.83E-14 6.39E-08 4.54E-06 1.74E-07 3.64E-12 1.06E-10 2.26E-16 2.00E-09 3.91E-12 1.70E-09 3.09E-16 3.72E-11
25 3.13E-15 1.36E-08 1.48E-06 4.17E-08 3.88E-13 1.43E-11 1.35E-17 3.33E-10 4.17E-13 2.84E-10 1.86E-17 4.58E-12
26 2.36E-16 2.67E-09 4.47E-07 9.23E-09 3.82E-14 1.78E-12 7.50E-19 5.12E-11 4.11E-14 4.37E-11 1.03E-18 5.21E-13
27 1.65E-17 4.86E-10 1.25E-07 1.89E-09 3.48E-15 2.05E-13 3.85E-20 7.29E-12 3.75E-15 6.22E-12 5.27E-20 5.49E-14
28 1.07E-18 8.21E-11 3.24E-08 3.61E-10 2.95E-16 2.20E-14 1.83E-21 9.64E-13 3.17E-16 8.23E-13 2.51E-21 5.37E-15
29 6.43E-20 1.29E-11 7.81E-09 6.39E-11 2.32E-17 2.19E-15 8.12E-23 1.19E-13 2.50E-17 1.01E-13 1.11E-22 4.89E-16
30 3.62E-21 1.90E-12 1.76E-09 1.06E-11 1.71E-18 2.04E-16 3.36E-24 1.36E-14 1.84E-18 1.17E-14 4.61E-24 4.16E-17
max 3.13E-03 2.95E-03 1.60E-03 1.83E-03 3.63E-03 2.73E-03 4.06E-03 2.43E-03 3.90E-03 2.08E-03 5.57E-03 3.76E-03

6. 6Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
Los valores máximos permiten la ubicación de los N óptimos:
Cuadro 7.2. Numero de ocurrencias de lluvia mas probables para cada mes – Talaneo. Año 1964
Pm 1964 ENE 49.7 FEB 52.7 MAR 98.1 ABR 85.7 MAY 43.0 JUN 57.2 JUL 38.1 AGO 64.4 SEP 40.0 OCT 75.4 NOV 27.8 DI 40.8
N 7 11 14 12 8 9 6 10 8 10 6 9
Cuadro 7.3. Ejemplo - Probabilidades a posteriori – Ania Cabuyal año 1973
Pm
1973 181.2 696.7 144.6 477.0 41.8 40.0 36.6 42.7 45.5 71.2 88.3 322.9
1 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000
2 0.000006 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000022 0.000000 0.000001 0.000000
3 0.000045 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000004 0.000179 0.000002 0.000008 0.000000
4 0.000184 0.000000 0.000001 0.000000 0.000010 0.000000 0.000001 0.000034 0.000732 0.000020 0.000052 0.000000
5 0.000450 0.000000 0.000006 0.000000 0.000060 0.000002 0.000007 0.000168 0.001792 0.000101 0.000209 0.000000
6 0.000735 0.000002 0.000027 0.000000 0.000242 0.000011 0.000038 0.000559 0.002928 0.000335 0.000564 0.000000
7 0.000858 0.000008 0.000092 0.000001 0.000698 0.000053 0.000151 0.001330 0.003416 0.000798 0.001087 0.000001
8 0.000750 0.000024 0.000238 0.000002 0.001509 0.000185 0.000457 0.002375 0.002989 0.001425 0.001573 0.000004
9 0.000511 0.000056 0.000475 0.000009 0.002536 0.000504 0.001073 0.003299 0.002034 0.001979 0.001769 0.000013
10 0.000278 0.000106 0.000760 0.000024 0.003409 0.001098 0.002015 0.003666 0.001107 0.002198 0.001592 0.000036
11 0.000124 0.000163 0.000995 0.000057 0.003750 0.001957 0.003095 0.003332 0.000493 0.001999 0.001173 0.000084
12 0.000046 0.000208 0.001085 0.000110 0.003438 0.002906 0.003963 0.002525 0.000183 0.001514 0.000720 0.000163
13 0.000014 0.000226 0.001002 0.000181 0.002666 0.003651 0.004293 0.001618 0.000058 0.000971 0.000374 0.000267
14 0.000004 0.000209 0.000793 0.000254 0.001773 0.003932 0.003986 0.000889 0.000015 0.000533 0.000166 0.000375
15 0.000001 0.000169 0.000544 0.000310 0.001021 0.003670 0.003208 0.000423 0.000004 0.000254 0.000064 0.000457
16 0.000000 0.000119 0.000326 0.000330 0.000515 0.002997 0.002259 0.000176 0.000001 0.000106 0.000022 0.000488
17 0.000000 0.000074 0.000173 0.000311 0.000229 0.002160 0.001404 0.000065 0.000000 0.000039 0.000006 0.000459
18 0.000000 0.000041 0.000081 0.000260 0.000091 0.001383 0.000775 0.000021 0.000000 0.000013 0.000002 0.000384
19 0.000000 0.000020 0.000034 0.000195 0.000032 0.000793 0.000383 0.000006 0.000000 0.000004 0.000000 0.000287
20 0.000000 0.000009 0.000013 0.000131 0.000010 0.000409 0.000170 0.000002 0.000000 0.000001 0.000000 0.000194
21 0.000000 0.000004 0.000004 0.000080 0.000003 0.000191 0.000069 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000118
22 0.000000 0.000001 0.000001 0.000044 0.000001 0.000081 0.000025 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000065
23 0.000000 0.000000 0.000000 0.000022 0.000000 0.000031 0.000008 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000033
24 0.000000 0.000000 0.000000 0.000010 0.000000 0.000011 0.000003 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000015
25 0.000000 0.000000 0.000000 0.000004 0.000000 0.000004 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000007
26 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000003
27 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001
28 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
29 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
30 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
max 0.000858 0.000226 0.001085 0.000330 0.003750 0.003939 0.004293 0.003666 0.003416 0.002198 0.001769 0.000488
7 13 12 16 11 14 13 10 7 10 9 16
Cuadro 7.4. Numero de ocurrencias de lluvia mas probables para cada mes – Ania Cabuyal Año 1973
Pm
1973
ENE
181.2
FEB
696.7
MAR
144.6
ABR
477.0
MAY
41.8
JUN
40.0
JUL
36.6
AGO
42.7
SEP
45.5
OCT
71.2
NOV
88.3
DIC
322.9
N 7 13 12 16 11 14 13 10 7 10 9 16

7. 7Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
Cuadro 7.5. Ejemplo - Probabilidades a posteriori – Laguna Seca año 1973
Pm
1973 163.1 331.1 201.8 337.5 51.4 42.2 26.5 31.2 25.0 41.9 60.0 212.6
1 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000008 0.000000 0.000009 0.000000 0.000019 0.000000
2 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000150 0.000002 0.000159 0.000000 0.000236 0.000000
3 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000901 0.000022 0.000956 0.000004 0.000985 0.000000
4 0.000000 0.000001 0.000002 0.000000 0.000000 0.000003 0.002704 0.000146 0.002867 0.000034 0.002053 0.000000
5 0.000000 0.000008 0.000012 0.000000 0.000001 0.000019 0.004868 0.000591 0.005160 0.000171 0.002566 0.000001
6 0.000000 0.000031 0.000050 0.000001 0.000009 0.000092 0.005841 0.001596 0.006192 0.000569 0.002138 0.000006
7 0.000000 0.000088 0.000145 0.000006 0.000041 0.000317 0.005007 0.003077 0.005307 0.001356 0.001273 0.000026
8 0.000000 0.000190 0.000313 0.000022 0.000144 0.000814 0.003219 0.004451 0.003412 0.002421 0.000568 0.000079
9 0.000000 0.000320 0.000525 0.000060 0.000392 0.001628 0.001609 0.005008 0.001706 0.003362 0.000197 0.000185
10 0.000002 0.000430 0.000706 0.000130 0.000855 0.002604 0.000644 0.004507 0.000682 0.003736 0.000055 0.000347
11 0.000008 0.000473 0.000777 0.000232 0.001523 0.003409 0.000211 0.003319 0.000223 0.003396 0.000012 0.000533
12 0.000023 0.000434 0.000712 0.000344 0.002261 0.003719 0.000057 0.002036 0.000061 0.002573 0.000002 0.000682
13 0.000059 0.000337 0.000552 0.000433 0.002841 0.003433 0.000013 0.001057 0.000014 0.001649 0.000000 0.000739
14 0.000129 0.000224 0.000367 0.000466 0.003060 0.002716 0.000003 0.000471 0.000003 0.000906 0.000000 0.000686
15 0.000245 0.000129 0.000212 0.000435 0.002856 0.001863 0.000000 0.000182 0.000000 0.000432 0.000000 0.000552
16 0.000409 0.000065 0.000107 0.000355 0.002332 0.001118 0.000000 0.000061 0.000000 0.000180 0.000000 0.000389
17 0.000601 0.000029 0.000047 0.000256 0.001681 0.000592 0.000000 0.000018 0.000000 0.000066 0.000000 0.000242
18 0.000786 0.000011 0.000019 0.000164 0.001076 0.000278 0.000000 0.000005 0.000000 0.000022 0.000000 0.000133
19 0.000919 0.000004 0.000007 0.000094 0.000617 0.000117 0.000000 0.000001 0.000000 0.000006 0.000000 0.000066
20 0.000968 0.000001 0.000002 0.000048 0.000318 0.000044 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000000 0.000029
21 0.000922 0.000000 0.000001 0.000023 0.000148 0.000015 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000012
22 0.000798 0.000000 0.000000 0.000010 0.000063 0.000005 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000004
23 0.000631 0.000000 0.000000 0.000004 0.000024 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001
24 0.000457 0.000000 0.000000 0.000001 0.000009 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
25 0.000305 0.000000 0.000000 0.000000 0.000003 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
26 0.000188 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
27 0.000107 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
28 0.000057 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
29 0.000028 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
30 0.000013 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
max 0.000968 0.000473 0.000777 0.000466 0.003060 0.003749 0.005841 0.005008 0.006192 0.003736 0.002566 0.000739
Cuadro 7.6. Numero de ocurrencias de lluvia mas probables para cada mes – Laguna Seca Año 1973
Pm
1973
ENE
163.1
FEB
331.1
MAR
201.8
ABR
337.5
MAY
51.4
JUN
42.2
JUL
26.5
AGO
31.2
SEP
25.0
OCT
41.9
NOV
60.0
DIC
212.6
N 11 11 14 14 12 6 9 6 10 5 13 20

8. 8Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
Cuadro 7.7. N pronosticado – Estación Talaneo
N PRONOSTICADO - TALANEO
AÑOMES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
1963
1964 7 11 14 12 8 9 6 10 8 10 6 9
1965 6 7 8 6 4 8 5 6 4 5 7 7
1966 13 10 5 8 4 9 6 6 8 7 7 9
1967 9 7 7 7 8 5 7 5 4 4 7 6
1968 6 5 18 4 3 9 10 3 5 11 5 4
1969 8 10 7 9 4 6 7 9 6 8 9 9
1970 14 10 9 8 6 6 7 3 6 10 9 9
1971 11 9 11 6 7 6 4 6 7 9 6 9
1972 21 13 24 19 17 17 20 5 18 13 11 8
1973 9 4 22 22 17 15 7 18 13 7 14 16
1974 13 18 21 16 15 21 9 8 18 14 18 9
1975 26 20 18 8 20 21 10 19 14 8 17 7
1976 20 7 10 20 20 9 7 4 2 10 11 6
1977 8 10 6 10 2 4 6 6 7 0 2 13
1978 23 17 11 13 5 9 0 4 18 0 12 8
1979 18 12 15 5 0 2 4 8 11 4 6 11
1980 14 18 13 10 9 0 5 7 6 0 0 0
1981 3 10 13 7 4 4 3 1 0 5 2 7
1982 2 11 6 2 6 2 10 0 9 13 15 23
1983 17 7 20 13 11 5 0 0 4 8 2 12
1984 12 13 14 16 9 6 0 0 4 8 3 8
1985 5 8 13 11 9 9 7 6 8 8 3 9
1986 12 13 14 14 5 3 17 3 11 12 11 10
1987 12 9 10 9 9 7 2 0 4 4 4 4
1988 7 17 15 6 3 5 3 5 3 8 5 13
1989 20 14 11 10 18 17 7 8 4 16 3 0
1990 15 10 25 28 20 20 11 11 17 16 11 15
1991 15 14 15 13 11 10 11 4 10 13 4 8
1992 15 14 9 12 9 8 3 6 2 5 3 3
Promedio 12.45 11.31 13.24 11.17 9.07 8.69 6.69 5.90 7.97 8.14 7.34 8.69

9. 9Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
Cuadro 7.8. N pronosticado – Estación Ania Cabuyal
N PRONOSTICADO - ANIA CABUYAL
AÑOMES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
1973 7 13 12 16 11 14 13 10 7 10 9 16
1974 13 13 17 11 4 11 8 2 6 8 19 14
1975 18 21 12 15 14 15 12 11 3 13 9 7
1976 21 18 21 11 5 5 4 5 2 5 9 8
1977 14 9 9 17 4 6 1 1 2 1 6 10
1978 6 5 13 15 7 6 1 2 5 6 2 9
1979 20 7 12 9 1 2 1 5 3 4 1 5
1980 8 17 8 11 6 2 1 2 1 1 1 1
1981 12 12 14 11 5 2 3 3 1 6 6 11
1982 9 11 8 10 10 2 2 1 3 8 7 21
1983 15 12 18 13 8 1 1 2 3 12 8 11
1984 8 17 17 14 8 9 5 3 8 12 8 5
1985 22 9 11 5 9 1 2 3 2 7 4 15
1986 13 17 6 18 4 2 2 2 6 7 8 14
1987 10 7 10 8 13 3 10 1 2 7 11 7
1988 15 16 10 18 3 1 3 2 5 5 10 17
1989 18 13 17 8 8 3 1 4 3 10 2 1
1990 11 14 13 15 8 4 2 2 1 10 8 9
1991 12 9 13 13 7 4 1 3 1 5 9 9
Promedio 13.26 12.63 12.68 12.53 7.11 4.89 3.84 3.37 3.37 7.21 7.21 10.00
Cuadro 7.9. N pronosticado – Estación Laguna Seca
N PRONOSTICADO - LAGUNA SECA
AÑOMES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC
1973 20 11 11 14 14 12 6 9 6 10 5 13
1974 14 20 19 8 6 12 8 3 9 11 16 14
1975 11 18 13 17 19 15 11 10 7 12 8 7
1976 26 20 19 14 12 10 8 5 3 7 9 16
1977 16 15 14 20 3 11 2 7 3 1 10 11
1978 10 7 17 19 11 8 1 4 6 12 5 12
1979 27 13 21 16 1 2 2 5 4 6 3 9
1980 14 20 12 14 10 2 6 2 4 1 1 1
1981 13 12 13 14 11 5 6 11 1 10 6 15
1982 19 13 16 16 13 2 6 1 3 8 9 21
1983 22 19 14 18 16 6 2 2 4 13 8 17
1984 15 20 21 15 8 9 14 2 8 15 11 13
1985 18 10 17 14 17 5 4 11 6 10 4 14
1986 27 20 13 22 11 2 3 3 5 14 14 9
1987 14 8 15 6 11 5 15 1 2 12 11 15
1988 20 24 13 19 10 4 7 8 7 18 17 22
1989 18 16 16 21 14 15 7 2 11 16 2 1
1990 19 20 20 27 18 4 10 9 2 14 9 13
Promedio 17.94 15.89 15.78 16.33 11.39 7.17 6.56 5.28 5.06 10.56 8.22 12.39

10. 10Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
Grafico 7.1. Numero de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en la estación Talaneo.
Estacion Talaneo
R2
= 0.8519
R
2
= 0.2593
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
Numero de eventos observados
Numerodeeventos
pronosticados
EVENTOS EN TOTAL EVENTOS NO COINCIDENTES
Lineal (EVENTOS EN TOTAL) Lineal (EVENTOS NO COINCIDENTES)
Grafico 7.2. Numero de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en la estación Ania Cabuyal
Estacion Ania Cabuyal
R
2
= 0.9616
R2
= 0.1725
0
5
10
15
20
25
0 5 10 15 20 25
Numero de eventos observados
Numerodeeventos
pronosticados
EVENTOS EN TOTAL EVENTOS NO COINCIDENTES
Lineal (EVENTOS EN TOTAL) Lineal (EVENTOS NO COINCIDENTES)
Grafico 7.3. Numero de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en la estación Laguna Seca
Estacion Laguna Seca
R
2
= 0.9005
R
2
= 0.2721
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
Numero de eventos observados
Numerodeeventos
pronosticados
EVENTOS EN TOTAL EVENTOS NO COINCIDENTES
Lineal (EVENTOS EN TOTAL) Lineal (EVENTOS NO COINCIDENTES)

11. 11Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana
8. Conclusiones
- Se analizó solo la estación Talaneo, Ania Cabuyal y Laguna Seca, debido a la buena calidad de datos
y a modo de aplicación, para validar la metodología descrita. Las estaciones Ania Cabuyal y Laguna
Seca tienen comportamiento similar en cuanto a la dispersión y correlación entre los números de
ocurrencia de lluvia debido a su cercanía geográfica.
- Se obtuvo un coeficiente de correlación conjunta entre datos coincidentes y no coincidentes desde
0.85 para la estación Talaneo, 0.96 para Ania Cabuyal y 0.90 para Laguna Seca, representando una
muy buena asociación lineal.
- Como un segundo análisis, una correlación entre eventos no coincidentes arroja coeficientes de
correlación menores a 0.30. Lo cual refleja la dispersión alrededor de las rectas de coincidencia,
indicando claramente que la precipitación mensual no es la única variable que controla el número de
eventos de lluvia del mes. Las estaciones se hallan en condiciones donde se manifiestan complejos
factores climáticos que dominan la variable estudiada y que están fuera de la metodología propuesta.
- Teniendo en cuenta la simplicidad de la metodología propuesta en el artículo consultado y a la no
disponibilidad frecuente de dicha información, se considera que la metodología es satisfactoria según
la aceptable asociación obtenida entre eventos observados y pronosticados en las estaciones
analizadas de la cuenca alta del río Chira.
9. Recomendaciones
- Dada la elevada varianza que presenta el número de ocurrencias de eventos lluviosos en los registros
observados, considerar esta variable de forma aleatoria e independiente puede dar lugar a
desviaciones importantes entre pronósticos y observaciones, se considera los resultados del método
como algo promisorio.
- Según otros artículos donde plantean una similar metodología (Maria de la Cruz Gallego H, 2004) es
recomendable analizar por periodos y categorías, así se tendrá diferentes análisis para el numero de
eventos lluviosos ligeros, moderados, intensos y muy intensos. Esto permitirá hallar la predominancia
de cada categoría con un coeficiente de correlación mucho mayor, entre pronosticados y observados.
10. Fuentes consultadas
1. ARTICULO BASE: Zimmermann Eric, Aproximación bayesiana para estimación de ocurrencias de lluvia
aplicada a balances hídricos mensuales seriados. UNR – Facultad de Ciencias exactas, Ingeniería y
Agrimensura. Articulo publicado en el PHI - UNESCO – 2003.
2. Maria de la Cruz Gallego H. Jose Agustin Garcia G. Jose M. Vaquero. “Distríbución espacial de índices de
frecuencia de precipitación diaria en la Península Ibérica” .Universidad de Extremadura, 2004.
3. Jack R. Benjamín. C. Allin Cornell. Probabilidad y Estadística en Ingeniería Civil. Mc Graw-Hill – 1981.
4. Ven Te Chow. Hidrología Aplicada. McGraw-Hill – 1994.
5. Máximo Villon Bejar, Hidrología estadística, Lima-Perú, 2002.
Reporte presentado en el curso Métodos Estadísticos en Hidrología
EPG. Universidad Nacional Agraria La Molina. Lima - Peru
© 2007 HydroNotes Eds.
Sources:
http://www.slideshare.net/Hydronotes
http://pedrorau.blogspot.com