1. POLINOMIOS
I. Definición de Polinomios:
Guía de trabajo Se llama polinomio a la siguiente expresión por
Nº 5 ejemplo:
𝟏 𝟒
𝑷 𝒙 = 𝟑 + 𝒙 + 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 𝟑 + 𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 𝟓
OBJETIVO Nº 3: 𝟐
Donde cada número que acompaña a las 𝒙 se llama
coeficiente, cada expresión que está entre los signos
General: más o menos se llama término, los pequeños números que
están sobre las variables se llaman exponentes de cada
Estudiar las término y el número que no está acompañado de la
determinantes
variable se llama término independiente.
Los polinomios se pueden representar con cualquier
Específicos:
letra mayúscula o variable por ejemplo: 𝑃 𝑥 , 𝑄 𝑦 , 𝑅 𝑧 …
Finalmente para que una expresión sea polinómica la
Definir
determinantes variable siempre debe tener todos sus exponentes
Calcular el valor de positivos.
determinantes
Conocer las
propiedades de los II. Valor numérico de un Polinomio:
determinantes
Sea 𝑃 𝑥 un polinomio y 𝑎, un número real, se
llama valor numérico del polinomio 𝑃 𝑥 para 𝑥 = 𝑎, al
valor que se obtiene al sustituir 𝑥 por 𝑎 en el
polinomio. Ejemplo:
Dado el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓, halar su valor para
1
𝑥=2
𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓
𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟕
𝑷 𝟐
= 𝟐
− 𝟒 𝟐
+ 𝟓 𝑷 𝟐
= 𝟒− 𝟐+ 𝟓 𝑷 𝟐
= 𝟒+ 𝟑= 𝟒
III. Propiedad fundamental de la división:
Dado dos polinomios 𝐷 𝑥 y 𝑑 𝑥 , con grado
𝐷 𝑥 ≥ 𝑑 𝑥 , al efectuar la división de 𝐷 𝑥 entre 𝑑 𝑥 ,
se hallan dos polinomios 𝑐 𝑥 y 𝑅 𝑥 , se obtiene que
𝑅 𝑥 < 𝑐 𝑥 y se obtiene la propiedad fundamental de la
división que es:
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 ∙ 𝑐 𝑥 + 𝑅(𝑥)
Donde 𝐷 𝑥 es el dividiendo, d 𝑥 es el divisor, 𝑐 𝑥 es
el cociente y 𝑅 𝑥 es el resto o residuo del polinomio.
1
2. I.- Ejercicios Propuestos
1. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 para los valores
𝟏
𝒙 = 𝟏, −𝟐, 𝟑
2. Hallar el valor numérico de 𝑷 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟑 − 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟏 para los valores
𝟏
𝒙 = 𝟎, −
𝟒
3. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟑𝒙 𝟒 − 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 y calcule su valor
𝟏
numérico para 𝒙 = 𝟒, −𝟐, − 𝟏𝟐
, 𝟐, 𝟗
4. Considere el polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟓 − 𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟐 y calcule su valor
𝟐
numérico para 𝒙 = −𝟓, −𝟏, 𝟎,
𝟐
5. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = −𝒙 𝟓 + 𝟓𝒙 𝟒 − 𝟕𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒
𝟏
cuando 𝒙 = −𝟑, − , − 𝟑
𝟐
6. Calcular el valor numérico del polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟐𝒙 𝟓 + 𝟑 𝟑𝒙 𝟒 + 𝟕𝒙 𝟑 + 𝟐 𝟑𝒙 𝟐 −
𝟑𝒙 + 𝟑 𝟑 cuando 𝒙 = − 𝟑
7. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟑 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟑,
obtener el cociente y el resto de la división
8. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟔𝒙 𝟓 − 𝟑𝒙 𝟑 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 y 𝑑 𝑥 = 𝒙𝟐+ 𝒙+
𝟑,comprobar la propiedad fundamental de de la división
9. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, obtener el cociente
y el resto de la división
10. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 − 𝟒 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟒, comprobar la
propiedad fundamental de de la división
11. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟕𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝑥 2 − 𝟐𝒙 + 𝟏, obtener
el cociente y el resto de la división
12. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟕𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟑 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏,
comprobar la propiedad fundamental de de la división
13. Dados los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, obtener el
cociente y el resto de la división
14. Para los polinomios 𝐷 𝑥 = 𝟐𝒙 𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏 y 𝑑 𝑥 = 𝒙 + 𝟑, comprobar la
propiedad fundamental de de la división
2
3. IV. Regla de Ruffini:
Es un método que permite aplicar un conjunto de normas prácticas que
sirven para abreviar un poco el proceso de efectuar una división por el
método usual, siempre y cuando el divisor sea un binomio de la forma 𝑥 ± 𝑏
o 𝑎𝑥 ± 𝑏. El término que dividirá a cada coeficiente del dividiendo será
el opuesto del término independiente del divisor. Cabe destacar que antes
de proceder a dividir el polinomio por este método, hay que verificar que
el polinomio este completo y en caso de que no lo este, se debe
completar, como ya se ha visto en clase.
Por otra pare si el divisor es de la forma 𝑎𝑥 ± 𝑏, se debe proceder a
dividir el dividiendo y el divisor por el coeficiente de la variable que
es 𝑎 del divisor 𝑎𝑥 ± 𝑏. Si el polinomio posee fracciones y estas se
pueden simplificar hay que hacerlo ya que facilita la resolución de las
operaciones
Ejemplo:
CASO I: forma 𝑥 ± 𝑏
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 + 3𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3 y 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2, hallar el cociente
y el resto aplicando la regla de Ruffini
1 3 −2 0 3
−2 −2 −2 8 −16
1 1 −4 8 −13
𝐶 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 8 y el 𝑅 𝑥 = −13
CASO II: forma 𝑎𝑥 ± 𝑏
1
Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 10𝑥 2 − 7𝑥 + 5 y 𝑄 𝑥 = 2𝑥 + , hallar el cociente y
3
el resto aplicando la regla de Ruffini (El coeficiente 𝑎 es 2)
10𝑥 2 7𝑥 5 7𝑥 5
𝑃 𝑥 = 10𝑥 2 − 7𝑥 + 5 = − + = 5𝑥 2 − +
2 2 2 2 2
1
1 2𝑥 3 1
𝑄 𝑥 = 2𝑥 + = + = 𝑥+
3 2 2 6
7 5
5 −
−1 2 2
5 13
6 -
6 18
13 29
5 −
3 9
13 29
𝐶 𝑥 = 5𝑥 − 3
y el 𝑅 𝑥 = 9
CASO III: cuando el divisor es de grado mayor que 1
3
4. Dados los polinomios 𝑃 𝑥 = 3𝑥 12 − 10𝑥 6 + 7𝑥 3 + 6 y 𝑄 𝑥 = 𝑥 3 + 2 hallar el
cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini (se divide el primer
termino del divisor entre cada término del dividendo excepto el término
independiente y el primer termino del divisor entre el mismo. Y al
obtener el cociente los exponentes se multiplican por el exponente del
primer término del divisor)
3
12
3𝑥 12 10𝑥 6 7𝑥
𝑃 𝑥 = 3𝑥 − 10𝑥 + 7𝑥 = 3 − 3 + 3 = 3𝑥 4 − 10𝑥 2 + 7𝑥
6 3
𝑥 𝑥 𝑥
3 0 -10 7 6
−2 -6 12 -4 -6
3 -6 2 3 0
𝐶 𝑥 = 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 + 3 → 𝐶 𝑥 = 3𝑥 9 − 6𝑥 6 + 2𝑥 3 + 3 y el 𝑅 𝑥 = 0
II.- Ejercicios Propuestos
1. Aplicar la Regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de
las siguientes divisiones:
a) 𝑃 𝑥 = 𝑥 5 − 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
2 1 5
b) 𝑃 𝑥 = −𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 3 𝑥 − 4 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
1
c) 𝑃 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 − 2
d) 𝑃 𝑥 = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3 ÷ 𝑄 𝑥 = 2𝑥 + 3
e) 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2𝑥 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 + 2
f) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 3𝑥 − 2
g) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 4 + 3𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 − 8 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 3
𝑥3 2 1
h) 𝑃 𝑥 = 2
+ 𝑥2 + 3 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 + 2
i) 𝑃 𝑥 = 5𝑥 8 − 𝑥 6 + 𝑥 4 − 𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 − 1
j) 𝑃 𝑥 = 𝑥 6 − 7𝑥 4 − 4𝑥 2 + 1 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 − 1
k) 𝑃 𝑥 = 3𝑥 18 − 𝑥 6 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 6 − 2
𝑥3 1 1
l) 𝑃 𝑥 = 2
+ 𝑥2 + 2 ÷ 𝑄 𝑥 = 𝑥 − 2
4