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3. Expresiones Algebraicas. Polinomios

4. ¿Qué dice el material de estudio al respecto?
Página 30
Son ejemplos de expresiones algebraicas:
xy
yx
2
22
 3322
33 babbaa 

5. Clasificación:

6.  Expresiones Algebraicas Racionales Enteras:
son expresiones en las cuales las variables pueden estar afectadas por las
operaciones de adición, sustracción, multiplicación y potenciación con
exponentes enteros no negativos.
𝑐𝑥 + 𝑑𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑥2 – 2𝑥𝑦 + 𝑦2
A continuación desarrollaremos como se clasifican según sus
términos.

7.  Monomio: Es toda expresión entera en la que no intervienen las
operaciones de adición ni de sustracción. El factor numérico que lo
compone se llama coeficiente.
ba2
3zxy3
3
1

;
Se dice que dos monomios son semejantes si sólo difieren en su coeficiente.
Por ejemplo: yx2
4 yx2
5
6

;
En caso que sean exactamente coincidentes en cada uno de sus factores los
monomios son iguales.
 Grado de un monomio: Se llama grado de un monomio a la suma de los
exponentes de las variables intervinientes.
El monomio es de 7mo. grado.
232
9 zyx

8.  Polinomio: Es la suma algebraica de monomios, también
llamados términos del polinomio. Cuando el polinomio tiene
sólo dos términos se llama binomio, cuando tiene sólo tres
términos se llama trinomio, etc.
 Grado de un polinomio: Es el mayor de los grados de los
monomios que componen el polinomio. se simboliza con: gr
[p(x)].
Por ejemplo
𝑃 𝑥 = 2𝑥4
− 3𝑥3
+ 2𝑥 + 5 entonces 𝑔𝑟 𝑃 𝑥 = 4
𝑔𝑟 3𝑥𝑦3
− 7𝑥2
𝑦3
= 5

9. Polinomio en una variable
Con:
𝑎 𝑛, … , 𝑎1, 𝑎0 Coeficientes reales
𝑎 𝑛≠ 0 coeficiente principal
𝑎0 Término independiente

10.  Polinomio de una variable ordenado: Se dice que un polinomio
se encuentra ordenado si se expresa de modo que el grado de
cada término vaya aumentando o disminuyendo sucesivamente
desde el primer término hasta el último.
 La ordenación será creciente si los exponentes de la variable
van del menor al mayor o decreciente en el caso contrario.
El polinomio 𝑃 𝑥 = −2𝑥3
+ 5𝑥2
− 2 está ordenado
decrecientemente. Mientras que el polinomio 𝑄 𝑥 = 6 −
𝜋𝑥2
+ 𝑥6
se encuentra ordenado en forma creciente.

11. Un polinomio se dice completo cuando en la expresión aparecen
explícitamente todos los términos correspondientes a las potencias
de la variable.
Por ejemplo el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥5
− 1
Se completa sumando términos nulos de los grados entre 5 y 0 que
faltan: 𝑃 𝑥 = 𝑥5
+ 0𝑥4
+ 0𝑥3
+ 0𝑥2
+ 0𝑥 − 1

13. Operaciones con Polinomios de una variable.
 Adición de polinomios: Para encontrar la suma entre dos polinomios se
agrupan los términos o monomios de igual grado y se suman sus coeficientes.

17. Multiplicación de Polinomios: Para multiplicar dos polinomios se utiliza la propiedad
distributiva, la propiedad de las potencias de igual base, efectuando luego la suma de
monomios de igual grado.
−2𝑥2
+ 𝑥 − 1 ∙ 3𝑥3
+ 2𝑥 =
= −2𝑥2
+ 𝑥 − 1 ∙ 3𝑥3
+ −2𝑥2
+ 𝑥 − 1 ∙ 2𝑥 =
= −6𝑥5 + 3𝑥4 − 3𝑥3 + −4𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 =
= −6𝑥5 + 3𝑥4 − 7𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥

18.  Nota: La ordenación de los polinomios facilita el cálculo del producto. Se
tiene, por ejemplo, la siguiente disposición práctica:
2371076
2246
23
2246
22
123
2345
23
234
2345
2
23






xxxxx
xxx
xxxx
xxxx
xx
xxx

20.  División
Para poder dividir polinomios el grado del dividendo debe ser
mayor o igual al grado del divisor.
 División de un polinomio por un monomio:
Se utiliza la propiedad distributiva y las propiedades de las potencias de igual
base.
4𝑥2
− 16𝑥5
+ 36𝑥3
: −2𝑥2
=
4𝑥2
− 16𝑥5
+ 36𝑥3
−2𝑥2
=
4𝑥2
−2𝑥2
−
16𝑥5
−2𝑥2
+
36𝑥3
−2𝑥2
= −2 + 8𝑥3 − 18𝑥

21.  Cociente entre dos polinomio:
El algoritmo de división para polinomios:
Sean 𝐹(𝑥) y 𝐺(𝑥) polinomios con G(𝑥) ≠ 0 , entonces existen polinomios únicos 𝑞(𝑥)
y 𝑟(𝑥) tales que: 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) . 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)
O en forma equivalente
Siendo 𝑟(𝑥) el polinomio resto y q(𝑥) el polinomio cociente
𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥)
𝑟(𝑥) 𝑞(𝑥)

22. Ejemplo: Consideremos la división:
Cociente: 𝟐𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟏
Resto: −9