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1. pág. 0
Mr. Ignacio F. Garcés | 2017
Agradecimientos: profesores Osvaldo Doña & Luis Zegarra Agramont
MATEMÁTICA – CUARTO AÑO MEDIO
Lugares geométricos:
Cónicas

2. Página | 1
Índice de contenido
Introducción pág. 2
Circunferencia pág. 3
Elipse pág. 4
Hipérbola o hipérbole pág. 7
Parábola pág. 9
Observaciones importantes de la parábola pág. 11
Cuadro comparativo de las cónicas pág. 12
Bibliografía pág. 13
Autoevaluación (ejercicios) pág. 13

3. Página | 2
Introducción
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o
propiedades geométricas[1]. Es decir, son lugares (en el espacio o en el plano) de los que se pueden
aplicar propiedades o generar fórmulas con respecto a otros puntos, longitudes, etc.
Un ejemplo de lugar geométrico es el punto medio entre dos puntos, la bisectriz de un triángulo,
una recta, un punto, etc. Las cónicas (también llamadas secciones cónicas) son todas lugares
geométricos también.
Nota: en este documento no se verá tan a profundidad las cónicas. Si quieres ver, por ejemplo, cónicas inclinadas en el
plano y más operaciones muy avanzadas de este tema, ve a → https://goo.gl/h60Ha9
Definición de cónicas o secciones cónicas
Son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un plano con un cono, de la forma que se
muestra en la imagen, obteniéndose:
Imagen: http://descargas.pntic.mec.es
A continuación veremos cada una de estas cosas:
[1
] Fuente: Wikipedia.

4. Página | 3
Circunferencia
Ecuación principal o canónica
Forma: (𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
Donde 𝑟 = radio ; centro de la circunferencia = (ℎ, 𝑘)
Cabe destacar el que el radio no puede ser negativo ya que representa una distancia. Si 𝑟2
es menor
que cero, entonces no sería una fórmula de circunferencia.
Ecuación general
Forma: 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Donde: centro = (𝑎, 𝑏) ; 𝐴 = −2𝑎 ; 𝐵 = −2𝑏 ; 𝐶 = 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑟2
De esta ecuación deriva: 𝑟2
= (
𝐴
2
)
2
+ (
𝐵
2
)
2
− 𝐶 → 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2

5. Página | 4
Elipse
Elementos de la elipse horizontal
Es fundamental saber bien todos los elementos de la elipse:
Sea P(x,y) un punto cualquiera perteneciente a la elipse, se cumple siempre que la suma de las
distancias de P a los focos, da 2a.
Por lo anterior, por definición: 𝑷𝑭 𝟏̅̅̅̅̅̅ + 𝑷𝑭 𝟐̅̅̅̅̅̅ = 𝟐𝒂
Centro: es el medio de la elipse, donde el eje mayor y el eje menor se cruzan. Puede ser cualquier
punto del plano, incluyendo el origen (0,0).
a: es la distancia del centro a una intersección de la elipse con el eje mayor, o también la distancia de
un foco a B o B’. a siempre será mayor que b y c.
b: es la distancia del centro a una intersección de la elipse con eje menor.
c: es la distancia del centro a un foco.
a, b y c siempre estarán en una misma proporción, la cual es la siguiente: 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
Vértices: en las imágenes, son A, A’, B y B’ (también llamados A1, A2, B1 y B2).
Eje menor: tiene una longitud de 2b.
Eje mayor: tiene una longitud de 2a, y en él se encuentran los focos.
Eje focal: se encuentra en el eje mayor y mide 2c, longitud que también es llamada distancia focal.
El semieje mayor, el semieje menor y el semieje focal son la mitad de los ejes.
Focos: son dos puntos F1 y F2, o también representados como F y F’. Las coordenadas de los focos y de
los vértices se obtienen como se muestra en la imagen superior derecha. (Si el centro es (0,0))
Radio vector: es la distancia de un punto cualquiera de la elipse a un foco.

6. Página | 5
Lado recto (LR): es una prolongación perpendicular al eje mayor
y que pasa un foco, hasta tocar la elipse, como se muestra en
la imagen de la derecha.
La lungitud del lado recto de calcula como: 𝐿𝑅 = 2 •
𝑏2
𝑎
El segmento recto es la mitad del lado recto.
Excentricidad (𝒆): es un número entre el 1 y el 0 que representa cuán estirada o contrída es la elipse. Se
calcula de la siguiente manera: 𝑒 = 𝑐
𝑎⁄ , o también 𝑒 = √1 − ( 𝑏
𝑎⁄ )
2
Cabe destacar que, si a es igual a b, entonces la ecuación describiría en realidad a una
circunferencia. Lo mismo sucede si la excentricidad (e) es igual a cero.
Por supuesto, a, b y c no son negativos, porque representan distancias.
En todas las imágenes anteriores, se han visto elipses con centro en el origen, pero, los vértices
de una elipse con centro en (𝒉, 𝒌), por ejemplo, se deben trasladar las coordenadas según el
vector 𝒗⃗⃗ (𝒉, 𝒌); por ejemplo, quedando los focos en (ℎ + 𝑐, 𝑘) y en (ℎ − 𝑐, 𝑘), y así con todos los
vértices.

7. Página | 6
La elipse vertical
La elipse, al ser vertical, cambia de la siguiente forma:
Los elementos de la elipse se calculan de manera similar.
Ecuación principal o canónica de la elipse
Las fórmulas para una elipse horizontal y vertical, con centro en (𝒉, 𝒌), son las siguientes:
Forma horizontal:
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
Forma vertical:
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 +
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1 (lo de arriba cambia de lugar)
a, b y c se calculan normalmente, y luego, si el centro no es el origen, los vértices y los focos se
trasladan según el vector 𝑣(ℎ, 𝑘) para poder calcular sus coordenadas reales respectivas en el
plano cartesiano.
Se puede identificar si una elipse es vertical u horizontal buscando a. Como a es mayor, a2 será
mayor, y si se encuentra debajo de (𝑥 − ℎ)2
, significa que es horizontal.
Ecuación general de la elipse
Forma: 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Donde A y B deben tener el mismo signo. Esta ecuación se obtiene a partir del desarrollo de la
principal.

8. Página | 7
Hipérbola o hipérbole
Elementos de la hipérbola
La hipérbola tiene varias similitudes con la elipse.
Cualquier punto de la hipérbola cumple que, al medirse su distancia hacia ambos focos, y luego restarse,
se obtiene 2a.
Entonces, por definición, siempre se cumple en la hipérbola que: |𝑷𝑭 𝟏̅̅̅̅̅̅ − 𝑷𝑭 𝟐̅̅̅̅̅̅| = 𝟐𝒂
𝑎, 𝑏 y 𝑐 representan lo mismo que en la elipse, pero su relación difiere: 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
, por lo que 𝑐
siempre será mayor que 𝑏 y 𝑎
Eje principal o real: en él se encuantran los focos y 𝐴 junto con 𝐴’. (es como el eje mayor en la elipse)
Eje focal: mide 2𝑐. En él está el eje real.
Eje secundario o imaginario: en él se posicionan B y B’.
Centro: lugar donde el eje real y el imaginario se cortan.
Focos: al igual que en la elipse, se encuentran a una distancia c del centro.
Excentricidad (𝐞): Representa cuán estiradas o contraídas están las ramas de la hipérbola. Se calcula
igual que en la elipse: 𝑒 = 𝑐
𝑎⁄
Asíntotas: son rectas que se acercan pero que nunca tocan a la hipérbola. Sus ecuaciones se obtienen
igualando la ecuación principal de la elipse a hipérbola a cero, reemplazando el uno. (ver página 9)
Si y sólo si la hipérbola es centrada en el origen, las asíntotas son simplemente 𝑥 =
𝑏
𝑎
y 𝑥 = −
𝑏
𝑎

9. Página | 8
Ecuación principal o canónica de la hipérbola
Se asemeja mucho a la de la elipse, solo que ésta tiene resta en lugar de suma. Estas fórmulas aplcican
a una hipérbola con centro en (ℎ, 𝑘):
Forma horizontal:
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
Forma vertical:
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 −
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1 (cambia de lugar lo de arriba)
Es importante saber las ecuaciones de las asíntotas. En general, en una hipérbola horizontal, se
obtienen despejando:
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 0 , y en una vertical:
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
−
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
= 0
Ecuación general de la hipérbola
Es idéntica a la ecuación general de la elipse, con la diferencia de que A y B deben tener signos
opuestos.
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

10. Página | 9
Parábola
Elementos de la parábola
Es un lugar geométrico en el que todos los puntos están a la misma distancia de una recta llamada
directriz y un punto llamado foco.
Por lo tanto, por definición: 𝑷𝑭̅̅̅̅ = 𝑷𝒅̅̅̅̅ donde 𝑃: punto cualquiera de la parábola.
Cuando se habla de la distancia de un punto a la recta directriz, se refiere a la menor distancia posible,
es decir, la medida de un segmento perpendicular a la directriz, como se muestra en las imágenes.
Directriz (d): es una recta perpendicular al eje focal. Su ecuación es 𝒙 = −
𝒑
𝟐
Parámetro (p): (No confundir con P de punto cualquiera) Es la distancia entre el foco y la directriz. Es
decir, es la semidistancia entre el foco y el vértice o la directriz y el vértice (mirar imagen superior
izquierda)[2].
Eje focal o de simetría: es una recta perpendicular a la directriz. El foco está en este eje.
Vértice: es el punto en donde la parábola corta al eje focal, y donde está más cerca del foco y de la
directriz.
Foco: en la parábola hay un único foco, que se encuentra a una distancia
𝑝
2
del vértice, por lo que, si el
vértice está en (ℎ, 𝑘); las coordenadas del foco serán: (𝒉 +
𝒑
𝟐
, 𝒌)
Radio vector: es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.
Cuerda focal: es u segmento que pasa al foco y toca en dos puntos a la elipse.
Lado recto (LR): es una cuerda focal que es perpendicular al eje focal. El lado recto mide 𝟒𝒑.
[2
] En este caso tomaremos la distancia entre el foco y la directriz como p, pero hay libros que muestran esta distancia
como 2p. Eso no interesa, ya que en realidad no habrá diferencia en cuanto a los valores de la ecuación ni a la parábola
misma. Créeme.

11. Página | 10
Asíntotas: son rectas esenciales para graficar adecuadamente una parábola. Se acercan a ella, pero
jamás la tocan. Sus ecuaciones son: (𝑦 − 𝑘) = ±
𝑏
𝑎
(𝑥 − ℎ) (importante)
Ecuación principal o canónica de la parábola
Sea el vértice de la parábola en (ℎ, 𝑘):
Forma hotrizontal: (𝑦 − 𝑘)2
= 2𝑝(𝑥 − ℎ)
Forma vertical: (𝑥 − ℎ)2
= 2𝑝(𝑦 − 𝑘)
Ecuación general de la parábola
Horizontal: 𝐴𝑦2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0
Vertical: 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦 + 𝐶𝑥 + 𝐷 = 0
Para obtener esta expresión, se desarrolla la ecuación principal y se iguala a 0, tal como en las otras
cónicas.
En mi opinión, la parábola es la cónica más compleja. Estúdiala bien.
Consejo para ejercicios eficientemente de esta y las otras cónicas: siempre graficar.
Ciertamente, el gráfico ayuda.

12. Página | 11
Observaciones importantes de la parábola
𝑝 = 1 𝑝 = 3
Cuanto más grande es el valor absoluto de 𝒑, más abierta es la parábola, siempre.
En la parábola vertical
𝑝 > 0 𝑝 < 0
En la parábola horizontal
𝑝 > 0 𝑝 < 0

13. Página | 12
Cuadro comparativo de las cónicas
Ecuación principal Ecuación general
Circunferencia (x − h)2
+ (y − k)2
= r2
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0
Elipse
(x−h)2
a2 +
(y−k)2
b2 = 1 horizontal
(y−k)2
a2 +
(x−h)2
b2 = 1 vertical
Ax2
+ By2
+ Cx + Dy + E = 0
Hipérbola
(x−h)2
a2 −
(y−k)2
b2 = 1 horizontal
(y−k)2
a2 −
(x−h)2
b2 = 1 vertical
Ax2
+ By2
+ Cx + Dy + E = 0
Parábola
(y − k)2
= 2p(x − h) horizontal
(x − h)2
= 2p(y − k) vertical
𝐴𝑦2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶𝑦 + 𝐷 = 0 horizontal
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦 + 𝐶𝑥 + 𝐷 = 0 vertical
Notar cuando se hable de ecuación general siempre es alguna cosa igualada a cero.

14. Página | 13
Bibliografía
↳ Algunas páginas de Profesor en Línea
(http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Indice_general_matematica.html)
↳ Varios gráficos de este documento fueron hechos con una útil, gratis y completísima
herramienta web llamada Desmos (desmos.com/calculator). Con esta página puedes graficar
cualquier cónica, casi todas las funciones que existen, y más.
Autoevaluación
Excelente, hora de ver si aprendiste. En el siguiente link hay varios ejercicios resueltos de cónicas:
http://www.segundoperez.es/MatI/MIConicas.htm
En matemática siempre es fundamental hacer ejercicios para comprender los problemas.