Presentacion de Investigacion Serie de Taylor

1. José Lo Piccolo
Ci: 26.357.485

2. Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible
formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse
usando operaciones aritméticas.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas
numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y
científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos,
escribir programas y resolverlos en una computadora y usar
correctamente el software existente para dichos métodos y no solo
aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que
también amplia la pericia matemática y la comprensión de los
principios científicos básicos.

3. En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de
series de Taylor y métodos similares fueron
dados por Madhava de Sangamagrama. A pesar
de que hoy en día ningún registro de su trabajo
ha sobrevivido a los años, escritos de
matemáticos hindúes posteriores sugieren que él
encontró un número de casos especiales de la
serie de Taylor, incluidos aquellos para las
funciones trigonométricas del seno, coseno,
tangente y arcotangente.
En el siglo XVII, James Gregory también trabajó
en esta área y publicó varias series de Maclaurin.
Pero en 1715 se presentó una forma general para
construir estas series para todas las funciones
para las que existe y fue presentado por Brook
Taylor, de quién recibe su nombre.

4. Una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie
de potencias suma de potencias enteras de polinomios como (x-a)n
llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de
las derivadas de la función para un determinado valor o punto
”a” suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual
converja la serie.
Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:
•La derivación e integración de una de estas series se puede realizar
término a término, que resultan operaciones triviales;
•Se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
•Es posible calcular la optimidad de la aproximación.

5. La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente
diferenciable en el entorno de un número real o complejo es la
siguiente serie de potencias:
Que puede ser escrita más compacta como:
Donde:
•n! es el factorial de n
•f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable
respecto de la cual se deriva.

6. Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar
de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento
local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras
aplicaciones.
Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los
mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema
de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de
puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o
puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente),
estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de
algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de
infinitésimos, etc.

7. Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo
(a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se
llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele
utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.
Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos
de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación
cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de
Taylor al número finito de los términos iníciales de la serie de Taylor de
una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir,
el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no
ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada
punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o
un disco en el plano complejo) se denomina función analítica.