Medidas de Tendencia central mas comunes.

1. Estadística y
Probabilidad I
Medidas de
Tendencia Central
Ciclo escolar 2013-2014

2. Notación de Sumatoria
• Denotamos por Xj (léase “X subíndice j” o
simplemente “X sub j”) cualquiera de los N
valores X1, X2, X3, … XN que toma una variable
X. La letra j en Xj que puede valer 1, 2, 3, … ,N
se llama subíndice. Es claro que es posible
emplear cualquier otra letra en lugar de j; por
ejemplo, i, k, p, q o s.

3. Notación de Sumatoria
• Cuando tenemos que representar una suma
grande, en matemáticas se ocupan varias
notaciones dentro de las que sobresalen las
siguientes:
+
s
S
σ
Ʃ
ʃ
• Siendo la mas utilizada en estadística la siguiente:


4. Notación de Sumatoria
Termino o sumando: es lo
que sumamos
N
Limite superior: Indica hasta
donde sumamos
X
j 1
j
Índice: Con respecto a este
símbolo sumamos
Limite inferior: indica desde
donde sumamos.
l
X
j k
j
 X k  X k 1  X k  2    X l 1  X l

5. Ejemplo de sumatoria
X1  4
Y1  2
X2 1
Y2  2
X3  7
Y3  3
X 4  2 Y4  4
X5  3
Y5  3
X6  5
Y6  2
X7  6
Y7  0
X8  0
Y8  4
X9  3
Y9  0
X 10  2
Y10  3
6
X
j 2

j
9
 3Y
j 6

j
 2 X
4
j 1
j
 3Y j  

6. Medidas de Tendencia Central
• Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente
resumir la información con un solo número. Este número que, para
tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se
denomina medida o parámetro de tendencia central o de
centralización.
• Entre las medidas de tendencia central mas comunes tenemos:
– Media Aritmética (o simplemente Media)
– Mediana
– Moda
• Otras medidas de tendencia central son
–
–
–
–
Media Geométrica
Media Armónica
Media Cuadrática
Cuartiles, Deciles y Percentiles

7. Media Aritmética
• A veces se le llama simplemente Media o
promedio. Tiene muchas propiedades
aritméticas que explicaremos mas adelante en
el curso, y por eso es también la mas usada
como medida de centralización. Se representa
y se define por
1
X
N
N
X
j 1
j

8. Mediana
• La mediana de un conjunto de números, es el
valor central o la media de los dos valores
centrales de los datos ordenados. Lo
representamos por
X me

9. Moda
• La moda de un conjunto de números es el valor
que ocurre con mayor frecuencia; es decir, el
valor mas frecuente. La moda puede no existir e
incluso no ser única.
• Es la única medida de centralización que puede
aplicarse también a datos cualitativos.
• La distribución con una sola moda se llama
unimodal. Y cuando tiene varias multimodal. Lo
representamos por
X mo

10. Ejemplos
• Calcule la media, mediana y moda de los
siguientes datos
• 2, 4, 6, 2, 5, 2, 4
• 1.1, 3.5, 2.6, 5.5, 2.4, 1.2
• 9, 9, 2, 6, 2, 8, 4, 3, 8, 1

11. Media Aritmética (continuación)
• Si los números X1, X2, …,Xk ocurren f1, f2, … , fk veces,
respectivamente la media aritmética puede calcularse
como
k
X
f
j 1
k
j
Xj
f
j 1
j
• Ejemplo, la media aritmética de
5, 5, 5, 5, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 2 es

12. Media Aritmética Ponderada
• A veces asociamos con los números X1, X2, …,Xk ciertos factores
peso w1, w2, … , wk, dependientes de la relevancia asignada a cada
numero. En tal caso
k
X
w X
j 1
k
j
w
j 1
j
j
• Si el examen final de un curso cuenta tres veces mas que una
evaluación parcial y un estudiante obtiene una calificación de 85 en
el examen final, y 70 y 90 en los dos parciales, la calificación media
es

13. Actividad
• De un total de 100 números, 20 eran cuatros, 40 eran cincos, 30
eran seises, y los restantes eran sietes. Obtenga la media
aritmética de los números.
• Las calificaciones finales de un estudiante en matemáticas,
física, ingles e higiene son, en ese orden 82, 86, 90 y 70. Si los
créditos respectivos recibidos por estos cursos son 3, 5, 3 y 1,
determine un promedio de calificaciones apropiado.
• Las calificaciones obtenidas por un estudiante en laboratorio,
teoría y practica de un curso de física son 71, 78 y 89
respectivamente.
– Si los pesos asignados a las calificaciones son 2, 3 y 5 ¿Cuál es la
calificación promedio?
– ¿Cuál seria la calificación promedio si se utiliza el mismo peso para
las tres?
• Una empresa tiene 80 empleados, 60 ganan $10.00 por hora y
20 ganan $13.00 por hora. Determine la ganancia media por
hora.

14. Propiedades de la Media Aritmética
• La suma algebraica de las desviaciones respecto a la
media aritmética es cero.
– Una desviación con respecto al valor A, es la diferencia de
el dato con A
dj  X j  A
 X
N
j 1
j
 X  0
• Ejemplo: calcule las desviaciones con respecto a la
media, y la suma de esas desviaciones de los valores 8,
3, 5, 12 y 10.

15. Propiedades de la Media Aritmética
• La suma de los cuadrados de las desviaciones
de un conjunto de números respecto a un
numero “A”, es mínima cuando “A” es la
media aritmética.
 X
N
j 1
 A
2
j

16. Propiedades de la Media Aritmética
• Si f1 números tienen media m1, f2 números tienen media m2, …. , y
fk números tienen media mk, entonces la media de todos los
números es
k
X
fm
j 1
k
j
f
j 1
j
j
• Cuatro grupos de estudiantes, consistentes de 15, 20, 10 y 18
individuos, reportan pesos medios de 162, 148, 153 y 140 libras
respectivamente. Encuentre el peso medio de todos los
estudiantes.

17. Propiedades de la Media Aritmética
• Si A es una supuesta media aritmética o
conjeturada (que puede ser cualquier numero)
y si
dj=Xj-A
son las desviaciones de Xj
respecto de A, la media aritmética es
N
X  A
d
j 1
N
j
 A d
• Ejemplo, calcule la media aritmética de
1001.1, 1000.9, 1002.3, 1003.2, 1000.7, 1003.0,
1000.2, 999.8
• A=1000, y las desviaciones son 1.1, 0.9, 2.3, 3.2,
0.7, 3.0, 0.2, -0.2

18. Media Geométrica
• Es la raíz N-ésima del producto de N valores.
MG  N X 1  X 2    X N 1  X N
• Ejemplo, la media geométrica de 2,4,9 es
MG  3 2  4  9  3 72  4.1602

19. Media Armónica
• Es el reciproco del promedio de los recíprocos
H
1

N

j 1
1
Xj
N
N

j 1
1
Xj
N
• Ejemplo, la media armónica de 2,4,4,3,7 es
5
5
105
H


 3.3871
1 1 1 1 1 31
31
   
21
2 4 4 3 7

20. Media Cuadráticas
• Es la raíz cuadrada del promedio de los
cuadrados
N
MC 
X
j 1
2
j
N
• Ejemplo, la media cuadrática de 2,1,4,3,2 es
2 2  12  4 2  32  2 2
4  1  16  9  4
MC 

5
5

34
 6.8  2.6077
5

21. Visita las paginas siguientes
• http://gaussianos.com/cuando-hables-desalarios-utiliza-la-mediana/
• http://www.jotdown.es/2013/06/clara-grimacon-medias-y-a-lo-loco/
• http://blogs.20minutos.es/mati-unaprofesora-muy-particular/2013/02/06/a-lamoda-y-a-la-mediana-y-a-la-media/