GUÍA DE MATEMÁTICAS, BLOQUE 2, SEGUNDO GRADO DE SECUNDARIA

1. 41
PROBLEMAS ADITIVOS
• Resolución de problemas que implique suma de monomios y polinomios.
SUMA CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PROBLEMA: ¿Cuál es el perímetro del siguiente terreno?
Una expresión algebraica, es una expresión formada por una o más variables, como por
ejemplo: 5x - 2. Las variables son la parte representadas con las literales: x.
El término algebraico 5x tiene: Coeficiente 5; Literal x; Signo +; Y exponente de x, 1.
Las expresiones algebraicas se clasifican en: Monomios, formada por un solo término
como 5x; Binomios como 5x – 2; Trinomios como x² + 2x – 1.
Para simplificar expresiones algebraicas, solo sumamos o restamos los términos
semejantes. Ejemplo:
(5x – 2) + (4x – 2) + (2x + 7) + 2x = 5x – 2 + 4x – 2 + 2x + 7 + 2x = 13x + 3
Los términos son semejantes cuando tienen la misma literal afectada con el mismo
exponente. Ejemplos: (5x, 4x, 2x y 2x); y (-2, -2 y +7).
En álgebra, el lenguaje común de un problema, lo podemos cambiar en lenguaje
algebraico, basta con representar el problema utilizando literales y números. Ejemplos:
Un número cualquiera: x
La suma de dos números cualquiera: a + b
La suma de dos números enteros consecutivos: x + (x + 1)
El producto de un número por menos tres, es igual a veinticuatro: -3y = 24
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Completa la tabla y encuentra el valor numérico de cada expresión, dándole a las
literales los siguientes valores, como en el ejemplo.
a = 3 b = 4 x = 2 ¶ = 3.14 n = 5 c = -6 r = 2 h = 15
EXPRESIÓN NOMBRE OPERACIONES VALOR
-4a + 4 Binomio -4(3) + 4 = -12 + 4 = -8 -8
a + 2a
(x + 3)²
4n - 1
¶ r²
b² - 4ac
¶ r² h
x² - 2x + 5
4x - 2
2x + 7
2x
5x - 2
BLOQUE 2

2. 42
2.- Representa algebraicamente los siguientes planteamientos.
La suma de dos números cualquiera.
Un número cualquiera elevado al cubo.
La suma de dos números cualesquiera dividida entre dos.
El producto de un número cualquiera entero por 5 es 125.
La suma de dos números enteros consecutivos es 35.
La suma de un número cualquiera más dos elevada al cuadrado y
multiplicada por tres.
Omar compró 8 cuadernos a x pesos cada uno, y al pagar le
descontaron el precio de 2 cuadernos.
Si al doble de un número le aumentamos 6 unidades, obtenemos
42 unidades.
Mario tiene 2 años más que su hermano. La suma de sus edades
es 30 años.
El triple de un ángulo más otro ángulo diferente es igual 90°
Un número más su doble es igual a 96.
3.- Resuelve el siguiente problema.
PROBLEMA: Un número consecutivo es el entero que está enseguida del otro.
Si la suma de tres números consecutivos se representa con la expresión:
n + (n + 1) + (n + 2); contesta la siguiente pregunta:
¿La suma de tres números consecutivos es divisible entre tres? ______
4.- Simplifica, reduciendo los términos semejantes.
9x + 4x = _______ 5x + 3x + 2x = _______ 7y + 5y – 9y = ______
9y - 3y = ______ 2a + 4a + 6a = _______ 2a + 3a – 5a = _______
10x + 20x = ______ 3x + 5x – 6x = _______ 10x – 5x + 12x = ______
8x – 15x = _______ 3y – 12y = _______ 4x – 9x = _______
-2x – 7x = _______ -5y – 8y = _______ -11b – 7b = _______
5.- Simplifica.
3x² + 2x – 2 – 2x² + 5x + 5 = _________________________________________________
5b + 7b² + 12 + 3b – 4b² - 7 = ________________________________________________
3x² - 2x + 2 + 5x³ - 2x² + 3x – 4 = _____________________________________________
(4x² - 5x + 3) + (-2x² - 2x – 4) = _______________________________________________
x + (x + 1) + (x + 2) = ______________________________________________________
(3x³ - 4x² - 5x) + (5x³ + 2x² - 3x) = _____________________________________________

3. 43
6.- Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.
P = _____________ P = _________________ P = ____________________
7.- Encuentra lo que mide el perímetro de cada figura.
P = ______ P = _______________ P = ___________
8.- El siguiente dibujo representa el plano de la casa donde vive el Señor Reyes.
9x + 7
3x + 4
2x + 4 5x - 2 2x 5
¿Cuánto mide el perímetro de la cochera? ________________
¿Cuánto mide el perímetro del baño? _______________
¿Cuánto mide el perímetro de la recámara? ________________
Si el ancho del estudio mide 8 metros, ¿cuánto mide de perímetro? _______________
¿Cuánto mide el perímetro de toda la casa? ________________
9.- ¿Encuentra el resultado de la siguiente suma de polinomios?............................. (____)
(3x + x² - 10) + (5x + x² + 10) =
a) 2x² + 8x b) 8x + 20 c) 8x - 20 d) 2x + 2x² + 0
10.- ¿Cuál es la suma de los polinomios : 3x² - y; 5x² - 2xy + 3y; 5xy + y?................ (____)
a) 15x³ - 10xy - 3y³ b) 8x² + 3x²y² + 3y c) 8x³ + 3xy + 3y d) 8x² + 3xy + 3y
4n4n
4n + 5
2x + 1
3a + 52x
Cochera
Sala
Estudio Ba
ño
2x + 2
x + 2
Recá
mara
n
n
n
n
2m
2m
4x
6y
x x
xx
x

4. 44
11.- Simplifica, reduciendo los términos semejantes.
5x + 6x = _______ 3x + 4x + 6x = _______ 8y + 6y – 10y = ______
8y - 3y = ______ 4a + 4a + 4a = _______ 3a + 4a – 6a = _______
12x + 20x = ______ 3x + 3x – 6x = _______ 12x – 5x + 12x = ______
7x – 15x = _______ 5y – 14y = _______ 5x – 10x = _______
-4x – 6x = _______ -4y – 7y = _______ -10b – 7b = _______
12.- Simplifica.
4x² + 5x – 2 – 3x² + 5x + 5 = _________________________________________________
6b + 9b² + 10 + 3b – 4b² - 7 = ________________________________________________
5x² - 4x + 2 + 8x³ - 2x² + 2x – 4 = _____________________________________________
(5x² - 4x + 9) + (-3x² - 5x – 10) = ______________________________________________
x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) = _______________________________________________
(5x³ - 6x² - 6x) + (8x³ + 3x² - 4x) = _____________________________________________
13.- Encuentra lo que mide el perímetro de cada una de las siguientes figuras.
13
4x - 24x - 2
2x + 1
55
2x + 1
3x + 1
4x + 2
2x + 22x + 2
5x - 2
5x - 2
x + 4
3x
2x
2x + 1
P = ____________ P = ____________
P = ____________ P = ____________

5. 45
PROBLEMAS ADITIVOS
• Resolución de problemas que implique resta de monomios y polinomios.
RESTADE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PROBLEMA: En el siguiente cuadrado mágico la suma de las líneas horizontales, de las
verticales y de las diagonales, es igual a 12x - 18. Encuentra los sumandos que faltan.
(12x – 18) – (2x – 3) = 12x – 18 – 2x + 3
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Escribe el inverso de los términos que están dentro del paréntesis.
- (2x + 7) = ___________ - (6y – 7) = ___________ - (6x – 8y + 5) =
- (4x + 6) = ___________ - (6x – 9) = ___________ - (6a – 4b – 7) =
- (- 6x + 9) = ___________ - (-3y + 4) = ___________ - (-3a + 10b – 6c) =
2.- Simplifica como en el ejemplo: 18 – (-15) – 3 – (-5x) = 18 + 15 – 3 + 5x = 30 + 5x
7x – (-7x) = _______________________ 8x – (-3x) = ______________________
-4x – (-9x) = _______________________ -6x – (-5x) = _____________________
13x – (-2x) + 45 – (-21) = _________________________________________
8x – (-2x) + 53 – 14 = ____________________________________________
(12x + 9) - (3x + 6) = _____________________________________________
(8a + 5) - (4a + 5) = ______________________________________________
(12x + 5) - (3x + 4) = _____________________________________________
(6y - 9) - (7y - 5) = _______________________________________________
(6x² + 9) - (8x² + 12) = ____________________________________________
Sumamos los sumandos de la primera línea
vertical:
(2x – 3) + (12x – 18) =
2x – 3 + 12x – 18 = 14x – 21
Para encontrar el sumando que falta,
a 12x – 18 le restamos 14x – 21.
(12x – 18) – (14x – 21) =
12x – 18 – 14x + 21 = -2x + 3
Siempre que haya signo menos antes de un
paréntesis, todo lo que está dentro del
paréntesis se cambia por su signo contrario.
12x - 18 4x - 6 -4x + 6
2x - 3 0

6. 46
3.- Simplifica
- (3x – 7)
- (4x² - 3x + 2)
- (-4x³ - 6x² + 3x – 8)
- (- 2x + 4)
- (-5x³ + 4x² - x + 0.8)
4.- Resta
(5x² + 6) – (3x² + 8) =
(7x³ - 2x² + 6) – (7x² + 2x – 4) =
(6x³ - 3x² + x + 1 ) – (8x³ + 3x² - 1) =
7x³ - (-3x² - 2x + 1) =
(0.08x³ - 0.02x² + o.01) – (0.02x³ - 0.03x² - 1) =
5.- Resta
(x² + 5x + 6) – (x² + 2x) =
(x³ + 1) – (x³ + x²) =
(3x² - 6x + 1) – (6x² + 8x – 3) =
(3x² - 7x + 2) – (-5x² - 2x + 4) =
6.- Simplifica
(y + 4) + (y – 5) – (y + 8) =
(7y² - 5y + 6) – (3y² + 8y – 12) + (8y² -10y + 3) =
(4a² - 3a) + (7a² - 9a – 13) – (6a – 9) =
(5x³ - 4x² + 6) – (2x³ + x² - x) + (x³ - x) =

7. 47
7.- Resuelve los siguientes problemas.
1.- En mi casa tenemos (8x + 9) naranjas. Si nos comemos (4x + 7) naranjas, ¿cuántas
naranjas nos quedan? __________________
2.- El perímetro de la casa de mi sobrino Iván mide (24x + 22) metros, y una de las
recámaras mide de perímetro (6x + 9) metros, ¿cuánto es mayor el perímetro de la casa
que el de la recámara? __________________
3.- El papá de Isaid tiene (25x + 8) años, y la edad de Isaid es de (x + 4) años, ¿cuántos
años es mayor el papá? _________________
4.- Mario y su hermano Ismael se dirigen a Cd Juárez en distintos carros. El primero
maneja a una velocidad de (6x + 20) kilómetros por hora, y el segundo lo hace a una
velocidad de (5x – 10) kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros avanza más Mario
durante una hora? ______________
¿Cuánto avanza más en dos horas? ____________
¿Cuánto avanza más en tres horas? ____________
8.- Observa los siguientes dibujos y resuelve los problemas planteados enseguida.
12x + 20
¿Cuánto es más alto el edificio que la iglesia? ___________
¿Cuánto es más alta la astabandera que la escuela? ___________
¿Cuánto es más alta la escuela que la iglesia? ____________
¿Cuánto es más alto el edificio que la astabandera? ____________
¿Cuánto es más alto el edificio que la escuela? _____________
Escuela
Sec. Fed. 3
x + 9 x + 13
11x + 5

8. 48
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS
• Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo
de modelos geométricos.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES. MODELOS GEOMÉTRICOS.
PROBLEMA: ¿Cuál es el área de las siguientes figuras?
A = a(a + 2) = a² + 2 a
Área del cuadrado = (a)(a) = a² Área del rectángulo = (2)(a) = 2a
Una identidad algebraica es una expresión que se escribe diferente a otra, pero que
ambas valen lo mismo, por eso reciben el nombre de identidades algebraicas.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Encuentra la expresión algebraica que representa el área de las siguientes figuras o
modelos geométricos.
x
x m a x + 6
A = _________ A = __________ A = ________ A = ______________
2.- Encuentra el área de cada una de las siguientes figuras.
a a a
A = ___________________________ A = _____________________________
x + 3 7 + 4
x
+
3 +
A = _______________________________
zyx
2
a
a
aa + 2
a
4
7
b
a
a
a
3
5
Propiedad distributiva de la multiplicación:
a(a + 2) = (a)(a) + (a)(2) = a² + 2 a
2aa²
A = ______________________________

9. 49
3.- En los siguientes modelos geométricos, escribe en la línea la expresión algebraica que
falta para completar las identidades algebraicas de sus distintas áreas.
a +1 a 1
2(a + 1) = _____________________
x + 2 x x 2 2
(x + 2)(x + 2) = _______________________________________
+
(5 + 3)² = ___________________________________
a + 1 a + 1
_____________ = ______________
x x 3 3 x + 3
_________________________________ = ______________________
5
3
3
35
3
5
55 + 3
+
2
3
5
+
2
x
2
x
2
x
444
2
x
2
x
x
222

10. 50
4.- El salón de baile de Cd. Aldama, está diseñado como se muestra en el primer modelo.
Los dibujos siguientes muestran las ampliaciones que están programadas en un futuro
para que el salón tenga mayor capacidad. Encuentra el área de todos los dibujos.
x + 3 x + 4
A = ________________________ A = _______________________
x + 5 x + 6
A = ________________________
A = _______________________
5.- Con los siguientes tres patrones de figuras que se te dan, construye dos modelos
geométricos diferentes y escribe el área de cada uno.
x
x
x
2
2
2
x
+
xx
+
5
+
4
x
+
3
6

11. 51
MEDIDA
• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.
VOLUMEN DEL CUBO, PRISMAS Y PIRÁMIDES RECTOS.
El volumen es el espacio que un cuerpo ocupa.
La capacidad es la cantidad de cualquier líquido que puede contener ese volumen.
El volumen tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto.
El volumen se mide en unidades cúbicas: cm³, dm³, m³, etc.
1 centímetro cúbico es un cubo que mide 1 centímetro en cada arista.
1 decímetro cúbico es un cubo que mide 1 decímetro en cada arista.
1 metro cúbico es un cubo que mide 1 metro por cada arista.
1 dm³ = 1 litro
1 m³ = 1 000 litros
SÓLIDO FÓRMULADEL VOLUMEN
CUBO Área de la base por la altura = L³ = (L)(L)(L)
PRISMA Área de la base por la altura
PIRÁMIDE Área de la base por la altura entre tres.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Expresa en unidades cúbicas (u³) el volumen o espacio de los siguientes sólidos.
V = __________
V = _________
V = __________
20
20
20
V = ____________
V = ____________
2.1
2.69.9
Una pirámide es la
tercera parte de un
cubo o de un prisma.
V = ____________

12. 52
2.- Expresa el volumen de los siguientes sólidos geométricos.
V = ____________ V = _______________ V = ____________
3.- Resuelve los siguientes problemas.
1.- ¿Cuál es el volumen de una casa que tiene la siguiente forma y dimensiones?
V = _____________
2.- JUMEX y Leche Zaragoza venden un litro de su producto en envases que tienen las
siguientes formas y dimensiones. Encuentra el volumen de las cajas y determina si cada
una puede contener un litro, considerando que un litro es igual a 1 000 cm³ o sea 1 dm³.
¿Le cabrá un litro?____ ¿Le cabrá un litro?____
V = __________________ V = ___________________
20 cm
7.2 cm
7.2 cm
19.5 cm
5.7 cm
9 cm
6 m
6 m
10 m
10 m
2.5 m
4 cm
3.1 cm
2 cm
1.8 cm
5.8 cm
2.5 cm
2.5 cm
2.5 cm
3.4 cm
JUMEX
LECHE

13. 53
Capacidad: ________________ litros.
2.5 m
3 m
4 m
2 m
3.80 m
12.30 m
20 m
3.- Un libro de Matemáticas tiene las
siguientes dimensiones:
24 cm, 19 cm y 3 cm.
¿Cuál es el volumen que ocupa?__________
4.- Una oficina tiene la siguiente forma y
dimensiones:
¿Cuántas caras tiene? ____
¿Cuántos vértices tiene?____
¿Cuántas aristas tiene?____
¿Cuál es su volumen?____
6.- Encuentra el volumen y el área total de
un prisma recto con base cuadrada, cuya
altura es de 15 m y los lados de la base
miden 20 cm cada uno.
V = ____________
Área total = __________
8.- En una tienda tienen 75 cubos para jugar
que miden 8 centímetros de arista cada uno.
Si todos se van a acomodar dentro de una
caja, ¿cuál debe ser el volumen de la
caja?______________
7.- ¿Cuál es la capacidad de un depósito de
agua con 8 perforaciones al frente y con las
dimensiones como el siguiente?
5.- Una alberca tiene las siguientes
dimensiones: 25 m, 10 m y 3 m.
¿Cuál es su volumen?_______________
¿Cuántos litros de agua se necesitan para
que se llene hasta la mitad?_____________

14. 54
10.- Encuentra el volumen de las siguientes pirámides cuadrangulares.
9.- En una tienda tienen cajas de cartón en forma de prisma cuadrangular como se muestran
en los siguientes dibujos. Encuentra el volumen de los diferentes tipos de cajas
8 cm
14 cm
12 cm
9 cm
25 cm
40 cm
24 cm
56 cm

15. 55
MEDIDA
• Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier
término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes
medidas de prismas y pirámides.
VOLUMEN DE CUBOS, PRISMAS Y PIRÁMIDES.
Las fórmulas para encontrar el volumen hasta ahora analizadas son:
SÓLIDO FÓRMULA
Cubo L L L ó L³
Prisma Área de la base por la altura
Pirámide Área de la base por la altura entre tres
Recuerda que el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma
cuya base y altura son iguales. Demuéstrenlo vaciando arena de 3 pirámides al cubo que
construyeron.
Existen diferentes tipos de medida:
De longitud: Su unidad es el metro (m).
De superficie: Su unidad es el metro cuadrado (m²).
De volumen: Su unidad es el metro cúbico (m³).
De capacidad: Su unidad es el litro (l).
De peso: Su unidad es el gramo (g).
MEDIDAS DE VOLUMEN
Km³ Hm³ Dm³ m³ dm³ cm³ mm³
Kilómetro
cúbico
Hectómetro
cúbico
Decámetro
cúbico
Metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
MEDIDAS DE CAPACIDAD
KL HL DL L dl cl ml
Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro decilitro centilitro mililitro
Entre las medidas de volumen y las de capacidad existe una relación como se ve enseguida:
1 dm³ = 1 litro
1 m³ = 1 000 litros
1 Dm³ = 1 000 000 litros

16. 56
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Encuentra las medidas que faltan en los siguientes sólidos geométricos.
CUBO PRISMACUADRANGULAR PIRÁMIDE CUADRANGULAR
V = 216 cm³
L = _________ V = 360 cm³
h = _________
CUBO PRISMA CUADRANGULAR
V = 360 cm³
h = __________
V = 8 000 cm³
L = _________ V = 2 025 cm³ h = ________
2.- Encuentra la medida que falta de cada uno de los siguientes prismas o pirámides y
contesta las preguntas que se te hacen enseguida.
V = _____________ V = ____________
4 cm
4 cm
18 cm
6 cm
4 cm
4 cm
9 cm
B
A
h
L
h
6 cm
6 cm
h
L
L
L
Ojo: Divide entre 3.

17. 57
V = ________ V = _________
1.- ¿Son iguales las bases del prisma A y de la pirámide B? _________________________
2.- ¿Cómo son las alturas del prisma A y la pirámide B? __________________________
3.- ¿Cómo es el volumen del prisma A y el de la pirámide B? _______________________
4.- ¿Cómo son las bases del prisma C y de la pirámide D? _________________________
5.- ¿Cómo son las alturas del prisma C y la pirámide D? __________________________
6.- ¿Cómo es el volumen del prisma C y el de la pirámide D? _______________________
7.- De acuerdo con los problemas anteriores, ¿qué se necesita para que tengan el mismo
volumen, un prisma y una pirámide cuando tienen la misma base?
_______________________________________________________________________
3.- Encuentra el volumen de las siguientes pirámides y contesta la pregunta.
Observa cómo cambian las alturas de las pirámides.
V = ______ V = _________ V = _________ V = _________
¿Cómo varía el volumen de las pirámides en relación con su altura, si el área de la base
no cambia? ______________________________________________________________
4
4
24
4
4
12
6
4
4
3
4
15 cm
4 cm4 cm
5 cm
4
4 cm4 cm
C
D

18. 58
4.- Resuelve los siguientes problemas.
5.- Completa las tablas siguientes.
SÓLIDO L L ALTURA VOLUMEN
Prisma cuadrangular 10 160
Prisma cuadrangular 3 360
Prisma cuadrangular 6 6 360
Prisma cuadrangular 8 20
SÓLIDO L L ALTURA VOLUMEN
Pirámide cuadrangular 4 4 10
Pirámide cuadrangular 3 60
Pirámide rectangular 8 4 64
Pirámide rectangular 8 4 12
1.- ¿Qué altura tiene un
edificio de forma de prisma si
las dimensiones de su base
son 20 metros por 10 y tiene
un volumen de 5 000 m³?
Altura: ______________
2.- A un envase con forma de
cubo le caben 729 cm³ de jugo.
¿Cuál es la medida de las
aristas del cubo?___________
¿Qué cantidad de jugo le cabrá
al envase, si se duplica la
medida de las aristas? ______
4.- En el Centro Deportivo Magisterial se
construyó una alberca rectangular con un
espacio de 400 m³.
Si la base de la alberca mide 25 metros de
largo por 8 metros de ancho.
¿Cuánto mide de profundidad?__________
5.- Un tanque de almacenamiento de agua
tiene forma de prisma rectangular con
capacidad para almacenar 54,000 litros. Si
su base mide 4.5 metros por 3 metros.
¿Cuánto mide la altura del tanque? ______
¿Qué cantidad de agua puede contener el
tanque si solo se llenara hasta una altura
de 2.5 m? __________________
3.- Dentro de una caja
rectangular de 504 cm³ de
volumen se guardan 28
fichas de dominó.
¿Cuál es el volumen de
cada ficha?______

19. 59
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos
procedimientos.
PROPORCIONES DIRECTAS
PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción directa o inversa.
5 kilos del frijol cuestan $60, 10 kilos costarán $120.
Aumenta la cantidad de frijol y aumenta también el precio, por lo tanto es una proporción
directa. En una tabla lo podemos representar así:
KILOS PRECIO
5 $60
10 $120
PROPORCIONES INVERSAS
PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción directa o inversa.
5 obreros tardan 8 horas en hacer un trabajo.
10 obreros tardarán 4 horas en hacer el mismo trabajo.
Las proporciones inversas son aquellas que al aumentar una cantidad, la otra cantidad
por el contrario disminuye, o aquellas que cuando una cantidad disminuye, la otra
cantidad aumenta. Ejemplo:
NÚMERO DE OBREROS 5 10
NÚMERO DE HORAS 8 4
Observa que aumenta la cantidad de obreros y disminuye el tiempo que tardan en hacer
el trabajo.
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Escribe en el cuadro si la variación de que se trata es directa o inversa.
Una llave proporciona 10 litros de agua cada 20 segundos y 30 litros en 60 segundos.
Al dar 5 pagos de la deuda de un carro debo $90 000 y al completar 8 pagos debo
$84 000.
Si saco 18 aciertos en una prueba tengo de calificación 6, pero si saco 27 mi calificación
es de 9.
Descubrimos que en las proporciones directas los cocientes
son constantes.
60
5
= 12
120
10
= 12 Cociente constante: k = 12
Descubrimos que en las proporciones inversas los
productos son constantes.
8 x 5 = 40 4 x 10 = 40 Producto constante: 40

20. 60
2.- Completa la siguiente tabla que representa el tiempo que tardan varios obreros en
realizar un mismo trabajo.
NÚMERO DE OBREROS 2 4 8 16
NÚMERO DE HORAS 20 10
Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 40:
20 x 2 = _____ 10 x 4 = _____ ____ x 8 = 40 _____ x 16 = 40
¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? __________________________
¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? __________________________________
________________________________________________________________________
Observa que como el producto constante es 40, entonces para encontrar lo que tardan 8
obreros, buscamos un número que multiplicado por 8 nos de 40, y lo podemos hacer
dividiendo 40 ÷ 8 = 5
¿40 ÷ 16? _____
3.- Completa la siguiente tabla que representa el tiempo que tardan varios obreros en
realizar un mismo trabajo.
NÚMERO DE OBREROS 5 10 25 40
NÚMERO DE HORAS 20
Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 100:
20 x 5 = _____ 10 x _____ = _____ ____ x 25 = _____ _____ x 40 = 100
¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? __________________________
¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? __________________________________
________________________________________________________________________
Observa que como el producto constante es 100, entonces para encontrar lo que tardan
10 obreros, buscamos un número que multiplicado por 10 nos de 100, y lo podemos hacer
dividiendo 100 ÷ 10 = 10
100 ÷ 25 = ______ 100 ÷ 40 = ______

21. 61
4.- Se van a distribuir 2 500 litros de gasolina en distintos depósitos que tienen una
capacidad de 5 litros, 10 litros, 20 litros y 25 litros cada uno. ¿Cuántos depósitos se
necesitan de cada uno para almacenar la gasolina?
CAPACIDAD DE
LOS DEPÓSITOS (litros)
5 10 20 25
NÚMERO DE DEPÓSITOS
NECESARIOS
Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 2 500:
___ x 5 = 2 500 ___ x ___ = _______ ___ x 20 = _______ ___ x 25 = 2 500
¿Qué es lo que pasa al aumentar la capacidad de los depósitos? ___________________
_______________________________________________________________________
¿Es una proporción inversa? _____
5.- Se van a empacar cierta cantidad de dulces para los alumnos de primero, segundo,
tercero y cuarto grado de una escuela primaria. Las bolsas se harán como se indica en la
siguiente tabla considerando que para cada grado se tiene la misma cantidad de dulces.
Completa la tabla.
NÚMERO DE DULCES 10 15 20 25
NÚMERO DE BOLSAS 150
¿Cuál es el producto constante? _________
6.- Completa las siguientes tablas de variación proporcional inversa.
2 4 5 10 20
10
40 50 60 80 100
30
3 6 10 15 20
30
60 80 90 100 125
60
4 12 24 48 96
120

22. 62
Probabilidad teórica =
NOCIONES DE PROBABILIDAD
• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a
la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.
PROBABILIDAD FRECUENCIAL
La probabilidad frecuencial o empírica es la que se fundamenta en los datos obtenidos por
encuestas o preguntas o por una serie de varias realizaciones de un experimento
aleatorio.
Para establecer la probabilidad frecuencial, se repite el experimento un número
determinado de veces, se registran los datos y se divide el número de veces que se
obtiene el resultado que nos interesa, entre el número de veces que se realizó el
experimento de azar.
PROBLEMA: Encuentra la probabilidad frecuencial de que caiga sello al lanzar una
moneda al aire realizando el experimento 5, 10, 15, 20 y 40 veces.
VECES QUE SE
REPITE
EL
EXPERIMENTO
VECES QUE
CAYÓ SELLO
(FRECUENCIA
ABSOLUTA)
PROBABILIDAD
FRECUENCIAL
PROBABILIDAD
TEÓRICA
5 2
2
5
1
2
10 4
2
5
15 8
_8_
15
20 11
11
20
40 23
23
40
Entre más veces repetimos un experimento, el resultado se aproxima más a la
probabilidad teórica.
En este caso la probabilidad teórica de que caiga sello es
Casos favorables
Espacio muestral
ACTIVIDADES DE CLASE
1.- Contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál probabilidad siempre es la misma, la teórica o la frecuencial? _______________
b) ¿Con cuál clase de probabilidad tienes que realizar varias veces el experimento,
simulando con algún objeto, para encontrar la probabilidad?
=
1_
2
1_
2

23. 63
2.- Realiza el experimento de sacar una bola amarilla de una caja que tiene 3 bolas rojas
y 5 amarillas, repitiéndolo las veces que se indica para encontrar los resultados que se
piden en la tabla. Puedes simular el experimento con 8 papelitos. (3R) y (5A)
VECES QUE SE
REPITE
EL
EXPERIMENTO
VECES QUE
SALIÓ
AMARILLA
(FRECUENCIA
ABSOLUTA)
PROBABILIDAD
FRECUENCIAL
SACAR
AMARILLA
PROBABILIDAD
TEÓRICA
4
6
8
10
15
3.- Realiza el experimento de sacar una bola negra de una caja que tiene 2 bolas blancas
y 4 negras, repitiéndolo las veces que se indica para encontrar los resultados que se
piden en la tabla. Puedes simular el experimento con 6 papelitos. (2B) y (4N)
VECES QUE SE
REPITE
EL
EXPERIMENTO
VECES QUE
SALIÓ
AMARILLA
(FRECUENCIA
ABSOLUTA)
PROBABILIDAD
FRECUENCIAL
SACAR NEGRA
PROBABILIDAD
TEÓRICA
4
6
8
10
15

24. 64
4.- Realiza el experimento de que caiga águila al lanzar una moneda al aire, repitiéndolo
las veces que gustes y registra los resultados en la tabla sobre las veces que repetiste el
experimento, frecuencia absoluta, probabilidad frecuencial y probabilidad teórica. Puedes
simular el experimento con una moneda.
5.- Arroja un dado las veces que se te indica para encontrar la probabilidad de que caiga
el número 4 y registra los resultados obtenidos.
VECES QUE SE
REPITE
EL
EXPERIMENTO
VECES QUE
CAYÓ 4
(FRECUENCIA
ABSOLUTA)
PROBABILIDAD
FRECUENCIAL
CAIGA 4
PROBABILIDAD
TEÓRICA
4
6
8
10
15
6.- Encuentra la probabilidad frecuencial que existe sobre meter un gol por un equipo en
tiros de penalti en varias prácticas realizadas.
GOLES TIRADOS
GOLES
ANOTADOS
PROBABILIDAD
FRECUENCIAL
PROBABILIDAD
TEÓRICA
20 14
30 18
40 32
60 48