Fundamentos de la teoría de la probabilidad. Ejercicios resueltos.

1. Tecnológico Nacional de México
Campus: Instituto Tecnológico de León
Carrera: INGENIERÍA EN SISITEMAS COMPUTACIONALES
Grupo: C
Asignatura: Probabilidad y Estadística
Facilitador: Dr. Graciano Ramírez Bravo
Trabajo de Investigación 2. Fundamentos de la Teoría de
Probabilidad (4 ejemplos de cada tema y subtema)
Nombre del Alumno: Hernández Mancilla León Adrián
Martínez Cruz Daniel
Hernández Flores Christian de Jesús
Torres Horta Jimena Monserrat
Fecha de entrega: 29/03/2022

2. Resumen: Se trabajará en hacer 4 ejercicios por cada tema (subtemas) del
marco teorico, los cuales son: Técnicas de conteo, el cual contiene de subtemas al
Principio aditivo, Principio multiplicativo, Notación Factorial, Permutaciones,
Combinaciones y Diagrama de árbol. Teorema elemental de probabilidad,
Probabilidad de eventos: Definición de espacio muestral, definición de evento,
simbología, unión, intersección, diagramas de Venn, Probabilidad de Técnicas de
conteo: Axiomas, teoremas, Probabilidad condicional: Dependiente,
Independiente, Ley multiplicativa y Eventos independientes: Regla de Bayes.
Planteamiento delproblema:
Hipótesis:
Objetivo generaly particulares:
Objetivo general:
Objetivos específicos:
Marcoteórico:

3. Desarrollo de la investigación:
Las Técnicas de conteo son utilizadas en Probabilidad y Estadística para
determinar el número total de resultados.
EJERCICIOS DE PRINCIPIO ADITIVO.
EJERCICIO 1:
David va a una tienda de videojuegos para comprar un videojuego para su
consola, pero no sabe si comprar alguno de disparos o uno de peleas. Entre sus
posibles opciones tiene 7 juegos de disparos y 5 juegos de peleas, ¿Cuántas
opciones de videojuegos tiene en total David?
DATOS:
𝑵(𝑨) = 𝟕
𝑵(𝑩) = 𝟓
FORMULA:
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑵(𝑨) + 𝑵(𝑩)
SOLUCION:
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝟕 + 𝟓 = 𝟏𝟐

4. EJERCICIO 2:
Bertha quiere cotizar un viaje en una agencia de viajes. Una agencia le da la
opción de ir a Cancún, Ixtapa y Guanajuato. Otra agencia le da la opción de ir a
Puerto Vallarta y Manzanillo. ¿Cuántas opciones de viajes tiene en total Bertha?
DATOS:
𝑵(𝑨) = 𝟑
𝑵(𝑩) = 𝟐
FORMULA:
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑵(𝑨) + 𝑵(𝑩)
SOLUCION:
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝟑 + 𝟐 = 𝟓

5. EJERCICIO 3:
Alfredo y Stacy quieren ir al cine y ven las opciones que tienen en la cartelera,
tienen como opciones 4 películas de acción, 2 películas de terror y 3 películas de
romance. ¿Cuántas opciones de películas tienen Alfredo y Stacy?
DATOS:
𝑵(𝑨) = 𝟒
𝑵(𝑩) = 𝟐
𝑵(𝑪) = 𝟑
FORMULA:
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝑵(𝑨)+ 𝑵(𝑩) + 𝑵(𝑪)
SOLUCION:
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝟒 + 𝟐 + 𝟑 = 𝟗

6. EJERCICIO 4:
Eduardo fue invitado a una boda y debe ir vestido de forma elegante, cuenta con 7
camisas de vestir diferentes, 4 pantalones de vestir diferentes y 4 sacos de vestir
diferentes. ¿Cuántas opciones de ropa tiene en total Eduardo?
DATOS:
𝑵(𝑨) = 𝟕
𝑵(𝑩) = 𝟒
𝑵(𝑪) = 𝟒
FORMULA:
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝑵(𝑨)+ 𝑵(𝑩) + 𝑵(𝑪)
SOLUCION:
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝟕 + 𝟒 + 𝟒 = 𝟏𝟓

7. EJERCICIOS DE PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.
EJERCICIO 1:
Se lanzan dos dados y uno de ellos tiene forma triangular y el otro tiene forma de
cubo, ¿Cuántas combinaciones distintas puede haber al caer los dados?
DATOS:
𝒏𝟏 = 4
𝒏𝟐 = 6
FORMULA:
𝑵° 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔 = 𝒏𝟏 ∙ 𝒏𝟐
SOLUCION:
(4)(6) = 24 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

8. EJERCICIO 2:
Se lanza una moneda y un dado, ¿Cuántas combinaciones distintas puede haber
al caer la moneda y el dado?
DATOS:
𝒏𝟏 = 2
𝒏𝟐 = 6
FORMULA:
𝑵° 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔 = 𝒏𝟏 ∙ 𝒏𝟐
SOLUCION:
(2)(6) = 12 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠

9. EJERCICIO 3:
¿Cuántos códigos de 5 dígitos se pueden formar usando los números del 0 al 9 sin
poder repetir números?
DATOS:
𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 5 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 1 𝑎𝑙 9 𝑠𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑜
SOLUCION:
𝑵° 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕 ∙ 𝟔 = 𝟑𝟎𝟐𝟒𝟎 𝒄𝒐𝒅𝒊𝒈𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

10. EJERCICIO 4
¿Cuántos códigos de 5 dígitos se pueden formar usando los números del 0 al 9
pudiendo repetir todos los números?
DATOS:
𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 5 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 1 𝑎𝑙 9
SOLUCION:
𝑵° 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂𝒔 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒐𝒅𝒊𝒈𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔

11. EJERCICIOS DE NOTACIÓN FACTORIAL.
EJERCICIO 1:
Realiza la siguiente operación:
𝟗!
𝟖!+𝟕!
FORMULA:
𝒏! = 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙∙∙∙∙ (𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟏)𝒏
SOLUCION:
𝟗!
𝟖! + 𝟕!
=
𝟗!
(𝟖 ∙ 𝟕!)+ 𝟕!
=
𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕!
𝟕! ∙ (𝟖 + 𝟏)
=
𝟗 ∙ 𝟖
𝟗
= 𝟖

12. EJERCICIO 2:
Realiza la siguiente operación:
𝟐 ∙ 𝟏𝟎! ∙ 𝟗!
𝟕! ∙ 𝟒!
FORMULA:
𝒏! = 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙∙∙∙∙ (𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟏)𝒏
SOLUCION:
𝟐 ∙ 𝟏𝟎! ∙ 𝟗!
𝟕! ∙ 𝟒!
=
𝟐 ∙ (𝟏𝟎 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕!) ∙ (𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕 ∙ 𝟔 ∙ 𝟓 ∙ 𝟒!)
𝟕! ∙ 𝟒!
= 𝟐 ∙ (𝟏𝟎 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖) ∙ (𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕 ∙ 𝟔 ∙ 𝟓) = 𝟐𝟏𝟕𝟕𝟐𝟖𝟎𝟎

13. EJERCICIO 3:
Realiza la siguiente operación: 14‼
FORMULA:
𝒏! = 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙∙∙∙∙ (𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟏)𝒏
SOLUCION:
14‼ = 14 ∙ 12 ∙ 10 ∙ 8 ∙ 6 ∙ 4 ∙ 2 = 645120

14. EJERCICIO 4:
Se tienen 4 cuadrados de colores: azul, naranja, violeta y verde, y se los quiere
ubicar alineados uno después de otro sobre una mesa. ¿De cuántas maneras se
pueden colocar los cuadrados?
FORMULA:
𝒏! = 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙∙∙∙∙ (𝒏 − 𝟐)(𝒏 − 𝟏)𝒏
SOLUCION:
4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

15. EJERCICIOS DE PERMUTACIONES.
EJERCICIO 1:
¿En cuántas formas pueden los 3 primeros lugares ser otorgados en una carrera
con 5 participantes?
DATOS:
𝒏 = 5
𝒓 = 3
FORMULA:
𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
SOLUCION:
𝑷(𝟓,𝟑) =
𝟓!
(𝟓 − 𝟑)!
=
𝟓!
(𝟐)!
=
𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐!
(𝟐)!
= 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟔𝟎

16. EJERCICIO 2:
¿Cuántas permutaciones hay con 6 objetos y 2 lugares?
DATOS:
𝒏 = 6
𝒓 = 2
FORMULA:
𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
SOLUCION:
𝑷(𝟔,𝟐) =
𝟔!
(𝟔 − 𝟐)!
=
𝟔!
(𝟒)!
=
𝟔 ∙ 𝟓 ∙ 𝟒!
(𝟒)!
= 𝟔 ∙ 𝟓 = 𝟑𝟎

17. EJERCICIO 3:
¿En cuántas maneras pueden las posiciones de presidente y vicepresidente ser
asignadas de un grupo de 8 personas?
DATOS:
𝒏 = 8
𝒓 = 2
FORMULA:
𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
SOLUCION:
𝑷(𝟖,𝟐) =
𝟖!
(𝟖 − 𝟐)!
=
𝟖!
(𝟔)!
=
𝟖 ∙ 𝟕 ∙ 𝟔!
(𝟔)!
= 𝟖 ∙ 𝟕 = 𝟓𝟔

18. EJERCICIO 4:
Calcula la permutación de 12 P 3
DATOS:
𝒏 = 12
𝒓 = 3
FORMULA:
𝑷(𝒏, 𝒓) =
𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!
SOLUCION:
𝑷(𝟏𝟐,𝟑) =
𝟏𝟐!
(𝟏𝟐 − 𝟑)!
=
𝟏𝟐!
(𝟗)!
=
𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟗!
(𝟗)!
= 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟏𝟑𝟐𝟎

19. EJERCICIOS DE COMBINACIONES.
EJERCICIO 1:
Supón que tenemos una oficina de 5 mujeres y 6 hombres y tenemos que
seleccionar un comité de 4 personas. ¿En cuántas maneras podemos seleccionar
a 2 hombres y 2 mujeres?
DATOS:
𝒏𝟏 = 5
𝒓𝟏 = 2
𝒏𝟐 = 6
𝒓𝟐 = 2
FORMULA:
𝒏𝑪𝒓 =
𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
SOLUCION:
𝒏𝑪𝒓 =
𝟓!
𝟐! (𝟓 − 𝟐)!
=
𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑!
𝟐! (𝟑)!
=
𝟓 ∙ 𝟒
𝟐!
= 𝟏𝟎
𝒏𝑪𝒓 =
𝟔!
𝟐! (𝟔 − 𝟐)!
=
𝟔 ∙ 𝟓 ∙ 𝟒!
𝟐! (𝟒)!
=
𝟔 ∙ 𝟓
𝟐!
= 𝟏𝟓
𝑪(𝟓,𝟐) ∙ 𝑪(𝟔,𝟐) = 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟓 = 𝟏𝟓𝟎

20. EJERCICIO 2:
En un concesionario de autos hay 3 autos de un modelo particular que deben ser
transportados a otro concesionario. Si es que hay un total de 25 autos de este
modelo, ¿cuántas opciones disponibles hay para transportar?
DATOS:
𝒏 = 𝟐5
𝒓 = 3
FORMULA:
𝒏𝑪𝒓 =
𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
SOLUCION:
𝒏𝑪𝒓 =
𝟐𝟓!
𝟑! (𝟐𝟓 − 𝟑)!
=
𝟐𝟓 ∙ 𝟐𝟒 ∙ 𝟐𝟑 ∙ 𝟐𝟐!
𝟑! (𝟐𝟐)!
=
𝟐𝟓 ∙ 𝟐𝟒 ∙ 𝟐𝟑
𝟑!
= 𝟐𝟑𝟎𝟎

21. EJERCICIO 3:
Supón que tenemos que seleccionar a 5 nuevos empleados de una lista de 10
aplicantes. ¿En cuántas maneras puede ser esto realizado?
DATOS:
𝒏 = 𝟏𝟎
𝒓 = 5
FORMULA:
𝒏𝑪𝒓 =
𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
SOLUCION:
𝒏𝑪𝒓 =
𝟏𝟎!
𝟓! (𝟏𝟎 − 𝟓)!
=
𝟏𝟎 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕 ∙ 𝟔 ∙ 𝟓!
𝟓! (𝟓)!
=
𝟏𝟎 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕 ∙ 𝟔
𝟓!
=
𝟏𝟎 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖 ∙ 𝟕 ∙ 𝟔
𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏
= 𝟐𝟓𝟐

22. EJERCICIO 4:
Hay 10 personas en una reunión. Si es que todos se dan la mano, ¿cuántos
apretones de manos son posibles?
DATOS:
𝒏 = 𝟏𝟎
𝒓 = 2
FORMULA:
𝒏𝑪𝒓 =
𝒏!
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!
SOLUCION:
𝒏𝑪𝒓 =
𝟏𝟎!
𝟐! (𝟏𝟎 − 𝟐)!
=
𝟏𝟎 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖!
𝟐! (𝟖)!
=
𝟏𝟎 ∙ 𝟗
𝟐!
= 𝟒𝟓

23. Conclusiones:
Hernández Mancilla León Adrián:
Este trabajo de investigación me ayudo a comprender más sobre el uso de la
probabilidad en diferentes problemas de la vida cotidiana, fue un tanto tedioso el
poner muchos problemas por hacer, siento que se comprendió más los temas de
probabilidad y me ayudo a reforzar conocimientos visos en clase.
Martínez Cruz Daniel:
Fue hasta ahora el trabajo de investigacion mas complicado que hemos hecho por
la cantidad tan grande que habia de ejercicios por hacer, a diferencia del trabajo de
investigacion 1, el cual solo eran 8 ejercicios. Igual nuestro equipo cumplio con el
trabajo en equipo.
Hernández Flores Christian de Jesús:
Torres Horta Jimena Monserrat:
Grupal:

24. Recomendaciones y observaciones:
Anexos:
Hernández Mancilla León Adrián:
Se conoce como Teoría de sistemas o Teoría General de Sistemas al estudio de
los sistemas en general, desde una perspectiva interdisciplinaria, o sea, que
abarca distintas disciplinas.
Su aspiración es identificar los diversos elementos y tendencias identificables y
reconocibles de los sistemas, o sea, de cualquier entidad claramente definida,
cuyas partes presentan interrelaciones e interdependencias, y cuya suma es
mayor que la suma de sus partes.
La Teoría de sistemas no es el primer intento del ser humano por dar con un
enfoque general de los objetos reales, sino que surge en el siglo XX como un
intento por dar nueva vida al enfoque sistémico de la realidad.
Su objetivo era superar algunas de las dicotomías u oposiciones fundamentales de
la filosofía clásica, como son materialismo frente a vitalismo, reduccionismo frente
a perspectivismo o mecanicismo frente a teleología.
De hecho, esta teoría surgió en el seno de la biología, disciplina en la que aún
juega un rol fundamental, cuando en 1950 el biólogo austríaco Ludwig von
Bertalanffy expuso por primera vez sus fundamentos, desarrollo y aplicaciones.
En dicha formulación fueron clave los estudios de Charles Darwin y del padre de la
cibernética, Norbert Wiener.
Fue el sustento de teorías más complejas y posteriores que partieron de la noción
básica de sistemas, tales como la Teoría del caos (1980) o desarrollos más
recientes que intentan aplicar la Teoría General de Sistemas a los grupos
humanos y las ciencias sociales.
Según esta teoría, todo sistema se compone de:

25.  Entradas, insumos o inputs. Que son aquellos procesos que
incorporan información, energía o materia al sistema, proviniendo del
afuera.
 Salidas, productos o outputs. Que son lo obtenido mediante el
funcionamiento del sistema y que por lo general salen del sistema al medio
externo.
 Transformadores, procesadores o through put. Mecanismos del sistema
que producen cambios o convierten entradas en salidas.
 Retroalimentación. Aquellos casos en que el sistema convierte sus salidas
en entradas.
 Medio ambiente. Todo lo que rodea al sistema y existe fuera de él, lo cual a
su vez constituye un sistema dentro de otro sistema y así hasta el infinito.
A partir de este último factor, se reconocen tres tipos de sistemas:
 Sistemas abiertos. Aquellos que comparten información libremente con
su medio ambiente.
 Sistemas cerrados. Aquellos que no comparten información de ningún tipo
con su medio ambiente. Son siempre sistemas ideales.
 Sistemas semiabiertos o semicerrados. Aquellos que comparten la menor
información posible con su medio ambiente, aunque sin llegar a ser
cerrados.
Martínez Cruz Daniel:
PERSONAJES DEL ROSTER DE SMASH BROS ULTIMATE = 82
∑
1
82
82
𝑥=1
(𝑥) =
1
82
∑𝑥
82
𝑥=1
=
1
82
∙
82(82 + 1)
2
=
83
2
= 41.5
La esperanza matemática del roster de personajes del juego de
Smash Bros Ultimate, que cuenta con 82 personajes es de 41.5
Hernández Flores Christian de Jesús:
Torres Horta Jimena Monserrat:

26. Referenciasbibliográficas:
Bibliografía
(Zapata,2020) Notaciónfactorial:concepto,ejemplosyejercicios
https://www.lifeder.com/notacion-factorial/