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MODULO 03-ANALISIS MATRICIAL.pdf

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RodrigoRamon9

Análisis matricial con Mathcad prime

Ingeniería
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CURSO: ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CON MATHCAD PRIME MODULO 3: Análisis Matricial de Estructuras 2D Docente: Alexis Pompilla Yábar1,2 1 Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco 2 Pontificia Universidad Católica del Perú Abril, 2023
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL EL ARTE DE UTILIZAR MATERIALES Que tienen propiedades Que Sólo pueden ser Estimadas PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES Que Sólo pueden ser Analizadas Aproximadamente QUE SOPORTAN FUERZAS Que No son Conocidas con Precisión DE MANERA QUE NUESTRA RESPONSABILIDAD CON EL PÚBLICO SEA SATISFECHA MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 2/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias “No utilicen un programa de análisis estructural a menos que usted entienda completamente la teorı́a y aproximaciones contenidas en el programa” y “No haga un modelo de computadora hasta que las cargas, propiedades de los materiales y condiciones de frontera estén claramente definidos.” Edward L. Wilson [1] Creador de los programas CSI: ETABS, SAFE, SAP2000 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 3/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Contenido 1 Resumen 2 Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 4/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Resumen MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 5/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Método de las Rigideces o Método de los desplazamientos Método de las Rigideces (Fuente: [2]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 6/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias En este caso las incógnitas son los momentos en las juntas B y C, estas se obtienen aplicando el principio de superposición y las ecuaciones de equilibrio de momento: A1p + S11D1 + S12D2 = 0 A2p + S21D1 + S22D2 = 0 En un caso general donde se tiene “n” grados de indeterminación estática: A1 =A1p + S11D1 + S12D2 + · · · + S1nDn A2 =A2p + S21D1 + S22D2 + · · · + S2nDn · · · An =AnP + Sn1D1 + Sn2D2 + · · · + SnnDn {A} = {K} {D} Donde {K} es la matriz de rigidez de la estructura formado por los coeficientes de rigidez. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 7/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Cargas en Barras: Todas las fuerzas y los desplazamientos correspondientes se deben medir en el sistema de coordenadas Q-D elegido para el análisis. Fuente: [3] ¿Qué sucede si además de las cargas en los nudos hubiera también cargas en las barras? Fuente: [3] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 8/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias ¿Cómo se miden las cargas en las barras en el sistema Q-D? La fuerza lateral H es la única que se puede medir en el sistema Q-D. Para superar esta aparente limitación del Método de Rigidez, es necesario definir un estado auxiliar denominado Estado Primario. Estado Primario y Estado Complementario Fuente: [3] Comportamiento Real: Fuente: [3] La suma de los dos estados indicados en la figura anterior, solo es posible si es aplicable el principio de superposición. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 9/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Estado Primario (Curvas de Fijación) Consiste en analizar la estructura con todas las solicitaciones externas (cargas en los nudos, en las barras, asentamientos de apoyos, preesfuerzo, falta de ajuste, etc.) adicionando un grupo de restricciones denominadas {R} medidas en el sistema de coordenadas Q-D tales que los desplazamientos en los grados de libertad elegidos para el análisis sean nulos ({D} = {0}). Las fuerzas {R} necesarias para impedir los desplazamientos de los nudos se denom- inan Cargas de fijación o Vector de Cargas de Fijación. El Estado Primario es cinemáticamente determinado ya que los desplazamientos en el sistema de coordenadas Q-D son nulos. Estado Complementario Consiste en analizar la estructura sometida únicamente a las cargas en los nudos calculadas en el Estado Primario con signo cambiado: {Q} = −{R} { RESULTADO FINAL } = { PRIMARIO } + { COMPLEMENTARIO } La superposición final es aplicable a todo nivel: deformada, momentos, cortantes, axiales, reacciones de apoyo, etc. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 10/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Sistematización del Método de la Rigidez Paso 1: Matriz de Rigidez en el sistema local Los términos de la matriz de rigidez de un elemento kij representan la fuerza Fi asociada a un desplazamiento unitario en uj cuando todos los demás desplazamientos son iguales a cero. Estas expresiones se pueden determinar a partir de integrar las ecuaciones de gobierno: Resultante: Ecuación diferencial de gobierno Carga Axial: d2u dx2 = − q (x) EA Fuerza Cortante y Momento flector: d2v dx2 = M EI + αoq GA Torsión: d2ϕ dx2 = − t (x) GJ MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 11/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Fuerzas axiales (Fuente: [4]) EA du dz = −q → EA du dz = −F1z Fuerza cortante y momento flector dvs dz = V GAc = −F1y GAc → EIxvs = −EIxF1yz GAc +C1 EIx d2vb dz2 = M = F1yz − M1x EIx dvb dz = F1y z2 2 − M1xz + C2 → F1zz = −EAu + C1 Cuando z = 0 → u = u1z y cuando z = L → u = 0, además F1z = −F2z: ∴ C1 = EAu1z F1zL = C1 F1z = EA L u1z → k11 = −k21 = EA L (Fuente: [4]) EIxvb = F1y z3 6 − M1x z2 2 + C2z + C3 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 12/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias EIxv = F1y z3 6 − M1x z2 2 + Å C2 − EIxF1y GAc ã z + C1 + C3 | {z } C4 EIx dv dz = F1y z2 2 − M1xz + C2 − EIxF1y GAc | {z } dvb dz +ϕ=θ dv dz = dvs dz = −F1y GAc en z = 0 : → C2 = 0 y M1x = F1yL 2 v = 0 en z = L : → 0 = F1y L3 6 − F1y L3 4 − Å EIxF1yL GAc ã + C4 C4 = F1y L3 12 + 12EIxF1yL3 12GAcL2 = F1y L3 12 (1 + Φ) Φ = 12EIx GAcL2 v = u1y en z = 0 : → u1y = F1y L3 12 (1 + Φ) → k11 = F1y u1y = 12EIx L3 (1 + Φ) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 13/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias k21 = M1x u1y = F1yL 2u1y = 6EIx L2 (1 + Φ) k31 = F2y u1y = −F1y u1y = − 12EIx L3 (1 + Φ) k41 = M2x u1y = F1yL − M1x u1y = 6EIx L2 (1 + Φ) (Fuente: [4]) De la condición de frontera v = 0 en z = 0 y z = L se obtiene C4 = 0 y: C2 = −F1y L2 6 + M1x L 2 + F1y L2 12 Φ (1) dv dz = dvs dz = −F1y GAc en z = L : C2 = M1xL − F1y L2 2 (2) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 14/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias De (1) y (2) se obtiene: 0 = F1y L2 3 − M1x L 2 + F1y L2 12 Φ = F1y L2 12 (4 + Φ) − M1x L 2 → F1y = 6M1x L (4 + Φ) C2 = M1xL − F1y L2 2 = M1xL − 3M1xL (4 + Φ) = M1xL (1 + Φ) (4 + Φ) = F1y L2 (1 + Φ) 6 EIxv = F1y z3 6 −M1x z2 2 + Å −F1y L2 6 + M1x L 2 ã z = F1y 6 z3 − zL2 + M1x 2 zL − z2 De la condición de frontera en z = 0: dvf dz = dv dz − dvs dz = θ1x → θ1x = M1xL (1 + Φ) EIx (4 + Φ) ∴ k22 = M1x θ1x = (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L k12 = F1y θ1x = 6EIx L2 (1 + Φ) k32 = F2y θ1x = −F1y θ1x = − 6EIx L2 (1 + Φ) k42 = M2x θ1x = F1yL − M1x θ1x = (2 − Φ) EIx L (1 + Φ) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 15/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el elemento armadura y viga las matrices de rigidez están dados respectivamente por: [Ke] = Ü EA L − EA L − EA L EA L ê [Ke] = á (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L ë MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 16/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el elemento viga con desplazamientos relativos en sus extremos la matriz de rigidez está dado por: [Ke] =                    12EIx (1 + Φ) L3 6EIx (1 + Φ) L2 − 12EIx (1 + Φ) L3 6EIx (1 + Φ) L2 6EIx (1 + Φ) L2 (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L − 6EIx (1 + Φ) L2 (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L − 12EIx (1 + Φ) L3 − 6EIx (1 + Φ) L2 12EIx (1 + Φ) L3 − 6EIx (1 + Φ) L2 6EIx (1 + Φ) L2 (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L − 6EIx (1 + Φ) L2 (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L                    MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 17/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el elemento viga-columna la matriz de rigidez está dado por: [Ke] =                                EA L 0 0 − EA L 0 0 0 12EIx (1 + Φ) L3 6EIx (1 + Φ) L2 0 − 12EIx (1 + Φ) L3 6EIx (1 + Φ) L2 0 6EIx (1 + Φ) L2 (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L 0 − 6EIx (1 + Φ) L2 (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L − EA L 0 0 EA L 0 0 0 − 12EIx (1 + Φ) L3 − 6EIx (1 + Φ) L2 0 12EIx (1 + Φ) L3 − 6EIx (1 + Φ) L2 0 6EIx (1 + Φ) L2 (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L 0 − 6EIx (1 + Φ) L2 (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L                                MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 18/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 2: Ensamblar la Matriz de Rigidez Global La matriz de rigidez de la estructura o global se puede obtener mediante el ensamblaje de las matrices de cada elemento, esto es equivalente a formar las ecuaciones de equilibrio en cada grado de indeterminación. La matriz de rigidez de una estructura se puede ensamblar sistemáticamente a partir de las matrices de rigidez de las barras que la conforman y de la conectividad entre ellas. Esto hace que el método de rigidez sea apropiado para su implementación en computadoras mediante programas de ”análisis automático de estructuras”. Figure 1: Fuente: [5] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 19/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias px =p′ x cos ϕ − p′ y sin ϕ py =p′ x sin ϕ + p′ y cos ϕ Ñ px py θ é | {z } Globales =   cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1   | {z } Matriz de Rotación Ñ p′ x p′ y θ′ é | {z } Locales en forma simplificada, {Pg } = [T]{Pl } (3) donde: {Pg } = vector de cargas en el sistema global [T] = matriz de rotación {Pl } = vector de cargas en el sistema local por el ”Principio de contragradiencia” se tiene que: {dl ] = [T]t {dg } (4) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 20/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Las ecuaciones de rigidez en el sistema local y global están dados por: {Pg } = [Kg]{dg } (5) ¶ Pl © = [Kl]{dl } (6) La matriz de rotación tiene la siguiente propiedad: [T][T]t = [I] Premultiplicando por [T] a la ecuación 4 nos da: [T]{dl ] = [T][T]t {dg } → [T]{dl ] = {dg } (7) Reemplazando 6 en 3 queda: {Pg } = [T]{Pl } = [T][Kl]{dl } (8) Reemplazando 7 en 5 queda: {Pg } = [Kg]{dg } = [Kg][T]{dl ] (9) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 21/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Igualando 8 y 7 se obtiene: [Kg][T] = [T][Kl] Sacando transpuesta cada lado de la ecuación y recordando que (A · B)T = BT AT : ([Kg][T])T = ([T][Kl])T → [T]t [Kg]t = [KL]t [T]t Premultiplicando por [T] y recordando que la matriz de rigidez es simetrica se ob- tiene: [T][T]t [Kg]t = [T][KL]t [T]t → [Kg] = [T]t [KL][T] La Matriz de Rigidez en el sistema Global de todas las barras sera: [KG] = m barras X i=1 [Ti] [Kl] [Ti]T MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 22/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 23/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 3: Vector de cargas equivalentes en sistema local Sea una carga lineal q(x) = Ax + B sobre un elemento, se desea obtener las fuerzas equivalentes en los extremos para poder establecer las ecuaciones de equilibrio en los grados de indeterminación. EI d4u dx4 = −q = −Ax − B EI d3u dx3 = −V = − Ax2 2 − Bx + C1 EI d2u dx2 = − Ax3 6 − Bx2 2 + C1x + C2 | {z } M + qEI GAc EI du dx = θ = − Ax4 24 − Bx3 6 + C1x2 2 + C2x + EI GAc Å Ax2 2 + Bx ã + C3 EIu = − Ax5 120 − Bx4 24 + C1x3 6 + C2x2 2 + EI GAc Å Ax3 6 + Bx2 2 ã + C3x + C4 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 24/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Imponiendo las condiciones de contorno en x = 0 es de importancia notar que C1, C2 representan la cortante y el momento en el extremo izquierdo respectivamente y C4 = 0. Además en la primera etapa del método de la rigidez se restringe los desplazamientos por lo que para establecer las ecuaciones necesarias se impone en x = 0 y x = L → θb = 0 y u = 0. El giro total θ no sera 0 en los extremos porque existe una deformación por cortadura dado por: C3 = EIV GAc = EIC1 GAc Con las consideraciones mencionadas y haciendo los arreglos necesarios se obtienen las 2 ecuaciones necesarias para hallar C1, C2 y finalmente se evalúan las ecuaciones de corte y momento en el extremo derecho. x = L → θb = 0 : C1 L2 2 + C2L = AL4 24 + BL3 6 x = L → u = 0 : C1 L3 12 (2 − Φ) + C2 L2 2 = AL5 72 (0.6 − Φ) + BL4 24 (1 − Φ) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 25/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Lo anterior expresado en forma matricial sera: C = ï C1 C2 ò = M−1 N Donde: M =    L2 2 L L3 12 (2 − Φ) L2 2    N =      AL4 24 + BL3 6 AL5 72 (0.6 − Φ) + BL4 24 (1 − Φ)      En el caso que el extremo derecho este rotulado, se impone la condición de que el momento es cero en ese extremo en lugar de imponer que el giro quedando, se procede de manera similar si el otro o ambos extremos tienen rótula. M =   L 1 L3 12 (2 − Φ) L2 2   N =      AL3 6 + BL2 2 AL5 72 (0.6 − Φ) + BL4 24 (1 − Φ)      MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 26/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Reemplazando los valores de C1 y C2 obtenemos la cortante y el momento al inicio y al final del tramo, por lo que el vector de cargas equivalentes se obtiene con: Q =         −C1 C2 − AL2 2 − BL + C1 − Å − AL2 6 − BL2 2 + C1L + C2 ã         Paso 4: Ensamblar la Matriz de Cargas Global Con la ecuación 3 podemos obtener el vector de cargas en el sistema global de cada barra: {Pg } = [T]{Pl } (10) Posterior a ello se ensambla similar al caso de la matriz de rigidez. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 27/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 5: Cálculo de desplazamientos desconocidos Después de obtener la matriz de rigidez y cargas en el sistema global de la estructura completa se debe resolver el sistema Q = KD, finalmente se separa el sistema de ecuaciones para los grados de libertad de los desplazamientos indeterminados para obtener: [K] = Kd Kdc Kcd Kc # [D] = Dd Dc # [Q] = Qd Qc # Expandiendo la expresión anterior: Qd = KdDd + KdcDc Qc = KcdDd + KcDc Despejando los desplazamientos desconocidos de la primer expresión: Dd = K−1 d (Qd − KdcDc) En el caso que los desplazamientos conocidos en los apoyos son nulos la expresión anterior se reduce: Dd = K−1 d Qd MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 28/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 6: Cálculo de Reacciones De la expansión anterior se obtuvo las fuerzas en los grados de libertad donde los desplazamientos son conocidos: Qc = KcdDd + KcDc Sin embargo lo anterior es resultado del estado complementario. el comportamiento real es la suma del estado primario y complementario, teniendo en cuenta que las cargas en el estado primario es Q′ c, las reacciones totales serán: Rt = Qc + Q′ c Fuente: [3] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 29/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 7: Cálculo de Fuerzas Internas en Extremos Con la ecuación 4 se puede obtener los desplazamientos en el sistema local: {dl ] = [T]t {dg } Para luego con la ecuación 6 se puede obtener las fuerzas internas en el sistema local: ¶ Pl © = [Kl]{dl } De nuevo esto representa las fuerzas internas en el sistema complementario, siendo Pp las fuerzas internas del elemento para el estado primario, las fuerzas finales serán: Pt = Pl © + {Pp } MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 30/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 8: Diagramas de Fuerzas Internas Similar a cuando calculamos los momentos de empotramiento imponiendo las condiciones de contorno de desplazamientos para hallar las constantes de la ecuación diferencial de gob- ierno, se puede hallar las constantes imponiendo los desplaza- mientos conocidos después de resolver el sistema q = kd. En caso exista rotulas se modifica de igual forma imponiendo las nuevas condiciones de momento en los extremos. C =     C1 C2 C3 C4     = M−1 N Donde: M =        0 0 0 1 0 0 1 0 L3 12 (2 − Φ) L2 2 L 1 L2 2 L 1 0        N =          EIu1 EIθ1 EIu2 + AL5 72 (0.6 − Φ) + BL4 24 (1 − Φ) EIθ2 + AL4 24 + BL3 6          MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 31/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Tópicos Especiales MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 32/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Deformaciones por cortante En la energı́a de deformación por corte apareció el termino ff llamado Factor de forma por cortadura y esta dado por: ff = A I2 Z A Q2 b2 dA Este factor es equivalente al factor αo que se estudio junto a las deformaciones por corte. Sin embargo existe una princi- pal diferencia, el factor αo se estimo con- siderando que la distorsión angular es la del eje neutro (máxima), utilizando ff se corrige el error ya que se integra sobre el área de la sección. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 33/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias ¿Como se calcula el factor de forma en una sección T? MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 34/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 2: Comportamiento de un muro en voladizo (Fuente: [6]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 35/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Deduzca la matriz de flexibilidad del muro en voladizo de albañilerı́a o mamposterı́a considerando las deformaciones por corte y evalúe la influencia de ello en los resul- tados de fuerzas internas y desplazamientos. Figure 3: (Fuente: [7]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 36/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Extremos Rı́gidos 1 2 3 4 a L b Desplazamientos: a. Vi V1 V2 Vj θi θ1 θ2 θj Fuerzas: b. Vi V1 V2 Vj Mi M1 M2 Mj MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 37/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Las fuerzas y desplazamiento en los extremos de la porción flexible pueden rela- cionarse mediante la ecuación (11). Ku = f (11) Los desplazamientos en la porcion flexible se relacionan con los desplzamientos en los extremos mediante:        v1 θ1 v2 θ2        = Ü 1 a 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −b 0 0 0 1 ê        vi θi vj θj        0, en forma más concisa: u = Hu(e) (12) De otro lado, pueden relacionarse las fuerzas, indicadas en la figura b, por las condi- ciones de equilibrio, es decir: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 38/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias        Vi Mi Vj Mj        = Ü 1 0 0 0 a 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −b 1 ê        V1 M1 V2 M2        f(e) = HT f (13) Sustituyendo (12) en (11) , multiplicando por HT y reemplazando (13) se obtiene: Ä HT KH ä u(e) = f(e) es decir, la matriz de rigidez de la viga con brazos rı́gidos (figuras a y b) resulta: K(viga) = HT KH MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 39/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Evalúe el efecto que tiene la inclusión de brazos rı́gidos en los desplazamientos lat- erales y fuerzas internas de las siguientes estructuras: Figure 4: (Fuente: [7]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 40/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Las cargas distribuidas sobre los brazos rı́gidos tienen un efecto en el vector de cargas similar al caso de la transformación de la matriz de rigidez, en elementos inclinados esto también influye en las cargas axiales, evalué este efecto y calcule el vector de cargas equivalentes para los siguiente casos: Figure 5: (Fuente: [7]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 41/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Asentamientos o Deformaciones Impuestas Las estructuras utilizadas en edificación pueden estar desplantadas sobre suelos de- formables. En estos casos la hipótesis de que sus apoyos están totalmente restringidos (empotramientos) es bastante cuestionable, y dependiendo de las rigideces relativas del suelo y de la cimentación con respecto a la estructura, en muchos casos se re- querirán análisis más detallados donde se considere la posibilidad de que se deforme el suelo y/o la cimentación o que se presenten desplazamientos súbitos en el suelo[4]. En los pasos 5 y 6 vimos como podemos dividir la matriz de rigidez global para solu- cionar el sistema en los desplazamientos desconocidos: ß {F} {H} ™ = ß {Fe} {Fs} ™ = ï [Kee] [Kes] [Kse] [Kss] ò ß {ue} {us} ™ donde {F} = {Fe} es el vector de fuerzas externas aplicadas en la estructura, {H} = {Fs} es el vector de fuerzas o reacciones en los apoyos, {u} = {ue} es el vector de desplazamientos en la estructura, {us} es el vector de desplazamientos en los apoyos. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 42/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias [K] = [Kee ] es la matriz de rigidez asociada a los grados de libertad de la estructura exclusivamente, [Kss] es la matriz de rigidez asociada a los grados de libertad de los apoyos exclusivamente, y [Kes] y [Kse] son las matrices de rigidez del acoplamiento que existe entre los grados de libertad de la superestructura y los apoyos. El sistema se puede reescribir convenientemente como: {Fe} = [Kee] {ue} + [Kes] {us} (14) {Fs} = [Kse] {ue} + [Kss] {us} (15) De hecho, si consideramos que {us} = 0, que ha sido la hipótesis que hemos mane- jado en capitulos anteriores, tenemos, a partir de las ecuaciones (14) y (15) , que el sistema se reduce a: {Fe} = [Kee] {ue} = {F} = [K]{u} (16) {Fs} = [Kse] {ue} = {H} = [Kse] {u} (17) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 43/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Si existen desplazamientos en los apoyos, éstos deben considerarse. Supongamos que una estructura dada experimenta desplazamientos en los apoyos, de manera que {us} ̸= 0. A partir de la ecuación (14) tenemos que: [Kee] {ue} = {Fe} − [Kes] {us} = {Feff } (18) por lo que los desplazamientos en la estructura, {uϵ}, se obtienen directamente resolviendo el sistema en (18). Las reacciones en los apoyos se obtienen simplemente realizando las operaciones matriciales que se establecen en la ecuación (15). MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 44/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Evalué el efecto que tiene el asentamiento de 10cm en las fuerzas internas del pórtico: Figure 6: Marco de 1 vano con asentamiento y carga lateral Fuente: [4] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 45/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Apoyos Elásticos Resolver el siguiente pórtico por el método de la flexibilidad: k w2 w1 h1 h2 L MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 46/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Los apoyos elásticos tienen la particularidad de deformarse de forma proporcional (lineal) a las reacciones o esfuerzos que actúan sobre ellos y su tratamiento en el método de rigidez es particularmente sencillo. Considérese de forma general que el grado de libertad i-ésimo está vinculado a un apoyo elástico que tienen como ecuación elástica: ri = −kidi En la que ri es la reacción correspondiente, ki es la constante elástica del apoyo y di es el grado de libertad incógnita (Figura 3.5). El sistema de ecuaciones a resolver es:       K11 . . . K1i . . . K1n . . . . . . . . . . . . . . . Ki1 . . . Kii . . . Kin . . . . . . . . . . . . . . . Kn1 . . . Kni . . . Knn             d1 . . . di . . . dn       =       f1 . . . fi − kidi . . . fn       MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 47/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Los apoyos elásticos tienen la particularidad de deformarse de forma proporcional (lineal) a las reacciones o esfuerzos que actúan sobre ellos y su tratamiento en el método de rigidez es particularmente sencillo. Considérese de forma general que el grado de libertad i-ésimo está vinculado a un apoyo elástico que tienen como ecuación elástica: ri = −kidi En la que ri es la reacción correspondiente, ki es la con- stante elástica del apoyo y di es el grado de libertad incógnita 7. El sistema de ecuaciones a resolver es:       K11 . . . K1i . . . K1n . . . . . . . . . . . . . . . Ki1 . . . Kii . . . Kin . . . . . . . . . . . . . . . Kn1 . . . Kni . . . Knn             d1 . . . di . . . dn       =       f1 . . . fi − kidi . . . fn       Figure 7: Apoyos elásticos Fuente: [8] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 48/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias donde fi es la fuerza exterior actuante sobre el grado de libertad i. Puede trasladarse el término −kidi, de valor desconocido, al miembro de la izquierda, resultando:       K11 . . . K1i . . . K1n . . . . . . . . . . . . . . . Ki1 . . . Kii + ki . . . Kin . . . . . . . . . . . . . . . Kn1 . . . Kni . . . Knn             d1 . . . di . . . dn       =       f1 . . . fi . . . fn       Puede verse que los apoyos elásticos se introducen sin más que añadir su rigidez al término de la diagonal correspondiente a la ecuación en cuestión. Esto equivale a considerar el apoyo como un elemento resistente más de la estructura y ”ensamblar” de forma apropiada su contribución. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 49/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias El uso de resortes lineales y rotacionales no solo tienen aplicación en suelos de- formables, sino también es posible reemplazar la rigidez de algunos elementos por un resorte. La primera aplicación es el caso de vigas continuas de pórticos sujetas a cargas gravitacionales, para ello podemos hace uso de resortes rotacionales en lugar de modelar las columnas tal como se indica a continuación: Fuente: [7] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 50/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Dibuje el diagrama de fuerza cortante y momento flector de la viga continua: Fuente: [7] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 51/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Evalué el efecto de columna corta en el siguiente pórtico con alfeizer haciendo uso de la columna equivalente: Fuente: [7] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 52/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Apoyos en Planos Inclinados En cálculo matricial se manejan tres tipos de sistemas de coordenadas distintos: uno global, uno local para cada barra y uno local para cada nodo. Los locales de cada barra pueden coincidir o no con el global, con el que están relacionados a través de las matrices de rotación T que vimos con anterioridad. En esta sección nos interesan los sistemas de coordenadas nodales. Es- tos sólo se deben tener en cuenta cuando exista algún apoyo móvil (p.ej. un ”carrito”) cuyo gdl libre sea no ortogonal al sistema de coordenadas globales. Es decir, cuando el apoyo permita deslizamientos sobre un plano inclinado en una dirección distinta a la de x o y global. Como ejemplo el nudo 4 de la estructura mostrada en la figura: Figure 8: Ejemplo de estructura con un apoyo articulado no ortogonal al sistema de coordenadas global (Fuente: [8]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 53/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias La necesidad de tratar como un caso especial estos apoyos móviles sobre planos inclinados se justifica pensando que uno de los primeros pasos a realizar al resolver la estructura es dividir los grados de libertad en libres y restringidos (recordar paso 5). Si observamos el nudo 4, veremos que serı́a imposible decidir cuales de sus dos direcciones x e y en coordenadas globales son libres o restringidas, ya que ambas son libres pero existe una ligadura entre ambas que las restringe, de forma que no pueden variar independientemente. La solución consiste en considerar las dos direcciones alternativas x′ e y′, a las que llamaremos coordenadas nodales. La ventaja de estas coordenadas es que, ahora sı́, podemos separar muy claramente el grado de libertad restringido (y′) del libre (x′). A continuación se explica porqué el considerar estas coordenadas nodales no ortog- onales a las globales nos forzará a modificar el sistema de ecuaciones global de la estructura, en forma matricial − → F = K − → U, por una versión modificada − → F′ = K′− → U′. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 54/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Sea una estructura cualquiera con n nudos donde el i’ésimo nudo se corresponde con un apoyo móvil sobre un plano inclinado. Dicha estructura se modela mediante los siguentes vectores de fuerzas ( − → F)y desplazamientos ( − → U) en coordenadas globales: − → F =               − → F1 . . . − → Fi−1 − → Fi − → Fi+1 . . . − → Fn               − → U =               − → U1 . . . − → Ui−1 − → Ui − → Ui+1 . . . − → Un               (19) relacionadas a través de la matriz de rigidez K mediante − → F = K − → U. Dicha matriz debe ensamblarse conforme a lo descrito en §3.3. Debido al apoyo móvil sobre el plano inclinado no podemos dividir las componentes de − → Ui en grados de libertad libres y restringidos, por lo que aplicaremos el siguiente cambio de coordenadas: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 55/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias − → Fi = Ti −̂ → fn i − → Ui = Ti −̂ → un i (20) donde se han introducido las fuerzas y desplazamientos del nudo i en coordenadas nodales, representadas por −̂ → fn i y −̂ → un i, respectivamente. Se usará el superı́ndice n para denotar que se trata de un sistema de coordenadas nodal. Respecto a la matriz Ti, se trata de una matriz de rotación similar a las descritas para transformar las matrices de rigidez locales de barras a coordenadas globales en el capı́tulo 2, dada por: Ti = ï cos β − sin β sin β cos β ò Para un apoyo articulado (2 gdl) Ti =   cos β − sin β 0 sin β cos β 0 0 0 1   Para un apoyo rı́gido (3 gdl) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 56/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias siendo β el ángulo desde el sistema de coordenadas global hasta el plano inclinado del apoyo, medido como se indica en la Figura 8. Para llevar a cabo el cambio de coordenadas en las fuerzas y desplazamientos del nudo i, expandimos el sistema de ecuaciones − → F = K − → U y sustituimos los valores de la Ecuación (20):               − → F1 . . . − → F i−1 Ti ˆ ⃗ fn i − → Fi+1 . . . − → Fn               =             K1,1 . . . K1,i−1 K1,i K1,i+1 . . . K1,n . . . . . . . . . . . . . . . Ki−1,1 . . . Ki−1,i−1 Ki−1,i Ki−1,i+1 . . . Ki−1,n Ki,1 . . . Ki,i−1 Ki,i Ki,i+1 . . . Ki,n Ki+1,1 . . . Ki+1,i−1 Ki+1,i Ki+1,i+1 . . . Ki+1,n . . . . . . . . . . . . . . . Kn,1 . . . Kn,i−1 Kn,i Kn,i+1 . . . Kn,n                           − → U1 . . . − → Ui−1 Ti − → u n i − → Ui+1 . . . − → Un               (21) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 57/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Dado que nuestro objetivo es ser capaces de plantear una división válida de los grados de libertad entre libres y restringidos, nos interesarı́a que en los vectores de fuerzas y desplazamientos solamente interviniesen −̂ → fn i y −̂ → un i, y no sus versiones en coordenadas globales − → Fi = Ti −̂ → fn i y − → Ui = Ti −̂ → un i que son las que aparecen en la ecuación anterior. Mediante las reglas del producto de matrices se puede demostrar que esto se consigue modificando las entradas de la matriz global K que aparecen en la i ’ésimas filas y columnas, las marcadas entre lı́neas en la Ecuación (21). De esta forma se llega a otra matriz de rigidez K′ que relaciona vectores de fuerzas y desplazamientos que en parte están en coordenadas globales y en parte en coordenadas nodales, será sobre este último sistema de ecuaciones sobre el que habrá que operar según lo descrito en el paso 5 para resolver la estructura. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 58/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias                 − → F1 . . . − → Fi−1 −̂ → fn i − → Fi+1 . . . − → Fn                 | {z } − → F ′ =              K1,1 . . . K1,i−1 K1,iTi K1,i+1 . . . K1,n . . . . . . . . . . . . . . . Ki−1,1 . . . Ki−1,i−1 Ki−1,iTi Ki−1,i+1 . . . Ki−1,n T⊤ i Ki,1 . . . T⊤ i Ki,i−1 T⊤ i Ki,iTi T⊤ i Ki,i+1 . . . T⊤ i Ki,n Ki+1,1 . . . Ki+1,i−1 Ki+1,iTi Ki+1,i+1 . . . Ki+1,n . . . . . . . . . . . . . . . Kn,1 . . . Kn,i−1 Kn,iTi Kn,i+1 . . . Kn,n              | {z } K′                − → U1 . . . − → Ui−1 ˆ − → u n i − → Ui+1 . . . − → Un                | {z } − → U′ (22) Por ejemplo, cuando se extraiga la submatriz de rigidez correspondiente a los gdl libres (llamada KLL en §3.5 ) se hará a partir de la matriz K′ de la Ecuación (22) en lugar de a partir de la matriz K original. Ası́ mismo, hay que tener en cuenta que al obtener la solución a los desplazamientos de los gdl libres (el vector − → UL ), los gdl correspondientes al nudo i del plano inclinado (una parte de −̂ → u n i ) estarán dados en el sistema de coordenadas nodal. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 59/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Resolver los siguientes ejemplos donde los apoyos rodillo se encuentras en planos inclinados: Fuente: [9] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 60/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Condensación Estática Recordemos las ecuaciones de equilibrio del pórtico de un vano: Figure 9: Marco de 1 vano Fuente: [10] EIc h3   24 6h 6h 6h 6h2 h2 6h h2 6h2      u1 u2 u3    =    fS 0 0    (23) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 61/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias A partir de la segunda y tercera ecuaciones, las rotaciones de los nudos pueden expresarse en términos del desplazamiento lateral de la siguiente manera: ß u2 u3 ™ = − ï 6h2 h2 h2 6h2 ò−1 ï 6h 6h ò u1 = − 6 7h ï 1 1 ò u1 (24) Al sustituir la ecuación (24) en la primera de las tres ecuaciones de la ecuación (23) se obtiene fS = Å 24EIc h3 − EIc h3 6 7h ⟨6h 6h⟩ ï 1 1 òã u1 = 96 7 EIc h3 u1 (25) Ası́, la rigidez lateral del marco es k = 96 7 EIc h3 (26) Este procedimiento para eliminar rotaciones de los nudos, conocido como el método de condensación estática, se presenta en esta sección. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 62/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Condensación estática Supongamos que tenemos una estructura sobre la cual podemos plantear la siguiente relación de rigidez: {P} = [KE] {U} Si algunas de las fuerzas externas aplicadas sobre la estructura, representadas en el vector {P} son nulas, podemos particionar el vector {P} de la siguiente manera: {P} = ß Pc 0 ™ donde {Pc} corresponde a las fuerzas externas aplicadas en los nudos que no son cero. Análogamente podemos particionar el vector {U} de la siguiente manera: {U} = ß Uc Uo ™ MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 63/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias donde {Uc} son los desplazamientos de los grados de libertad donde hay fuerzas exiernas aplicadas, y {Uo} son los desplazamientos de los grados de libertad donde las fuerzas son cero, stos ultimos desplazamiento no son nulos. la matriz {KE} puede particionarse de la siguiente manera para reflejar la partición de los vectores: ß Pc 0 ™ = ï Ko K1 K2 K3 ò ß Kc Ko ™ Expandiendo la última ecuación obtenemos: {Pc} = [Ko] {Uc} + [K1] {Uo} (27) y {0} = [K2] {Uc} + [K3] {Ue} (28) De la ecuación (28) obtenemos: {U0} = − [K3]−1 [K2] {Uc} (29) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 64/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias que al reemplazar en la ecuación (27) conduce a: {Pc} = î [Ko] − [K1] [K3]−1 [K2] ó {Uc} Por lo tanto hemos reducido el sistema únicamente a los grados de libertad donde hay fuerzas externas aplicadas, y la matriz de rigidez de la estructura se ha reducido a: [Kc] = î [Ko] − [K1] [K3]−1 [K2] ó Una vez se resuelve el sistema determinando {Uc}, es posible obtener los valores de {Uo} utilizando la ecuación (29). El procedimiento anterior se denomina conden- sación. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 65/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Liberación de Momentos Algunos tipos de estructura tienen elementos que en sus extremos tienen articula- ciones, manteniendo las propiedades de flexión dentro del interior del elemento. En otros casos se desea liberar algún grado de libertad del elemento, ya sea en sus extremos, o dentro de él. Una posibilidad de atender este problema es deducir la matriz de rigidez del elemento teniendo en cuenta el caso particular que se desee. Otra manera de resolver el problema, la cual es más general, consiste en utilizar la condensación vista en la Sección anterior. En un elemento de pórtico plano se quiere colocar una articulación en el extremo izquierdo. El elemento tiene una carga distribuida uniforme sobre toda su longitud de magnitud w. Encontrar la matriz de rigidez correspondiente y el vector de momentos de empotramiento. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 66/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 10: Viga con articulación en el extremo izquierdo Fuente: [11] Iniciamos con la matriz convencional de elemento de pórtico plano y las fuerzas de empotramiento para un elemento con carga distribuida uniforme de magnitud w con los extremos empotrados. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 67/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias [k] =                     AE L 0 0 − AE L 0 0 0 12EI L3 6EI L2 0 − 12EI L3 6EI L2 0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 12EI L3 − 6EI L2 0 12EI L3 − 6EI L2 0 6EI L2 2EI L 0 − 6EI L2 4EI L                     se quiere liberar el grado de libertad uaz correspondiente a la tercera fila y tercera columna de la matriz. Para aplicar: k′ = [k] − {k1} k−1 3 {k2} MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 68/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias tenemos: [k1] =                   0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L                   [k2] = ï 0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L ò k3 = 4EI L k−1 3 = L 4EI MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 69/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias {k1} k−1 3 {k2} =                   0 0 0 0 0 0 0 9EI L3 6EI L2 0 − 9EI L3 3EI L2 0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L 0 0 0 0 0 0 0 − 9EI L3 − 6EI L2 0 9EI L3 − 3EI L2 0 3EI L2 2EI L 0 − 3EI L2 EI L                   [k′ ] =                    AE L 0 0 − AE L 0 0 0 3EI L3 0 0 − 3EI L3 3EI L2 0 0 0 0 0 0 − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 3EI L3 0 0 3EI L3 − 3EI L2 0 3EI L2 0 0 − 3EI L2 3EI L                    MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 70/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Las fuerzas de empotramiento para la viga original son las siguientes: [ME] =                   0 wL 2 wL2 12 0 wL 2 wL2 12                   Y resolviendo para el grado de libertad liberado: wL2 12 = 4EI L uaz → uaz = wL3 48EI MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 71/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Ahora: M′ E = {ME} − [k] {u0} Entonces: M′ E =               0 wL 2 wL2 12 0 wL 2 wL2 12               −                AE L 0 0 − AE L 0 0 0 12EI L3 6EI L2 0 − 12EI L3 6EI L2 0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 12EI L3 − 6EI L2 0 12EI L3 − 6EI L2 0 6EI L2 2EI L 0 − 6EI L2 4EI L                            0 0 wL3 48EI 0 0 0             =              0 3wL 8 0 0 5wL 8 −wL2 8              Estas son las fuerzas de empotramiento de una viga sometida a una carga distribuida uniforme con su extremo izquierdo simplemente apoyado y el extremo derecho em- potrado. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 72/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Similar a la demostración de los términos de la matriz de rigidez al inicio del modulo es posible demostrar que cuando se tiene algún extremo esta articulado la matriz de rigidez incluyendo deformaciones por cortante esta dado por: Figure 11: Extremo derecho articulado (Fuente: [8]) Figure 12: Extremo izquierdo articulado (Fuente: [8]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 73/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Extremo derecho articulado: [k′ ] =                 AE L 0 0 − AE L 0 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 3EI (1 + Φ/4) L2 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 3EI (1 + Φ/4) L2 12EI (4 + Φ) L 0 − 3EI (1 + Φ/4) L2 0 − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 − 3EI (1 + Φ/4) L2 0 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 0 0 0 0 0                 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 74/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Extremo izquierdo articulado: [k′ ] =                  AE L 0 0 − AE L 0 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 3EI (1 + Φ/4) L2 0 0 0 0 0 0 − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 − 3EI (1 + Φ/4) L2 0 3EI (1 + Φ/4) L2 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L2 12EI (4 + Φ) L                  MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 75/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Ambos extremos articulados: [k′ ] =                AE L 0 0 − AE L 0 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 0 0 0 0 0 − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 0 0 0 0 0                MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 76/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Determine el efecto que tiene el tabique no asilado en los desplazamientos y fuerzas internas de los pórticos: Figure 13: (Fuente: [7]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 77/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Condensación Geométrica Figure 14: Componentes de una edificación sismorresistente (Fuente: [12]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 78/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 15: Funciones del diafragma (Fuente: [12]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 79/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 16: Comportamiento de pórticos y muros (Fuente: [12] y [6]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 80/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias • Diafragma rı́gido En los análisis es usual considerar como hipótesis básica la existencia de una losa rı́gida en su plano, que permite la idealización de la estructura como una unidad, donde las fuerza horizontales aplicadas pueden distribuirse en las columnas y muros (placas) de acuerdo a su rigidez lateral, manteniendo todas una misma deformación lateral para un determinado nivel. Esta condición debe ser verificada teniendo cuidado de no tener losas con grandes aberturas que debiliten la rigidez de estas. [13] Figure 17: Diafragma rı́gido Fuente: [1] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 81/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Condensación geométrica o Igualación de grados de libertad Algunas veces conocemos algunas propiedades de la estructura que no se reflejan en la manera como se plantean las ecuaciones de equilibrio en el análisis matricial convencional. En general estas propiedades especiales de la estructura se pueden describir en función de relaciones lineales entre sus diferentes grados de libertad. Supongamos que tenemos una estructura con p grados de libertad, la cual tiene k ecuaciones de ligadura que relacionan linealmente los p grados de libertad entre ellos, ası́: a11U1 + a12U2 + · · · +a1pUp = 0 a21U1 + a22U2 + · · · +a2pUp = 0 . . . . . . ak1U1 + ak2U2 + · · · +akpUp = 0 donde los coeficientes aij son números reales. Este sistema de ecuaciones puede expresarse matricialmente como: [A]k,p{U}p,I = {0}k,I MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 82/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Por cada ecuación de ligadura generamos una dependencia entre un grado de libertad y otro, por lo tanto el sistema de ecuaciones anterior nos indica que existen k grados de libertad que dependen de los n = p − k grados de libertad independientes. Particionando {U}p,I en {UD}k,I con los grados de libertad dependientes y {UI}n,I con los grados de libertad independientes, y análogamente particionando [A]k,p en [AD]k,k y [AI]k,n obtenemos: [A]k,p{U}p,1 = [A1|AD] ß UI UD ™ = {0} y [A1|AD] ß UI UD ™ = [AI]k,n {UI}n,I + [AD]k,k {UD}k,I = {0} Despejando {UD} de la ecuación anterior se obtiene: {UD} = − [AD]−1 [A1] {U1} = [Ro] {U1} MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 83/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Reemplazando: {U} = ß U1 UD ™ = ï [I] [Ro] ò {U1} = [R] {U1} y {U}p,1 = [R]p,n {U1}n,1 (30) Lo anterior quiere decir que podemos expresar todos los p grados de libertad de la estructura, {U}, sólo en función de los n grados de libertad independientes, {U1}. Por otro lado sabemos que: {P} = [KE] {U} (31) y al aplicar el principio de contragradiente a la ecuación (30) tenemos: {PI} = [R]T {P} (32) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 84/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Ahora, reemplazando la ecuación (31) en (32), obtenemos: {PI} = [R]T [KE] {U} (33) y al reemplazar (30) en (33) : {PI} = [R]T [KE] [R] {UI} (34) y [KI] = [R]T [KE] [R] Hemos expresado la matriz de rigidez de la estructura en función únicamente de los n grados de libertad independientes. Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas planteado en la ecuación (34) y se obtienen los desplazamientos de los grados de libertad independientes {UI}; es posible determinar los desplazamientos dc todos los grados de libertad faltantes, dependientes, utilizando la ecuación (30). MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 85/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Al diafragma, o el sistema fı́sico de piso en la estructura real, se puede conectar cualquier número de columnas y vigas. En el terminal de cada elemento o miembro, a nivel del diafragma, existen seis grados de libertad para una estructura tridimensional antes de la introducción de las restricciones. Figure 18: Aproximación de Diafragma Rı́gido MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 86/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Haciendo la suposición de diafragma rı́gido los desplazamientos en-el-plano del di- afragma pueden expresarse en términos de dos desplazamientos, u (m) x y u (m) y , y una rotación alrededor del eje-z, u (m) zθ . Como resultado de esta aproximación de diafragma rı́gido, se deben satisfacer las siguientes ecuaciones de compatibilidad para los nodos conectadas al diafragma: u(i) x = u(m) x − y(i) u (m) θz u(i) y = u(m) y + x(i) u (m) θz (35) En el caso de la carga estática, la ubicación del nodo maestro (m) puede ser en cualquier punto en el diafragma. Sin embargo, para el caso de cargas sı́smicas dinámicas, el nodo maestro debe ser ubicado en el centro de masa de cada piso si se usa una matriz de masa diagonal. En el caso de una estructura de concreto vaciado in situ, donde las vigas y las columnas forman parte intrı́nseca del sistema de piso, se debe satisfacer la siguiente restricción adicional: u (i) θz = u (m) θz MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 87/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias O en notación matricial, la transformación del desplazamiento es:    u (i) x u (i) y u (i) θz    =   1 0 −y(i) 0 1 x(i) 0 0 u (i) θz      u (m) x u (m) y u (m) θz    ȯ, u(i) = T(i) u(m) Si se eliminan los desplazamientos mediante la aplicación de ecuaciones de re- stricción, las cargas asociadas con dichos desplazamientos también deben ser trans- formadas al nodo maestro. Por simple estática, las cargas aplicadas en la unión ”i” pueden ser trasladadas al nodo maestro ”m” mediante las siguientes ecuaciones de equilibrio: R(mi) x = R(i) x R(mi) y = R(i) y R (mi) θz = R (i) θz − y(i) R(i) x + x(i) R(i) y O en forma matricial, la transformación de la carga es: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 88/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias    R (mi) x R (mi) y R (mi) θz    =   1 0 0 0 1 0 −y(i) x(i) 1      R (i) x R (i) y R (i) θz    ó, Rmi = T(i)T R(i) De nuevo, se nota que la matriz de transformación de la fuerza es la transpuesta de la matriz de transformación del desplazamiento. La totalidad de la carga aplicada en el punto maestro será la suma de los aportes de todos los nodos esclavos. Esto es: R(m) = X i R(mi) = X T(i)T R(i) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 89/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Rigidez Lateral de Pórticos u2 u1 u5 u8 u7 u4 u6 u3 u2 u1 (a) (b) ï mtt 0 0 0 ò ß üt ü0 ™ + ï ktt kt0 k0t k00 ò ß ut u0 ™ = ß pt(t) 0 ™ mttüt + kttut + kt0u0 = pt(t) k0tut + k00u0 = 0 u0 = −k−1 00 k0tut mttüt + kttut = pt(t) Donde k̂tt es la matriz de rigidez condensada k̂tt = ktt − kT 0tk−1 00 k0t MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 90/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias p (t) 2 p (t) 1 mL/2 mL/4 EI EI L/2 L/2 u2 u1 Elemento (1) Nudo (2) Elemento (2) Nudo (1) u4 u3 k = ï ktt kt0 k0t k00 ò = 8EI L3     12 −12 −3L −3L −12 24 3L 0 3L 3L L2 L2/2 −3L 0 L2/2 2L2     k̂tt = ktt − kT 0tk−1 00 k0t k̂tt = 48EI 7L3 ï 2 −5 −5 16 ò MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 91/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias k21 k21 k41 k31 u1 = 1 u1 = 1, u2 = u3 = u4 = 0 u2 = 1, u1 = u3 = u4 = 0 u2 = 1 k22 k42 k12 k32 96EI/L3 24EI/L2 24EI/L2 96EI/L3 96EI/L3 24EI/L2 24EI/L2 96EI/L3 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 92/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias u2 = 1, u1 = u3 = u4 = 0 u2 = 1 k22 k42 k12 k32 96EI/L3 24EI/L2 24EI/L2 96EI/L3 96EI/L3 24EI/L2 24EI/L2 96EI/L3 u4 = 1, u1 = u2 = u3 = 0 k24 k44 k34 k14 u4 = 1 24EI/L2 24EI/L2 8EI/L 4EI/L 4EI/L 8EI/L 24EI/L2 24EI/L2 Desarrolle el mismo ejemplo considerando que se trata de un muro estructural en voladizo, incluya deformaciones por corte. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 93/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias u6 u4 u5 u3 u2 u1 2m m EI 2EI EI 2EI EI 2EI p (t) 2 p (t) 1 h h L = 2h k61 k41 k31 k21 k11 k51 u1 = 1 k63 k43 k33 k23 k13 k53 u3 = 1 u = u1 u2 u3 u4 u5 u6 T MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 94/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias p(t) = p1(t) p2(t) 0 0 0 0 T k = ï ktt kt0 k0t k00 ò = EI h3         72 −24 6h 6h −6h −6h −24 24 6h 6h 6h 6h 6h 6h 16h2 2h2 2h2 0 6h 6h 2h2 16h2 0 2h2 −6h 6h 2h2 0 6h2 h2 −6h 6h 0 2h2 h2 6h2         k̂tt = ktt − kT 0tk−1 00 k0t k̂tt = EI h3 ï 54.88 −17.51 −17.51 11.61 ò MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 95/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el pórtico de la figura 9 la rigidez lateral puede calcularse de manera similar para cualquier valor de Ib, Ic, L y h utilizando los coeficientes de rigidez de un elemento a flexión. El resultado puede escribirse en la forma: k = 24EIc h3 12ρ + 1 12ρ + 4 (36) donde ρ = (EIb/L) ÷ (2EIc/h) es la relación de rigidez de la viga con la columna. La rigidez lateral se representa de manera gráfica como una función de ρ en la figura 19; se incrementa por un factor de 4 cuando ρ crece desde cero hasta infinito. Figure 19: Variación de la rigidez lateral, k, con la relación ρ. (Fuente: [10] ) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 96/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Rigidez lateral de un pórtico plano empotrado en la base • Pórtico simétrico, de un piso y de un vano • Columnas empotradas en la base • Ignorando efectos de deformaciones axiales • Ignorando efectos de deformaciones de corte • Sin considerar brazos rı́gidos H, u EIc EIc EIv h A B C D L MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 97/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Matrices de rigidez de los elementos definiendo la rigidez relativa: γ = EIv/L EIc/h K(columna) = Ö 12EIc h3 6EIc h2 6EIc h2 4EIc h è = EIc h Ö 12 h2 6 h 6 h 4 è K(viga) = Ö 4EIv L 2EIv L 2EIv L 4EIv L è = EIc h 4γ 2γ 2γ 4γ ! Para la estructura con los 3 GDL indicados: EIc h â 4 + 4γ 2γ 6 h 2γ 4 + 4γ 6 h 6 h 6 h 24 h2 ì    θB θC u    =    0 0 H    MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 98/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias 2 1 2 1 1 2 3 Condensación estática: EIc h Å 4 + 4γ 2γ 2γ 4 + 4γ ã ß θB θC ™ + EIc h      6 h 6 h      u = ß 0 0 ™ ß θB θC ™ = −3u/h 2 + 3γ ß 1 1 ™ Å 6EIc h2 6EIc h2 ã ß θB θC ™ + 24EIc h3 u = H ⇒ 12EIc h3 Å 6γ + 1 3γ + 2 ã u = H MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 99/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Rigidez lateral del pórtico: KL = 12EIc h3 Å 6γ + 1 3γ + 2 ã Casos extremos: Viga infinitamente rı́gida: limγ→∞ KL = 24EIc h3 Viga infinitamente flexible: limγ→0 KL = 6EIc h3 u 12EI h3 u u 3EI h3 u MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 100/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Rigidez lateral de un pórtico plano articulada en la base H, u EIc EIc EIv h A B C D L MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 101/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Matrices de rigidez de los elementos definiendo la rigidez relativa: γ = EIv/L EIc/h K(columna) = Ö 3EIc h3 3EIc h2 3EIc h2 3EIc h è = EIc h Ö 3 h2 3 h 3 h 3 è K(viga) = Ö 4EIv L 2EIv L 2EIv L 4EIv L è = EIc h 4γ 2γ 2γ 4γ ! 2 1 2 1 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 102/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para la estructura con los 3 GDL indicados: 1 2 3 EIc h â 3 + 4γ 2γ 3 h 2γ 3 + 4γ 3 h 3 h 3 h 6 h2 ì    θB θC u    =    0 0 H    Condensación estática: EIc h Å 3 + 4γ 2γ 2γ 3 + 4γ ã ß θB θC ™ + EIc h      3 h 3 h      u = ß 0 0 ™ MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 103/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias ß θB θC ™ = −u/h 1 + 2γ ß 1 1 ™ Å 3EIc h2 3EIc h2 ã ß θB θC ™ + 6EIc h3 u = H ⇒ 12EIc h3 Å γ 1 + 2γ ã u = H Rigidez lateral del pórtico: KL = 12EIc h3 Å γ 1 + 2γ ã Casos extremos: Viga infinitamente rı́gida: lim γ→∞ KL = 6EIc h3 Viga infinitamente flexible: lim γ→0 KL = 0 u 3EI h3 u u 0 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 104/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias ¿Que pasa con los grados de libertad verticales? Desde el punto de vista del análisis dinámico ha sido tradicional, para solicitaciones sı́smicas, sólo tener en cuenta las excitaciones horizontales del sismo. No obstante la influencia de las deforma- ciones axiales de las columnas es importante en la respuesta de la estructura ante cargas horizontales. Esta influencia depende de la esbeltez de la estructura. Cuando se trata de pórticos poco esbel- tos, pueden eliminarse con un procedimiento similar al utilizado para las vigas, o simplemente tachando las filas y columnas de la matriz de rigidez del pórtico correspondientes a los grados de libertad ver- ticales. Si el pórtico es esbelto es más adecuado condensar estos grados de libertad verticales. Ha sido tradicional seguir la siguiente recomendación respecto a los grados de libertad verticales: Si: (i) H/B 5 deben condensarse (ii) H/B ≤ 5 pueden eliminarse MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 105/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Determinar los desplazamientos laterales del pórtico de 6 pisos con/sin considerar diafragma rı́gido, haga una análisis de los resultados y saque conclusiones. Determinar la rigidez latera del pórtico de 6 pisos con/sin condensando los grados de libertad verticales, haga una análisis de los resultados y saque conclusiones. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 106/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Elementos con Sección Variable Matriz de Rigidez para elementos de sección variable Figure 20: Definición de los términos de la matriz de flexibilidad de elementos de sección variable Fuente: [4] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 107/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias La matriz básica de flexibilidades de elementos de sección variable bidimensionales, como el ilustrado en la figura 20, se calcula de la siguiente manera: [f] =   f11 0 0 0 f22 f26 0 f62 f66   donde: f11 = Z l 0 dz EA(z) f22 = Z l 0 z2dz EIx(z) + Z l 0 dz GAcy(z) f26 = Z l 0 zdz EIx(z) = f62 f66 = Z l 0 dz EIx(z) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 108/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para elementos tridimensionales, los términos de la matriz de flexibilidad se calculan de la siguiente manera: [f] =         f11 0 0 0 0 0 0 f22 0 0 0 f26 0 0 f33 0 −f35 0 0 0 0 f44 0 0 0 0 −f53 0 f55 0 0 f62 0 0 0 f66         f11 = Z l 0 dz EA(z) f22 = Z l 0 z2dz EIx(z) + Z l 0 dz GAcy(z) f26 = Z l 0 zdz EIx(z) f33 = Z l 0 z2dz EIy(z) + Z l 0 dz GAcx(z) f35 = Z l 0 zdz EIy(z) f44 = Z l 0 dz GJ(z) f55 = Z l 0 dz EIy(z) f66 = Z l 0 dz EIx(z) f53 = f35 f62 = f26 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 109/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el caso tridimensional, las submatrices de rigidez tienen la forma: [k11] =         raz 0 0 0 0 0 0 raax 0 0 0 rabx 0 0 raay 0 −raby 0 0 0 0 rj 0 0 0 0 −raby 0 r11y 0 0 rabx 0 0 0 r11x         [k12] =         −raz 0 0 0 0 0 0 −raax 0 0 0 rbax 0 0 −raay 0 −rbay 0 0 0 0 −rj 0 0 0 0 raby 0 r12y 0 0 −rabx 0 0 0 r12x         MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 110/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias [k22] =         raz 0 0 0 0 0 0 raax 0 0 0 −rbax 0 0 raay 0 rbay 0 0 0 0 rj 0 0 0 0 rbay 0 r22y 0 0 −rbax 0 0 0 r22x         [k21] = [k12]T En lugar de invertir la matriz de flexibilidad para obtener la matriz de rigidez se puede calcular los términos de manera analı́tica según: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 111/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias raz = 1 f11 rj = 1 f44 Detx = f22f66 − f26 2 r11x = f22 D2 r12x = f26L − f22 Detx r22x = f66L2 − 2f26L + f22 Detx raax = r11x + r22x + 2r12x L2 rabx = r11x + r12x L rbax = r22x + r12x L Dety = f33f55 − f2 35 r11y = f33 Dety r12y = f35L − f33 Dety r22y = f55L2 − 2f35L + f33 Dety raay = r11y + r22y + 2r12y L2 raby = r11y + r12y L rbay = r22y + r12y L MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 112/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 21: Cálculo de los momentos de empotramiento para elementos prismáticos y de sección variable Fuente: [4] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 113/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Aplicando el método de la viga conjugada, se pueden determinar los giros de fijación (figura ??b), los cuales, por equilibrio y tomando en cuenta las deformaciones por cortante, se calculan como: θ2x = 1 L Z L 0 zM0x EIx(z) dz + 1 L Z L 0 V0y GAcy(z) dz (37) θ1x = Z L 0 M0x EIx(z) dz − θ2x (38) Los momentos de empotramiento en la dirección principal de flexión se calculan de la siguiente manera: M1x = r11xθ1x − r12xθ2x (39) M2x = r22xθ2x − r12xθ1x (40) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 114/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para una carga uniformemente repartida en el plano principal de flexión (ωx), se sabe que las ecuaciones de momento y de cortante de la estructura isostática correspon- diente a la viga conjugada son: M0x = ωxL 2 z − ωxz2 2 (41) V0x = ωxL 2 − ωxz (42) Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones (41) y (42) en las ecuaciones (37) y (38), tenemos que los giros de fijación correspondientes son: θ2x = ωx 2E ñZ L 0 z2dz Ix(z) − 1 L Z L 0 z3dz Ix(z) ô + ωx G ñ 1 2 Z L 0 dz Acy(z) − 1 L Z L 0 zdz Acy(z) ô (43) θ1x = ωx 2E ñ L Z L 0 zdz Ix(z) − Z L 0 z2dz Ix(z) ô − θ2x (44) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 115/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias La validez de estas expresiones se comprueba para el caso general, que corresponde a la viga prismática. Tomemos la dirección principal de flexión. Si la sección es prismática, se sabe que Ix(z) = Ix y que Acy(z) = Acy. Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación (43) y desarrollando, se tiene: θ2x = ωx 2EIx ñZ L 0 z2 dz − 1 L Z L 0 z3 dz ô + ωx GAcy ñ 1 2 Z L 0 dz − 1 L − Z L 0 zdz ô θ2x = ωx 2EIx Å L3 3 − L3 4 ã + ωx GAcy Å L 2 − L 2 ã θ2x = ωxL3 24EIx (45) A partir de las ecuaciones (44) y (45), y desarrollando, se tiene: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 116/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias θ1x = ωx 2EIx ñ L Z L 0 zdz − 1 L Z L 0 z2 dz ô − ωxL3 24EIx θ1x = ωx 2EIx Å L3 2 − L3 3 ã − ωxL3 24EIx θ1x = ωxL3 12EIx − ωxL3 24EIx = ωxL3 24EIx = θ2x (46) Y considerando los coeficientes de la matriz de rigidez cuando se incluyen deforma- ciones por cortante: r11x = r22x = (4 + Φy) EIx L (1 + Φy) (47) r12x = r21x = (2 − Φy) EIx L (1 + Φy) (48) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 117/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Sustituyendo las ecuaciones (47), (48), (45) y (46) en la ecuación (39) tenemos: M1x = r11xθ1x − r12xθ2x = Å (4 + Φy) EIx L (1 + ΦY ) − (2 − Φy) EIx L (1 + Φy) ã ωxL3 24EIx M1x = ωxL2 24 Å 4 + Φy − 2 + Φy 1 + ΦY ã Por lo tanto, el momento de empotramiento en el extremo 1 es: M1x = ωxL2 12 De forma análoga, a partir de sustituir las ecuaciones (47), (48), (45) y (46) en la ecuación (40) tenemos el momento de empotramiento en el extremo 2: M2x = ωxL2 12 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 118/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Determine el diagrama de momentos flectores del pórtico con/sin las vigas acarte- ladas, determinar la influencia de los elementos de seccion variable en los desplaza- mientos y fuerzas internas: Fuente: [7] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 119/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Referencias I [1] E. L. Wilson, Análisis estático y dinámico de estructuras. Berkeley, California: CSI, 1995. [2] S. Timoshenko and J. Gere, Mecánica de Materiales. México: Union Tipográfica Editorial Hispano-Americana, 1974. [3] G. Ottazzi, “Apuntes del curso concreto armado 1,” Editorial PUCP, Lima, 2011. [4] A. Tena Colunga, Análisis de estructuras con métodos matriciales. México: Limusa, S.A., 2007. [5] J. L. Blanco, A. Herrera, and J. M. Garcı́a, Análisis estático de estructuras por el método matricial. Málaga: PUBLIDISA, 2012. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 120/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Referencias II [6] A. Muñoz, Análisis Estructural 2. PUCP, 2011. [7] S. Bartolomé, Análisis de edificios. Pontificia Universidad Católica del Perú. Fondo Editorial, 1998. [8] J. L. Blanco, Análisis estático de estructuras por el método matricial. Málaga: Universidad de Málaga, 2012. [9] D. O. Soto, H. L. M. Taipe, and I. J. C. Pérez, “Análisis estructural de armaduras en dos dimensiones con el método matricial de rigidez empleando programación en excel y matlab,” [10] A. Chopra, Dinamica de estructuras. México: Pearson, 2014. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 121/122
MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Referencias III [11] L. E. Garcı́a, Dinámica estructural aplicada al diseño sı́smico. Bogotá: Universidad de los Andes, 1988. [12] J. Moehle, Seismic design of reinforced concrete buildings. McGraw-Hill, 2015. [13] J. Higashi, Concreto armado II. PUCP, 2017. [14] E. L. Wilson, Análisis estático y dinámico de estructuras. Berkeley, California: CSI, 1995. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 122/122

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  • 1. CURSO: ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CON MATHCAD PRIME MODULO 3: Análisis Matricial de Estructuras 2D Docente: Alexis Pompilla Yábar1,2 1 Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco 2 Pontificia Universidad Católica del Perú Abril, 2023
  • 2. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias LA INGENIERÍA ESTRUCTURAL EL ARTE DE UTILIZAR MATERIALES Que tienen propiedades Que Sólo pueden ser Estimadas PARA CONSTRUIR ESTRUCTURAS REALES Que Sólo pueden ser Analizadas Aproximadamente QUE SOPORTAN FUERZAS Que No son Conocidas con Precisión DE MANERA QUE NUESTRA RESPONSABILIDAD CON EL PÚBLICO SEA SATISFECHA MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 2/122
  • 3. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias “No utilicen un programa de análisis estructural a menos que usted entienda completamente la teorı́a y aproximaciones contenidas en el programa” y “No haga un modelo de computadora hasta que las cargas, propiedades de los materiales y condiciones de frontera estén claramente definidos.” Edward L. Wilson [1] Creador de los programas CSI: ETABS, SAFE, SAP2000 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 3/122
  • 4. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Contenido 1 Resumen 2 Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 4/122
  • 5. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Resumen MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 5/122
  • 6. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Método de las Rigideces o Método de los desplazamientos Método de las Rigideces (Fuente: [2]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 6/122
  • 7. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias En este caso las incógnitas son los momentos en las juntas B y C, estas se obtienen aplicando el principio de superposición y las ecuaciones de equilibrio de momento: A1p + S11D1 + S12D2 = 0 A2p + S21D1 + S22D2 = 0 En un caso general donde se tiene “n” grados de indeterminación estática: A1 =A1p + S11D1 + S12D2 + · · · + S1nDn A2 =A2p + S21D1 + S22D2 + · · · + S2nDn · · · An =AnP + Sn1D1 + Sn2D2 + · · · + SnnDn {A} = {K} {D} Donde {K} es la matriz de rigidez de la estructura formado por los coeficientes de rigidez. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 7/122
  • 8. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Cargas en Barras: Todas las fuerzas y los desplazamientos correspondientes se deben medir en el sistema de coordenadas Q-D elegido para el análisis. Fuente: [3] ¿Qué sucede si además de las cargas en los nudos hubiera también cargas en las barras? Fuente: [3] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 8/122
  • 9. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias ¿Cómo se miden las cargas en las barras en el sistema Q-D? La fuerza lateral H es la única que se puede medir en el sistema Q-D. Para superar esta aparente limitación del Método de Rigidez, es necesario definir un estado auxiliar denominado Estado Primario. Estado Primario y Estado Complementario Fuente: [3] Comportamiento Real: Fuente: [3] La suma de los dos estados indicados en la figura anterior, solo es posible si es aplicable el principio de superposición. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 9/122
  • 10. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Estado Primario (Curvas de Fijación) Consiste en analizar la estructura con todas las solicitaciones externas (cargas en los nudos, en las barras, asentamientos de apoyos, preesfuerzo, falta de ajuste, etc.) adicionando un grupo de restricciones denominadas {R} medidas en el sistema de coordenadas Q-D tales que los desplazamientos en los grados de libertad elegidos para el análisis sean nulos ({D} = {0}). Las fuerzas {R} necesarias para impedir los desplazamientos de los nudos se denom- inan Cargas de fijación o Vector de Cargas de Fijación. El Estado Primario es cinemáticamente determinado ya que los desplazamientos en el sistema de coordenadas Q-D son nulos. Estado Complementario Consiste en analizar la estructura sometida únicamente a las cargas en los nudos calculadas en el Estado Primario con signo cambiado: {Q} = −{R} { RESULTADO FINAL } = { PRIMARIO } + { COMPLEMENTARIO } La superposición final es aplicable a todo nivel: deformada, momentos, cortantes, axiales, reacciones de apoyo, etc. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 10/122
  • 11. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Sistematización del Método de la Rigidez Paso 1: Matriz de Rigidez en el sistema local Los términos de la matriz de rigidez de un elemento kij representan la fuerza Fi asociada a un desplazamiento unitario en uj cuando todos los demás desplazamientos son iguales a cero. Estas expresiones se pueden determinar a partir de integrar las ecuaciones de gobierno: Resultante: Ecuación diferencial de gobierno Carga Axial: d2u dx2 = − q (x) EA Fuerza Cortante y Momento flector: d2v dx2 = M EI + αoq GA Torsión: d2ϕ dx2 = − t (x) GJ MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 11/122
  • 12. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Fuerzas axiales (Fuente: [4]) EA du dz = −q → EA du dz = −F1z Fuerza cortante y momento flector dvs dz = V GAc = −F1y GAc → EIxvs = −EIxF1yz GAc +C1 EIx d2vb dz2 = M = F1yz − M1x EIx dvb dz = F1y z2 2 − M1xz + C2 → F1zz = −EAu + C1 Cuando z = 0 → u = u1z y cuando z = L → u = 0, además F1z = −F2z: ∴ C1 = EAu1z F1zL = C1 F1z = EA L u1z → k11 = −k21 = EA L (Fuente: [4]) EIxvb = F1y z3 6 − M1x z2 2 + C2z + C3 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 12/122
  • 13. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias EIxv = F1y z3 6 − M1x z2 2 + Å C2 − EIxF1y GAc ã z + C1 + C3 | {z } C4 EIx dv dz = F1y z2 2 − M1xz + C2 − EIxF1y GAc | {z } dvb dz +ϕ=θ dv dz = dvs dz = −F1y GAc en z = 0 : → C2 = 0 y M1x = F1yL 2 v = 0 en z = L : → 0 = F1y L3 6 − F1y L3 4 − Å EIxF1yL GAc ã + C4 C4 = F1y L3 12 + 12EIxF1yL3 12GAcL2 = F1y L3 12 (1 + Φ) Φ = 12EIx GAcL2 v = u1y en z = 0 : → u1y = F1y L3 12 (1 + Φ) → k11 = F1y u1y = 12EIx L3 (1 + Φ) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 13/122
  • 14. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias k21 = M1x u1y = F1yL 2u1y = 6EIx L2 (1 + Φ) k31 = F2y u1y = −F1y u1y = − 12EIx L3 (1 + Φ) k41 = M2x u1y = F1yL − M1x u1y = 6EIx L2 (1 + Φ) (Fuente: [4]) De la condición de frontera v = 0 en z = 0 y z = L se obtiene C4 = 0 y: C2 = −F1y L2 6 + M1x L 2 + F1y L2 12 Φ (1) dv dz = dvs dz = −F1y GAc en z = L : C2 = M1xL − F1y L2 2 (2) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 14/122
  • 15. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias De (1) y (2) se obtiene: 0 = F1y L2 3 − M1x L 2 + F1y L2 12 Φ = F1y L2 12 (4 + Φ) − M1x L 2 → F1y = 6M1x L (4 + Φ) C2 = M1xL − F1y L2 2 = M1xL − 3M1xL (4 + Φ) = M1xL (1 + Φ) (4 + Φ) = F1y L2 (1 + Φ) 6 EIxv = F1y z3 6 −M1x z2 2 + Å −F1y L2 6 + M1x L 2 ã z = F1y 6 z3 − zL2 + M1x 2 zL − z2 De la condición de frontera en z = 0: dvf dz = dv dz − dvs dz = θ1x → θ1x = M1xL (1 + Φ) EIx (4 + Φ) ∴ k22 = M1x θ1x = (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L k12 = F1y θ1x = 6EIx L2 (1 + Φ) k32 = F2y θ1x = −F1y θ1x = − 6EIx L2 (1 + Φ) k42 = M2x θ1x = F1yL − M1x θ1x = (2 − Φ) EIx L (1 + Φ) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 15/122
  • 16. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el elemento armadura y viga las matrices de rigidez están dados respectivamente por: [Ke] = Ü EA L − EA L − EA L EA L ê [Ke] = á (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L ë MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 16/122
  • 17. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el elemento viga con desplazamientos relativos en sus extremos la matriz de rigidez está dado por: [Ke] =                    12EIx (1 + Φ) L3 6EIx (1 + Φ) L2 − 12EIx (1 + Φ) L3 6EIx (1 + Φ) L2 6EIx (1 + Φ) L2 (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L − 6EIx (1 + Φ) L2 (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L − 12EIx (1 + Φ) L3 − 6EIx (1 + Φ) L2 12EIx (1 + Φ) L3 − 6EIx (1 + Φ) L2 6EIx (1 + Φ) L2 (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L − 6EIx (1 + Φ) L2 (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L                    MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 17/122
  • 18. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el elemento viga-columna la matriz de rigidez está dado por: [Ke] =                                EA L 0 0 − EA L 0 0 0 12EIx (1 + Φ) L3 6EIx (1 + Φ) L2 0 − 12EIx (1 + Φ) L3 6EIx (1 + Φ) L2 0 6EIx (1 + Φ) L2 (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L 0 − 6EIx (1 + Φ) L2 (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L − EA L 0 0 EA L 0 0 0 − 12EIx (1 + Φ) L3 − 6EIx (1 + Φ) L2 0 12EIx (1 + Φ) L3 − 6EIx (1 + Φ) L2 0 6EIx (1 + Φ) L2 (2 − Φ) EIx (1 + Φ) L 0 − 6EIx (1 + Φ) L2 (4 + Φ) EIx (1 + Φ) L                                MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 18/122
  • 19. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 2: Ensamblar la Matriz de Rigidez Global La matriz de rigidez de la estructura o global se puede obtener mediante el ensamblaje de las matrices de cada elemento, esto es equivalente a formar las ecuaciones de equilibrio en cada grado de indeterminación. La matriz de rigidez de una estructura se puede ensamblar sistemáticamente a partir de las matrices de rigidez de las barras que la conforman y de la conectividad entre ellas. Esto hace que el método de rigidez sea apropiado para su implementación en computadoras mediante programas de ”análisis automático de estructuras”. Figure 1: Fuente: [5] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 19/122
  • 20. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias px =p′ x cos ϕ − p′ y sin ϕ py =p′ x sin ϕ + p′ y cos ϕ Ñ px py θ é | {z } Globales =   cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1   | {z } Matriz de Rotación Ñ p′ x p′ y θ′ é | {z } Locales en forma simplificada, {Pg } = [T]{Pl } (3) donde: {Pg } = vector de cargas en el sistema global [T] = matriz de rotación {Pl } = vector de cargas en el sistema local por el ”Principio de contragradiencia” se tiene que: {dl ] = [T]t {dg } (4) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 20/122
  • 21. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Las ecuaciones de rigidez en el sistema local y global están dados por: {Pg } = [Kg]{dg } (5) ¶ Pl © = [Kl]{dl } (6) La matriz de rotación tiene la siguiente propiedad: [T][T]t = [I] Premultiplicando por [T] a la ecuación 4 nos da: [T]{dl ] = [T][T]t {dg } → [T]{dl ] = {dg } (7) Reemplazando 6 en 3 queda: {Pg } = [T]{Pl } = [T][Kl]{dl } (8) Reemplazando 7 en 5 queda: {Pg } = [Kg]{dg } = [Kg][T]{dl ] (9) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 21/122
  • 22. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Igualando 8 y 7 se obtiene: [Kg][T] = [T][Kl] Sacando transpuesta cada lado de la ecuación y recordando que (A · B)T = BT AT : ([Kg][T])T = ([T][Kl])T → [T]t [Kg]t = [KL]t [T]t Premultiplicando por [T] y recordando que la matriz de rigidez es simetrica se ob- tiene: [T][T]t [Kg]t = [T][KL]t [T]t → [Kg] = [T]t [KL][T] La Matriz de Rigidez en el sistema Global de todas las barras sera: [KG] = m barras X i=1 [Ti] [Kl] [Ti]T MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 22/122
  • 23. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 23/122
  • 24. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 3: Vector de cargas equivalentes en sistema local Sea una carga lineal q(x) = Ax + B sobre un elemento, se desea obtener las fuerzas equivalentes en los extremos para poder establecer las ecuaciones de equilibrio en los grados de indeterminación. EI d4u dx4 = −q = −Ax − B EI d3u dx3 = −V = − Ax2 2 − Bx + C1 EI d2u dx2 = − Ax3 6 − Bx2 2 + C1x + C2 | {z } M + qEI GAc EI du dx = θ = − Ax4 24 − Bx3 6 + C1x2 2 + C2x + EI GAc Å Ax2 2 + Bx ã + C3 EIu = − Ax5 120 − Bx4 24 + C1x3 6 + C2x2 2 + EI GAc Å Ax3 6 + Bx2 2 ã + C3x + C4 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 24/122
  • 25. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Imponiendo las condiciones de contorno en x = 0 es de importancia notar que C1, C2 representan la cortante y el momento en el extremo izquierdo respectivamente y C4 = 0. Además en la primera etapa del método de la rigidez se restringe los desplazamientos por lo que para establecer las ecuaciones necesarias se impone en x = 0 y x = L → θb = 0 y u = 0. El giro total θ no sera 0 en los extremos porque existe una deformación por cortadura dado por: C3 = EIV GAc = EIC1 GAc Con las consideraciones mencionadas y haciendo los arreglos necesarios se obtienen las 2 ecuaciones necesarias para hallar C1, C2 y finalmente se evalúan las ecuaciones de corte y momento en el extremo derecho. x = L → θb = 0 : C1 L2 2 + C2L = AL4 24 + BL3 6 x = L → u = 0 : C1 L3 12 (2 − Φ) + C2 L2 2 = AL5 72 (0.6 − Φ) + BL4 24 (1 − Φ) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 25/122
  • 26. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Lo anterior expresado en forma matricial sera: C = ï C1 C2 ò = M−1 N Donde: M =    L2 2 L L3 12 (2 − Φ) L2 2    N =      AL4 24 + BL3 6 AL5 72 (0.6 − Φ) + BL4 24 (1 − Φ)      En el caso que el extremo derecho este rotulado, se impone la condición de que el momento es cero en ese extremo en lugar de imponer que el giro quedando, se procede de manera similar si el otro o ambos extremos tienen rótula. M =   L 1 L3 12 (2 − Φ) L2 2   N =      AL3 6 + BL2 2 AL5 72 (0.6 − Φ) + BL4 24 (1 − Φ)      MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 26/122
  • 27. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Reemplazando los valores de C1 y C2 obtenemos la cortante y el momento al inicio y al final del tramo, por lo que el vector de cargas equivalentes se obtiene con: Q =         −C1 C2 − AL2 2 − BL + C1 − Å − AL2 6 − BL2 2 + C1L + C2 ã         Paso 4: Ensamblar la Matriz de Cargas Global Con la ecuación 3 podemos obtener el vector de cargas en el sistema global de cada barra: {Pg } = [T]{Pl } (10) Posterior a ello se ensambla similar al caso de la matriz de rigidez. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 27/122
  • 28. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 5: Cálculo de desplazamientos desconocidos Después de obtener la matriz de rigidez y cargas en el sistema global de la estructura completa se debe resolver el sistema Q = KD, finalmente se separa el sistema de ecuaciones para los grados de libertad de los desplazamientos indeterminados para obtener: [K] = Kd Kdc Kcd Kc # [D] = Dd Dc # [Q] = Qd Qc # Expandiendo la expresión anterior: Qd = KdDd + KdcDc Qc = KcdDd + KcDc Despejando los desplazamientos desconocidos de la primer expresión: Dd = K−1 d (Qd − KdcDc) En el caso que los desplazamientos conocidos en los apoyos son nulos la expresión anterior se reduce: Dd = K−1 d Qd MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 28/122
  • 29. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 6: Cálculo de Reacciones De la expansión anterior se obtuvo las fuerzas en los grados de libertad donde los desplazamientos son conocidos: Qc = KcdDd + KcDc Sin embargo lo anterior es resultado del estado complementario. el comportamiento real es la suma del estado primario y complementario, teniendo en cuenta que las cargas en el estado primario es Q′ c, las reacciones totales serán: Rt = Qc + Q′ c Fuente: [3] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 29/122
  • 30. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 7: Cálculo de Fuerzas Internas en Extremos Con la ecuación 4 se puede obtener los desplazamientos en el sistema local: {dl ] = [T]t {dg } Para luego con la ecuación 6 se puede obtener las fuerzas internas en el sistema local: ¶ Pl © = [Kl]{dl } De nuevo esto representa las fuerzas internas en el sistema complementario, siendo Pp las fuerzas internas del elemento para el estado primario, las fuerzas finales serán: Pt = Pl © + {Pp } MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 30/122
  • 31. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Paso 8: Diagramas de Fuerzas Internas Similar a cuando calculamos los momentos de empotramiento imponiendo las condiciones de contorno de desplazamientos para hallar las constantes de la ecuación diferencial de gob- ierno, se puede hallar las constantes imponiendo los desplaza- mientos conocidos después de resolver el sistema q = kd. En caso exista rotulas se modifica de igual forma imponiendo las nuevas condiciones de momento en los extremos. C =     C1 C2 C3 C4     = M−1 N Donde: M =        0 0 0 1 0 0 1 0 L3 12 (2 − Φ) L2 2 L 1 L2 2 L 1 0        N =          EIu1 EIθ1 EIu2 + AL5 72 (0.6 − Φ) + BL4 24 (1 − Φ) EIθ2 + AL4 24 + BL3 6          MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 31/122
  • 32. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Tópicos Especiales MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 32/122
  • 33. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Deformaciones por cortante En la energı́a de deformación por corte apareció el termino ff llamado Factor de forma por cortadura y esta dado por: ff = A I2 Z A Q2 b2 dA Este factor es equivalente al factor αo que se estudio junto a las deformaciones por corte. Sin embargo existe una princi- pal diferencia, el factor αo se estimo con- siderando que la distorsión angular es la del eje neutro (máxima), utilizando ff se corrige el error ya que se integra sobre el área de la sección. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 33/122
  • 34. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias ¿Como se calcula el factor de forma en una sección T? MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 34/122
  • 35. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 2: Comportamiento de un muro en voladizo (Fuente: [6]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 35/122
  • 36. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Deduzca la matriz de flexibilidad del muro en voladizo de albañilerı́a o mamposterı́a considerando las deformaciones por corte y evalúe la influencia de ello en los resul- tados de fuerzas internas y desplazamientos. Figure 3: (Fuente: [7]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 36/122
  • 37. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Extremos Rı́gidos 1 2 3 4 a L b Desplazamientos: a. Vi V1 V2 Vj θi θ1 θ2 θj Fuerzas: b. Vi V1 V2 Vj Mi M1 M2 Mj MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 37/122
  • 38. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Las fuerzas y desplazamiento en los extremos de la porción flexible pueden rela- cionarse mediante la ecuación (11). Ku = f (11) Los desplazamientos en la porcion flexible se relacionan con los desplzamientos en los extremos mediante:        v1 θ1 v2 θ2        = Ü 1 a 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −b 0 0 0 1 ê        vi θi vj θj        0, en forma más concisa: u = Hu(e) (12) De otro lado, pueden relacionarse las fuerzas, indicadas en la figura b, por las condi- ciones de equilibrio, es decir: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 38/122
  • 39. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias        Vi Mi Vj Mj        = Ü 1 0 0 0 a 1 0 0 0 0 1 0 0 0 −b 1 ê        V1 M1 V2 M2        f(e) = HT f (13) Sustituyendo (12) en (11) , multiplicando por HT y reemplazando (13) se obtiene: Ä HT KH ä u(e) = f(e) es decir, la matriz de rigidez de la viga con brazos rı́gidos (figuras a y b) resulta: K(viga) = HT KH MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 39/122
  • 40. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Evalúe el efecto que tiene la inclusión de brazos rı́gidos en los desplazamientos lat- erales y fuerzas internas de las siguientes estructuras: Figure 4: (Fuente: [7]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 40/122
  • 41. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Las cargas distribuidas sobre los brazos rı́gidos tienen un efecto en el vector de cargas similar al caso de la transformación de la matriz de rigidez, en elementos inclinados esto también influye en las cargas axiales, evalué este efecto y calcule el vector de cargas equivalentes para los siguiente casos: Figure 5: (Fuente: [7]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 41/122
  • 42. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Asentamientos o Deformaciones Impuestas Las estructuras utilizadas en edificación pueden estar desplantadas sobre suelos de- formables. En estos casos la hipótesis de que sus apoyos están totalmente restringidos (empotramientos) es bastante cuestionable, y dependiendo de las rigideces relativas del suelo y de la cimentación con respecto a la estructura, en muchos casos se re- querirán análisis más detallados donde se considere la posibilidad de que se deforme el suelo y/o la cimentación o que se presenten desplazamientos súbitos en el suelo[4]. En los pasos 5 y 6 vimos como podemos dividir la matriz de rigidez global para solu- cionar el sistema en los desplazamientos desconocidos: ß {F} {H} ™ = ß {Fe} {Fs} ™ = ï [Kee] [Kes] [Kse] [Kss] ò ß {ue} {us} ™ donde {F} = {Fe} es el vector de fuerzas externas aplicadas en la estructura, {H} = {Fs} es el vector de fuerzas o reacciones en los apoyos, {u} = {ue} es el vector de desplazamientos en la estructura, {us} es el vector de desplazamientos en los apoyos. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 42/122
  • 43. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias [K] = [Kee ] es la matriz de rigidez asociada a los grados de libertad de la estructura exclusivamente, [Kss] es la matriz de rigidez asociada a los grados de libertad de los apoyos exclusivamente, y [Kes] y [Kse] son las matrices de rigidez del acoplamiento que existe entre los grados de libertad de la superestructura y los apoyos. El sistema se puede reescribir convenientemente como: {Fe} = [Kee] {ue} + [Kes] {us} (14) {Fs} = [Kse] {ue} + [Kss] {us} (15) De hecho, si consideramos que {us} = 0, que ha sido la hipótesis que hemos mane- jado en capitulos anteriores, tenemos, a partir de las ecuaciones (14) y (15) , que el sistema se reduce a: {Fe} = [Kee] {ue} = {F} = [K]{u} (16) {Fs} = [Kse] {ue} = {H} = [Kse] {u} (17) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 43/122
  • 44. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Si existen desplazamientos en los apoyos, éstos deben considerarse. Supongamos que una estructura dada experimenta desplazamientos en los apoyos, de manera que {us} ̸= 0. A partir de la ecuación (14) tenemos que: [Kee] {ue} = {Fe} − [Kes] {us} = {Feff } (18) por lo que los desplazamientos en la estructura, {uϵ}, se obtienen directamente resolviendo el sistema en (18). Las reacciones en los apoyos se obtienen simplemente realizando las operaciones matriciales que se establecen en la ecuación (15). MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 44/122
  • 45. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Evalué el efecto que tiene el asentamiento de 10cm en las fuerzas internas del pórtico: Figure 6: Marco de 1 vano con asentamiento y carga lateral Fuente: [4] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 45/122
  • 46. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Apoyos Elásticos Resolver el siguiente pórtico por el método de la flexibilidad: k w2 w1 h1 h2 L MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 46/122
  • 47. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Los apoyos elásticos tienen la particularidad de deformarse de forma proporcional (lineal) a las reacciones o esfuerzos que actúan sobre ellos y su tratamiento en el método de rigidez es particularmente sencillo. Considérese de forma general que el grado de libertad i-ésimo está vinculado a un apoyo elástico que tienen como ecuación elástica: ri = −kidi En la que ri es la reacción correspondiente, ki es la constante elástica del apoyo y di es el grado de libertad incógnita (Figura 3.5). El sistema de ecuaciones a resolver es:       K11 . . . K1i . . . K1n . . . . . . . . . . . . . . . Ki1 . . . Kii . . . Kin . . . . . . . . . . . . . . . Kn1 . . . Kni . . . Knn             d1 . . . di . . . dn       =       f1 . . . fi − kidi . . . fn       MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 47/122
  • 48. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Los apoyos elásticos tienen la particularidad de deformarse de forma proporcional (lineal) a las reacciones o esfuerzos que actúan sobre ellos y su tratamiento en el método de rigidez es particularmente sencillo. Considérese de forma general que el grado de libertad i-ésimo está vinculado a un apoyo elástico que tienen como ecuación elástica: ri = −kidi En la que ri es la reacción correspondiente, ki es la con- stante elástica del apoyo y di es el grado de libertad incógnita 7. El sistema de ecuaciones a resolver es:       K11 . . . K1i . . . K1n . . . . . . . . . . . . . . . Ki1 . . . Kii . . . Kin . . . . . . . . . . . . . . . Kn1 . . . Kni . . . Knn             d1 . . . di . . . dn       =       f1 . . . fi − kidi . . . fn       Figure 7: Apoyos elásticos Fuente: [8] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 48/122
  • 49. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias donde fi es la fuerza exterior actuante sobre el grado de libertad i. Puede trasladarse el término −kidi, de valor desconocido, al miembro de la izquierda, resultando:       K11 . . . K1i . . . K1n . . . . . . . . . . . . . . . Ki1 . . . Kii + ki . . . Kin . . . . . . . . . . . . . . . Kn1 . . . Kni . . . Knn             d1 . . . di . . . dn       =       f1 . . . fi . . . fn       Puede verse que los apoyos elásticos se introducen sin más que añadir su rigidez al término de la diagonal correspondiente a la ecuación en cuestión. Esto equivale a considerar el apoyo como un elemento resistente más de la estructura y ”ensamblar” de forma apropiada su contribución. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 49/122
  • 50. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias El uso de resortes lineales y rotacionales no solo tienen aplicación en suelos de- formables, sino también es posible reemplazar la rigidez de algunos elementos por un resorte. La primera aplicación es el caso de vigas continuas de pórticos sujetas a cargas gravitacionales, para ello podemos hace uso de resortes rotacionales en lugar de modelar las columnas tal como se indica a continuación: Fuente: [7] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 50/122
  • 51. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Dibuje el diagrama de fuerza cortante y momento flector de la viga continua: Fuente: [7] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 51/122
  • 52. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Evalué el efecto de columna corta en el siguiente pórtico con alfeizer haciendo uso de la columna equivalente: Fuente: [7] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 52/122
  • 53. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Apoyos en Planos Inclinados En cálculo matricial se manejan tres tipos de sistemas de coordenadas distintos: uno global, uno local para cada barra y uno local para cada nodo. Los locales de cada barra pueden coincidir o no con el global, con el que están relacionados a través de las matrices de rotación T que vimos con anterioridad. En esta sección nos interesan los sistemas de coordenadas nodales. Es- tos sólo se deben tener en cuenta cuando exista algún apoyo móvil (p.ej. un ”carrito”) cuyo gdl libre sea no ortogonal al sistema de coordenadas globales. Es decir, cuando el apoyo permita deslizamientos sobre un plano inclinado en una dirección distinta a la de x o y global. Como ejemplo el nudo 4 de la estructura mostrada en la figura: Figure 8: Ejemplo de estructura con un apoyo articulado no ortogonal al sistema de coordenadas global (Fuente: [8]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 53/122
  • 54. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias La necesidad de tratar como un caso especial estos apoyos móviles sobre planos inclinados se justifica pensando que uno de los primeros pasos a realizar al resolver la estructura es dividir los grados de libertad en libres y restringidos (recordar paso 5). Si observamos el nudo 4, veremos que serı́a imposible decidir cuales de sus dos direcciones x e y en coordenadas globales son libres o restringidas, ya que ambas son libres pero existe una ligadura entre ambas que las restringe, de forma que no pueden variar independientemente. La solución consiste en considerar las dos direcciones alternativas x′ e y′, a las que llamaremos coordenadas nodales. La ventaja de estas coordenadas es que, ahora sı́, podemos separar muy claramente el grado de libertad restringido (y′) del libre (x′). A continuación se explica porqué el considerar estas coordenadas nodales no ortog- onales a las globales nos forzará a modificar el sistema de ecuaciones global de la estructura, en forma matricial − → F = K − → U, por una versión modificada − → F′ = K′− → U′. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 54/122
  • 55. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Sea una estructura cualquiera con n nudos donde el i’ésimo nudo se corresponde con un apoyo móvil sobre un plano inclinado. Dicha estructura se modela mediante los siguentes vectores de fuerzas ( − → F)y desplazamientos ( − → U) en coordenadas globales: − → F =               − → F1 . . . − → Fi−1 − → Fi − → Fi+1 . . . − → Fn               − → U =               − → U1 . . . − → Ui−1 − → Ui − → Ui+1 . . . − → Un               (19) relacionadas a través de la matriz de rigidez K mediante − → F = K − → U. Dicha matriz debe ensamblarse conforme a lo descrito en §3.3. Debido al apoyo móvil sobre el plano inclinado no podemos dividir las componentes de − → Ui en grados de libertad libres y restringidos, por lo que aplicaremos el siguiente cambio de coordenadas: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 55/122
  • 56. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias − → Fi = Ti −̂ → fn i − → Ui = Ti −̂ → un i (20) donde se han introducido las fuerzas y desplazamientos del nudo i en coordenadas nodales, representadas por −̂ → fn i y −̂ → un i, respectivamente. Se usará el superı́ndice n para denotar que se trata de un sistema de coordenadas nodal. Respecto a la matriz Ti, se trata de una matriz de rotación similar a las descritas para transformar las matrices de rigidez locales de barras a coordenadas globales en el capı́tulo 2, dada por: Ti = ï cos β − sin β sin β cos β ò Para un apoyo articulado (2 gdl) Ti =   cos β − sin β 0 sin β cos β 0 0 0 1   Para un apoyo rı́gido (3 gdl) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 56/122
  • 57. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias siendo β el ángulo desde el sistema de coordenadas global hasta el plano inclinado del apoyo, medido como se indica en la Figura 8. Para llevar a cabo el cambio de coordenadas en las fuerzas y desplazamientos del nudo i, expandimos el sistema de ecuaciones − → F = K − → U y sustituimos los valores de la Ecuación (20):               − → F1 . . . − → F i−1 Ti ˆ ⃗ fn i − → Fi+1 . . . − → Fn               =             K1,1 . . . K1,i−1 K1,i K1,i+1 . . . K1,n . . . . . . . . . . . . . . . Ki−1,1 . . . Ki−1,i−1 Ki−1,i Ki−1,i+1 . . . Ki−1,n Ki,1 . . . Ki,i−1 Ki,i Ki,i+1 . . . Ki,n Ki+1,1 . . . Ki+1,i−1 Ki+1,i Ki+1,i+1 . . . Ki+1,n . . . . . . . . . . . . . . . Kn,1 . . . Kn,i−1 Kn,i Kn,i+1 . . . Kn,n                           − → U1 . . . − → Ui−1 Ti − → u n i − → Ui+1 . . . − → Un               (21) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 57/122
  • 58. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Dado que nuestro objetivo es ser capaces de plantear una división válida de los grados de libertad entre libres y restringidos, nos interesarı́a que en los vectores de fuerzas y desplazamientos solamente interviniesen −̂ → fn i y −̂ → un i, y no sus versiones en coordenadas globales − → Fi = Ti −̂ → fn i y − → Ui = Ti −̂ → un i que son las que aparecen en la ecuación anterior. Mediante las reglas del producto de matrices se puede demostrar que esto se consigue modificando las entradas de la matriz global K que aparecen en la i ’ésimas filas y columnas, las marcadas entre lı́neas en la Ecuación (21). De esta forma se llega a otra matriz de rigidez K′ que relaciona vectores de fuerzas y desplazamientos que en parte están en coordenadas globales y en parte en coordenadas nodales, será sobre este último sistema de ecuaciones sobre el que habrá que operar según lo descrito en el paso 5 para resolver la estructura. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 58/122
  • 59. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias                 − → F1 . . . − → Fi−1 −̂ → fn i − → Fi+1 . . . − → Fn                 | {z } − → F ′ =              K1,1 . . . K1,i−1 K1,iTi K1,i+1 . . . K1,n . . . . . . . . . . . . . . . Ki−1,1 . . . Ki−1,i−1 Ki−1,iTi Ki−1,i+1 . . . Ki−1,n T⊤ i Ki,1 . . . T⊤ i Ki,i−1 T⊤ i Ki,iTi T⊤ i Ki,i+1 . . . T⊤ i Ki,n Ki+1,1 . . . Ki+1,i−1 Ki+1,iTi Ki+1,i+1 . . . Ki+1,n . . . . . . . . . . . . . . . Kn,1 . . . Kn,i−1 Kn,iTi Kn,i+1 . . . Kn,n              | {z } K′                − → U1 . . . − → Ui−1 ˆ − → u n i − → Ui+1 . . . − → Un                | {z } − → U′ (22) Por ejemplo, cuando se extraiga la submatriz de rigidez correspondiente a los gdl libres (llamada KLL en §3.5 ) se hará a partir de la matriz K′ de la Ecuación (22) en lugar de a partir de la matriz K original. Ası́ mismo, hay que tener en cuenta que al obtener la solución a los desplazamientos de los gdl libres (el vector − → UL ), los gdl correspondientes al nudo i del plano inclinado (una parte de −̂ → u n i ) estarán dados en el sistema de coordenadas nodal. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 59/122
  • 60. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Resolver los siguientes ejemplos donde los apoyos rodillo se encuentras en planos inclinados: Fuente: [9] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 60/122
  • 61. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Condensación Estática Recordemos las ecuaciones de equilibrio del pórtico de un vano: Figure 9: Marco de 1 vano Fuente: [10] EIc h3   24 6h 6h 6h 6h2 h2 6h h2 6h2      u1 u2 u3    =    fS 0 0    (23) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 61/122
  • 62. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias A partir de la segunda y tercera ecuaciones, las rotaciones de los nudos pueden expresarse en términos del desplazamiento lateral de la siguiente manera: ß u2 u3 ™ = − ï 6h2 h2 h2 6h2 ò−1 ï 6h 6h ò u1 = − 6 7h ï 1 1 ò u1 (24) Al sustituir la ecuación (24) en la primera de las tres ecuaciones de la ecuación (23) se obtiene fS = Å 24EIc h3 − EIc h3 6 7h ⟨6h 6h⟩ ï 1 1 òã u1 = 96 7 EIc h3 u1 (25) Ası́, la rigidez lateral del marco es k = 96 7 EIc h3 (26) Este procedimiento para eliminar rotaciones de los nudos, conocido como el método de condensación estática, se presenta en esta sección. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 62/122
  • 63. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Condensación estática Supongamos que tenemos una estructura sobre la cual podemos plantear la siguiente relación de rigidez: {P} = [KE] {U} Si algunas de las fuerzas externas aplicadas sobre la estructura, representadas en el vector {P} son nulas, podemos particionar el vector {P} de la siguiente manera: {P} = ß Pc 0 ™ donde {Pc} corresponde a las fuerzas externas aplicadas en los nudos que no son cero. Análogamente podemos particionar el vector {U} de la siguiente manera: {U} = ß Uc Uo ™ MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 63/122
  • 64. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias donde {Uc} son los desplazamientos de los grados de libertad donde hay fuerzas exiernas aplicadas, y {Uo} son los desplazamientos de los grados de libertad donde las fuerzas son cero, stos ultimos desplazamiento no son nulos. la matriz {KE} puede particionarse de la siguiente manera para reflejar la partición de los vectores: ß Pc 0 ™ = ï Ko K1 K2 K3 ò ß Kc Ko ™ Expandiendo la última ecuación obtenemos: {Pc} = [Ko] {Uc} + [K1] {Uo} (27) y {0} = [K2] {Uc} + [K3] {Ue} (28) De la ecuación (28) obtenemos: {U0} = − [K3]−1 [K2] {Uc} (29) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 64/122
  • 65. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias que al reemplazar en la ecuación (27) conduce a: {Pc} = î [Ko] − [K1] [K3]−1 [K2] ó {Uc} Por lo tanto hemos reducido el sistema únicamente a los grados de libertad donde hay fuerzas externas aplicadas, y la matriz de rigidez de la estructura se ha reducido a: [Kc] = î [Ko] − [K1] [K3]−1 [K2] ó Una vez se resuelve el sistema determinando {Uc}, es posible obtener los valores de {Uo} utilizando la ecuación (29). El procedimiento anterior se denomina conden- sación. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 65/122
  • 66. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Liberación de Momentos Algunos tipos de estructura tienen elementos que en sus extremos tienen articula- ciones, manteniendo las propiedades de flexión dentro del interior del elemento. En otros casos se desea liberar algún grado de libertad del elemento, ya sea en sus extremos, o dentro de él. Una posibilidad de atender este problema es deducir la matriz de rigidez del elemento teniendo en cuenta el caso particular que se desee. Otra manera de resolver el problema, la cual es más general, consiste en utilizar la condensación vista en la Sección anterior. En un elemento de pórtico plano se quiere colocar una articulación en el extremo izquierdo. El elemento tiene una carga distribuida uniforme sobre toda su longitud de magnitud w. Encontrar la matriz de rigidez correspondiente y el vector de momentos de empotramiento. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 66/122
  • 67. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 10: Viga con articulación en el extremo izquierdo Fuente: [11] Iniciamos con la matriz convencional de elemento de pórtico plano y las fuerzas de empotramiento para un elemento con carga distribuida uniforme de magnitud w con los extremos empotrados. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 67/122
  • 68. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias [k] =                     AE L 0 0 − AE L 0 0 0 12EI L3 6EI L2 0 − 12EI L3 6EI L2 0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 12EI L3 − 6EI L2 0 12EI L3 − 6EI L2 0 6EI L2 2EI L 0 − 6EI L2 4EI L                     se quiere liberar el grado de libertad uaz correspondiente a la tercera fila y tercera columna de la matriz. Para aplicar: k′ = [k] − {k1} k−1 3 {k2} MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 68/122
  • 69. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias tenemos: [k1] =                   0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L                   [k2] = ï 0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L ò k3 = 4EI L k−1 3 = L 4EI MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 69/122
  • 70. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias {k1} k−1 3 {k2} =                   0 0 0 0 0 0 0 9EI L3 6EI L2 0 − 9EI L3 3EI L2 0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L 0 0 0 0 0 0 0 − 9EI L3 − 6EI L2 0 9EI L3 − 3EI L2 0 3EI L2 2EI L 0 − 3EI L2 EI L                   [k′ ] =                    AE L 0 0 − AE L 0 0 0 3EI L3 0 0 − 3EI L3 3EI L2 0 0 0 0 0 0 − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 3EI L3 0 0 3EI L3 − 3EI L2 0 3EI L2 0 0 − 3EI L2 3EI L                    MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 70/122
  • 71. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Las fuerzas de empotramiento para la viga original son las siguientes: [ME] =                   0 wL 2 wL2 12 0 wL 2 wL2 12                   Y resolviendo para el grado de libertad liberado: wL2 12 = 4EI L uaz → uaz = wL3 48EI MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 71/122
  • 72. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Ahora: M′ E = {ME} − [k] {u0} Entonces: M′ E =               0 wL 2 wL2 12 0 wL 2 wL2 12               −                AE L 0 0 − AE L 0 0 0 12EI L3 6EI L2 0 − 12EI L3 6EI L2 0 6EI L2 4EI L 0 − 6EI L2 2EI L − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 12EI L3 − 6EI L2 0 12EI L3 − 6EI L2 0 6EI L2 2EI L 0 − 6EI L2 4EI L                            0 0 wL3 48EI 0 0 0             =              0 3wL 8 0 0 5wL 8 −wL2 8              Estas son las fuerzas de empotramiento de una viga sometida a una carga distribuida uniforme con su extremo izquierdo simplemente apoyado y el extremo derecho em- potrado. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 72/122
  • 73. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Similar a la demostración de los términos de la matriz de rigidez al inicio del modulo es posible demostrar que cuando se tiene algún extremo esta articulado la matriz de rigidez incluyendo deformaciones por cortante esta dado por: Figure 11: Extremo derecho articulado (Fuente: [8]) Figure 12: Extremo izquierdo articulado (Fuente: [8]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 73/122
  • 74. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Extremo derecho articulado: [k′ ] =                 AE L 0 0 − AE L 0 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 3EI (1 + Φ/4) L2 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 3EI (1 + Φ/4) L2 12EI (4 + Φ) L 0 − 3EI (1 + Φ/4) L2 0 − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 − 3EI (1 + Φ/4) L2 0 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 0 0 0 0 0                 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 74/122
  • 75. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Extremo izquierdo articulado: [k′ ] =                  AE L 0 0 − AE L 0 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 3EI (1 + Φ/4) L2 0 0 0 0 0 0 − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 − 3EI (1 + Φ/4) L2 0 3EI (1 + Φ/4) L2 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L2 12EI (4 + Φ) L                  MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 75/122
  • 76. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Ambos extremos articulados: [k′ ] =                AE L 0 0 − AE L 0 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 0 0 0 0 0 − AE L 0 0 AE L 0 0 0 − 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 3EI (1 + Φ/4) L3 0 0 0 0 0 0 0                MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 76/122
  • 77. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Determine el efecto que tiene el tabique no asilado en los desplazamientos y fuerzas internas de los pórticos: Figure 13: (Fuente: [7]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 77/122
  • 78. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Condensación Geométrica Figure 14: Componentes de una edificación sismorresistente (Fuente: [12]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 78/122
  • 79. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 15: Funciones del diafragma (Fuente: [12]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 79/122
  • 80. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 16: Comportamiento de pórticos y muros (Fuente: [12] y [6]) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 80/122
  • 81. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias • Diafragma rı́gido En los análisis es usual considerar como hipótesis básica la existencia de una losa rı́gida en su plano, que permite la idealización de la estructura como una unidad, donde las fuerza horizontales aplicadas pueden distribuirse en las columnas y muros (placas) de acuerdo a su rigidez lateral, manteniendo todas una misma deformación lateral para un determinado nivel. Esta condición debe ser verificada teniendo cuidado de no tener losas con grandes aberturas que debiliten la rigidez de estas. [13] Figure 17: Diafragma rı́gido Fuente: [1] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 81/122
  • 82. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Condensación geométrica o Igualación de grados de libertad Algunas veces conocemos algunas propiedades de la estructura que no se reflejan en la manera como se plantean las ecuaciones de equilibrio en el análisis matricial convencional. En general estas propiedades especiales de la estructura se pueden describir en función de relaciones lineales entre sus diferentes grados de libertad. Supongamos que tenemos una estructura con p grados de libertad, la cual tiene k ecuaciones de ligadura que relacionan linealmente los p grados de libertad entre ellos, ası́: a11U1 + a12U2 + · · · +a1pUp = 0 a21U1 + a22U2 + · · · +a2pUp = 0 . . . . . . ak1U1 + ak2U2 + · · · +akpUp = 0 donde los coeficientes aij son números reales. Este sistema de ecuaciones puede expresarse matricialmente como: [A]k,p{U}p,I = {0}k,I MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 82/122
  • 83. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Por cada ecuación de ligadura generamos una dependencia entre un grado de libertad y otro, por lo tanto el sistema de ecuaciones anterior nos indica que existen k grados de libertad que dependen de los n = p − k grados de libertad independientes. Particionando {U}p,I en {UD}k,I con los grados de libertad dependientes y {UI}n,I con los grados de libertad independientes, y análogamente particionando [A]k,p en [AD]k,k y [AI]k,n obtenemos: [A]k,p{U}p,1 = [A1|AD] ß UI UD ™ = {0} y [A1|AD] ß UI UD ™ = [AI]k,n {UI}n,I + [AD]k,k {UD}k,I = {0} Despejando {UD} de la ecuación anterior se obtiene: {UD} = − [AD]−1 [A1] {U1} = [Ro] {U1} MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 83/122
  • 84. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Reemplazando: {U} = ß U1 UD ™ = ï [I] [Ro] ò {U1} = [R] {U1} y {U}p,1 = [R]p,n {U1}n,1 (30) Lo anterior quiere decir que podemos expresar todos los p grados de libertad de la estructura, {U}, sólo en función de los n grados de libertad independientes, {U1}. Por otro lado sabemos que: {P} = [KE] {U} (31) y al aplicar el principio de contragradiente a la ecuación (30) tenemos: {PI} = [R]T {P} (32) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 84/122
  • 85. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Ahora, reemplazando la ecuación (31) en (32), obtenemos: {PI} = [R]T [KE] {U} (33) y al reemplazar (30) en (33) : {PI} = [R]T [KE] [R] {UI} (34) y [KI] = [R]T [KE] [R] Hemos expresado la matriz de rigidez de la estructura en función únicamente de los n grados de libertad independientes. Cuando se resuelve el sistema de ecuaciones simultáneas planteado en la ecuación (34) y se obtienen los desplazamientos de los grados de libertad independientes {UI}; es posible determinar los desplazamientos dc todos los grados de libertad faltantes, dependientes, utilizando la ecuación (30). MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 85/122
  • 86. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Al diafragma, o el sistema fı́sico de piso en la estructura real, se puede conectar cualquier número de columnas y vigas. En el terminal de cada elemento o miembro, a nivel del diafragma, existen seis grados de libertad para una estructura tridimensional antes de la introducción de las restricciones. Figure 18: Aproximación de Diafragma Rı́gido MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 86/122
  • 87. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Haciendo la suposición de diafragma rı́gido los desplazamientos en-el-plano del di- afragma pueden expresarse en términos de dos desplazamientos, u (m) x y u (m) y , y una rotación alrededor del eje-z, u (m) zθ . Como resultado de esta aproximación de diafragma rı́gido, se deben satisfacer las siguientes ecuaciones de compatibilidad para los nodos conectadas al diafragma: u(i) x = u(m) x − y(i) u (m) θz u(i) y = u(m) y + x(i) u (m) θz (35) En el caso de la carga estática, la ubicación del nodo maestro (m) puede ser en cualquier punto en el diafragma. Sin embargo, para el caso de cargas sı́smicas dinámicas, el nodo maestro debe ser ubicado en el centro de masa de cada piso si se usa una matriz de masa diagonal. En el caso de una estructura de concreto vaciado in situ, donde las vigas y las columnas forman parte intrı́nseca del sistema de piso, se debe satisfacer la siguiente restricción adicional: u (i) θz = u (m) θz MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 87/122
  • 88. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias O en notación matricial, la transformación del desplazamiento es:    u (i) x u (i) y u (i) θz    =   1 0 −y(i) 0 1 x(i) 0 0 u (i) θz      u (m) x u (m) y u (m) θz    ȯ, u(i) = T(i) u(m) Si se eliminan los desplazamientos mediante la aplicación de ecuaciones de re- stricción, las cargas asociadas con dichos desplazamientos también deben ser trans- formadas al nodo maestro. Por simple estática, las cargas aplicadas en la unión ”i” pueden ser trasladadas al nodo maestro ”m” mediante las siguientes ecuaciones de equilibrio: R(mi) x = R(i) x R(mi) y = R(i) y R (mi) θz = R (i) θz − y(i) R(i) x + x(i) R(i) y O en forma matricial, la transformación de la carga es: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 88/122
  • 89. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias    R (mi) x R (mi) y R (mi) θz    =   1 0 0 0 1 0 −y(i) x(i) 1      R (i) x R (i) y R (i) θz    ó, Rmi = T(i)T R(i) De nuevo, se nota que la matriz de transformación de la fuerza es la transpuesta de la matriz de transformación del desplazamiento. La totalidad de la carga aplicada en el punto maestro será la suma de los aportes de todos los nodos esclavos. Esto es: R(m) = X i R(mi) = X T(i)T R(i) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 89/122
  • 90. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Rigidez Lateral de Pórticos u2 u1 u5 u8 u7 u4 u6 u3 u2 u1 (a) (b) ï mtt 0 0 0 ò ß üt ü0 ™ + ï ktt kt0 k0t k00 ò ß ut u0 ™ = ß pt(t) 0 ™ mttüt + kttut + kt0u0 = pt(t) k0tut + k00u0 = 0 u0 = −k−1 00 k0tut mttüt + kttut = pt(t) Donde k̂tt es la matriz de rigidez condensada k̂tt = ktt − kT 0tk−1 00 k0t MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 90/122
  • 91. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias p (t) 2 p (t) 1 mL/2 mL/4 EI EI L/2 L/2 u2 u1 Elemento (1) Nudo (2) Elemento (2) Nudo (1) u4 u3 k = ï ktt kt0 k0t k00 ò = 8EI L3     12 −12 −3L −3L −12 24 3L 0 3L 3L L2 L2/2 −3L 0 L2/2 2L2     k̂tt = ktt − kT 0tk−1 00 k0t k̂tt = 48EI 7L3 ï 2 −5 −5 16 ò MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 91/122
  • 92. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias k21 k21 k41 k31 u1 = 1 u1 = 1, u2 = u3 = u4 = 0 u2 = 1, u1 = u3 = u4 = 0 u2 = 1 k22 k42 k12 k32 96EI/L3 24EI/L2 24EI/L2 96EI/L3 96EI/L3 24EI/L2 24EI/L2 96EI/L3 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 92/122
  • 93. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias u2 = 1, u1 = u3 = u4 = 0 u2 = 1 k22 k42 k12 k32 96EI/L3 24EI/L2 24EI/L2 96EI/L3 96EI/L3 24EI/L2 24EI/L2 96EI/L3 u4 = 1, u1 = u2 = u3 = 0 k24 k44 k34 k14 u4 = 1 24EI/L2 24EI/L2 8EI/L 4EI/L 4EI/L 8EI/L 24EI/L2 24EI/L2 Desarrolle el mismo ejemplo considerando que se trata de un muro estructural en voladizo, incluya deformaciones por corte. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 93/122
  • 94. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias u6 u4 u5 u3 u2 u1 2m m EI 2EI EI 2EI EI 2EI p (t) 2 p (t) 1 h h L = 2h k61 k41 k31 k21 k11 k51 u1 = 1 k63 k43 k33 k23 k13 k53 u3 = 1 u = u1 u2 u3 u4 u5 u6 T MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 94/122
  • 95. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias p(t) = p1(t) p2(t) 0 0 0 0 T k = ï ktt kt0 k0t k00 ò = EI h3         72 −24 6h 6h −6h −6h −24 24 6h 6h 6h 6h 6h 6h 16h2 2h2 2h2 0 6h 6h 2h2 16h2 0 2h2 −6h 6h 2h2 0 6h2 h2 −6h 6h 0 2h2 h2 6h2         k̂tt = ktt − kT 0tk−1 00 k0t k̂tt = EI h3 ï 54.88 −17.51 −17.51 11.61 ò MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 95/122
  • 96. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el pórtico de la figura 9 la rigidez lateral puede calcularse de manera similar para cualquier valor de Ib, Ic, L y h utilizando los coeficientes de rigidez de un elemento a flexión. El resultado puede escribirse en la forma: k = 24EIc h3 12ρ + 1 12ρ + 4 (36) donde ρ = (EIb/L) ÷ (2EIc/h) es la relación de rigidez de la viga con la columna. La rigidez lateral se representa de manera gráfica como una función de ρ en la figura 19; se incrementa por un factor de 4 cuando ρ crece desde cero hasta infinito. Figure 19: Variación de la rigidez lateral, k, con la relación ρ. (Fuente: [10] ) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 96/122
  • 97. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Rigidez lateral de un pórtico plano empotrado en la base • Pórtico simétrico, de un piso y de un vano • Columnas empotradas en la base • Ignorando efectos de deformaciones axiales • Ignorando efectos de deformaciones de corte • Sin considerar brazos rı́gidos H, u EIc EIc EIv h A B C D L MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 97/122
  • 98. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Matrices de rigidez de los elementos definiendo la rigidez relativa: γ = EIv/L EIc/h K(columna) = Ö 12EIc h3 6EIc h2 6EIc h2 4EIc h è = EIc h Ö 12 h2 6 h 6 h 4 è K(viga) = Ö 4EIv L 2EIv L 2EIv L 4EIv L è = EIc h 4γ 2γ 2γ 4γ ! Para la estructura con los 3 GDL indicados: EIc h â 4 + 4γ 2γ 6 h 2γ 4 + 4γ 6 h 6 h 6 h 24 h2 ì    θB θC u    =    0 0 H    MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 98/122
  • 99. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias 2 1 2 1 1 2 3 Condensación estática: EIc h Å 4 + 4γ 2γ 2γ 4 + 4γ ã ß θB θC ™ + EIc h      6 h 6 h      u = ß 0 0 ™ ß θB θC ™ = −3u/h 2 + 3γ ß 1 1 ™ Å 6EIc h2 6EIc h2 ã ß θB θC ™ + 24EIc h3 u = H ⇒ 12EIc h3 Å 6γ + 1 3γ + 2 ã u = H MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 99/122
  • 100. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Rigidez lateral del pórtico: KL = 12EIc h3 Å 6γ + 1 3γ + 2 ã Casos extremos: Viga infinitamente rı́gida: limγ→∞ KL = 24EIc h3 Viga infinitamente flexible: limγ→0 KL = 6EIc h3 u 12EI h3 u u 3EI h3 u MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 100/122
  • 101. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Rigidez lateral de un pórtico plano articulada en la base H, u EIc EIc EIv h A B C D L MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 101/122
  • 102. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Matrices de rigidez de los elementos definiendo la rigidez relativa: γ = EIv/L EIc/h K(columna) = Ö 3EIc h3 3EIc h2 3EIc h2 3EIc h è = EIc h Ö 3 h2 3 h 3 h 3 è K(viga) = Ö 4EIv L 2EIv L 2EIv L 4EIv L è = EIc h 4γ 2γ 2γ 4γ ! 2 1 2 1 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 102/122
  • 103. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para la estructura con los 3 GDL indicados: 1 2 3 EIc h â 3 + 4γ 2γ 3 h 2γ 3 + 4γ 3 h 3 h 3 h 6 h2 ì    θB θC u    =    0 0 H    Condensación estática: EIc h Å 3 + 4γ 2γ 2γ 3 + 4γ ã ß θB θC ™ + EIc h      3 h 3 h      u = ß 0 0 ™ MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 103/122
  • 104. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias ß θB θC ™ = −u/h 1 + 2γ ß 1 1 ™ Å 3EIc h2 3EIc h2 ã ß θB θC ™ + 6EIc h3 u = H ⇒ 12EIc h3 Å γ 1 + 2γ ã u = H Rigidez lateral del pórtico: KL = 12EIc h3 Å γ 1 + 2γ ã Casos extremos: Viga infinitamente rı́gida: lim γ→∞ KL = 6EIc h3 Viga infinitamente flexible: lim γ→0 KL = 0 u 3EI h3 u u 0 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 104/122
  • 105. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias ¿Que pasa con los grados de libertad verticales? Desde el punto de vista del análisis dinámico ha sido tradicional, para solicitaciones sı́smicas, sólo tener en cuenta las excitaciones horizontales del sismo. No obstante la influencia de las deforma- ciones axiales de las columnas es importante en la respuesta de la estructura ante cargas horizontales. Esta influencia depende de la esbeltez de la estructura. Cuando se trata de pórticos poco esbel- tos, pueden eliminarse con un procedimiento similar al utilizado para las vigas, o simplemente tachando las filas y columnas de la matriz de rigidez del pórtico correspondientes a los grados de libertad ver- ticales. Si el pórtico es esbelto es más adecuado condensar estos grados de libertad verticales. Ha sido tradicional seguir la siguiente recomendación respecto a los grados de libertad verticales: Si: (i) H/B 5 deben condensarse (ii) H/B ≤ 5 pueden eliminarse MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 105/122
  • 106. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Determinar los desplazamientos laterales del pórtico de 6 pisos con/sin considerar diafragma rı́gido, haga una análisis de los resultados y saque conclusiones. Determinar la rigidez latera del pórtico de 6 pisos con/sin condensando los grados de libertad verticales, haga una análisis de los resultados y saque conclusiones. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 106/122
  • 107. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Elementos con Sección Variable Matriz de Rigidez para elementos de sección variable Figure 20: Definición de los términos de la matriz de flexibilidad de elementos de sección variable Fuente: [4] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 107/122
  • 108. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias La matriz básica de flexibilidades de elementos de sección variable bidimensionales, como el ilustrado en la figura 20, se calcula de la siguiente manera: [f] =   f11 0 0 0 f22 f26 0 f62 f66   donde: f11 = Z l 0 dz EA(z) f22 = Z l 0 z2dz EIx(z) + Z l 0 dz GAcy(z) f26 = Z l 0 zdz EIx(z) = f62 f66 = Z l 0 dz EIx(z) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 108/122
  • 109. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para elementos tridimensionales, los términos de la matriz de flexibilidad se calculan de la siguiente manera: [f] =         f11 0 0 0 0 0 0 f22 0 0 0 f26 0 0 f33 0 −f35 0 0 0 0 f44 0 0 0 0 −f53 0 f55 0 0 f62 0 0 0 f66         f11 = Z l 0 dz EA(z) f22 = Z l 0 z2dz EIx(z) + Z l 0 dz GAcy(z) f26 = Z l 0 zdz EIx(z) f33 = Z l 0 z2dz EIy(z) + Z l 0 dz GAcx(z) f35 = Z l 0 zdz EIy(z) f44 = Z l 0 dz GJ(z) f55 = Z l 0 dz EIy(z) f66 = Z l 0 dz EIx(z) f53 = f35 f62 = f26 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 109/122
  • 110. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para el caso tridimensional, las submatrices de rigidez tienen la forma: [k11] =         raz 0 0 0 0 0 0 raax 0 0 0 rabx 0 0 raay 0 −raby 0 0 0 0 rj 0 0 0 0 −raby 0 r11y 0 0 rabx 0 0 0 r11x         [k12] =         −raz 0 0 0 0 0 0 −raax 0 0 0 rbax 0 0 −raay 0 −rbay 0 0 0 0 −rj 0 0 0 0 raby 0 r12y 0 0 −rabx 0 0 0 r12x         MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 110/122
  • 111. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias [k22] =         raz 0 0 0 0 0 0 raax 0 0 0 −rbax 0 0 raay 0 rbay 0 0 0 0 rj 0 0 0 0 rbay 0 r22y 0 0 −rbax 0 0 0 r22x         [k21] = [k12]T En lugar de invertir la matriz de flexibilidad para obtener la matriz de rigidez se puede calcular los términos de manera analı́tica según: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 111/122
  • 112. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias raz = 1 f11 rj = 1 f44 Detx = f22f66 − f26 2 r11x = f22 D2 r12x = f26L − f22 Detx r22x = f66L2 − 2f26L + f22 Detx raax = r11x + r22x + 2r12x L2 rabx = r11x + r12x L rbax = r22x + r12x L Dety = f33f55 − f2 35 r11y = f33 Dety r12y = f35L − f33 Dety r22y = f55L2 − 2f35L + f33 Dety raay = r11y + r22y + 2r12y L2 raby = r11y + r12y L rbay = r22y + r12y L MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 112/122
  • 113. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Figure 21: Cálculo de los momentos de empotramiento para elementos prismáticos y de sección variable Fuente: [4] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 113/122
  • 114. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Aplicando el método de la viga conjugada, se pueden determinar los giros de fijación (figura ??b), los cuales, por equilibrio y tomando en cuenta las deformaciones por cortante, se calculan como: θ2x = 1 L Z L 0 zM0x EIx(z) dz + 1 L Z L 0 V0y GAcy(z) dz (37) θ1x = Z L 0 M0x EIx(z) dz − θ2x (38) Los momentos de empotramiento en la dirección principal de flexión se calculan de la siguiente manera: M1x = r11xθ1x − r12xθ2x (39) M2x = r22xθ2x − r12xθ1x (40) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 114/122
  • 115. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Para una carga uniformemente repartida en el plano principal de flexión (ωx), se sabe que las ecuaciones de momento y de cortante de la estructura isostática correspon- diente a la viga conjugada son: M0x = ωxL 2 z − ωxz2 2 (41) V0x = ωxL 2 − ωxz (42) Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones (41) y (42) en las ecuaciones (37) y (38), tenemos que los giros de fijación correspondientes son: θ2x = ωx 2E ñZ L 0 z2dz Ix(z) − 1 L Z L 0 z3dz Ix(z) ô + ωx G ñ 1 2 Z L 0 dz Acy(z) − 1 L Z L 0 zdz Acy(z) ô (43) θ1x = ωx 2E ñ L Z L 0 zdz Ix(z) − Z L 0 z2dz Ix(z) ô − θ2x (44) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 115/122
  • 116. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias La validez de estas expresiones se comprueba para el caso general, que corresponde a la viga prismática. Tomemos la dirección principal de flexión. Si la sección es prismática, se sabe que Ix(z) = Ix y que Acy(z) = Acy. Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación (43) y desarrollando, se tiene: θ2x = ωx 2EIx ñZ L 0 z2 dz − 1 L Z L 0 z3 dz ô + ωx GAcy ñ 1 2 Z L 0 dz − 1 L − Z L 0 zdz ô θ2x = ωx 2EIx Å L3 3 − L3 4 ã + ωx GAcy Å L 2 − L 2 ã θ2x = ωxL3 24EIx (45) A partir de las ecuaciones (44) y (45), y desarrollando, se tiene: MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 116/122
  • 117. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias θ1x = ωx 2EIx ñ L Z L 0 zdz − 1 L Z L 0 z2 dz ô − ωxL3 24EIx θ1x = ωx 2EIx Å L3 2 − L3 3 ã − ωxL3 24EIx θ1x = ωxL3 12EIx − ωxL3 24EIx = ωxL3 24EIx = θ2x (46) Y considerando los coeficientes de la matriz de rigidez cuando se incluyen deforma- ciones por cortante: r11x = r22x = (4 + Φy) EIx L (1 + Φy) (47) r12x = r21x = (2 − Φy) EIx L (1 + Φy) (48) MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 117/122
  • 118. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Sustituyendo las ecuaciones (47), (48), (45) y (46) en la ecuación (39) tenemos: M1x = r11xθ1x − r12xθ2x = Å (4 + Φy) EIx L (1 + ΦY ) − (2 − Φy) EIx L (1 + Φy) ã ωxL3 24EIx M1x = ωxL2 24 Å 4 + Φy − 2 + Φy 1 + ΦY ã Por lo tanto, el momento de empotramiento en el extremo 1 es: M1x = ωxL2 12 De forma análoga, a partir de sustituir las ecuaciones (47), (48), (45) y (46) en la ecuación (40) tenemos el momento de empotramiento en el extremo 2: M2x = ωxL2 12 MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 118/122
  • 119. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Determine el diagrama de momentos flectores del pórtico con/sin las vigas acarte- ladas, determinar la influencia de los elementos de seccion variable en los desplaza- mientos y fuerzas internas: Fuente: [7] MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 119/122
  • 120. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Referencias I [1] E. L. Wilson, Análisis estático y dinámico de estructuras. Berkeley, California: CSI, 1995. [2] S. Timoshenko and J. Gere, Mecánica de Materiales. México: Union Tipográfica Editorial Hispano-Americana, 1974. [3] G. Ottazzi, “Apuntes del curso concreto armado 1,” Editorial PUCP, Lima, 2011. [4] A. Tena Colunga, Análisis de estructuras con métodos matriciales. México: Limusa, S.A., 2007. [5] J. L. Blanco, A. Herrera, and J. M. Garcı́a, Análisis estático de estructuras por el método matricial. Málaga: PUBLIDISA, 2012. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 120/122
  • 121. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Referencias II [6] A. Muñoz, Análisis Estructural 2. PUCP, 2011. [7] S. Bartolomé, Análisis de edificios. Pontificia Universidad Católica del Perú. Fondo Editorial, 1998. [8] J. L. Blanco, Análisis estático de estructuras por el método matricial. Málaga: Universidad de Málaga, 2012. [9] D. O. Soto, H. L. M. Taipe, and I. J. C. Pérez, “Análisis estructural de armaduras en dos dimensiones con el método matricial de rigidez empleando programación en excel y matlab,” [10] A. Chopra, Dinamica de estructuras. México: Pearson, 2014. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 121/122
  • 122. MODULO 2 Contenido: Resumen Tópicos Especiales Deformaciones por corte Extremos Rı́gidos Asentamientos Apoyos Elásticos Apoyos Inclinados Condensación Estática Liberación de Momentos Condensación Geométrica Rigidez Lateral Elementos con Sección Variable Referencias Referencias III [11] L. E. Garcı́a, Dinámica estructural aplicada al diseño sı́smico. Bogotá: Universidad de los Andes, 1988. [12] J. Moehle, Seismic design of reinforced concrete buildings. McGraw-Hill, 2015. [13] J. Higashi, Concreto armado II. PUCP, 2017. [14] E. L. Wilson, Análisis estático y dinámico de estructuras. Berkeley, California: CSI, 1995. MODULO 2 – Análisis Matricial de Estructuras 2D 122/122