Completo material con algo de teoría y varios ejercicios para praticar

1. 1
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es una técnica de modelización matemática desarrollada
a partir de la década de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia
en los procesos de toma de decisión de numerosos ámbitos económicos y
productivos, como la planificación de empresa y la ingeniería industrial.
La programación lineal es una herramienta que ha
permitido el ahorro de miles de millones de dólares en el
mundo empresarial o de los negocios, pues en esencia
permite asignar recursos limitados entre actividades
competitivas en forma óptima o de la mejor manera
posible. Permite elegir el nivel de ciertas actividades que
compiten por escasos recursos necesarios para
realizarlas. Se puede determinar la cantidad de recursos
que consumirá cada una de las actividades elegidas. La
variedad de situaciones a las que se puede aplicar es muy grande, y va desde la
producción de distintos tipos de artefactos que hay que fabricar para obtener la
ganancia óptima hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de
un país; también tiene aplicación en diferentes campos de la sociedad, como en los
aeropuertos, en el campo de la medicina, para el diseño de una terapia de radiación,
por ejemplo. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la
necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles óptimos de las
mismas. Se considera el desarrollo de la Programación Lineal como uno de los
avances científicos más importantes de mediados del siglo XX.
UN POCO DE HISTORIA
A lo largo de la historia es frecuente encontrarse con la colaboración entre
científicos y militares con el fin de dictaminar la decisión óptima en la batalla. Es
por esto que muchos expertos consideran el inicio de la Investigación Operativa en
el siglo III A.C., durante la II Guerra Púnica, con el análisis y solución que
Arquímedes propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por los
romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de espejos
con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del
sol.
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En 1503, Leonardo Da Vinci participó como ingeniero en la guerra contra Pisa ya
que conocía técnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehículos
acorazados, cañones, catapultas, y otras máquinas bélicas.
Otro antecedente de uso de la Investigación Operativa se debe a F. W.
Lanchester, quien hizo un estudio matemático sobre la potencia balística de las
fuerzas opositoras y desarrolló, a partir de un sistema de ecuaciones
diferenciales, la Ley Cuadrática de Combate de Lanchester, con la que era posible
determinar el desenlace de una batalla militar. Thomas Edison también hizo uso de
la Investigación Operativa, contribuyendo en la guerra antisubmarina, con sus
grandes ideas, como la protección anti-torpedos para los barcos.
Pero no se considera que haya nacido una nueva ciencia llamada Investigación
Operativa o Investigación de Operaciones
hasta la II Guerra Mundial, durante la atalla de
Inglaterra, donde la Fuerza Aérea Alemana, es
decir la Luftwaffe, estaba sometiendo a los
británicos a un duro ataque aéreo ya que estos
tenían una capacidad aérea pequeña, aunque
experimentada en el combate. El gobierno
británico, buscando algún método para
defender su país, convocó a varios científicos
de diversas disciplinas para tratar de resolver
el problema de sacar el máximo beneficio de
los radares de que disponían. Gracias a su trabajo determinando la localización
óptima de las antenas y la mejor distribución de las señales consiguieron duplicar la
efectividad del sistema de defensa aérea. El nombre de Investigación de
Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la
actividad de investigar operaciones (militares).
Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos
británicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar
investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas,
los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron
problemas logísticos complejos, la planeación de minas en el mar y la utilización
efectiva del equipo electrónico. Al término de la guerra y atraídos por los buenos
resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales
empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la
resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del
tamaño y la complejidad de las industrias.
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1. GRÁFICA DE INECUACIONES
1.1. Regiones del plano determinadas por rectas
La gráfica de una recta de ecuación y = ax + b divide al plano en dos regiones: una
formada por los puntos que satisfacen la inecuación y < ax + b, y otra formada
por los puntos que satisfacen la inecuación y > ax + b.
 Si se trata de una inecuación en sentido estricto (>, <), no incluye a los
puntos de la recta que limitan al semiplano.
 Si es una inecuación en sentido amplio (≥, ≤), los puntos de la recta también
son soluciones de la inecuación.
1.2. Gráfica de una inecuación lineal
A continuación se detalla el procedimiento a seguir para graficar una inecuación
lineal en el plano cartesiano:
 Se traza la recta de la ecuación y = ax + b
 Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y
se comprueba si verifican la inecuación dada
 Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la
inecuación
Ejemplo 1 se obtiene: 0 + 0 = 0 ≥ -2  es falso,
Traza la gráfica de la inecuación: por lo que se concluye que el origen de
x + y ≤ -2 coordenadas no pertenece al conjunto
solución como tampoco el semiplano que
lo contiene, entonces sombreamos el
Solución:
semiplano inferior.
Trazamos la gráfica de la ecuación
x + y = -2 , hallando los puntos donde la
recta corta a los ejes.
 Si x = 0  y = -2
 Si y = 0  x = -2

La recta la trazamos continua porque
forma parte de la solución. Ahora
sustituyendo los valores de las
coordenadas del origen en la inecuación
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Ejemplo 2 (0; 0) se encuentra en el semiplano
Traza la gráfica de la inecuación: inferior; y 3(0) – 2(0) = 0 < 6  es
3y – 2x < 6 verdadero, por lo tanto, sombreamos el
semiplano inferior.
Solución:
Trazamos la gráfica de la ecuación
3y – 2x = 6, hallando los puntos donde
la recta corta a los ejes.
 Si x = 0  y = 2
 Si y = 0  x = -3
La recta la trazamos punteada porque
no forma parte de la solución. El punto
1.2. Gráfica de un sistema de inecuaciones lineales
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión de dos o más
inecuaciones lineales con dos incógnitas .
Ejemplo 3 el conjunto de puntos del semiplano que
Resuelve el siguiente sistema de no incluye al origen.
inecuaciones lineales: Si sustituimos x = 0 e y = 0 en 2x - y >
 x  2y  3 1, se obtiene -1 < 0: verdad; por lo que

 la solución para esta inecuación es el
2x  y  1
 conjunto de puntos del semiplano que
incluyen al origen.
Solución: El conjunto solución del sistema es la
Trazamos la gráfica de cada una de las intersección de los semiplanos –
ecuaciones; para lo cual calculamos los solución hallados individualmente (la
valores de las coordenadas de dos de región sombreada)
sus puntos:
 x + 2y = 3: (0; 3/2) y (3; 0)
 2x - y = 1: (0; -1) y (1/2; 0)
Si sustituimos x = 0 e y = 0 en x + 2y >
3, se obtiene -3 > 0: falsedad; por lo
que la solución para esta inecuación es
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Ejemplo 4
Resuelve el siguiente sistema de
inecuaciones lineales:
 x  3y  7

 3x  2y  1
 4x  y  17

Solución:
Lo primero que debemos hacer es
trazar la gráfica de cada una de las x  3y  7 x  3y  7
  3x  2y  1

ecuaciones.   
3x  2y  1 4x  y  17
  4x  y  17

Basta con hallar las coordenadas de
dos de los puntos para cada una de
Para el primer sistema la solución es
ellas:
(1; 2), para el segundo (4; 1) y para el
tercero (3; 5).
 x + 3y = 7: (0; 7/3) y (7; 0)
 3x - 2y = -1: (0; 1/2) y (-1/3; 0)
La solución del sistema de inecuaciones
 4x + y = 17: (3; 5) y (17/4; 0)
es, en resumen, el interior del
triángulo, cuyos vértices son los puntos
El conjunto solución es el interior del
(1; 2), (4; 1) y (3; 5); sin incluir ninguno
triángulo sombreado, sin incluir ninguno
de los tres lados del triángulo.
de los lados. Para aclarar mejor la
solución debemos calcular las
coordenadas de los vértices del
triángulo, lo cual se consigue
resolviendo los tres sistemas:
2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
La Programación Lineal tiene infinidad de aplicaciones, como por ejemplo en la industria, la
economía, la estrategia militar, y en otras áreas, en las que se presentan situaciones donde se
exige optimizar (maximizar o minimizar) algunas funciones que se encuentran sujetas a
determinadas situaciones.
Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una
función lineal, denominada función objetivo, estando las variables sujetas a una serie de
restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones
posibles se denomina conjunto solución factible. Veremos a continuación la aplicación de la
programación lineal a diversas situaciones.
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2.1. Programación lineal bidimensional
La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar
o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas restricciones
que están dadas por inecuaciones lineales.
2.2. Conjunto de restricciones lineales
El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las restricciones del problema
asociadas a un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo
Encuentra la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
x  y  7

2x  y  10

x  0
y  0

2.3. Región factible
La región factible está formada por la intersección o región común
de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los
sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias
opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el
caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.
Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un
polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número
de restricciones.
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las
desigualdades sean en sentido amplio (≤ o ≥) o en sentido estricto
(< o >).
Ejemplo
Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible
representada en la gráfica.
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2.4. Función objetivo
La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal en dos variables
que se desea optimizar. Se representa por: f(x;y) = ax + by
Ejemplo
Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha región el valor de la función
f(x;y) = 30x + 20y
2.5. Solución óptima
La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el
valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los
vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están
sobre uno de los lados.
“Si existe una solución que optimice la función objetivo, ésta debe encontrarse
en uno de los vértices de la región factible”
Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo
cada uno de los vértices de la región factible.
Ejemplo
Continuando con el mismo ejemplo: Restricciones x ≥ 0, y ≥ 0
Prácticamente en todos los
O (0; 0)  f (0; 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0
problemas de programación
A (5; 0)  f (5; 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150 lineal se exige que las
B (3; 4)  f (3; 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo variables x e y sean mayores
C (0; 7)  f (0; 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140 o iguales que cero; en estos
La solución óptima es B (3; 4) casos, la región factible se
dibuja directamente en el 1 er
cuadrante.
… PARA LA CLASE
Representa en el plano cartesiano la solución de las siguientes inecuaciones:
1. x3 x  y  1

2. 3  x  5 7. 
x  y  1

3. y5
4. 5  y  3
5. y  3x  4
6. x  2y  3
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y  x  1
 10. Dado el recinto definido por el
8.  y  x  2
 siguiente sistema de inecuaciones:
 y0
2x  y  1000

x  1,5y  750
9. Representa gráficamente la región 
 x0
factible determinada por las siguientes
 y0
desigualdades: 
 xy5 A. Represéntalo gráficamente.
 B. Halla sus vértices.
4x  3y  30
 C. Obtén el valor máximo de la función
 x0
 f(x; y) = 15x + 12y en el recinto anterior,
 y0
así como el punto en que lo alcanza.
Calcula la solución que hace mínima la
función objetivo f(x; y) = x + 2y sometida
a las restricciones anteriores.
3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN
LINEAL
3.1. Procedimiento de resolución
Para resolver un problema de programación lineal se sigue el procedimiento:
 Se hace una tabla con los datos del problema.
 Se representa la región factible.
 Se calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.
 Se escribe la solución.
3.2. Tabla con los datos del problema
 En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes a los
conceptos de las variables y la etiqueta restricciones.
 En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a las
variables.
 En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen a
 una restricción, es decir, a una inecuación.
 En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función objetivo y si se
trata de maximizar o minimizar.
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Ejemplo 1
Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La
fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para
construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg
de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se
necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las
bicicletas de paseo a 200 E y las de montaña a 150 E, ¿cuántas
bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?
Solución
1) Tabla con los datos del problema.
B. de paseo B. de montaña Restricciones
Nº de bicicletas x y x ≥ 0; y ≥ 0
Acero x 2y x + 2y ≤ 80
Aluminio 3x 2y 3x + 2y ≤ 120
Beneficio 200x 150y f(x; y) = 200x + 150y
2) Región factible.
Es el gráfico del margen.
3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región
factible.
O (0; 0)  f (0; 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0
A (40; 0)  f (40; 0) = 200 · 40 + 150 · 0 = 800
B (20; 30)  f (20; 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 850  Máximo
C (0; 40)  f (0; 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 600
4) La solución óptima es B (20; 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo e y = 30
bicicletas de montaña.
Ejemplo 2
Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con
plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1 600
personas y 96 toneladas de equipaje.
Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del
tipo B. La contratación de un avión del tipo A, que puede
transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40
000 euros; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar 100 personas y 15
toneladas de equipaje, cuesta 10 000 euros.
¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo?
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Solución
1) Tabla con los datos del problema.
Tipo A Tipo B Restricciones
Nº de aviones x y 0 ≤ x ≤ 11; 0 ≤ y ≤ 8
Personas 200x 100y 200x + 100y ≥ 1 600
Equipaje 6x 15y 6x + 15y ≥ 96
Costo 40 000x 10 000y f(x; y) = 40 000x + 10 000y
2) Región factible.
Es el gráfico del margen.
3) Valores de la función objetivo en los vértices de la
región factible.
A (6; 4)  f (6; 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000
B (11; 2)  f (11; 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000
C (11; 8)  f (11; 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000
D (4; 8)  f (4; 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000  Mínimo
4) La solución óptima es D (4; 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 aviones tipo B
… PARA LA CLASE
Ejercicio 1 La empresa recibe un pedido de 300
Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120 unidades de A y 500 de B. Los costos de
m2 de tejido B. Un traje de caballero funcionamiento de las dos factorías son:
requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un S/.100 por hora para la factoría 1 y
vestido de señora 2 m2 de cada tejido. S/.80 por hora para la factoría 2.
Si la venta de un traje deja al sastre el ¿Cuántas horas debe funcionar cada
mismo beneficio que la de un vestido, factoría para minimizar los costos de la
halla cuántos trajes y vestidos debe empresa y satisfacer el pedido?
fabricar para obtener la máxima
ganancia. Ejercicio 3
Un vendedor de libros usados tiene en su
Ejercicio 2 tienda 90 libros de la colección Austral y
Una empresa produce dos bienes A y B. 80 de la colección Alianza de bolsillo.
Tiene dos factorías y cada una de ellas Decide hacer dos tipos de lotes: el lote
produce los dos bienes en las cantidades de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de
por hora siguientes: Alianza de Bolsillo, que vende a S/.8 y el
de tipo B con 1 libro de Austral y 2 de
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11. 11
Alianza de bolsillo, que vende a de tipo B a S/. 4 el kg. Sabiendo que solo
S/.10.¿Cuántos lotes de cada tipo debe dispone en su camioneta de espacio para
hacer el vendedor para maximizar su transportar 700 kg. de naranjas como
ganancia cuando los haya vendido todos? máximo y que piensa vender el kg. de
naranjas de tipo A a S/.3 y el kg. de tipo
Ejercicio 4 B a S/.6. ¿Cuántos kg. de naranjas de
Un comerciante acude a cierto cada tipo deberá comprar para obtener
supermercado a comprar naranjas con el máximo beneficio?, ¿Cuál será el
S/.5 000. Le ofrecen dos tipos de máximo beneficio?
naranjas: las de tipo A a S/.2 el kg. y las
… PARA LA CASA
Determina gráficamente el conjunto Encuentra los vértices de dicha región
solución de los siguientes sistemas:
8. Dada la región definida por el
1. y  2x  2 siguiente sistema de inecuaciones
2. 4x  3y  2  xy8

3. y  x  2 3x  2y  12

 x0
x  y  3

4.   y0

2x  y  4

minimiza en dicha región el valor de la
función: f(x, y) = 15x + 10y
 xy3

5. 
2  x  4
 9. Dada la región definida por el
siguiente sistema de inecuaciones
x  3y  15  xy4
 
4x  y  16 x  2y  10
6.  
 x0  x0
 y0  y0
 
minimiza en dicha región el valor de la
7. Se considera la región del plano función: f(x, y) = 12x + 19y
determinada por las inecuaciones:
x  3  y 10. Dada la región definida por el
 siguiente sistema de inecuaciones
 8xy
 x  y  6
 y  x 3

 x0  xy
 

 y0  x0
 y0

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12. 12
maximiza en dicha región el valor de la II. La región admisible es un polígono de
función: f(x, y) = 7x + 11y cuatro lados.
III. Los puntos (3; 2) y (4; 1) pertenecen
11. Dado el recinto definido por el a la región admisible.
siguiente sistema de inecuaciones:
x  y  27 14. Dado el recinto definido por el
 siguiente sistema de inecuaciones:
 x  12
 y6 x  2y  10
 
 x6
A. Represéntalo gráficamente. 
 y8
B. Determina los vértices de ese recinto.
 x0
C. ¿Cuáles son los valores máximo y 
mínimo de la función f(x;y) = 90x + 60y en 
 y0
el recinto anterior? A. Represéntalo gráficamente.
D. ¿En qué puntos alcanza dichos valores? B. Calcula sus vértices.
C. Calcula el máximo de la función
12. Dada la función objetivo f(x, y) = 20x + 60y
f(x; y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones
siguientes: 15. Sea el recinto definido por las
3x  y  10 siguientes inecuaciones:

x  2y  8 5x  2y  10
 
 x0 3x  4y  20
 
 y0  x y 2
 x0
A. Representa la región factible. 
B. Halla los valores de x e y que hacen 
 y0
máxima la función objetivo. A. Dibuja dicho recinto y determina sus
C. Determina los valores x e y que vértices.
minimizan la función objetivo. B. Determina en qué punto de ese recinto
alcanza la función f(x; y) = 4x + 3y el
13. Al maximizar f(x; y) =x + y; x;y  R máximo valor.
sujeto a las siguientes condiciones:
2x  3y  6
 16. Un taller dispone semanalmente de
2x  y  6 24 kg de algodón y 15 kg

 y4 de lana para la producción
 x0
 de dos tipos de tapices

 y0 decorativos A y B, según
Identifica la alternativa correcta después los siguientes
de determinar si la proposición es requerimientos:
verdadera (V) o falsa (F). Tapiz A: 200 g de algodón y 100 g de lana.
I. El valor óptimo es 5. Tapiz B: 200 g de algodón y 300 g de
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13. 13
lana. Si el tapiz A se vende a S/.40 y el Geometría. El libro de Álgebra requiere
tapiz B a S/.60, determina cuántos de 4 horas para su impresión y 6 horas
tapices de cada clase se deben vender para su encuadernación. El libro de
para obtener el máximo ingreso. Geometría requiere de 5 horas para
105 de A y 15 de B imprimirse y de 3 horas para ser
encuadernado. Si se dispone de 200 horas
17. Una fábrica de para imprimir y de 240 horas para
muebles fabrica dos encuadernar, calcula la máxima utilidad
tipos de sillones, S1 y que se puede obtener. S/. 400
S2 . La fábrica cuenta
con dos secciones; carpintería y tapicería. 20. Una empresa fabrica dos
Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora clases de cuadernos. Los
de carpintería y 2 de rayados a S/. 2 la unidad y los
tapicería, mientras que uno de tipo S2 cuadriculados a S/. 1.5 la
requiere 3 horas de carpintería y 1 de unidad. En la producción diaria
tapicería. El personal de tapicería ¿Qué se sabe que el número de
cantidad de aceite debe comprar el cuadernos cuadriculados no supera en
distribuidor a cada una de los 1000 unidades al número de cuadernos
almacenes para obtener el mínimo costo? rayados, entre las dos clases no superan a
Determina dicho costo mínimo. 3000 unidades, y los cuadernos
105 de A y 15 de B cuadriculados no bajan de 1000 unidades.
Halle el costo máximo y mínimo de la
18. Una fábrica prepara salsas para producción diaria. 5 500 y 1 500
tallarines Extra y Gourmet. La primera
contiene 200 g de tomate y 25 g de
carne por lata, la segunda 150 g de 21. Una escuela prepara
tomate y 50 g de carne. Si se una excursión para 400
abastecen de 4 toneladas de tomates y alumnos. La empresa de
1,25 toneladas de carne, ¿cuántas latas transportes tiene 8 buses
deben fabricar de cada tipo para de 40 asientos disponibles
obtener la máxima utilidad, ganando en y 10 buses de 50 asientos
la venta de cada una S/.1,80 y S/.2,30 disponibles, pero solo dispone de nueve
respectivamente? conductores. El alquiler de un bus grande
2 000 Extra y 24 000 Gourmet cuesta S/. 80 y el de uno pequeño, S/. 60.
Calcula cuantos buses de cada tipo hay
19. La editorial Matetextos produce que alquilar para que los gastos sean
dos libros de Matemática: mínimos para la escuela.
Álgebra y Geometría. La 4 grandes y 5 pequeños
utilidad por unidades es
de S/. 7 para el libro de
Álgebra y de S/. 10 para el libro de
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14. 14
22. Un granjero tiene 480 hectáreas en mínimo de dos toneladas y un máximo de 7
las que puede sembrar ya y para atender a su demanda, el
sea maíz o trigo. Calcula que distribuidor debe comprar en total un
dispondrá de 800 horas de mínimo de 6 toneladas. El distribuidor
trabajo durante la debe comprar como máximo al almacén A
temporada. Los márgenes de el doble de aceite que al almacén B. ¿Qué
utilidad para cada uno de los cantidad de aceite debe comprar el
productos son S/.40 por distribuidor a cada una de los almacenes
hectárea y los para obtener el mínimo costo? Determina
requerimientos laborales para trabajar en dicho costo mínimo. S/. 14 000
la siembra del maíz son 2 horas por
hectárea y para el trigo, 1 hora por 25. Una compañía de telefonía móvil
hectárea. ¿Cuál es la utilidad máxima? quiere celebrar una jornada
S/.19 200 de «Consumo razonable» y
ofrece a sus clientes la
23. Ricardo y Martín siguiente oferta: 15 céntimos
ganan 10 millones de de sol por cada mensaje SMS
nuevos soles en la y 25 céntimos de sol por cada
Tinka y les aconsejan que los inviertan en minuto de conversación
la bolsa en dos tipos de acciones, A y B. incluyendo el costo de establecimiento de
Las de ti po A tienen más riesgo pero llamada. Impone las condiciones:
producen un beneficio anual del 10%. Las A. El número de llamadas de un minuto no
de tipo B son más seguras, pero producen puede ser mayor que el número de
solo el 7% anual. Después de varias mensajes aumentado en 3, ni menor que el
deliberaciones ellos deciden invertir como número de mensajes disminuido en 3.
máximo 6 millones en la compra de B. Sumando el quíntuplo del número de
acciones A y, por lo menos, 2 millones en mensajes con el número de llamadas
la compra de acciones B. Además, deciden no puede obtenerse más de 27.
que lo invertido en las acciones de tipo A Determina el número de mensajes y de
sea, por lo menos igual a lo invertido en llamadas para que el beneficio sea
las de tipo B. ¿Cómo deberán invertir los máximo. ¿Cuál es ese beneficio
10 millones de nuevos soles para que el máximo?
beneficio anual sea máximo?
26. Cada mes una empresa puede
24. Un distribuidor de aceite de oliva gastar, como máximo, 10 000 soles en
compra la materia prima a dos salarios y 1 800 soles en energía
almacenes ,A y B. Los (electricidad y gasolina). La empresa
almacenes A y B venden el solo elabora dos tipos de productos A y
aceite a 2000 y 3 000 soles B. Por cada unidad de A que elabora
por tonelada, respectivamente gana 0,8 soles; y, por cada unidad de B,
Cada almacén le vende un gana 0,5 soles. El costo salarial y
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energético que acarrea la elaboración de 28. Un granjero desea
una unidad del producto A y de una crear una granja de pollos
unidad del producto B aparece en la de dos razas, A y B. Dispone
siguiente tabla: de 9 000 nuevos soles para
invertir y de un espacio con
Producto Producto una capacidad limitada para
A B 7 000 pollos. Cada pollo de
Costo salarial 2 1 la raza A le cuesta 1 sol y obtiene con él
Costo energético 0,1 0,3 un beneficio de 1 sol, y cada pollo de la
raza B le cuesta 2 soles y el beneficio es
de 1,4 soles por unidad. Si por razones
Se desea determinar cuántas unidades
comerciales el número de pollos de la raza
de cada uno de los productos A y B
B no puede ser superior a los de la raza A,
debe producir la empresa para que el
determina, justificando la respuesta:
beneficio sea máximo.
A. ¿Qué cantidad de ambas razas debe
2 400 de A y 5 200 de B
comprar el granjero para obtener un
beneficio máximo?
27. Un ganadero tiene que elaborar
B. ¿Cuál será el valor de dicho beneficio?
alimento para su ganado a
5 000 de A y 2 000 de B 7 800 soles
partir de dos ingredientes
nutritivos: A y B. Los
29. Una fábrica produce
mínimos que necesita son
cámaras fotográficas
30 unidades de A y 32
convencionales y
unidades de B. En el
digitales. Se obtiene un
mercado se venden sacos de dos marcas
ingreso de S/.450 por cada
que contienen A y B, cuyos contenidos y
cámara convencional y S/.600
precios se dan en la siguiente tabla:
por cada digital. En un día no se pueden
fabricar más de 400 cámaras
Marca Unidades Unidades Precio
convencionales ni más de 300 digitales y
de A de B del saco
tampoco pueden producirse más de 500
I 3 1 S/.9 cámaras en total. Suponiendo que se logra
II 1 4 S/.12 vender toda la producción del día, ¿cuál
es el número de cámaras de cada clase
¿Cuántos sacos de cada marca tiene que que conviene fabricar para obtener un
comprar el ganadero para elaborar este ingreso máximo?, ¿Cuál debería ser la
alimento con el mínimo costo? producción para obtener máximo ingreso
8 unidades de A y 6 de B si se obtuvieran S/.600 por cada cámara
convencional y S/.450 por cada cámara
digital?
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30. Una empresa que sirve comidas cada uno de los ingredientes que se
preparadas tiene emplearán en el menú, de manera que
que diseñar un menú su coste sea lo más reducido posible.
utilizando dos A. Indica la expresión de las
ingredientes. El restricciones y la función objetivo del
ingrediente A problema.
contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorías B. Representa gráficamente la región
por cada 100 gramos de ingrediente, delimitada por las restricciones.
mientras que el ingrediente B contiene 15 C. Calcula el porcentaje óptimo de cada
g de grasas y 100 kilocalorías por cada uno de los ingredientes que se incluirán
100 g. El coste es de 1,5 soles por cada en el menú.
100 g del ingrediente A y de 2 soles por f(x;y) = 1,5x + 2y
cada 100 g del ingrediente B. El menú que 35x + 15y ≤ 30; 150x + 100y ≥
hay que diseñar debería contener no 110; x ≥ 0; y ≥ 0
más de 30 g de grasas y, al menos 110 11,5 gr de A y 0 gr de B
kilocalorías por cada 100 g de alimento.
Se pide determinar las proporciones de
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