mate

2. Leyes de Exponentes II y
Productos Notables I
Docente: Gustavo PomaQuiroz
Álgebra

3. OBJETIVOS:
 Aplicar los teoremas sobre radicación.
 Aprender los principales productos
notables.
 Resolver los problemas aplicando la
teoría.

4. 01 – RADICACIÓN- TEOREMAS
02 – PRODUCTOS NOTABLES- LEYES DE MULTIPLICACIÓN
03 – TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
04 – IDENTIDADES DE LEGENDRE
05 – DIFERENCIA DE CUADRADOS
C
ONTENIDO

5. INTRODUCCIÓN
En esta sesión vamos a estudiar algunos resultados notables que vamos a utilizar en próximos capítulos, por
ejemplo para factorizar, resolver ecuaciones, resolver inecuaciones polinomiales se utiliza el trinomio
cuadradoperfecto.
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑏𝑏
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎2
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏2
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2
𝑎𝑎2
= + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2

6. 𝒏𝒏
𝒂𝒂𝒂𝒂 = 𝒏𝒏
𝒂𝒂
𝒏𝒏
𝒃𝒃
𝒏𝒏 𝒂𝒂
𝒃𝒃
𝒏𝒏
𝒂𝒂
𝒏𝒏
𝒃𝒃
=
Ejemplo
= 16 81
• 16.81
4
= .9
•
3 8
27
= 3
27
3
8
=
3
2
Ejemplo
5
64
5
2
=
𝑏𝑏 ≠ 0
=36
5
64
2
=
5
32 = 2
•
3
10.
3
100 = 3
1000 = 10
Además
𝑛𝑛𝑘𝑘
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑚𝑚
=
•
10
32
5.2
25
= = 2
𝑛𝑛
𝑎𝑎
𝑛𝑛
= 𝑎𝑎
•
3
5
3
= 5
•
6
7
6
= 7
=
𝒏𝒏 𝒎𝒎
𝒂𝒂 𝒏𝒏𝒎𝒎
𝒂𝒂
•
4
256 = 2.4
256
8
256
=
Ejemplo
= 2
• 𝑎𝑎.
3
𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 .
2.3
𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 .
6
𝑏𝑏
Teoremas sobre radicación

7. Aplicación
Calcule el exponente final de 2 :
𝑛𝑛
2.
𝑛𝑛
4.
𝑛𝑛
8
1
𝑛𝑛
2
.
1
𝑛𝑛
4
.
1
𝑛𝑛
8
Resolución
•
𝑛𝑛
2 = 2
1
𝑛𝑛
En el ejercicio:
•
𝑛𝑛
4 = 4
1
𝑛𝑛 = 2
2
𝑛𝑛
•
𝑛𝑛
8 = 8
1
𝑛𝑛 = 2
3
𝑛𝑛
𝑛𝑛
2.
𝑛𝑛
4.
𝑛𝑛
8 = 2
1
𝑛𝑛. 2
2
𝑛𝑛. 2
3
𝑛𝑛
= 2
1
𝑛𝑛
+
2
𝑛𝑛
+
3
𝑛𝑛
𝑛𝑛
2.
𝑛𝑛
4.
𝑛𝑛
8 = 2
6
𝑛𝑛
𝑛𝑛
2.
𝑛𝑛
4.
𝑛𝑛
8
1
𝑛𝑛
2
.
1
𝑛𝑛
4
.
1
𝑛𝑛
8
2
6
𝑛𝑛
1
2
6
𝑛𝑛
= 2
6
𝑛𝑛. 2
6
𝑛𝑛 = 2
12
𝑛𝑛
Exponente final de 2 es :
12
𝑛𝑛
𝒏𝒏
𝒙𝒙𝒂𝒂
𝒎𝒎
𝒙𝒙𝒃𝒃
𝒑𝒑
𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝑥𝑥
………… …..…
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑎𝑎. 𝑚𝑚 + 𝑏𝑏 𝑝𝑝 + 𝑐𝑐
Ejemplo
• 𝑥𝑥3
4
𝑥𝑥.
3
𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥 2.4.3
3.4 + 1 3 + 2
= 𝑥𝑥
41
24

8. Productos Notables
Leyesde la multiplicación
Ley conmutativa
Multiplicación
indicada
Aplicación:
Efectuar la siguiente multiplicación indicada.
𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑏𝑏𝑏𝑏
Ley distributiva 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 + 3) = 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 2 3
= 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 2 + 3 𝑥𝑥 + 2
= 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥
+ 𝑥𝑥𝑥 + 3(2)
= 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥
+ 2𝑥𝑥 + 6
= 𝑥𝑥2 +
+ 5𝑥𝑥 6
Producto
Son resultados que se obtienen de forma directa
sin necesidad de aplicar las leyes de la
multiplicación.
Productos Notables
Principalesproductosnotables
1. Trinomiocuadrado perfecto
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐
Ejemplo
= + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 +
(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐
= − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 +
• (2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)2
(2𝑥𝑥)2
= + 2(2𝑥𝑥)(3𝑦𝑦) +(3𝑦𝑦)2
4𝑥𝑥2
= + 12𝑥𝑥𝑥𝑥 + 9𝑦𝑦2
• ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2
𝑥𝑥
2
= − 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦
2
𝑥𝑥
= − 2 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
𝒃𝒃𝟐𝟐
𝒃𝒃𝟐𝟐

9. =
Aplicación
Resolución
Sabemos:
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏2
= 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎
12 𝟐𝟐
(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2
= 16
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = 4 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = −4
∨
Si se cumple 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 12
𝑎𝑎𝑎𝑎 = 2
Determine 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
Además 𝑎𝑎 < 0 ; 𝑏𝑏 < 0
Como 𝑎𝑎 < 0 ; 𝑏𝑏 < 0
∴ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = −4
2. Identidadesde Legendre
=
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟐𝟐+
Ejemplo:
• (𝑥𝑥 + 3)2+(𝑥𝑥 − 3)2
4 𝑥𝑥(5)
=
=
(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐
=
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒
(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃)𝟐𝟐
𝟐𝟐 𝒂𝒂𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟐𝟐
2 𝑥𝑥2 + 32
• ( 𝑥𝑥 + 5)2−( 𝑥𝑥 − 5)2
20 𝑥𝑥
=
= 2𝑥𝑥2 + 18
• 𝑥𝑥 +
1
𝑥𝑥
2
− 𝑥𝑥 −
1
𝑥𝑥
2
= 4𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
4
=
𝑥𝑥 +
1
𝑥𝑥
2
− 𝑥𝑥 −
1
𝑥𝑥
2
= 4

10. Aplicación
Simplifique la siguiente expresión
𝑆𝑆 =
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 1 2 + (𝑎𝑎𝑎𝑎 − 1)2−2
2𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 2 − 2𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 2
Resolución
𝑆𝑆 =
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 1 2 + (𝑎𝑎𝑎𝑎 − 1)2−2
2𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 2 − 2𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 2
4(2𝑎𝑎2)(𝑏𝑏2)
2 𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 12
𝑆𝑆 =
2 𝑎𝑎𝑎𝑎 2 + 12 − 2
4(2𝑎𝑎2)(𝑏𝑏2)
𝑆𝑆 =
2𝑎𝑎2𝑏𝑏2 + 2 − 2
8𝑎𝑎2𝑏𝑏2
𝑆𝑆 =
2𝑎𝑎2𝑏𝑏2
8𝑎𝑎2𝑏𝑏2
=
𝟏𝟏
𝟒𝟒
3. Diferencia de cuadrados
(𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)(𝒂𝒂 − 𝒃𝒃) =
(2𝑥𝑥)2
𝒂𝒂𝟐𝟐
=
− 𝒃𝒃𝟐𝟐
Ejemplos:
• (2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦)(2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦) = − (3𝑦𝑦)2
• (𝑥𝑥3 + 𝑦𝑦2)(𝑥𝑥3 − 𝑦𝑦2) (𝑥𝑥3)2 − (𝑦𝑦2)2
4𝑥𝑥2
= − 9𝑦𝑦2
= 𝑥𝑥6 − 𝑦𝑦4
• ( 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥
2
𝑦𝑦
2
−
= 𝑥𝑥 𝑦𝑦
−
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦

11. Aplicación
Calcule el valor de M
𝑀𝑀 =
65 55 + 25
19 5 + 49
Resolución
𝑀𝑀 =
65 55 + 25
19 5 + 49
𝑀𝑀 =
+ 25
+ 49
60 + 5 60 − 5
12 + 7 12 − 7
𝑀𝑀 =
+ 25
+ 49
𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐 − 𝟓𝟓𝟐𝟐
122 − 72
𝑀𝑀 =
60
12
2
=
60
12
= 𝟓𝟓

12. w w w. a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e