Este documento presenta las fórmulas para calcular los coeficientes de la serie de Fourier y aplica estas fórmulas para calcular la serie de Fourier de la función f(x)=x en el intervalo -π≤x≤π. Explica que los coeficientes A0, An y Bn se calculan mediante integrales definidas y que para esta función específica, A0 y An son cero, mientras que Bn es igual a 2/n(-1)^n. Finalmente, resume la serie de Fourier resultante como una suma de senos.

1. Formulas para calcular los
coeficiente de la serie de Fourier
 Formula de Euler para lo
coeficiente de Fourier:
 F(x)es una función
periódica de periodo 2π
que puede representarse
por una serie
trigonométrica
 ͚ ͚
F(x)=a0/2+Σan(cosnx/L)+Σ
n=1 n=1
bn(s en/L)
 Coeficientes
ʟ
 A0=1/Lʃf(x)dx
-ʟ
L
An=1/Lʃf(x)cos(nπx/L)dx
- L
L
Bn=1/Lʃf(x)sen(nπx/L)dx
-L

2. Calcular la serie de fourier de f(x)=x
en -π≤x≤π
 Calculamos los coeficientes:
 π π
 A0=1/πʃxdx=[x^2/2]=[π^2/2- π^2/2]=0
 - π -π
 π π
 An=1/ πʃxcos(n πx/ π)dx=1/ πʃxcos(nx)dx
 - π - π
 π
 =1/ π[1/nsen(nx)-1/nʃsen(nx)dx]
 -π

3. π
=1/ π[1/n πsen(nx)-1/n(- π)sen(-n π)]+1/n^2cos(nx)
o 0 - π
=1/ πn^2(cos(n π)-cos(-n π))=1/ πn^2(cos(n π)-cos(n π)=0
π π
 Bn =1/ πʃxsen(nπx/ π)dx =1/πʃxsen(nx)dx
-π -π
π π
=1/π(-1/nxcos(nx)]+1/nʃcos(nx)dx integración por parte.
-π -π
π
=1/π(-1/n(π)cos(nπ)-1/n(-π)cos(n-π)+1/n^2sen(nx)]
0 o -π
=1/π[-2π/ncos(nπ)+1/n^2sen(nπ)-1/n^2sen(-nπ)
=-2/n(-1)^n=2/n(-1)^n+1

4. Ahora calculamos la serie de
fourier:
͚ ͚
X=Σ2/n(-1)^n+1 sen(nx)=Σ2/1(-1)^1+1 sen(1)
n=1 n=1
X=2(sen(x)-1/2sen(2x)+1/3sen(3x)-1/4sen(4x)+1/5sen(5x)