ESTADO DE ESFUERZOS

1. Contenidos
1 Estado de Esfuerzos Planos
Esfuerzos en Planos Oblicuos
Esfuerzos Principales
Cı́rculo de Mohr
Problemas
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 2 / 30

2. Estado de Esfuerzos Planos
Estado de Esfuerzos
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 3 / 30

3. Estado de Esfuerzos Planos
Estado de Esfuerzos
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 3 / 30

4. Estado de Esfuerzos Planos
σi : Esfuerzo Normal en la dirección i:



















(+)
(−)
τij : Esfuerzo de Corte que actúa en un plano
perpendicular al eje i y en dirección del
eje j































Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 4 / 30

5. Estado de Esfuerzos Planos
Estado de Esfuerzos Planos
Todos los esfuerzos en una dirección son cero.
(Por “costumbre”, σz, τxz, τyz, son nulos).
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 5 / 30

6. Estado de Esfuerzos Planos
Estado de Esfuerzos Planos
Todos los esfuerzos en una dirección son cero.
(Por “costumbre”, σz, τxz, τyz, son nulos).
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 5 / 30

7. Estado de Esfuerzos Planos
Estado de Esfuerzos Planos
Todos los esfuerzos en una dirección son cero.
(Por “costumbre”, σz, τxz, τyz, son nulos).
¿τxy, τyx?
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 5 / 30

8. Estado de Esfuerzos Planos
¿τxy, τyx?















P
Mz = 0
txydydz(dx) − tyxdxdz(dy) = 0
τxy = τyx
Generalizando:
τxz = τzx τyz = τzy
Los esfuerzos cortantes sobre dos planos ortogona-
les que pasan por un mismo punto, son iguales en
magnitud y de sentido contrario.
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 6 / 30

9. Estado de Esfuerzos Planos
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 7 / 30

10. Estado de Esfuerzos Planos
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 8 / 30

11. Estado de Esfuerzos Planos
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 9 / 30

12. Estado de Esfuerzos Planos
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 10 / 30

13. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos en Planos Oblicuos
Esfuerzos en Planos Oblicuos
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 11 / 30

14. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos en Planos Oblicuos
Esfuerzos en Planos Oblicuos
DCL:
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 11 / 30

15. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos en Planos Oblicuos
X
Fn = 0
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 12 / 30

16. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos en Planos Oblicuos
X
Fn = 0
σn · A − σx · A · cos(θ) · (cos(θ)) − τxy · A · cos(θ) · (sen(θ))
− σy · A · sen(θ) · (sen(θ)) − τxy · A sen(θ) · (cos(θ)) = 0
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 12 / 30

17. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos en Planos Oblicuos
X
Fn = 0
σn · A − σx · A · cos(θ) · (cos(θ)) − τxy · A · cos(θ) · (sen(θ))
− σy · A · sen(θ) · (sen(θ)) − τxy · A sen(θ) · (cos(θ)) = 0
σn = σx · cos2
(θ) · +σy · sen2
(θ) + 2 · τxy · sen(θ) · cos(θ)
σn = σx ·
1 + cos(2θ)
2
+ σy ·
1 − cos(2θ)
2
+ τxy · sen(2θ)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 12 / 30

18. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos en Planos Oblicuos
X
Fn = 0
σn · A − σx · A · cos(θ) · (cos(θ)) − τxy · A · cos(θ) · (sen(θ))
− σy · A · sen(θ) · (sen(θ)) − τxy · A sen(θ) · (cos(θ)) = 0
σn = σx · cos2
(θ) · +σy · sen2
(θ) + 2 · τxy · sen(θ) · cos(θ)
σn = σx ·
1 + cos(2θ)
2
+ σy ·
1 − cos(2θ)
2
+ τxy · sen(2θ)
σn =
σx + σy
2
+
σx − σy
2
· cos(2θ) + τxy · sen(2θ)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 12 / 30

19. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos en Planos Oblicuos
X
Ft = 0
τnt · A − σx · A · cos(θ) · (sen(θ)) − τxy · A · cos(θ) · (cos(θ))
− σy · A · sen(θ) · (cos(θ)) − τxy · A · sen(θ) · (sen(θ)) = 0
τnt = σy · sen(θ) · cos(θ) − σx · A · cos(θ) · sen(θ) + τ2
xy · cos2
(θ) − τ2
xy · sen2
(θ)
τnt = −
1
2
· (σx − σy) · sen(2θ) + τxy · cos(2θ)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 13 / 30

20. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos en Planos Oblicuos
Importante
La normal al plano forma un ángulo θ con el eje x.
Las ecuaciones fueron deducidas con signos positivos. Luego, al emplearse
deben reemplazarse las magnitudes y signos que correspondan.
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 14 / 30

21. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos Principales
Esfuerzos Principales
Dado que σn = σn(θ) y τnt = τnt(θ), existen ciertos valores de θ tal que dichas
funciones sean un máximo o un mı́nimo.
(σn máx, σn mı́n) Esfuerzos principales (σp)
Planos (σn máx, σn mı́n) Planos principales (θp)
σn es mı́nimo para:
σnθ = −(σx − σy) · sen(2θ) + 2 · τxy · cos(2θ) = 0
Recordar: τnt = −1
2 · (σx − σy) · sen(2θ) + τxy · cos(2θ)
tg(2θp) =
τxy
1
2 (σx − σy)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 15 / 30

22. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos Principales
tg(2θp) =
τxy
1
2 (σx − σy)
Existen 2 valores de 2θp, desfasados 180◦
.
Existen 2 valores de θp separados 90◦
. θp1 y θp2 definen el plano de
máximo o mı́nimo esfuerzo normal.
Notar que σnθ = 2 · τnt = 0. En Planos Principales τnt es nulo
tg(2θp) =
τxy
1
2 (σx − σy)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 16 / 30

23. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos Principales
cos(2θp) =
1
2
(σx − σy)
s
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
sen(2θp) =
τxy
s
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
σn =
σx + σy
2
+
σx − σy
2
· cos(2θ) + τxy · sen(2θ)
σp1,p2 =
1
2
· (σx + σy) ±
s
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 17 / 30

24. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos Principales
d2
σn
dθ2
Puntos de Inflexión, Planos de máximo o mı́ni-
mo Esfuerzo Normal
d2
σn
dθ2
= (−) θp1 define el Plano de Máximo Esfuerzo Normal
d2
σn
dθ2
= (+) θp2 define el Plano de Mı́nimo Esfuerzo Normal
d2
σn
dθ2
= −2 · (σx − σy) · cos(2θ) − 4 · τxy · sen(2θ)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 18 / 30

25. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos Principales
En forma analoga, τnt es máximo o mı́nimo para:
τntθ = −(σx − σy) · cos(2θ) − 2 · τxy · sen(2θ) = 0
tg(2θτ ) = −
1
2 · (σx − σy)
τxy
tg(2θp) =
τxy
1
2 · (σx − σy)
←→ tg(2θτ ) = −
1
2 · (σx − σy)
τxy
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 19 / 30

26. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos Principales
tg(2θp) =
τxy
1
2 · (σx − σy)
←→ tg(2θτ ) = −
1
2 · (σx − σy)
τxy
Tangentes Recı́procas Negativas,
2θp y 2θτ están desfasados 90◦
.
Esfuerzos Cortantes Máximos y
mı́nimos actúan sobre planos a
45◦
de los planos principales
tg(2θτ ) = −
1
2 (σx − σy)
τxy
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 20 / 30

27. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos Principales
sen(2θp) =
−
1
2
(σx − σy)
s
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
cos(2θp) =
τxy
s
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
τnt = −
1
2
· (σx − σy) · sen(2θ) + τxy · cos(2θ)
τmáx,mı́n = ±
s
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
Recordar θp1,p2
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 21 / 30

28. Estado de Esfuerzos Planos Esfuerzos Principales
d2
τnt
dθ2
Puntos de Inflexión, Planos de máximo o mı́ni-
mo Esfuerzo Cortante
d2
τnt
dθ2
= (−) θτ define el Plano de Máximo Esfuerzo Cortante
d2
τnt
dθ2
= (+) θτ define el Plano de Mı́nimo Esfuerzo Cortante
d2
τnt
dθ2
= 2 · (σx − σy) · sen(2θ) − 4 · τxy · cos(2θ)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 22 / 30

29. Estado de Esfuerzos Planos Cı́rculo de Mohr
Cı́rculo de Mohr
Representación gráfica de las ecuaciones desarrolladas para σn y τnt.
σn −
1
2
(σx + σy) =
1
2
(σx − σy) · cos(2θ) + τxy · sen(2θ)
τnt = −
1
2
· (σx − σy) · sen(2θ) + τxy · cos(2θ)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 23 / 30

30. Estado de Esfuerzos Planos Cı́rculo de Mohr
Cı́rculo de Mohr
Representación gráfica de las ecuaciones desarrolladas para σn y τnt.
σn −
1
2
(σx + σy) =
1
2
(σx − σy) · cos(2θ) + τxy · sen(2θ)
τnt = −
1
2
· (σx − σy) · sen(2θ) + τxy · cos(2θ)
σn −
1
2
(σx + σy)
2
+ τ2
nt =
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 23 / 30

31. Estado de Esfuerzos Planos Cı́rculo de Mohr
Cı́rculo de Mohr
Representación gráfica de las ecuaciones desarrolladas para σn y τnt.
σn −
1
2
(σx + σy) =
1
2
(σx − σy) · cos(2θ) + τxy · sen(2θ)
τnt = −
1
2
· (σx − σy) · sen(2θ) + τxy · cos(2θ)
σn −
1
2
(σx + σy)
2
+ τ2
nt =
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
σprom =
1
2
(σx + σy) R =
s
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 23 / 30

32. Estado de Esfuerzos Planos Cı́rculo de Mohr
Cı́rculo de Mohr
Representación gráfica de las ecuaciones desarrolladas para σn y τnt.
σn −
1
2
(σx + σy) =
1
2
(σx − σy) · cos(2θ) + τxy · sen(2θ)
τnt = −
1
2
· (σx − σy) · sen(2θ) + τxy · cos(2θ)
σn −
1
2
(σx + σy)
2
+ τ2
nt =
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
σprom =
1
2
(σx + σy) R =
s
1
2
(σx − σy)
2
+ τ2
xy
(σn − σprom)
2
+ τ2
nt = R2
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 23 / 30

33. Estado de Esfuerzos Planos Cı́rculo de Mohr
Convenios de Signos:
Esfuerzos Normales
Tracción (+)
Compresión (−)
Esfuerzos Cortantes
Momento horario (−)
Momento anti-horario (+)
Ángulos (+)
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 24 / 30

34. Estado de Esfuerzos Planos Cı́rculo de Mohr
(σn − σprom)
2
+ τ2
nt = R2
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 25 / 30

35. Estado de Esfuerzos Planos Cı́rculo de Mohr
(σn − σprom)
2
+ τ2
nt = R2
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 26 / 30

36. Estado de Esfuerzos Planos Cı́rculo de Mohr
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 27 / 30

37. Estado de Esfuerzos Planos Problemas
Problemas
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 28 / 30

38. Estado de Esfuerzos Planos Problemas
Problema 1
En el elemento diferencial mostrado en la figura, determinar los esfuerzo prin-
cipales y máximo esfuerzo cortante con los planos sobre los que actúan
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 29 / 30

39. Estado de Esfuerzos Planos Problemas
Problema 2
The state of stress at a point in a member is shown on the element. Determine
the stress component acting on the inclined plan AB.
Prof. Luis Pérez Pozo (PUCV) EII-342: RM Primer Semestre 2012 30 / 30