Este documento describe los sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. Define un sistema de ecuaciones lineales, presenta la forma matricial de un sistema, y clasifica los sistemas según el número de soluciones. Explica cómo transformar sistemas en sistemas equivalentes y cómo escalonar sistemas. Finalmente, detalla el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
2. Definición
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:
m
ecuaciones
n incógnitas
Coeficientes del sistema
incógnitas
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
L
L
LLLLLLLLLLLLLLL
L
términos
independientes
3. A: matriz de los
coeficientes
Expresión
matricial del
sistema
Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
El sistema puede ser escrito de la siguiente manera:
Matriz ampliada
X: matriz de las
incognitas
B: matriz de los términos
independientes
AX=B
…
nmnmmm
n
n
n
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
......
..........
......
......
......
=
…
mb
b
b
b
3
2
1
A*
=
mmnmmm
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
......
............
......
......
......
321
33333231
22232221
11131211
4. Expresión matricial: ejemplo
El sistema
2x + 5y– 3z = 1
x – 4y + z =–2
Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =
2 5 –3
1 –4 1
Tiene la siguiente matriz ampliada: A*
=
2 5 –3 1
1 –4 1 –2
Tiene la siguiente expresión matricial:
2 5 –3
1 –4 1
x
y
z
=
1
– 2
5. Solución de un sistema de ecuaciones
Una solución del sistema:
es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales
que se verifican todas las ecuaciones:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
L
L
LLLLLLLLLLLLLLL
L
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
bsasasasa
bsasasasa
bsasasasa
L
LLLLLLLLLLLLLL
L
L
332211
22323222121
11313212111
6. Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo
−=
=
−=
1
3
3
z
y
x
• Los valores
• Los valores
=
−=
=
1
1
3
z
y
x
son una solución del sistema por que:
Consideramos el sistema:
=+
=++
=−+
332
22
1
yx
zyx
zyx
son una solución del sistema por que:
=−⋅+⋅
=−+−⋅+
=−−+
3)1(332
2)1()1(23
11)1(3
=⋅+−⋅
=−+⋅+−
=−−+−
3)3(3)3(2
2)1(323
1)1(33
7. Clasificación de un sistema según el número de soluciones
Sistemas de
ecuaciones lineales
Incompatible o inconsistente
Compatible o consistente
Sin solución
Con solución
Determinado
Indeterminado
Solución
única
Infinitas
soluciones
• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.
8. I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una
ecuación por un número distinto de cero.
II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del
mismo.
Sistemas equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las
mismas soluciones.
Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:
III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de
otras dos.
10. Sistemas de ecuaciones escalonados
Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus
ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.
=−
=+
53
432
y
yx
−=
=+
=−+
23
324
5324
z
zy
zyx
=+
=−+
223
4532
zy
zyx
=++
=
=+
1
4
432
zyx
z
zx
Ejemplos:
11. Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene
ninguna.
Resolución de sistemas de ecuaciones
Métodos de resolución:
1. Método de Gauss.
3. Método de Cramer.
3. Método de la matriz inversa.
2. Método de Gauss Jordan.
12. Resolución de un sistema escalonado: ejemplo
−=
−=+−
=−+
52
1483
92
z
zy
zyx
2
5
−=z
Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:
6259 =+−=x
2
3
2014
−=
−
+−
=y
13. Resolución de sistemas: método de Gauss
Se pueden dar los siguientes pasos:
I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.
II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para
eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.
III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).
IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.
un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.
El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener
de un sistema:
=++
=++
=++
,
;
;
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
14. Método de Gauss: posibilidades
En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes
posibilidades:
Incompatible
• Si no es incompatible, se considera el número
de filas e incógnitas que quedan:
nº de ecuaciones = nº de incógnitas
compatible determinado
nº de ecuaciones < nº de incógnitas
compatible indeterminado
=
=+
=++
50
1483
92
zy
zyx
=
=+
=++
52
1483
92
z
zy
zyx
92
1483
=++
=+
zyx
zy 123 =−+ zyx
• Si alguna de las filas está formada por todos
ceros menos el término independiente.
15. Método de Gauss: sistema compatible determinado
Se despejan incógnitas
hacia arriba
2
5
2
3
1420
6529
−
=
−=
−
−
=
=−+=
z
y
x
RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS
16. Método de Gauss: sistema incompatible
La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible.
RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS
17. Método de Gauss: sistema compatible indeterminado
=
−
−−
=
−
−−
−+=
⇔
tz
t
y
t
tx
3
148
3
148
29
=
+=
−=
⇔
tz
ty
tx
3
8
3
14
3
2
3
13
Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t
RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS
18. Para resolver un problema mediante un sistema
de ecuaciones
1. Se identifican las incógnitas.
2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de
ecuaciones.
3. Se resuelve el sistema.
4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con
respecto al enunciado del problema.
