doc

1. 
 7x6x5x!47x6x5x!57x!6!7
6x5x!46x!5!6
5x!4!5
===
==
=


1!11
1!0o
==
==
sImportantesFactoriale
TEMA: ANÁLISIS COMBINATORIO
Factorial de un Número.- (!) o (L)
Es definido como el producto, de todos
los enteros consecutivos y positivos
comprendidos entre la unidad y el número
dado, incluyendo a ambos. Así:
)n(x)1n((x)2n(x................x4x3x2x1!nn
1x2x3x4x5x6x7x8x9x01!1010
1x2x3x4x55x4x3x2x1!55
−−==
==
===
• Siempre tengo en cuenta que:
Además podemos escribir:
n)!1n(!n −=
Esta última expresión nos dice que:
El factorial de un número cualquiera
puede escribirse como el producto del
factorial de su consecutivo anterior por el
número dado.
Ejemplos:
* ¿Entiende UD.?; si desea puede
seguir descomponiendo.
EJERCICIOS PARA LA CLASE

2. TEMA: ANÁLISIS COMBINATORIO
01. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C?. en la siguiente red de
caminos.
Rpta: .............................
02. ¿Por cuántos caminos diferentes se
puede ir de A a C? en la siguiente red de
caminos:
Rpta: .............................
03. De la red de caminos mostrado:
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a D?.
Rpta: .............................
04. En la siguiente red de caminos.
¿De cuántas maneras, se puede ir de A a B y regresar de B a A sin
utilizar el mismo camino que se acaba de usar para llegar a B?.
Rpta: .............................
05. En la siguiente red de caminos:
¿De cuántas maneras se puede ir de A a C y volver a A sin pasar por
el mismo camino dos veces, pudiendo utilizar, parcialmente en
regresar, el camino que se utilizó al ir de A a C?.
Rpta: .............................
06. ¿De cuántas maneras pueden ser ordenados, en una fila 5 cubos
iguales, pero de diferentes colorees?.
Rpta: .............................
07. ¿De cuántas formas, pueden 8 personas estar sentadas en un banco,
con capacidad para 4 personas?.
Rpta: .............................
08. Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que las
mujeres ocupen los lugares pares (de izquierda a derecha). ¿De
cuántas formas pueden sentarse las 7 personas?.
Rpta: .............................
09. se quieren sentar 4 hombres y 2 mujeres en una fila, de modo que las
mujeres estén siempre juntas. ¿De cuántas formas pueden sentarse?.
Rpta: .............................
10. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 7 personas alrededor de una
mes, si de las 7 personas una está ya sentada y no se mueve para nada,
para que las 6 restantes se acomoden en referencia a ella
consecutivamente?.
Rpta: .............................
11. Tres viajeros llegan a una ciudad donde hay 4 hoteles. ¿De cuántas
formas a la vez podrían instalarse, debiendo estar cada uno en un
hotel diferente?.
Rpta: .............................
12. Magda tiene 8 blusas y 5 pantalones ¿de cuántas formas diferentes se
puede vestir, sabiendo que su blusa celeste se lo debe poner
solamente con su pantalón azul?.
Rpta: .............................
13. La Junta Directiva de un club consta de un presidente, un
Vicepresidente, un Tesorero y un Secretario.
Hay 8 candidatos que puedan ocupar, la Presidencia o Vice
presidencia y 6 candidatos que pueden ocupar la Tesorería o
Secretaria. . ¿De cuántas maneras diferentes se podría formar la Junta
Directiva?.
Rpta: .............................
14. ¿Cuántos saludos de despedidas (combinaciones) habrán al término
de una reunión, donde asistieron 25 personas (elementos)?.
Rpta: .............................
15. Luchito, por equivocación contó el total de saludos de despedidas que
hubieron al final de una reunión, en vez de contar el número de
personas que se reunieron. ¿Cuántas personas se reunieron, si Luchito
contó 630 saludos de despedidas?.
Rpta: .............................
16. En una reunión, donde asistieron 48 personas, 8 de ellas mal
educadas, se retiran sin despedirse. ¿Cuántos saludos de despedidas
menos, hubieron al final de la reunión, si 8 personas mal educadas, no
se despidieron?.
Rpta: .............................
17. Al final de una reunión, donde asistieron 28 personas, 5 personas se
retiran sin despedirse, pero si se despiden entre ellas; las personas
restantes cada una de despidió de cada una de las demás. ¿Cuántos
saludos y despedidas hubieron entre las personas que asistieron a la
reunión?.
Rpta: .............................
18. Al final de una reunión, 5 personas se retiran sin despedirse, pero si
de despiden entre ellas; de las restantes cada una se despidieron de
todas las demás.
El total de despedidas fue 200
¿Cuántas personas asistieron a la reunión?.
Rpta: .............................
19. ¿Cuántos números de 3 cifras existen en el sistema decimal?.
Rpta: .............................

3. 20. ¿Cuántos números de 3 cifras significativos, existen en el sistema
decimal?.
Rpta: .............................
1. Una Comisión que trabaja puede estar
formada por 3 hombres ó 4 mujeres ó 1
hombre y 1 una mujer. ¿De cuantas
formas se lograra una comisión si se
disponen de 7 mujeres y 6 hombres?
Rpta:
2. ¿Cuántos diccionarios bilin-gües se
deben editar si tomamos en consideración
los siguientes idiomas: español, ingles,
francés, alemán y japonés?
Rpta:
3. ¿De cuántas maneras diferentes se
pueden ubicar 6 niños en fila, a condición
de que 3 de ellos en particular, estén
siempre juntos?
Rpta:
4. ¿Cuántos numerales de 3 cifras
diferentes o de 4 cifras diferentes, se
pueden escribir con los dígitos del
siguiente conjunto: A {1; 3; 5; 7; 9;}?
Rpta:
5. Un equipo de investigación consta de 10
integrantes; de ellos, 4 son biólogos.
¿Cuántos grupos de 3 miembros se
pueden formar de manera que se
considere a por lo menos un biólogo?
Rpta:
6. Carlos tiene una biblioteca con 7 textos
con pasta azul, 5 con pasta roja y 3 con
pasta color crema. ¿de cuantas maneras
pueden colocarse los libros según los
colores de sus pastas?
Rpta:
7. ¿De cuántas formas distintas se pueden
ordenar las letras de la palabra ARMO?
Rpta:
8. En un campeonato de fútbol
cuadrangular, ¿De cuantas maneras
podrá quedar la posición de 4 equipos?
Rpta:
9. Con 10 marineros, ¿Cuántas tripulaciones
de 4 marineros se pueden formar?
Rpta:
10. ¿Cuántos números de cuatro cifras
impares diferentes, pero que no llevan el
digito 7 en su escritura, existen?
Rpta:
11. Un alumno tiene 3 libros de Física y una
alumna tiene 5 libros de Química. ¿De
cuántas maneras podría prestarse un
libro?

4. Rpta:
12. ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras
pueden tomarse con los nueve dígitos 1;
2; 3;…….; 9?
Rpta:
13. ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6
personas alrededor de una esa redonda?
Rpta:
14. Tenemos una urna con 7 bola numeradas
y se quiere saber de cuántas maneras
podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y
finalmente 2.
Rpta:
15. Un estudiante tiene que resolver 10
preguntas de 13 en un examen. ¿Cuántas
maneras de escoger las preguntas tiene?
Rpta:
16. ¿De cuántas maneras distintas pueden
sentarse en una banca 6 asientos, 4 personas.
Rpta:
17. Hallar “x”, sabiendo que:
3
2
C4
C4
x
6
x
5
=
Rpta:
18. Calcular el número de cuadriláteros que
se pueden trazar por 10 puntos no
colinéales.
Rpta:
19. Si:
x
y
x
1y C2C =− Halla: “y” en términos “x”
Rpta:
20. ¿De cuántas maneras 2 peruanos, 4
colombianos y 3 paraguayos pueden
sentarse en la fila de modo que los de la
misma nacionalidad se sienten juntos?
Rpta:
EJERCICIOS PARA LA CASA
1. ¿De cuántas maneras diferentes podrán
ubicarse en una fila, Renato, Adrián,
Shirley?
a) 3 b) 6
c) 9 d) 5
e) 8
2. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden
formarse con los 5 dígitos: 1; 2; 3; 4; y 5,
sin que se repita uno de ellos en el
número formado?
a) 120 b) 15
c) 20 d) 60
e) N.A
3. En una carrera de caballos participan 6
de estos ejemplares. ¿De cuántas
maneras podrán ocupar los 6 primeros
puestos?
a) 120 b) 180
c) 60 d) 240
e) 20
4. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en
el campeonato descentralizado de fútbol
en una rueda, en la que participan 16
equipos?

5. 7
3
7
4
7
3
C4
CC3
E
+
=
a) 160 b) 120
c) 80 d) 320
e) N.A
5. Con las letras de la palabra “EDITOR”,
¿Cuántas palabras de 6 letras que
terminen en “E” se pueden formar.
a) 60 b) 720
c) 360 d) 120
e) 24
6. Hallar el valor de “E” sabiendo que:
a) 1 b) 3/4
c) 1/4 d) 2
e) N.A
7. Un vendedor de cerveza visita 2 veces a
la semana a un distribuidor.¿De cuántas
manera podrá el vendedor escoger dichos
días de visita?
a) 42 b) 12
c) 24 d) 21
e) 45
8. Una señora tiene 11 amigos de confianza.
¿De cuantas maneras puede invitar a 5
de ellos a cenar?
a) 462 b) 426
c) 642 d) 246
e) N.A
9. Un barco lleva 5 banderas de color
diferentes.¿Cuantas señales diferentes se
podrán hacer, izando en un mástil, por lo
menos 3 banderas?
a) 520 b) 430
c) 864000 d) 246
e) 150
10. ¿Cuántos sonidos distintos pueden
producir con ocho teclas de un piano si se
tocan cuatro simul-táneamente?
a) 1680 b) 1860
c) 70 d) 120
e) 720
11. Juanito tiene 4 camisas, 3 pantalones y 2
pares de zapatos.¿De cuantas formas
pueden vestirse alternando estas
prendas?
a) 12 b) 24
c) 36 d) 18
e) 495
12. Una clase consta de 9 niños y 3 niñas.
¿De cuantas maneras el profesor puede
escoger un comité de 4?
a) 720 b) 945
c) 5040 d) 594
e) 495
13. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes,
que no sean múltiplos de 5, existen?
a) 486 b) 648
c) 729 d) 567
e) 684

6. 14. De A a B hay 6 caminos diferentes y de B
a C hay 4 caminos diferentes.¿De
cuantas maneras se puede hacer el viaje
redondo de A a C pasando por B?
a) 120 b) 576
c) 24 d) 50
e) N.A
15. Jesús, José y Marco van un día al cine y
encuentran cuatro asientos consecutivos
vacíos. ¿De cuántas maneras pueden
distribuirse?
a) 24 b) 48
c) 12 d) 7
e) 9
TEMA: PROBALIDADES
Al lanzar una moneda existe la posibilidad de
obtener una cara o un sello. So yo quisiera que
la moneda muestre cara, habría una posibilidad
entre dos que ocurra. Decimos entonces que la
probabilidad de obtener cara al lanzar una
moneda es ½.
Si lanzamos un dado hay seis resultados
posibles, cualesquiera de los seis número
podría verse. Si quisiéramos que salga un
número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de
un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 y 6) que se pueden
obtener. La probabilidad de obtener un número
par en el lanzamiento de un dado será:
2
1
6
3
=
Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una,
la probabilidad de que esta sea de diamante
será:
( )
4
1
)cartasdetotal(52
diamantesdecartasdetotal13
P ==
Si en un salón de clases hay 20 alumnos
varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad
que al salid un alumno del aula, este sea
mujer?
( )
)alumnosdetotal(50
mujeresdetotal30
P =
Recordemos:
Probabilidad: Definición clásica
La probabilidad de ocurrencias es la razón entre
el número de casos favorables y el número de
casos posibles.
posibleseventosden
favorableseventosden
P
°
°
=
Donde: 0 ≤ P ≤ 1
La probabilidad de un evento cualquiera esta
comprendido entre 0 y 1; en el caso que sea 0:
(cero), es un evento imposible; en el caso de
que sea 1, el evento es seguro.
Es importante aclarar que esta manera de
definir la probabilidad se basa en el supuesto
que todos los resultados posibles son
igualmente probables, es decir que tienen la
misma posibilidad de salir. No ocurre así si es
que la moneda esta acuñada de tal forma que
es más pesada hacia un lado, o si el lado esta
cargado o las cartas están marcadas.
Debemos recordar que:
El espacio muestral es el conjunto de todos los
casos posibles asociados a un experimento.
Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio
muestral (Ω) seria conjunto de dos elementos:
Ω = {cara; sello}
Si se lanza un dado, el espacio muestral
asociado a este experimento seria:
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
EVENTOS INDEPENDIENTES
Como su nombre lo indica son eventos que no
dependen entre si para su ocurrencia; por
ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez
el resultado del lanzamiento de la primera no
afecta en el resultado de ésta.
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos
en el lanzamiento de una moneda dos veces?
En el primer lanzamiento la probabilidad de
obtener un sello es ½, lo representamos así:
P (s1) =
2
1
En el segundo lanzamiento la probabilidad de
obtener un sello, dado que en el lanzamiento
anterior se obtuvo sello es:

7. P (s2) =
2
1
Luego la probabilidad que ocurran ambos será:
P (s1 ∩ s2) = P (s1) x P (s2) (sucesos
independientes)
= 1/4
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea.
Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de
obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de
dos monedas?
Definimos:
C1 : Obtener cara en el primer
lanzamiento
C2 : Obtener cara en el segundo
lanzamiento
S1 : Obtener sello en el primer
lanzamiento
S2 : Obtener sello en el segundo
lanzamiento
A = C1 ∩ C2; B = S1 ∩ S2
P (C1 ∩ C2) = P (C1) x P (C2) =
4
1
2
1
2
1
=×
P (S1 ∩ S2) = P (S1) x P (S2) =
4
1
2
1
2
1
=×
Luego:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) =
2
1
4
1
4
1
=+
Por que A y B son excluyentes dado que no
pueden salir dos caras y dos sellos al mismo
tiempo lanzando una monedad dos veces.
EJERCICIOS PARA LA CLASE
1. Si en una rifa hay 16 números con premio y
24 sin premio, las posibilidades de ganar son:
Rpta:
2. Se lanza un par de dados. Si los números
que resultan son diferentes. Hallar la
probabilidad que su suma sea par.
Rpta:
3. Una caja contiene 12 cartas roja, 6
blancas y 8 negras, se saca una sin mirar.
¿Cual es la probabilidad de que la carta
sea roja?
Rpta:
4. Sin mirar se oprime una de las 27 letras
de una maquina; hallar la probabilidad de
que sea una vocal.
Rpta:
5. Se lanza tres monedas corrientes. Si
aparecen dos caras y un sello, determinar
la probabilidad de que aparezca una cara
exactamente.
Rpta:
6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al
sumar los puntos de las caras superiores
al lanzar 2 dados?
Rpta:
7. En una urna hay 8 bolas, 3 de color rojo y
5 de color blanco. Se extraen 2 al mismo
tiempo,¿Cuál es la probabilidad de que
haya una de cada color?
Rpta:

8. 8. En un salón de clases de 40, 30 de ellos
postulan a la Universidad de San Marcos y 26 a
la Universidad de Lima, se elige al azar un
alumno de este salón, ¿Cuál es la probabilidad
de que sea un alumno que postule a ambas
Universidades.
Rpta:
9. Se lanza un dado y una moneda,¿Cuál es
la probabilidad de obtener cara en la
moneda y 6 en la cara superior del dado?
Rpta:
10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
un”AS” al extraer una carta de una baraja
de 52?
Rpta:
11. ¿Cuál es la probabilidad de que al ver el
reloj sea más de los 12 meridianos?
Rpta:
12. Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener por lo menos 10
en la suma de los puntos de las caras?
Rpta:
13. Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener a lo mas 10 al
multiplicar los puntos de las caras
superiores?
Rpta:
14. Las probabilidades que tienen: Manuel,
Franklin y Henry de resolver un mismo
problema matemático son: 4/5, 2/3 y 3/7;
respectivamente. Si intentan hacerlo los
3. Determinar la probabilidad de que se
resuelva el problema.
Rpta:
15. Se lanza un dado. Si el número es impar.
Cuál es la probabilidad de que sea primo.
Rpta:
16. Una clase tiene 10 niños y 4 niñas. Si se
escogen tres estudiantes de la clase al
azar. ¿Cuál es la probabilidad de que
sean todos niños?
Rpta:
17. Se tiene 2 dados tetraédricos; ¿Cuál es la
probabilidad que al lanzarlos al aire
resulte una suma 6?
Rpta:
18. Se lanza un dado en forma de
dodecaedro (12 caras), de modo que sus
caras están numeradas del 1 al 12; ¿Cuál
es la probabilidad de obtener en la cara
inferior (base) un número primo?
Rpta:
19. Un dado es lanzado dos veces. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener en el primer
lanzamiento un 6 y en el segundo
lanzamiento otro 6?
Rpta:
20. Se lanza 3 monedas al aire. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener solo caras ó solo
sellos?
Rpta:

9. EJERCICIOS PARA LA CASA
1. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una
moneda al aire, se obtenga cara?
a) 0,2 b) 0,3
c) 0,4 d) 0,5
e) 0,6
2. ¿Cuál es la probabilidad de que, de una
baraja de cartas, al extraer una de ellas
se obtenga un AS?
a) 1/6 b) 1/4
c) 1/9 d) 1/12
e) 1/13
3. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un
dado al aire, resulte un número par?
a) 0,4 b) 0,25
c) 0,5 d) 0,45
e) 0,35
4. Se lanza una moneda y un dado; calcular la
probabilidad que resulte cara y el número 6.
a) 1/9 b) 2/11
c) 1/12 d) 1/3
e) 1/6
5. Se lanza al aire un dado común y uno
tetraédrico; ¿Cuál es la probabilidad de
obtener un número para en el dado
común y un número impar en el dado
tetraédrico?
a) 1/4 b) 1/24
c) 7/24 d) 5/24
e) 9/24
6. Se lanzan dos dados al aire; ¿Cuál es la
probabilidad que resulten dos números
iguales?
a) 1/36 b) 1/18
c) 1/9 d) 1/6
e) 1/4
7. En una urna colocamos 15 bolas, de las
cuales 7 son rojas. ¿Cual es la
probabilidad de obtener una bola que no
sea roja, al extraer al azar una bola de la
urna?
a) 7/15 b) 7/8
c) 8/15 d) 1/8
e) 1/7
8. Se extraen 2 cartas aleatoriamente de
una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la
probabilidad que estas cartas sean de
figuras (11; 12 y 13)?
a) 71/221 b) 11/221
c) 22/221 d) 32/221
e) 72/221
9. Se lanzan un par de dados. Si los números que
resultan son diferentes. Hallar la probabilidad
de que se suma sea impar.
a) 2/5 b) 3/5
c) 7/10 d) 1/3
e) 2/8
10. Un lote de 12 focos de luz tiene 4
defectuosos. Se toman al azar 3 focos del
lote uno tres otro. Hallar la probabilidad
de que los 3 estén buenos?
a) 8/12 b) 14/33
c) 14/55 d) 14/77
e) N.A

10. 11. En una caja hay 18 tarjetas blancas, 8
negras, 6 azules, 9 verdes y 3 amarrillas.
Sin mirar se saca una tarjeta. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea blanca o negra?
a) 13/22 b) 6/11
c) 27/44 d) 11/22
e) N.A
12. Se lanzan dos monedas y unos dados
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos
caras y un múltiplo de 3?
a) 1/8 b) 1/9
c) 1/10 d) 1/11
e) 1/12
13. Se tiene 3 dados tetraédricos cuyas caras
numeradas del 1 al 4; ¿Cuál es la
probabilidad que resulten tres unos?
a) 1/64 b) 1/12
c) 1/4 d) 1/9
e) 1/20
14. Hay 60 compradores, de los cuales 37
adquirieron artículos de tocador y 38
adquirieron artículos de lencería. Se elige
al azar un comprador. ¿Cuál es la
probabilidad que haya comprado solo
artículos de tocador o solo artículos de
lencería?
a) 1/4 b) 1/2
c) 3/4 d) 2/3
e) 5/13
15. Se lanzan dos dados al aire. ¿Cuál es la
probabilidad que el número de puntos de
uno sea divisor del número de puntos del
otro?
a) 19/36 b) 11/36
c) 21/36 d) 11/18
e) 23/36

11. MISCELÁNEA
01. Dos dados perfectos dan “x”
posibilidades de que salga el número 7 e
“y” posibilidades de que salga el número
9. Hallar
y
x
.
a) 7/9 b) 9/7
c) 3/2 d) 2/3
e) 1
02. Se tiene un cuadrado de lado igual a 4m.
Si unen los puntos medios, se genera
otro cuadrado en el cual al unirse sus
puntos medios genera otro y así
sucesivamente, infinitas veces. La suma
de las áreas de todos los cuadrados
será:
a) 16 m2
b) 64 m2
c) 48 m2
d) 32 m2
e) 8 m2
03. Si en un triángulo uno de los ángulos es
igual a la suma de los otros dos, de éstos
uno de ellos está comprendido entre 20º
y 50º; el otro estará entre:
a) 40º y 70º
b) 20º y 50º
c) 50º y 110º
d) 130 y 160
e) 30º y 150º
04. Jany tiene 6125 en monedas de 5 soles
con los cuales hace tantos grupos
iguales de estas monedas como
monedas tiene cada grupo. ¿Cuál es el
valor de cada grupo?.
a) 125 b) 150
c) 175 d) 750
e) 625
05. Carol y Coco parten al mismo tiempo en
un velódromo de 90m. de circunferencia
y en el mismo sentido, si Carol corre con
la velocidad de 2,90 m/s y Coco con 2,54
m/s. Calcular la suma de las distancias
recorridas hasta su encuentro.
a) 1200 b) 1088
c) 1000 d) 1500
e) 1360
06. En una caja hay 18 bolas blancas, 15
bolas amarillas, 7 bolas blancas; cuántas
bolas como mínimo debe de sacar para
obtener 2 bolas de cada color.
a) 32 b) 40
c) 35 d) 98
e) 33
07. Leoncio vende un mueble en 1200 soles,
ganando en la venta el 20% sobre el
precio de venta. ¿Cuánto había
costado?.
a) 210 b) 315
c) 960 d) 800
e) 1000
08. Una bicicleta tiene las siguientes
características: El diámetro de la llanta
delantera es el triple con respecto a la
llanta trasera, si ésta da 90 vueltas,
¿cuántas vueltas dará la llanta
delantera?.
a) 15 b) 90
c) 180 d) 250
e) 30
09. Un automóvil rojo y verde parten del
mismo lugar en direcciones opuestas, el
verde viaja a 5 Km/h más rápido que el
rojo. Después de 4 horas ambos se
encuentran separados por 780 Km.
¿Cuál es la velocidad del automóvil
verde?.
a) 60 b)80
c) 100 d) 120

12. e) 95
10. Ricky compagina 10 000 copias en 3½ días
y Alex lo hace en
3
1
2 días; si compaginan
simultáneamente Ricky y Alex. ¿En 7 días
cuántas copias habrán compaginado?.
a) 15000 b) 10000
c) 5000 d) 50000
e) 500000
11. Un caño llena un pozo en 4 horas y otro
lo vacía en 6 horas; ¿En qué tiempo se
llenará el pozo, si se abre el desagüe
una hora después de abrir el canal de
entrada.
a) 11 horas b) 10 horas
c) 12 horas d) 13 horas
e) 9 horas
12. Un piloto ha trabajado en 2 compañías
distintas, durante 50 horas. En la primera
compañía le han pagado S/.120 soles la
hora de vuelo y en la segunda S/.150
soles por hora de vuelo. Ha recibido en
total S/.6810. ¿Cuántas horas trabajó en
la primera compañía.
a) 27 b) 23
c) 28 d) 25
e) 26
13. En un examen Antonio obtuvo menos
puntos que Ángel; Dante menos puntos
que Antonio y Alberto más puntos que
Ernesto. Si Ernesto obtuvo más puntos
que Ángel. ¿Quién obtuvo el puntaje más
alto?
a) Ernesto b) Antonio
c) Ángel d) Alberto
e) Ángel o Alberto
14. Un comerciante por cada 100 huevos que
compra se le rompe 10 y por cada 100 huevos
que vende regala diez; si vendió 1800 huevos.
¿Cuántos huevos compró inicialmente?
a) 2000 b) 2200
c) 2150 d) 1890
e) 2180
15. Un alambre de 51 metros de largo se le
dió 3 cortes de manera que la longitud de
cada trozo resultante es igual al del
inmediato anterior aumentado en 1/2 .
¿Cuál es la longitud del primer trozo?.
a) 24,40 b) 17,20
c) 14,40 d) 16,50
e) 24,20
16. Se tiene 3 números enteros y diferentes
cuyo producto es 21952. Si la suma, del
primero y segundo es a la suma del
segundo con el tercero, como el segundo
es al tercero. Hallar la suma de los tres
números sabiendo que es la máxima
posible.
a) 98 b) 93
c) 812 d) 813
e) 814
17. Tres obreros A, B y C pueden hacer una
obra en 3a, 4a y 5a días
respectivamente; trabajan los 3 juntos y
cobran N soles por la obra. SI hacen un
reparto equitativo en vez del reparto
justo, uno de ellos recibe 750 soles más.
Hallar N.
a) 6000 b) 9000
c) 7000 d) 8000
e) 5000
18. Una obra debe hacerse en 10 días, 7
obreros hacen los 7/15 y con la ayuda de
5 obreros más la concluyen a tiempo.
¿Cuántos días trabajaron los últimos
obreros?

13. a) 4 días b) 5 días
c) 6 días d) 7 días
e) 3 días
19. El kilo de naranjas tiene de 5 a 7
naranjas y el kilo de manzanas de 4 a 6
manzanas. Una señora que no puede
cargar más de 15 kilogramos decide
comprar 3 docenas de manzanas de las
más pequeñas y el resto del peso
completarlo con naranjas de las más
grandes. ¿Cuántas naranjas tendría que
comprar?.
a) 30 b) 45
c) 38 d) 43
e) 41
20. ¿Qué distancia tiene un foco luminoso a un
espejo cóncavo de 120 cm. de radio de
curvatura. Si su imagen está 160 cm. más
próxima al espejo.
a) 220 cm. b) 240 cm.
c) 230 cm. d) 245 cm.
e) 225 cm.
21. Si a un número de tres cifras que
empieza por 9, se le suprime esta cifra,
queda 1/21 del número. ¿Cuál es la
suma de las cifras del número?.
a) 15 b) 16
c) 17 d) 18
e) 19
22. Una persona que sabe un secreto lo cuenta
a 8 personas; cada una de éstas 9 personas
lo cuentan a otras 9 y cada una de éstas
última a otras 9 personas. ¿Cuántas
personas conocen el secreto?.
a) 648 b) 27
c) 819 d) 729
e) 237
23. Sobre una pista horizontal y a la
velocidad constante de 72 km/h se
desplazó un auto y el diámetro de sus
llantas es 0,5 m. Calcular el tiempo en
que una llanta da una vuelta completa.
a) s
40
π
b) 1 s
c) s
200
π
d) s
50
π
e) Se puede depreciar por ser pequeño
24. Por intervenir en un juego de tiro al
blanco un jugador pagó S/.10; si acierta
recibe S/.20 y si no, pierde sus S/.10.
Después de tres juegos aumentó su
capital en S/.30; entonces:
a) Perdió en el tercer juego.
b) Ganó los tres juegos.
c) Ganó solo el primer juego.
d) Ganó el primer y tercer juego.
e) Perdió el primer juego.
25. Cada año se planta 25 bulbos de
gladiolos, de ellos de 20 a 22 producen
flores cada año. ¿Cuál es el porcentaje
máximo de flores producidas en un año
cualquiera?.
a) 12% b) 20%
c) 22% d) 80%
e) 88%
26. Las áreas de dos cuadrados suman 2696
y el producto de sus diagonales es 1400.
¿En cuánto excede el lado del cuadrado
más grande al lado del cuadrado más
pequeño?.
a) 18 b) 36
c) 54 d) 60
e) 72
27. Un carpintero construye un mínimo de “t”
mesas. En “d” días ha construido “m” mesas
más que el mínimo. ¿Cuál es el número
promedio de mesas que construyó cada día?

14. a)
d
m
b)
d
c
c)
d
tm +
d)
d
mt −
e)
d
tm −
28. Un barbero puede cortar el cabello a “x”
personas en una hora, y puede afeitar a
“y” personas en una hora si todos sus
clientes desean ambos servicios. ¿A
cuántos clientes puede atender en una
hora?
a)
)yx(
3
+
b)
yx
xy2
+
c)
2
)yx( +
d)
xy
)yx( +
e)
)yx(
xy
+
29. Pedro y Pablo con sus hijos Tom y Dick
compran libros y cuando han terminado se
comprueba que cada uno ha pagado por cada
uno de sus libros un número de soles igual al
número de libros que ha comprado. Cada
familia ha gastado S/.65,00. Pedro compró un
libro más que Tom, y Dick ha comprado un
solo libro. ¿Quién es el padre de Dick y
cuántos libros compró Tom?
a) Pedro, 6 b) Pablo, 7
c) Pedro, 7 d) Pablo, 6
e) Pedro, 5
30. La vida de una máquina se estima en 7 años y
8 meses. ¿A qué tanto por ciento anual se
considera la amortización?.
a) 11,05% b) 13,04%
c) 12,10% d) 15,20%
e) 5%
31. Un comerciante compra un artículo en
S/.2000. ¿Qué precio deberá fijar para la
venta, de tal manera que al hacer un
descuento del 20% aún así tiene una
utilidad del 25% del precio de costo?
a) S/.3125 b) S/. 3625
c) S/.2549 d) S/.3025
e) S/.3250
32. 40 litros de agua de mar contienen 3,5
Kg. de sal. ¿Qué cantidad de agua se
debe evaporar para que 20 litros de la
nueva solución contenga 3 Kg. De sal?
a) 15 1/2 litros
b) 12 1/3 litros
c) 16 2/3 litros
d) 70/3 litros
e) 23 1/3 litros
33. Para tres números pares se cumple que:
- Su P.A. es 14
- Su P.G. es igual a uno de los tres
números.
- Su P.H. es 72/7
Calcular el mayor de dichos números.
a) 18 b) 20 c) 24
d) 30 e) 32
34. En una caja hay 80 lapiceros entre rojos,
azules y negro el número de lapiceros
de cada color es respectivamente
proporcional a los números 1; 2; 5.
¿Cuántos lapiceros negros hay?.
a) 10 b) 20 c) 50
d) 15 e) 25
35. Un Club tiene 17 miembros, de los cuales
8 son mujeres, ¿cuántas Juntas
Directivas, de tres miembros: Presidente,
vicepresidente y Vocal, pueden
formarse? Sabemos que el Presidente
debe ser un hombre y la Vicepresidenta
una mujer.
a) 540 b) 1080 c) 720
d) 1054 e) 504

15. 36. En la figura ABCD es un paralelogramo
de área “S”, siendo “M” y “N” puntos
medios, hallar el área del triángulo
sombreado.
a) S/. 8 b) S/.16
c) S/.12 c) S/.32 e) S/.10
37. Dados las siguientes fracciones:
I. 5/6 : Impropia
II. 5/18 : Periódica Mixta
III. 2/3 : Propia
IV. 2/6 : Periódica pura.
Son verdaderas:
a) Solo II b) II, III y IV
c) II y III d) II y IV
e) Todas
38. Se tiene dos cajas, en una hay 8 dados
negros y 8 dados blancos y en la otra
hay 8 bolas blancas y 8 bolas negras.
¿Cuál es el menor número de objetivos
que se deben sacar de ambas cajas para
que se deben sacar de ambas cajas para
tener necesariamente entre ellos un par
de dados y un par de bolas, todos del
mismo color?.
a) 6 b) 8 c) 13
d) 9 e) 15
39. Si de un depósito, que está lleno 1/3 de
lo que no está lleno, se vacía una
cantidad igual a 1/8 de lo que no se
vacía; ¿Qué parte del volumen del
depósito quedará con líquido?.
a) 5/32 b) 1/4 c) 2/9
d)5/14 e) 4/9
40. En un grupo de 125 chinitos; el doble de
los que comen arroz con sal solamente,
comen arroz sin sal solamente y hay
tantos chinos que comen arroz con sal y
sin sal a la vez como los que comen
arroz sin sal solamente. ¿Cuántos comen
arroz con sal?.
a) 5 b) 75 c) 100
d) 25 e) 50
1. Cuántos números de 6 cifras no repetidas
pueden formarse con las cifras: 1; 2; 3; 4; 5;
6?
Rpta.:
2. Tenemos 5 objetos de diferente color cada
uno. ¿Cuántas permutaciones puedo lograr
con ellos?
Rpta.:
3. 4 personas entran en un vagón de
ferrocarril en el que hay 7 asientos. De
cuantas maneras diferentes pueden
sentarse.
Rpta.:
4. Simplificar:
( ) ( )
( ) !m!nx
!1m!1mx
−
+−−
Rpta.:
5. Hallar “P” en: ( )[ ]!11!1P ++=
Rpta.:
6. Hallar “x” si:
x
6
x
5 c2c3 =
Rpta.:
7. ¿De cuantas formas podemos distribuir 4
caramelos idénticos entre 3 niños?
Rpta.:
8. Un vendedor tiene que visitar las ciudades
A, B y C. ¿De cuantas maneras podrá
programar su itinerario de viaje?
Rpta.:
9. ¿De cuantas formas distintas se pueden
ordenar las letras de la palabra ARMO?

16. Rpta.:
10. Con las cifras: 2; 4; 5; 7; 9 ¿Cuántos
número de 3 cifras se pueden formar?
Rpta.:
11. Hallar el valor de:
x
3V si:
x
6
x
5 C2C3 =
Rpta.:
12. Simplificar:
!33!23
!24!32
E =
Rpta.:
13. Simplificar:
( )
( ) ( )!1m!3m
!2m!n
+−
−
Rpta.:
14. ¿De cuantas maneras diferentes podrá
ubicarse en la fila, Renato, Adriana y
Sheyla?
Rpta.:
15. ¿De cuantas maneras pueden formar 5
soldados en una fila?
Rpta.:
16. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se
pueden determinar con las cifras: 8; 5;
1; 3?
Rpta.:
17. en una reunión hay 30 personas. ¿Cuántos
apretones de mano se producirán al darse
todos ellos entre si?
Rpta.:
18. ¿De cuantas maneras distintas, se pueden
sentar 5 personas alrededor de una mesa
circular?
Rpta.:
19. ¿De cuantas maneras diferentes podemos
ordenar en un estante dos libros e
matemática y 3 de Ciencias Sociales de tal
manera que los de Matemática estén
siempre juntos?
Rpta.:
20. Rita tiene 7 blusas de diferente color; si va a
realizar un viaje y solo puede llevar en su
equipaje 4 blusas, ¿De cuantas maneras
podrá escoger dichas blusas?
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Tenemos 5 objetos de diferente color cada
uno. ¿Cuántas combinaciones, hay, si lo
tomamos de 3 en 3?
a) 12 b) 9
c) 10 d) 15
e) 16
2. De cuantas maneras pueden seleccionarse
una consonante y una vocal de las letras de
palabra: cautivo
a) 4 b) 7
c) 15 d) 18
e) N.A.
3. hallar “u” en:
!63!322
!64!31
u
×
=
a) 32 b) 64
c) 1/2 d) 1
e) N.A.
4. ¿Cuántos numerales de tres cifras
diferentes o de 4 cifras diferentes, se
pueden escribir con los dígitos del siguiente
conjunto: A = {1; 3; 5; 7; 9}?

17. a) 180 b) 120
c) 60 d) 140
e) 800
5. ¿De cuantas maneras diferentes pueden
llegar a la meta 3 caballos en una
competencia hípica?
a) 7 b) 9
c) 15 d) 28
e) 13
6. Un club tiene 20 socios. ¿De cuantas maneras
se podrá formar una comisión de 3 miembros?
a) 120 b) 1140
c) 600 d) 1800
e) N.A.
7. Simplificar:
!84!368687!17
!15!43!87!35
E
××××
××××
=
a)
16
5
b)
8
5
c)
16
10
d)
36
5
e)
8
10
8. Calcular el número de combinaciones que
pueden obtener si se tiene 6 elementos, al
tomárselas de 3 en 3.
a) 10 b) 15
c) 20 d) 25
e) 18
9. ¿Cuántos cables de conexión son
necesarios para que puedan comunicarse
directamente dos oficinas, cualesquiera de
las 7 que hay en un edificio?
a) 7 b) 9
c) 21 d) 35
e) N.A.
10. Tenemos la palabra SARGENTO.
¿Cuántas palabras podrán formarse, de tal
manera que las consonantes ocupen sus
mismos lugares?
a) 144 b) 720
c) 620 d) 185
e) Ninguna
11. Hallar: “x + m” si: 210V 2m
3 =−
; además:
45Cx
8 =
a) 19 b) 10
c) 9 d) 1
e) N.A.
12. Hallar:
R
2V , si:
11
225
C
C
24
4R2
28
R2
=
−
a) 14 b) 24
c) 42 d) 56
e) N.A.
13. Con 6 pasos diferentes de 1, 2, 5, 10, 20 y
50 Kg. ¿Cuántas pesadas diferentes
pueden obtenerse, tomando aquellas de 3
en 3?
a) 5 b) 1
c) 25 d) 15
e) 20
14. Hallar “n” en: 336Vn
2 = .
a) 4 b) 10
c) 6 d) 8
e) 5
15. Hallar “n” en:
5
3
C
C
n
3
n
2
=
a) 3 b) 7
c) 9 d) 1
e) 6
TEMA: PROBALIDADES
Al lanzar una moneda existe la posibilidad de
obtener una cara o un sello. So yo quisiera que
la moneda muestre cara, habría una posibilidad
entre dos que ocurra. Decimos entonces que la
probabilidad de obtener cara al lanzar una
moneda es ½.
Si lanzamos un dado hay seis resultados
posibles, cualesquiera de los seis número
podría verse. Si quisiéramos que salga un

18. número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de
un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 y 6) que se pueden
obtener. La probabilidad de obtener un número
par en el lanzamiento de un dado será:
2
1
6
3
=
Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una,
la probabilidad de que esta sea de diamante
será:
( )
4
1
)cartasdetotal(52
diamantesdecartasdetotal13
P ==
Si en un salón de clases hay 20 alumnos
varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad
que al salid un alumno del aula, este sea
mujer?
( )
)alumnosdetotal(50
mujeresdetotal30
P =
Recordemos:
Probabilidad: Definición clásica
La probabilidad de ocurrencias es la razón entre
el número de casos favorables y el número de
casos posibles.
posibleseventosden
favorableseventosden
P
°
°
=
Donde: 0 ≤ P ≤ 1
La probabilidad de un evento cualquiera está
comprendido entre 0 y 1; en el caso que sea 0:
(cero), es un evento imposible; en el caso de
que sea 1, el evento es seguro.
Es importante aclarar que esta manera de
definir la probabilidad se basa en el supuesto
que todos los resultados posibles son
igualmente probables, es decir que tienen la
misma posibilidad de salir. No ocurre así si es
que la moneda esta acuñada de tal forma que
es mas pesada hacia un lado, o si el lado esta
cargado o las cartas están marcadas.
Debemos recordar que:
El espacio muestral es el conjunto de todos los
casos posibles asociados a un experimento.
Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio
muestral (Ω) seria conjunto de dos elementos:
Ω = {cara; sello}
Si se lanza un dado, el espacio muestral
asociado a este experimento seria:
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
EVENTOS INDEPENDIENTES
Como su nombre lo indica son eventos que no
dependen entre sí para su ocurrencia; por
ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez
el resultado del lanzamiento de la primera no
afecta en el resultado de ésta.
¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos
en el lanzamiento de una moneda dos veces?
En el primer lanzamiento la probabilidad de
obtener un sello es ½, lo representamos así:
P (s1) =
2
1
En el segundo lanzamiento la probabilidad de
obtener un sello, dado que en el lanzamiento
anterior se obtuvo sello es:
P (s2) =
2
1
Luego la probabilidad que ocurran ambos será:
P (s1 ∩ s2) = P (s1) x P (s2) (sucesos
independientes)
= 1/4
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea.
Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de
obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de
dos monedas?
Definimos:
C1 : Obtener cara en el primer
lanzamiento
C2 : Obtener cara en el segundo
lanzamiento
S1 : Obtener sello en el primer
lanzamiento
S2 : Obtener sello en el segundo
lanzamiento
A = C1 ∩ C2; B = S1 ∩ S2
P (C1 ∩ C2) = P (C1) x P (C2) =
4
1
2
1
2
1
=×

19. P (S1 ∩ S2) = P (S1) x P (S2) =
4
1
2
1
2
1
=×
Luego:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) =
2
1
4
1
4
1
=+
Por que A y B son excluyentes dado que no
pueden salir dos caras y dos sellos al mismo
tiempo lanzando una moneda dos veces.
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. ¿Cuál es la probabilidad de que al ver el
reloj sea más de las 12 meridiano?
Rpta.:
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos
sellos en el lanzamiento de 3 monedas?
Rpta.:
3. en un salón de clases hay 35 alumnos, de
los cual, 20 son limeños; ¿Cuál es la
probabilidad que al elegir uno al azar
resulte no limeño?
Rpta.:
4. En una caja se tienen 12 bolas negras y 18
azules; ¿Cuál es la probabilidad que al
extraer una al azar, resulte azul?
Rpta.:
5. ¿Cuál es la probabilidad de que, de una
baraja de cartas, al extraer una de ellas se
obtenga un As?
Rpta.:
6. Las caras de un lápiz hexagonal se
numeran del 1 al 6; ¿Cuál es la
probabilidad que al hacerlo rodar se
obtenga un número no menor que 3?
Rpta.:
7. Considerando a una gestante al azar,
¿Cuál es la probabilidad de que nazca
varón y mediante cesárea?
Rpta.:
8. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un
dado al aire, resulte un número par?
Rpta.:
9. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una
carta de espadas de una baraja?
Rpta.:
10. En un bingo, un jugador está esperando se
“cante” una bola, y de los 40 números ya se
anunciaron 30, ¿Cuál será la probabilidad
que se cante dicha bola?
Rpta.:
11. si a través de la ventana se observa el paso
de las personas (dama o varón); que
probabilidad hay que pase una dama.
Rpta.:
12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al
sumar los puntos de las caras superiores
de lanzar 2 dados?
Rpta.:
13. En una urna hay 8 bolas, 3 de color rojo y 5
de color blanco. Se extraen dos al mismo
tiempo; ¿Cuál es la probabilidad de que
haya una de cada color?
Rpta.:
14. En una determinada ciudad, de cada 69132
bebes nacidos normalmente, 49380 son de
sexo masculino; ¿Cuál es la probabilidad
que el próximo bebe a nacer normalmente,
sea niña?
Rpta.:
15. Una tienda vende únicamente 4 bebidas,
¿Cuál es la probabilidad que el próximo
cobrador elija unan de estas 4 bebidas?
Rpta.:
16. Cuál es la probabilidad que al lanzar una
moneda al aire, se obtenga cara.
Rpta.:
17. En una reunión social se cuentan 250
caballeros y 300 damas; ¿Cuál es la
probabilidad que la primera persona que se
retire sea dama?
Rpta.:
18. Se lanzan 2 dados, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener a lo más 10 al
multiplicar los puntos de las caras
superiores?
Rpta.:
19. Indicar la probabilidad de extraer una carta
menor que 7 de una baraja.
Rpta.:
20. el Instituto Nacional de Estadística e
Informática informo que de 4815 jóvenes de
21 años, fallecen a los 25 años 963 de
ellos. Calcular la probabilidad que un joven
de 21 años, siga vivo luego de los 25 años.
Rpta.:

20. PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Se lanzan dos dados. Indicar la
probabilidad de obtener por lo menos 10 en
la suma de los puntos de las caras
superiores
a) 1/6 b) 1/2
c) 1/4 d) 1/9
e) 1/12
2. Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras
en el lanzamiento de dos monedas.
a) 1/2 b) 3/4
c) 1/4 d) 1/8
e) 1/3
3. Se lanza un dado y una moneda, calcular la
probabilidad que resulte cara y el número 6.
a) 1/9 b) 2/11
c) 1/12 d) 1/3
e) 1/6
4. En el clásico juego de “kachito” (5 dados);
¿Cuál es la probabilidad que resulten 5 ases?
a) 1/9 b) 1/4
c) 1/6 d) 1/7776
e) 1/30
5. Se lanzan al aire un dado común y uno
tetraédrico; ¿Cuál es la probabilidad de
obtener una suma mayor que 7?
a) 1/4 b) 1/24 c) 7/2
d) 5/24 e) 9/24
6. Se tiene un dado tetraédrico y otro en forma
de octaedro (ambos con sus caras
numeradas a partir del 1). ¿Cuál es la
probabilidad que la suma de las caras
inferiores sea un cuadrado perfecto?
a) 1/32 b) 5/32 c) 9/32
d) 7/32 e) 11/32
7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 al
extraer una carta de una baraja completa?
a) 1/10 b) 1/11
c) 1/12 d) 1/13
e) 1/14
8. Se lanzan al aire 2 dados, ¿Cuál es la
probabilidad que la diferencia de los puntos
sea menor que 3?
a) 2/3 b) 1/3
c) 3/10 d) 25/26
e) N.A.
9. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la
probabilidad que salga un cinco y luego un
3?
a) 5/36 b) 1/36
c) 5/6 d) 1/6
e) 11/36
10. En una fiesta, por cada 3 varones, había 2
mujeres. A la media noche se retira una
persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea
una mujer?
a) 2/3 b) 1/2
c) 1/3 d) 3/5
e) 2/5
11. Se lanzan dos monedas al aire. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener 2 sellos?
a) 1/4 b) 1/6
c) 1/3 d) 1/2
e) 1/9
12. se lanzan 2 dados al aire. ¿Cuál es la
probabilidad que la suma de los puntos sea
un múltiplo de 3?
a) 1/2 b) 1/3
c) 1/4 d) 1/5
e) 1/6
13. Se lanza una moneda al aire y un dado.
¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en
la moneda y un número par de puntos en
el dado?
a) 1/2 b) 1/3
c) 1/4 d) 1/5
e) 1/6
14. Se lanzan dos dados al aire ¿Cuál es la
probabilidad que resulten dos números
iguales?
a) 1/36 b) 1/38
c) 1/9 d) 1/6
e) 1/4
15. Se tiene 3 dados tetraédricos cuyas caras
están numeradas del 1 al 4; ¿Cuál es la
probabilidad que resultan tres unos?
a) 1/64 b) 1/12
c) 1/4 d) 1/9
e) 1/20