Análisis Numéricos

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Cabudare
Nombre y Apellido: Orlando Pineda.
Cedula de Identidad: 18.735.172.
Materia: Análisis Numéricos.

2. El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos.
De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y
crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén
involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última
instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples. Desde esta
perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo
todos los procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su
simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

3. Métodos Numéricos e importancia
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.
El análisis numérico trata de diseñar métodos para “ aproximar” de una manera eficiente
las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis
numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las
operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones
algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos
en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices
Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas
como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica,
Ingeniería eléctrica, etc.

4. Números de Máquina Decimales
Definición de Número Máquina "Es un sistema numérico que consta de dos dígitos:
Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación máquina" o "representación
binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación
requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.
Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de las computadoras
digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica
abierta/cerrada.
Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2
d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes descrito, se indica
que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £
76.

5. Errores absolutos y relativos
Error absoluto Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto.
Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta
sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Error relativo Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se
multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto
puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o
por defecto. no tiene unidades.
Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes:
•Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental.
•Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los
resultados.
•El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor
tomado como exacto (la media aritmética).
•El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor
tomado como exacto (la media aritmética).

6. Cota de errores absolutos y relativos
 Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
Ea ≤ ϵ
En una aproximación cualquiera, una cota de error absoluto es una unidad del orden n de la
última cifra significativa:
ϵ = 1/10n
 Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo=cota del error absoluto / valor real.

7. Fuentes básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos:
Error de truncamiento y error de redondeo.
El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se
representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es
necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las
sumas y restas dentro de una PC).
El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula
matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para
obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento).
Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito
por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

8. Redondeo y truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los
cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente:
errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento
matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente
números exactos.
En cualquier caso, la relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por:
Valor verdadero = valor aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está
dado por: Ev = valor verdadero - valor aproximado. Donde Ev significa el valor exacto del
error. La deficiencia del truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos
términos en la representación decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar
o truncar; por lo tanto el redondeo produce un error bajo en comparación con el
truncamiento o cortado. Para que obtengas información, esta es la conexión: Aritmética de
Punto Flotante

9. Redondeo y truncamiento
Error De Redondeo
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema
numérico de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra
finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más cercano. Esto
significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo
número en el sistema numérico de punto flotante.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para que resulte un
número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
El último método comúnmente se designa por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se
agrega uno (1) a d k para obtener a fl; esto es,redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5,
simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo

10. Redondeo y truncamiento
Error De Truncamiento
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se
representará por fl , se obtiene terminando la mantisa de y en k cifras decimales. Existen
dos formas de llevar a cabo la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos
dk+1, dk+2, . . . para obtener
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos
se detiene en un número finito de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar
sumas finitas o truncadas para aproximar la suma de una serie infinita. El
error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende directamente del
sistema numérico que se emplee.

11. Errores de suma y resta
Errores De Una Suma Y Una Resta
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la máquina,
queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso. El análisis que
presentamos generaliza al problema del cálculo de productos interiores.
En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros
especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman
bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión
adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al
restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy
pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco
relevantes.