Este documento presenta una introducción al análisis numérico y al manejo de errores. Explica conceptos clave como métodos numéricos, números de máquina, errores absolutos y relativos, fuentes de errores como el redondeo y truncamiento, y la importancia de la estabilidad y el condicionamiento de los problemas. Define cada tema y proporciona ejemplos para ilustrarlos.

1. Introducción al Calculo Numérico y
Manejo de Errores
Alumna: María José Tovar Izarza
CI: 26.142.415
Sección: SAIA-A
Profesor: Domingo Méndez
Universidad Fermín Toro
Vicerrectorado Académico
Sistema de Aprendizaje Interactivo a Distancia
Cabudare

2. Análisis Numérico
Definición
El Análisis o Calculo Numérico es la técnica mediante las cual es posible formular problemas de tal forma que puedan
resolverse usando operaciones aritméticas, es por ello que la computación es una herramienta que nos facilita el uso
y desarrollo de ellos.
Importancia
Los métodos numéricos son una opción importante que ayuda a enfrentar y resolver los problemas del
mundo real. Estos métodos son técnicas que permiten resolver problemas utilizando simples operaciones
aritméticas (+, -, * y /) por medio de su principal herramienta: el computador digital. Se caracterizan por la
cantidad de cálculos repetitivos que deben realizarse para finalmente converger a una solución lo
suficientemente aproximada "o cercana" del problema; por esta razón, es fundamental conocer las
ventajas y limitaciones, de los diferentes métodos, en relación a temas como error, exactitud, precisión,
estabilidad, a fin de utilizar el método más apropiado en cada situación particular.
El desarrollo que ha tenido en los últimos años el computador digital, ha influido de manera significativa
no solo en la evolución y perfeccionamiento de estos métodos, sino además, en la elaboración y solución
de modelos cada vez más complejos, los cuales permiten responder satisfactoriamente a preguntas
relacionadas con temas como seguridad, salud, medio ambiente, desarrollo
y crecimiento social entre otros.

3. Métodos Numéricos
Definición
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean
resueltos con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos, todos comparten una característica
común, llevan a cabo un buen número de cálculos aritméticos y emiten soluciones aproximadas
Importancia
La importancia de los métodos numéricos no radica en buscar la solución exacta de un problema, sino la
aproximada pero con la precisión requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a
cero, de ahí la utilidad de los métodos numéricos.
Importa también el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el
enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios
computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que
ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos.
Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida.
Por otro lado, para poder elaborar un buen programa de computación, aparte de manejar un lenguaje
determinado, debemos saber realizar el proceso «a mano», ya que esto nos permitirá implementar un
mejor programa que contemple todas las posibles piedras en el camino

4. Números de Máquinas
Definición
Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término "representación
máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación
requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho
de que la unidad lógica primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una
conexión eléctrica abierta/cerrada.
Ejemplo
Para representar un número en binario se descompone el número en potencias de 2 y sólo se escribe
utilizando los dígitos 0 y 1

5. Número Máquina Decimal
Definición
"Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£
dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k";
De lo antes descrito, se indica que las maxicomputadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £
76.
Ejemplos
Existen varios métodos de conversión de números decimales a binarios; aquí solo se analizará uno.
Naturalmente es mucho mas fácil una conversión con una calculadora científica, pero no siempre se cuenta
con ella, así que es conveniente conocer por lo menos una forma manual para hacerlo. El método que se
explicará utiliza la división sucesiva entre dos, guardando el residuo como dígito binario y el resultado
como la siguiente cantidad a dividir.
Tomemos como ejemplo el número 43 decimal 43/2 = 21 y su residuo es 1
21/2 = 10 y su residuo es 1
10/2 = 5 y su residuo es 0
5/2 = 2 y su residuo es 1
2/2 = 1 y su residuo es 0
1/2 = 0 y su residuo es 1
Armando el número de abajo hacia arriba tenemos que el resultado en binario es 101011

6. Errores absolutos y relativos
Error Absoluto (EA)
Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o
negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las
mismas que las de la medida.
Formula
𝐸𝐴 = 𝑉𝑟 − 𝑉𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑥
Error relativo(Er)
Formula
Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de
error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser
por exceso o por defecto. no tiene unidades.
𝐸𝑟 =
𝐸𝐴
𝑉𝑟
𝑥100%

7. Ejemplos de Errores absolutos y relativos
Ejemplo
Queremos determinar la distancia que hay entre dos columnas, con una cinta métrica que aprecia milímetros.
Realizamos cinco medidas y obtenemos los siguientes valores:
80,3 cm; 79,4 cm; 80,2 cm; 79,7 cm; y 80,0 cm.
¿Cuál es el resultado de ésta medida? ¿Cuál es el error absoluto y relativo de ésta medida?
Solución
(80.3+79.4+80.2+79.7+80)/5=79.9
Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas Errores absolutos Errores relativos
80.3 cm 80.3 – 79.9 = 0.4 cm 0.4/79.9x100=0.5%
79.4 cm 79.4 – 79.9 = -0.5 cm -0.5/79.9x100=-0.63%
80.2 cm 80.2 – 79.9 = 0.3 cm 0.3/79.9x100=0.37%
79.7 cm 79.7 – 79.9 = -0.2 cm -0.2/79.9x100=-0.25%
80.0 cm 80.0 – 79.9 = 0.1 cm 0.1/79.9x100=0.13%

8. Cota de errores absolutos y relativos
Cotas de error:
1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real
Ejemplos
Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes
aproximaciones:
Radio de la Tierra 6400 km
|Error absoluto| < 50 km
error relativo <50km/6400km = 0.00781
Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia de 0.007 segundos
|Error absoluto| < 0.0005 segundos
error relativo <0.0005 segundos/0.007 segundos= 0.0714 segundos

9. Fuentes básicas de Errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos
Error de Redondeo:
El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto flotante, el cual a su
vez se debe a su longitud de palabra finita. Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más
cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo local están representados por un solo número en el
sistema numérico de punto flotante.
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a yy después truncar para que resulte un número de la forma
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d k para obtener a fl ; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 < 5,
simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se redondea así hacia abajo
Ejemplo
Encontrar el error de redondeo de los siguientes números
Número Orden de aproximación Error de Redondeo
0.9876 Décimas 1
76.5432 Centésimas 76.54

10. Fuentes básicas de Errores
Error de Truncamiento:
"Cualquier número real positivo y puede ser normalizado a:
y= 0, d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto flotante de y, que se representará por fl , se
obtiene terminando la mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo la terminación. Un
método es simplemente truncar los dígitos dk+1,dk+2, . . . para obtener
fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.
Este método es bastante preciso y se llama truncar el número.
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito
de pasos. Generalmente se refiere al error involucrado al usar sumas finitas o truncadas para aproximar la suma
de una serie infinita. El error de truncamiento, a diferencia del error de redondeo no depende directamente del
sistema numérico que se emplee.
Ejemplo
Encontrar el error de redondeo de los siguientes números
Número Orden de aproximación Error de Truncamiento
0.9876 Décimas 0.9
76.5432 Centésimas 76.54

11. Estabilidad e Inestabilidad
Definición
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede
decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan
considerablemente por el método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se
producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del cálculo
en su conjunto.
El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse con base en los errores relativos, es decir
investigar la inestabilidad o mal condicionamiento, lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la
entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una
fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se realicen los cálculos.

12. Condicionamiento
Definición
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para indicar cuan sensible es la solución de un
problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si
pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas.
Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de condición: "Un número condicionado puede definirse
como la razón de los errores relativos". Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal
condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un número de condición, es decir para la
evaluación de una función se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se
establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la
incertidumbre aumenta.