Ejercicio 4C1 capitulo 4 Estática Beer Johnston. El trabajo fue realizado en primera instancia con la resolución del ejercicio manualmente mediante distintas ecuaciones tales como sumatoria de momento y reacciones, que al final nos ayudaron con la obtención de la una fórmula en función a la incógnita que el ejercicio requería. Se emplea un software de programación matemático en el cual obtenemos las gráficas y los datos del sistema, el software empleado para la obtención de resultados fue Mathlab 2015, este en conjunto nos facilitó la resolución del ejercicio cumpliendo con todos los parámetros que él mismo requería. Las gráficas obtenidas son de la constante de elasticidad en función de varios parámetros como: ángulo θ, peso de la barra w, longitud de la barra. Se comparan las gráficas obtenidas de la constante de elasticidad llegando a tener q el paso de la barra mantiene a la constante de elasticidad dentro del su rango entre 0 y 1.

1. E-mail:Xavier.gonzalezc@ucuenca.ec 1
Análisis del coeficiente de elasticidad del resorte en un sistema de barra1
Oscar X. González, Willam A. Salinas, Juan J. Hidalgo, Christian X. Mora2
Estática I, Universidad de Cuenca, Ec.3
Resumen4
El trabajo fue realizado en primera instancia con la resolución del ejercicio manualmente mediante5
distintas ecuaciones tales como sumatoria de momento y reacciones, que al final nos ayudaron con la6
obtención de la una fórmula en función a la incógnita que el ejercicio requería.7
Se emplea un software de programación matemático en el cual obtenemos las gráficas y los datos del8
sistema, el software empleado para la obtención de resultados fue Mathlab 2015, este en conjunto nos9
facilitó la resolución del ejercicio cumpliendo con todos los parámetros que él mismo requería.10
Las gráficas obtenidas son de la constante de elasticidad en función de varios parámetros como:11
ángulo θ, peso de la barra w, longitud de la barra. Se comparan las gráficas obtenidas de la constante12
de elasticidad llegando a tener q el paso de la barra mantiene a la constante de elasticidad dentro del13
su rango entre 0 y 1.14
15
Palabras clave: Resorte, Elasticidad, Momento, Fuerza, Peso16
17
Abstract18
The work was carried out in the first instance with the resolution of the law of free time, in which19
cases were included as summation of moment and reactions, which in the end helps with obtaining the20
formula based on the unknown that the exercise required.21
We used a software of mathematical programming in which we obtain the graphs and the data of the22
system, the software used to obtain results was Mathlab 2015, this together facilitated the resolution23
of the exercise fulfilling all the parameters that he himself required.24
The graphs are the constant of elasticity in function of several parameters like: angle θ, weight of the25
bar w, length of the bar. The graphical characteristics of the elasticity constant are compared to having26
the passage of the bar maintains the elasticity within the range between 0 and 1.27
28
Keywords: Spring, Elasticity, Moment, Strength, Weight29
30

2. 2
1. Introducción31
En esta investigación se estudiará el comportamiento de la constante elasticidad de un resorte en32
función de varios parámetros, el resorte se encuentra dentro de un sistema de polea y barra,33
despreciando el rozamiento en la polea, el peso y el rozamiento de los bloques implicados. Para ello34
es necesario conocer y hacer y uso de los siguientes conceptos.35
La estática es el estudio de los cuerpos que están en reposo o se mueven con velocidad constante.36
En un sistema de equilibrio, cuando actúa una fuerza externa, cambia el comportamiento de las37
tensiones que soportan el mismo. Este comportamiento es estudiado mediante las gráficas que las38
ecuaciones de equilibrio nos proporcionan.39
Para la resolución de los siguientes problemas es necesario saber que un vector se define como una40
expresión matemática que posee magnitud, dirección y sentido, los cuales se suman de acuerdo con la41
ley del paralelogramo. (Beer, Johnston & Eisenberg, 2007).42
Un resorte es una pieza elástica dispuesta en espiral, generalmente de metal, que se usa en ciertos43
mecanismos por la fuerza que desarrolla al recobrar su posición natural después de haber sido44
deformada, se puede determinar dicha deformación haciendo uso de la siguiente formula.45
𝑭 = 𝒌 · 𝒙 = 𝒌 · (𝒍 − 𝒍𝟎) Eq. 146
La constante k es la constante elástica del resorte, medida en N/m. La Ley de Hooke se cumplirá47
siempre que no se sobrepase un determinado valor de fuerza aplicada o de deformación, llamado48
límite elástico, sobrepasado el cual el resorte no recupera su forma original.49
Russel C. Hibbeler define a la fuerza como un “empujón” o un “jalón” ejercido por un cuerpo sobre50
otro. Esta interacción puede ocurrir cuando hay un contacto directo entre los cuerpos, como cuando51
una persona empuja una pared, o bien puede ocurrir a través de una distancia cuando los cuerpos están52
separados físicamente. Entre los ejemplos del último tipo están las fuerzas gravitacionales, eléctricas y53
magnéticas. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por completo por su magnitud, dirección y54
punto de aplicación. (Russel C. Hibbeler, 2004).55
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹𝑛 Eq. 256
Al estudiar un sistema como una partícula no se toma en cuenta el tamaño ni la forma del cuerpo en57
estudio. Se entiende por partícula que es una pequeñísima cantidad de materia que ocupa un punto en58
el espacio.59
Para el análisis del comportamiento de las tensiones se utiliza el concepto de equilibrio de una60
partícula, que nos dice que si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero,61
la partícula se encuentra en equilibrio (Beer, Johnston & Eisenberg, 2007).62

3. 3
𝑹 = ∑ 𝑭 = 0 Eq. 363
Donde 𝑭 se puede descomponer en:64
∑ 𝐹𝑥 = 0 Eq. 465
∑ 𝐹𝑦 = 0 Eq. 566
∑ 𝐹𝑧 = 0 Eq. 667
Un momento o torque se define como la capacidad de giro que tiene una fuerza aplicada sobre un68
objeto, este depende de la distancia d de aplicación de la fuerza con el punto de giro, la magnitud de la69
fuerza aplicada, esta fuerza tiene que ser perpendicular a la distancia.70
El momento se define por la ecuación:71
𝑀 = 𝐹 ∗ 𝑑 Eq. 772
73
2. Materiales y métodos:74
El método que se utiliza para la obtención del comportamiento de las tensiones es el método analítico-75
deductivo, para el cual se procede obteniendo los vectores fuerza que están presentes en el sistema,76
contando estas con las variables en análisis. (Fig. 1)77
El primer paso para la resolución del ejercicio es trazar el diagrama de cuerpo libre (Fig. 2), este se78
analiza los desplazamientos para obtener la deformación s del resorte.79
Obtenemos la fuerza del resorte.80
𝑠 = 𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)[𝑖𝑛] Eq. 881
𝐹 = 𝑘𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) Eq. 982
Realizamos la sumatoria de momentos con respecto al punto A83
∑ 𝑀𝐴 = 0 Eq. 1084
−𝑤 (
𝑙∗𝑐𝑜𝑠𝜃
2
) + 𝐹(𝑙 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃) Eq. 1185
De donde obtenemos la constante de resorte en función del ángulo θ86
𝑘 =
𝑤
2∗𝑙∗(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)∗𝑡𝑔𝜃
Eq. 1287
El software que se utilizó para el análisis de las gráficas es Matlab debido a su precisión al momento88
de presentar las gráficas. De la misma forma su programación nos permite analizar los rangos de89

4. 4
valores requeridos, en este caso las tenciones en función del ángulo 𝜃, al comparó con otros software90
que realizan la misma función y se observó que Matlab obtuvo mejor rendimiento.91
Matlab es uno de los software de mayor uso en el ámbito de análisis para investigaciones científicas,92
por este aspecto es de gran aporte en el desarrollo de la presente investigación.93
94
3. Resultados95
Utilizando el software especializado para programación Matlab se ha podido resolver las96
interrogantes que planteaba el ejercicio.97
Para ello primero se ha ingresado los datos en el software antes mencionado.98
% clear all99
% clc100
%101
% x=10:0.01:90;102
% k=(10)./(80*(1-cosd(x)).*tand(x));103
% plot(x,k,'r');grid on104
% hold on105
% ylabel 'lb/in';106
% xlabel 'grados';107
% a=input('nn INTRODUZCA EL VALOR DE ANGULO (entre 10° y 90°):')108
% x=a;109
% k=(10)/(80*(1-cosd(x))*tand(x))110
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%111
% clear all112
% clc113
%114
% w=0:0.01:10;%valor del peso de la barra entre 0lby10lb115
% k=(w)./(80*(1-cosd(38.87)).*tand(38.87));116
% plot(w,k,'r');grid on117
% hold on118
% ylabel 'lb/in';119
% xlabel 'lb';120
% a=input('nn INTRODUZCA EL VALOR DE W (entre 0lb y 10lb):')121
% w=a;122
% k=(w)/(80*(1-cosd(38.87))*tand(38.87))123
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%124
clear all125
clc126
127
l=0:0.01:40;%valor de la longitud de la barra entre 0in y 40in128
k=(10)./(2*l*(1-cosd(38.87)).*tand(38.87));129
plot(l,k,'r');grid on130
hold on131
ylabel 'lb/in';132
xlabel 'in';133
a=input('nn INTRODUZCA EL VALOR DE l (entre 0in y 40in):')134
l=a;135
k=(10)/(2*l*(1-cosd(38.87))*tand(38.87))136
Se realiza 3 programas independientes para poder obtener las gráficas en análisis, se cambia la137
variable independiente estas son: θ, w, l.138
139

5. 5
3.1 Análisis140
La gráfica (Fig. 3) del coeficiente de elasticidad k en función del ángulo θ, se analiza con los valores141
de w=10lb, l=4in142
Para un coeficiente de elasticidad k=0.7 lb/in, se obtiene un ángulo θ=38.87° (Fig. 3).143
Se puede notar en la gráfica (Fig. 3) existe valores que no corresponden a los valores de k puesto que144
este puede tomar valores entre 0 y 1.145
Se puede apreciar (Tabla 1) (Fig. 3) que para valores de θ≥34.85° los valores de k se mantienen146
menores a 1.147
Se procede a analizar (Fig. 4)la constante de elasticidad del resorte con el ángulo θ=38.87°, l=40 in y148
variamos el valor del peso w de la barra.149
Se puede apreciar que en la gráfica (Fig. 4) (Tabla 2) que el valor de no sobrepasa en la el valor de 1.150
Se pude ver que al variar el peso de la barra la variación del coeficiente de fricción es lineal (Fig. 4).151
Se procede a analizar (Fig. 5) la constante de elasticidad del resorte con el ángulo θ=38.87°, w=10 lb152
y variamos el valor de la longitud l de la barra.153
Se puede notar en la gráfica (Fig. 5) existe valores que no corresponden a los valores de k puesto que154
este puede tomar valores entre 0 y 1.155
Se puede apreciar (Fig.5) (Tabla 3) que para valores de l≤28.01 in, el valor de la constante de156
elasticidad sobrepasa el valor de 1.157
Al analizar las tres graficas podemos decir que los valores de longitud l y ángulo θ, son los que158
influyen de forma crítica en el sistema ya que para esto la contante de elasticidad sobrepasa el valor159
de 1.160
161
4. Discusión162
El obtener las gráficas y los resultados en Matlab nos permite comparar las gráficas de una manera163
más didáctica.164
Los resultados de las gráficas de la constante de elasticidad varia su comportamiento dependiendo de165
la variable a la que este sometida a estudio.166
El primer parámetro, que k está en función de θ se puede ver que los datos validos se encuentran en167
un rango de θ≥34.85° para obtener un valor entre 0 y 1 de k, mientras que el rango a estudiar es de168
15°≤θ≤40°.169

6. 6
El segundo parámetro, que k está en función de w que es el peso de la barra se puede ver que los datos170
validos se encuentran dentro de todo el rango estudio del peso 0 lb≤w≤10 lb.171
El tercer parámetro, que k está en función del que es la longitud de la barra se puede ver que los datos172
validos se encuentran en un rango de l≤28.01 in para obtener un valor entre 0 y 1.173
Al analizar las tres graficas podemos decir que los valores de longitud l y ángulo θ, son los que174
influyen de forma crítica en el sistema ya que para esto la contante de elasticidad sobrepasa el valor175
de 1.176
177
Conclusión:178
- La sumatoria de momentos es el tema que mayormente se aplica al análisis de este problema,179
se obtiene la ecuación de análisis al despejar la variable k.180
- Se presenta la variación de los tres parámetros puesto que se encontró un desfase en los181
rangos de análisis que se tienen al iniciar el problema, ya que en estos rangos se pierde la182
propiedad que el valor de k debe estar entre 0 y 1.183
- Al analizar las tres graficas podemos decir que los valores de longitud l y ángulo θ, son los184
que influyen de forma crítica en el sistema ya que para esto la constante de elasticidad185
sobrepasa el valor de 1.186
- El parámetro w que es el peso de la barra no afecta a la constante de elasticidad en el rango187
que se estudia, este se mantiene entre 0 y 1.188
189
Referencias190
[1] BEER, JOHNSTON & EISENBERG, Mecánica Vectorial para Ingenieros (8 ed.), 2007, 3.191
[2] RUSSEL C. HIBBELER, Ingeniería mecánica estática (12 ed.), 2004, 10.192
[3] Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Section 5.7. Septima edición,193
Brooks/Cole Cengage Learning, 2008. Disponible en194
https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_(mec%C3%A1nica)195
196
Tablas197
θ k
34.86° 1 lb/in
40° 0.63 lb/in

7. 7
45° 0.42 lb/in
50° 0.29 lb/in
60° 0.14 lb/in
65° 0.1 lb/in
Tabla 1 Variación de constante de elasticidad k en función del ángulo θ198
w k
2 lb 0.14 lb/in
4 lb 0.28 lb/in
6 lb 0.42 lb/in
8 lb 0.56 lb/in
10 lb 0.7 lb/in
199
200
201
Tabla 2 Variación de constante de elasticidad k en función del peso w202
l k
28.01 in 1 lb/in
30 in 0.93 lb/in
35 in 0.8 lb/in
38 in 0.73 lb/in
40 in 0.7 lb/in
Tabla 3 Variación de constante de elasticidad k en función de la longitud l203
204
Figuras205
206

8. 8
Fig. 1 Diagrama de sistema en análisis207
208
Fig. 2 Diagrama de cuerpo libre209
210
Fig. 3 Constante de elasticidad k en función del ángulo θ211

9. 9
212
Fig. 4 Constante de elasticidad k en función del peso w213
214
Fig. 5 Constante de elasticidad k en función de la longitud de la barra l215