mant industrial en gestion de mantenimiento con mucha aplicabilidad y muchos conceptos claros sobre los diferentes tipos de mantenimiento en el area industrial apto para estudiantes docentes y personas vinculadas al area de ingenieria

1. 2. MANTENIMIENTO CORRECTIVO
2.1 OBJETIVO DEL MANTENIMIENTO CORRECTIVO
El M.C. es el más antiguo junto con el mantenimiento sistemático; sus ob-
jetivos radican en colocar en marcha un equipo que se ha descompuesto; es
una necesidad latente en el primer instante en el cual los bienes produc-
tivos se inventaron.
El M.C. en los últimos tiempos ha tenido buenos avances gracias a la téc-
nica de investigación de operaciones. Su organización es igual a la téc-
nica de producción bajo pedido.
Para solicitar un servicio de M.C. es necesario que haya sucedido una des_
conpostura en un bien productivo o en uno auxiliar a éste.
Es de notar aquí que tanto para el M.C. como para la otra clase de mante-
nimiento se establecen formatos especiales, estudiados por el departamen-
to de mantenimiento y el de organización y métodos.
2 . 2 DIVISIÓN DEL MANTENIMIENTO CORT^ECTIVO.
El mantenimiento correctivo contempla dos clases de operaciones de mante-
nimiento; M.C. ligero y NLC. a fondo, fuera de decir que el M.C. es un pro
ducto del azar; algunas veces, y de una mala dirección y administración
de los biens productivos.
Dada esta clasificación podemos establecer el siguiente esquema: (Fig. 2.1)
M.C.
M.C.L. -
M.C.F.
t '
Reporte
I t
— • Reparación inmediata
i-ig. ¿ . 1
Si bien es claro que se produce un reporte es también claro que hay que
establecer una clasificación de las averías.
2.3 CLASES DE AVERIAS
Dado que el mantenimiento correctivo se produce por el hecho'de averías
producidas al azar es necesario establecer un tipo de clasificación de las
averías; dicha clasificación ya se vio anteriormente, pero aquí toma gran
importancia en cuento se refiere a la clase del bien pioductivo. No ten-
drá la misma urgencia que aquella avería que pennite seguir funcionando
al equipo aunque no sea en las mejores condiciones que aquella que puede
producir una parada parcial del equipo.
Para la clasificación que se había tratado en el capítulo II tendremos:

2. 24 -
Avería dada en caso de
•• Emergencia
-• Urgencia
-» Período Normal
Ya aquí entran en función las diferentes políticas que establezcan las em
presas, puesto que esta clasificación deberá estar en común acuerdo con
planeación de la producción.
Gran ayuda ofrece para casos como los de interrupción y absolescencia téc
nica de investigación de operaciones que veremos más adelante.
2.4 TEORÍA DE COLAS APLICADA AL MANTENIMIENTO CORRECTIVO
La teoría de colas o fenómenos de espera tienen anplia relación con la pía
neación y la producción.
Toda esta teoría está relacionada en la forma de prestar un servicio, pe-
ro para el caso particular del mantenimiento habrá que pensar la forma de
como y con quien se cuenta para imponer dicho servicio; el tiempo que de-
mora dar un servicio es muy variable.
La teoría de colas o líneas de espera han entrado en campos relacionados
con la administración que se preocupa en la forma de dar un buen servicio
por medio del conocimiento de datos importantes como son: los puntos des-
tinados al servicio, el número de clientes que esperan, etc.
En cuanto al M.C. se refiere se da un número conocido de clientes, bienes
productivos, que tienen una orden de llegada dado en parámetro de llega-
das distinguido por el símbolo X.
Es claro que las entradas pueden ser:
a. Separadas por intervalos de tienpo iguales.
b. Separadas por intervalos de tiempo desiguales pero deteiminados.
c. Separadas por intervalos desiguales, conocidos según alguna probabili-
dad, se dice de dichos intervalos que son aleatorios.
Al mismo tiempo de presentarse un tipo de llegadas cualquiera se presenta
unaraanerade servicio, que se constituye también como otra magnitud muy
a menudo aleatoria, y cuando ocurre su aletoriedad se puede decir que su
ley de probabilidad se presenta bajo la forma de una curva exponencial y
decimos que i indica el número de unidades que son atendidas, respecto al
servicio t^ue puede ser: i) constante, ii) variable pero determinado,
iii) aleatorio; y si consideramos su aleatoricdad podemos decir que la du
ración del servicio tien por ley de probabilidad Pi (0 > 6) = e'^Q ,
pudiendo entonces decir, en forma contraria, que las llegadas se coiistitu
yen según la Ley Poisson.
Dentro del mantenimiento correctivo podemos nosotros suponer un conocimien
to previo, de parte del estudiante, en lo que se refiere a la teoría de

3. - 25 -
colas, pero dicha suposición no quita que se pueda hacer un repaso y ade-
lantarse al conocimiento, luego, de los fenómenos de espera que realmente
se consideran en el M . C , por lo tanto tendremos los puntos siguientes a
tratar, (ver títulos siguientes).
2.4.1 Estructura de un fenómeno de espera
Para que se de una fila de espera es necesario que las entradas y/o
el servicio se produzca a intervalos generales; o puede suceder que
la duración del servicio sea mayor que el intervalo que separa las
llegas, entonces se da una fila, pero este caso no se trata aquí.
Vamos a tener entonces el esquema siguiente, en form.a general:
Fuente
r n
o
o
o
o
o
o
o
0
0
V ,
^
— > '
1 Sisteraa
1 Línea
1 ü O Ü O
1 o o o o
tMl
L ^
l^sl
ÍSJ'J
Fig 2.2
Canajles o
J_ estapiones
que en forraa particular sería, por ejemplo para el caso de una fila
con una estación de servicio.
O O O
Servicio
O O O O O o m Fig. 2.3
Fuente Línea Servicio
Se utilizará la siguiente nomenclatura:
m = número de unidades en el conjunto del fenómeno (puede ser fini-
to) .
n = número de unidades en el sistema (haciendo cola o recibiendo
servicio).
V = número de unidades en la cola.
j = número de unidades recibiendo servicio.
p = número de estaciones desocupadas.
S = número de estaciones.

4. - 26 -
Así entonces tendremos:
que si n = j n .$ S
n = v + j n > S
Tendremos también las cantidades
n, V, j promedios de los anteriores, sabiendo que n, v y j varían
con el tienqío y son aleatorias y varían según la ley de probabili-
dad de que haya n unidades en el sistema.
Por lo anterior para tener n, v, y j tendremos que:
_ ^
n = OpO + Pl + 2p2 + + npni = ^ ^V^
n=0
m infinito o finito.
Para el caso de la línea media de espera y de un número S de esta-
ciones, tendremos
_ ™
V = lPs,i - 2p3^2 (m-S)p^ = E (n-S)p^
n=S+1
y finalmente para obtener p^
S
p = Spo + (S - l)pi + - + pg_., = E (S - n)pj^
n= O
para estas variables existe la relación de que
n = v - t - S - p ^ v - p ^ = n - S
Hay que tener presente la forma que corao se trate el fenómeno, es
decir si es permanente o no.
Para el caso de un régimen permanente la probabilidad P está dada
por:
P = ( - )'^ ( 1 - - )n y y
la cantidad — = il; es llamada factor de utilización. Con este fac
y - -
tor tendremos:
P^ = ^"^ i ^ - i>)
y también se utiliza la fórmula
P„ = li; P„ 1 con P„ = 1 - Ij;
n ^ n - 1 o

5. - 27 -
2.4.2 Línea de Espera con una Estación
Introducción. Se tratará de buscar la distribución de la variable
aleatoria N que representa el número de unidades en el sisteraa.
Tendreraos en cuenta solamente el caso de que sean llegadas que si-
guen la Ley Poisson y los intervalos de tienpo de servicio siguen
la ley exponencial.
Por lo anterior tendremos:
1. Probabilidad de que una unidad llegue al sistema en el interva-
lo At, después de t, es infinitamente pequeña siendo igual a
XAt.
2. Probabilidad que después.de un tiempo t, At, se produzca un ser
vicio es yAt por lo que — es el tiempo medido de servicio.
3. La probabilidad para llegadas dentro de At se desprecia, tiende
a cero.
4. Tendremos que X < y.
2.4.3 Procedimiento (Ecuaciones de nacimiento y muerte)
Las ecuaciones que rigen el fenómeno de espera previamente provie-
nen de las llamadas ecuaciones de nacimiento y muerte, que vendrían
a ser un caso particular en esta ocasión.
Vamos a decir que la P^ (t -^ At) de que haya n unidades en el sis-
tema en el tienpo t + At está dado por la suma de las siguientes
probabilidades independientes:
El producto de las probabilidades de que:
- haya n unidades en el sistema en el tiempo t que es: Pn (t)
- no haya ninguna llegada en el intervalo At: (1 - XAt)
- no haya ningún fin de servicio en el intervalo At: (1 - yAt).
El producto de probabilidad de que:
- haya ( n + 1 ) unidades en el sistema en el tiempo t: P^.-i (t)
- haya una llegada en el intervalo At: (1 - XAt)
- que haya un fin de servicio en At: yAt.
El producto de probabilidad de que:
- haya ( n - 1 ) unidades en el sistema en el tiempo t: Pj^.-j (t)
- haya una llegada en el intervalo At: XAt
- no haya fin de servicio en el intervalo At: (1 - yAt).
El producto de probabilidad de que:
- haya n unidades de t: Pn (t)
- haya una llegada en el intervalo de tien^io At: XAt
- haya un fin de servicio en el intervalo de tienpo At: yAt.
Por lo que tendremos:

6. - 28 -
Pn (t) (1 - XAt} {1 - yAt} = Pn (t) (1 - XAt - yAt) -^ (j)i(At)
Pn+1 (t) Í1 - ^^t} {yAt} = Pn-n (t) yAt + (D2(At)
Pn-1 (t) {XAt} {1 - yAt} = Pn-1 (t) XAt + (S3(At) =
Pn (t) {XAt} {yAt} = <D4 (At)
Sumando estas probabilidades para obtener Pn (t + At), tenemos
Pn (t + At) = Pn (t) 1 - XAt - yAt + Pn-t-1 (t) yAt + *
4
Pn-1 (t) XAt + Z a).(At)
i=1 ^
Pn (t + At) - Pn (t) ._ ,p^_^ ^,3 , ^p^^^ ^,3 . ^, , ^3 .
Pn (t) + AF ^ n CAt)
^^ i=1
Limitando se tiene: i
lijn P a J t _ L | t ] _ L _ P í L Í t i = lisa {XPn-1 (t) + yPn+i (t) - (X-y) Pn(t)!
At -> O At ^ O . i
1 ^
+ lim -T^r I <Di (At)
^ i=1
At ^ O
o sea: j
^ Pn (t) = XPn-1 (t) + yPn+1 (t) - (X - y) Pn (t) con n > 0
Ahora para n = O tendreraos la suma de las probabilidades:
El producto de las probabilidades que: 3
- haya O unidades en el sistema en el instante t: Po (t)
- no haya ninguna unidad en el tiempo At: 1 - XAt.
El producto de las probabilidades que:
- haya una unidad en el tiempo t: Pj (t)
- no haya ninguna unidad en At: 1 - Xt
- haya un servicio en At: yAt.
Tendremos
- Po (t) {1 - XAt}
Pl (t) {1 - XAt} {yAt} = PiyAt + © (At)
Po (t + At) = Po (t) {1 - XAt} + yPi (t) yAt + ® (t)
Limitando tendremos: ' • • i

7. 29 -
lim P (t - At) - P (t) __ ^ ^ ^.^^^^3 , P i ( t ) . ^ ( t )
At ^ O
^ p „ ( t ) = -XPo(t) + yPi(t)
Si Pn (t) = Pn cuando la probabilidad Pn es independiente de t da-
do de un proceso estacionario, o sea para el mínimo jf- F (t) = 0
Por lo tanto:
XPn-1 + ViPn-i-1 - (X + y) Pn = O n> O ; -XPo + yPi = O n = O
a
y si I Pi = 1
i=0
Tendremos:
Po = Po
Pl =f Po
P2 = ^ Pl = C ^ ) ' Po
Pn = ^ Pn-1 = C ^ ) " Po
S Pn = Po Í: ( J - ) ^ = 1
n=0 n=0 ^
a , -|
Ahora sabemos que la suma de Z (-—) = r-
n=0 ^ 1 - -^
y
El lector podrá entender el resultado anterior recordando el curso
de series que usó en cálculo integral.
a
Como Z Pi = 1
i=0
podemos decir que Po r- = 1 -* PQ
1 -
y
es decir si H* = — con X < y
y
Será Po = 1 - I*, y por lo que
Pn= (^)" (1 - V)
= 1 -
_X
y

8. - 30 -
Con "i llamada intensidad de tráfico y que O < Y < 1
Vemos también que si derivamos a Pn tendremos
8Pn _ „.un-1
^ = nf^'' (1 -T) - I»"
3H'
Para un caso de máxima se tiene:
_|Pa= o = nf'^"'' (1 - I-) - 1'^
n¥"'^ (1-Y) = H^
nH'^-'' - n^"" = ^
,j,n ^ ^-1 n
1+n
y = Tj-q:;^ que es el valor que hace máxima a Pn {.^) ó sea:
n sn . n
máx. Pn (T) = i - ^ r (i^)
podemos decir, además, que la mayor probabilidad de encontrar nuni
dades en el sistema es cuando
Y = -t—- y se tiene un valor máxirao en: max. Pn = í—rP) ÍZTTT)
1+n -^ " n+1 ^n+r
Ejenplo:
Encuentre la mejor probabilidad de hallar 7 personas, o unidades,
en el sistema y cuál es su valor máximo correspondiente?
^ = 1T7 = -f = 0-S^^
max. Py (T) = 0.0491 = 4.911
Cálculo de la Probabilidad Acumulada, P (N <: n)
a a
Se sabe que L P = Z r (1 - T)
n=0 Y=0
Entonces para un valor discreto se tendrá
n n
Z Pi = Z Y^ (1 - Y) = 1 - T "
i=0 Y=0

9. - 31
por cálculo tendremos
S = VJ»" + vj(l + 1^/2 +
- YS = - Y^ - Y^
lo que es lo mismo:
1 - Y""^
S = y^ % por
n Y
(1 - Y) Z Y = (1
Y=0
que
lo
-
)
tanto
Y)
j_
1
. - + H'"-'' +
.-. - u / ^ - l .
I
y - '-
i^^ + ^n+l
^n _ ^n+1
y n+1
^ +1
de donde
Pr (N ^ n) = 1 - Y"""^
Pr (N > n) = Y^""^
Es decir, según lo anterior, la probabilidad de que liaya la menos
una unidad en el sisten'ia dará lugar para N > O así:
Pr (N > 0) = Y^"*"^ = Y
queriendo decir ésto que dicha probabilidad es igual a la intensi-
dad de tráfico.
Ejemplo:
Siguiendo con el ejenplo anterior calcule cuál será la probabilidad
de hallar más de 7 unidades en sistema?
Será: Pr (N > 7) = Y""*"^ = (0.875)^ =0.344
2.4.4 Número medio de unidades en el Sistema
Estadísticamente será igual a la esperanza matemática de N, o sea:
oc
n = E (N) = z n Pn así que
n=0
_ a n oc n
n = Z nY (1 - Y) = (1 - Y) Z nY
n=0 n=0
= (1-Y) {Y+ 2Y^ + }
= Y(l - Y) { ^ (1 - Y + Y2+ }
= ^íy^) ^ {Y ^ }

10. 32 -
l ' d - Y) j.^_^3 2 - -^^T^
— Y
de donde n •- 1 - Y
para el mismo ejenplo anterior
- ^ 0.875 _ 7
1 - 0.875 '
Hay que tener cuidado cuando las llegadas son de tipo Poisson y ol
servicio no es tipo exponencial, cuando ésto suceda se deberá utili_
zar la fórmula de Kendall que es:
^ * 2 (1 - Y)
y que tiene su mínimo para ao = O
. . - Y^y sera min n = Y + ^ . .. n^r-
cuando 0^,2 = —2- tendremos:Q y
- ^ ^ 4 / 2 + 4 / 2 2 Y (1 - Y) + 2Y^ »"
n = Y + —^—Tí ;T7— = T—T-t—y2 (1 - Y) 2 (1 - Y) 1 - Y
2.4.5 Número de Unidades en la Línea
Se tiene que:
V = n - 1 para n < O
oc oc
y además v = F (N) = Z rPn = Z (n-1) Pj^
r=1 n=2
<r oc
V = Z nPn - Z Pn
n=2 n=2
Cuadrando las series en límites iguales
_ oc 1 cc 1
V = Z nPn - Z nPn - Z Pn + Í: Pn
n=0 n=0 n=0 n=0
V = ñ - Pl - 1 + Po + Pl
V = ñ + Po - 1
V = y-TY - (1 - Po) = y ^ Y - {1 - (1 - H') } = j ^ - Y

11. 33 -
_ jr _ jí + vj/2
V =
1 - Y • 1 - Y
El lector podrá demostrar fácilmente que:
ñ _ V - _ - y= -^^ n. = V - yu X X
2.4.6 Tiempo de Espera
Se sobreentiende que es más importante el tiempo medio de espera en
la línea ty^, que está regulado por la tasa de llegadas o lo que es
loraismo,es la relación directa de el número promedio de la fila
con la tasa de llegada, por lo tanto:
t - ^
V X •
Análogamente si ts = tienpo en el sistema tendremos:
7" - n
que podrán ser estas dos expresiones.
t
V
ts
El
t
V
oB'
y
= -
= -
ts ,
1
A
1
X
lector
-f
=
ts
1
4,2
1 - Y
Y
1 - Y
podrá demostrar que:
1
y
- y e
y podrá ver
de Kendall
y
tai
si
t
V
Finalmente se puede calcular la probabilidad de que una unidad es-
pere en la línea un tiempo superior a un tiempo W dado, dejamos al
lector que lo haga, para así obtener dicha probabilidad igual a:
t -W (y - X)
P (t > W) = Ye - yY (1 - Y) = - ^ e
Para el caso de no tener que esperar la probabilidad es:
- yY (1 - Y)
1 - P (t > W) = 1 - Ye con W = O
= y - A

12. 34
Es equivalente a decir la probabilidad de no encontrar absolutamen-
te ninguna unidad en el sistema, o sea:
1 - P (N > 0) = 1 - Y
X
2.4.7 Línea de espera con varias estaciones.
Aquí se dan los siguientes estados:
1. Para En (n 4 S) las unidades son atendidas en forma directa, no
esperan.
2. Para En (n > S) habrá una línea de espera con (n - S) unidades.
Además tomamos las mismas suposiciones anteriores y con las ecuacio-
nes de estado:
- ^ Po (t) = - XPo (t) + yPi (t)
d
-3^ Pn (t) = - (X + y) Pn (t) + XPn-1 (t) + ( n + 1 )
yPn+1 (t)
con 1 < n < S
- ^ Pn (t) = - (X + Sy) Pn (t) + XPn-1 (t) Sy Pn-nl (t)
con n ^ S
Que con el artificio de hacer Pn (t) = Pn y de igualar a cero pa-
ra el caso de máxima se convierten en:
XPo = yPi
(X + ny) Pn = XPn-1 + ( n + 1 ) yPn+1 1 < n < S
(X + Sy) Pn = XPn-1 + Sy Pn+1 n > S
Obteniendo así:
mn
Pn = Po - V ; 1 ^ n < S
il •
Y^
Pn = Po g, gn-s ; n > S
Quedando por encontrar a PQ.
"^ "" Pn Y"
Con Z Pn = 1 y si desarrollamos Z Pn = Z —^-r-i—
n=0 n=0 n=0

13. 36 -
S-1 ^ S-1 ^ - 1
n=Q ^ ' n=1 ^^ '-' •
S-1 ^ S ^ - 1
Po S Z ^ n ,„ . t
n=0 " • '^' J , W T ^ P°^ ^ S ^
S-1 ^n S-1 ^n ^S
= Po S Z ^ - PoY Z - ^ +p
n=0 ^ ' n=l ^ ' (^ U .
5-1 w; n ,1^ o
= Po { (S - Y) Z j - r ^ f j t t , }
n=0 " • l^^ 'J .
S-1 ^ n . ^ b
= Po (S - Y) ( J ^ ^ ^ + -^g-nfj (s - 1) : )
>:'-1 vu n m S
p = P» ^s - "^^ ^ Jo i r ^ (1 - Y/s) s: )
P = Po (S - Y) - ^ = S - Y
oc
Ahora la probabilidad P (N > 0) = P (n ^ S) = Z Pn
n=S
a v^n gS Y n Y
" n=S ^ S! Sn-S " ^ "sT ^ ^ "S" -* " ^ S: (1 - Y/S)
y P (t > W) = {e"^^^^ '^^ • "^^^h P (N > 0)
Finalmente:
T V _ Y^
ts — r - - SVsi u (1 - Y/S) "^o
« n S+1
dado que V = J " (n - S) g/gn-S Po = S.S: (^1 - Y/S)^^
2.4.8 Estación Única y un Número limitado de clientes
Introducción. Esto es la parte que se conprende en el mantenimien-
to correctivo, para este caso se tiene un número limitado de bienes
productivos. Sea por ejemplo el caso de un taller de mantenimiento
donde se producen desperfectos en forma aleatoria seguí la ley Poi-
sson con una tasa X para cada una y se reponen por un mecánico, pues
to de sei-vicio, con duración de reparación distribuida según la ley

14. - 37 -
exponencial y con una tasa de servicio y
Sea la Fig 2.4
n unidades en el sistema
> O QO OOOO M.
V unidades en
la fila
I
j unidades
en servicio Fig. 2.4
(m-j) unidades totales
.__^ (•j"o""i7 '
Entonces en el intervalo At, después de t, la probabilidad de quene
cesite una reparación es XAt + (pt que quede XAt si se desprecia la
probabilidad de que lleguen varias en ese mismo intervalo. La pro-
babilidad para que la reparación esté terminada en el intervalo At,
después de estar en reparación en un tiem¡")o t, es yAt (haciendo la
siposición de despreciar la probabilidad que en ese mismo intervalo
se terminen más de una reparación).
Podemos decir que para un bien productivo de buena calidad X es pe-
queña y y relativamente grande, es decir X<«y.
Para este caso, X«<y, los desperfectos son raros y las reparaciones
no son largas. Llamaremos también a X/y = Y factor de servicio o
factor de mantenimiento y en general
.< 1
La gráfica 2.4 se puede decir:
Si 1 ^
b. Si n = O
< ra hay una máquina desconpuesta o que están re-
parando .
todos los bienes productivos están en acción,
o en disponibilidad productiva, y el mecánico
está inactivo.
Se puede tener la probabilidad de que haya n unidades en el sistema
dada las ecuaciones:
m X Po = yPi
{ (m - n) X + y} Pn = (ra - n + 1) XPn-1 + y Pn+1
XPm-1 = yPm
Que es: Pn = (ra - n + 1) Y Pn-1 para O < n < ra

15. 38 -
de donde (por inducción)
mi Y "
Pn = y — r r P para O < n x ra(m-n) ¡ ^ ^
y teniendo
P - - '
1 + Z "*
m -. 4^^
n=1 ^"^-^^'
El número medio de unidades en la línea será:
V = E (n - IJ Pn = m: P. 1 - § y ^ , í" =
n=2 n=2
m - - ^ (1 - Po)
Y el número medio de unidades en el sistema es:
m ra n ^
n = Z nPn = ral Po Z j 0 - ^ - m - - (1 - P»)
n=0 n=0 ^ ^
El valor medio de inactividad es:
_ 1
p = Z (1 - n) Pn = Po
n=0
(1 - 1) Pl + (1 - 0) Po = Po
Puede obtenerse para este caso el número medio de unidades fuera del
sistema
m m m
(m - n) = Z (m - n) Pn = Z mPn - Z nPn = ra - n
n=0 n=0 n=0
Y también dado que
ñ = V + 1 - p = m - -^ (1 - Po)
Y el tiempo medio en el sistema se obtendrá si se nota que, en régi-
men permanente, la tasa media de llegada no es X sino X (m - n) es
decir X (m - ñ) .
De donde v = X (m - n) tV
- m
tv = t c ^ - = ,, -n Z (n-1) Pn
^ • X(m - n) X(m - ñ) n=2

16. 39
J_ r ra 1 + Y
y M - Po " Y
Y, ts = tienpo medio en el sistema será:
ts = n 1 m
y ^ 1 - Po
4-1X(m - n)
2.4.9 Varias estaciones y un número limitado de clientes
CLIENTES
n unidades en el sistema
OOO o o o o
v. unid.
(m-j) unidades
L.
0
0.
o
0
I Fig. 2.5
I
j unidades i
I
Para los mismos casos anteriores en donde:
Si 1 ^ n ^ S hay S - n mecánicos que están desocupados.
(n máquinas están en reparación y ninguna máquina espera ser repara
da).
Y para S < n ^ ra, hay S máquinas en reparación y n - S en espera ob
tenemos entonces:
'n (^ Y " P„ para O ^ n ^ S
Pn =
s: sn-s
C^ Y Pfl para n ^ S ^ ra
m
con Z Pn = 1
n=0
Llamamemos an = -p^ Pn = an PQ 7 tenemos de n = O a n = S-1
Q _ "^ ' n + 1 ^ a n-1 '^on ao=1 y con n=s a n=ra mediante
la fórmula:
a_
m - n + 1
n
Y a n-1

17. - 41
Una mediana industria t i ene 20 máquinas iguales en funciones y cuen
ta en su taller con 4 mecánicos; si la tasa de llegada se distribu"
ye según la ley poisson, tiene un requerimiento de 10 horas por ser^
vicio y la tasa de reparación tiene un tienpo medio de 1 hora y se~
distribuye en forma exponencial. Encuentre: a) la probabilidad de
que haya: O, 1, 2, 3, 4, 5raáquinasen el sistema, b) el promedio
deraáquinasen la cola, c) el número de mecánicos desocui:)ados; qué
puede decir usted de este resultado, d) el coeficiente de indispo-
nibilidad por máquina, e) el coeficiente de inactividad del mecáai
co y f) el tienporaedioen la línea.
Solución:
a) X = ^0 =
y
0.1 raáq/hora
»;1= 0.1
y = -T- = 1 máq/hora
Por definición aO = 1 por lo tanto aplicando
a
n
m - n + 1
n
Y «n - 1 d e n = 0 a n = 3
ao
ai
= 1
2 0 - 1 + 1
1
X 0.1 X 1 = 2
az = 1.9
as = 1.14
AU n^ - n + 1 ,,, .
Ahora con on = ^ Y an - 1
de n = 4 a n = 20
« 4
2 0 - 4 + 1
(0.1) (1.14) = 0.485
as = 0.3876
ae = 0.2705
0L7 = 0.20
as = 0.13
ag = 0.075
aio = 0.044
a n = 0.022
ai2 = 0.009

18. m
Z
n=l
1 + A = 8.6826
- 42
a i 3 = a m - . . . . . . . - 020 -*• O
Por lo tanto PQ = ^ | ^ con A = Z an = 7.6826
Po = 0.10
Pl = aiPo = 0.24
P2 = a2Po = 0.228
Pj = a3Po = 0.137
P^ = auPo = 0.058
Ps = asPo = 0.046
Pe = aePo = 0.035
P7 = avPo = 0.024
Ps = asPo = 0.0156
P9 = agPo = 0.009
Pio= aioPo = 0.005
Pii= auPo = 0.003
Pi2= ai2Po = 0.002
P l 3 ~ Pl»» " " P20
m
b) V = Z (n - S) Pn ;
n=S+1
Está entre cero y uno.
S
c) p = Z (S - n) Pn ;
n=0
~
V
P
0
=
=
=
20
Z
n=S
Ps +
0.30
4
Z
n= 0
(n - 4) Pn =
2P6 + 3P7 + 4P8 +
. . . . + 8P,,
. . . . "^ 12
(S - n) Pn =
-'
i
i
4Po + 3P, + 2P2
= 1.66 = 2.0

19. 43 -
Se puede decir que el trabajo no es normal, sobra aproximadamente un
operario.
j^ 1 "^ 1 0.30 ... rt rtc
d) kl = — ; kl = -^Q- = 0.05
e) k2 = 1 ^ ; k2 = ^ ^ = 0.5
-p-i 7 = V . r _ 1 y 0.30
^^ ^v X (m-ñ) ' ^v 0.1 ^ (20-11)
El lector puede encontrar a n como ejercicio,y luego t .con la rela-
ción n = S + V - "p
2.4.10 Función de costo
En los fenómenos de espera se considera para efectos del costo, el
costo de espera de los clientes y de las estaciones.
Dado que S sea el número de estaciones, ra el número de clientes (fi^
nito o infinito), saberaos que el número medio de clientes en espera
en la línea es:
_ m
V = Z (n - S) Pn
n=S
y que el número medio de estaciones inactivas es
S
p = Z (S - n) Pn
n=0
Entonces para un intervalo de tiempo T, en el cual se involucra el
costo en mención, tendremos que el tiempo medio perdido por cliente
es vT y para el caso de el servicio es: v T. (Ver Fig. 4.6).
Ahora si llamamos Ci al costo por unidad de tiempo de uii cliente y
C2 el costo por servicio,tendremos para una función de costo total
en S,la expresión:
T (S) = (Cl V + C2 p)T
con Cl y C2 constantes podemos seguir el costo por unidad de tiempo
que es: •
Y (S) = í - 4 ^ = Cl Z (n - S) Pn + C2 Z (S - n) Pn
^ n=S+1 n=0
= CiV + C2P
Este costo realmente es el que se trata de hacer mínimo.

20. - 44 '
Para nuestro caso, dentro del mantenimiento T (S) es llamado el cos
to de mantenimiento dentro del sistema. ~
Con CiV = costo de espera para reparación, o de mantenimiento.
CzP = costo por inactividad. Ver figura siguiente:
Punto óptimo
Fig. 2.6
Costo de funcionamien-
to del taller.
Costo de inactividad
de las máquinas
Capacidad del talle
Factor de Eficiencia
Finalmente podemos, para los casos anteriores de mantenimiento, con
siderar el factor de eficiencia que será:
Fn = 1
Promedio de bienes product. en la cola
N° total de máquinas
2.4.11 Estudio de colas en Tandera aplicado al M.C
El estudio de teoría de colas de tandera, llamado también en cascada
o en serie, es un análisis que se hace para producción en serie y
que se puede aplicar en M.C. dado que se presente una corrección de
la(s) falla(s) por etapas y en la que se tendrá un nuevo sistema ale
daño conformado por bienes productivos que salen del sistema inicial.
Sea el sistema (Población finita, una cola una estación).
Sistema I Sistema II
r -1 r-
I /
I
o o o o m o o o |gl I
J
Fig. 2.7

21. - 45 - ]
1
1
En este sistema total encontramos M unidades de ingreso, cada bien 1
tiene una probabilidad XAt de unirse a la fila en At, imponiendo un 1
régimen permanente, tendremos:
P' (O, O, t) = - X P (O, O, t) + y2 P (O, 1, t) con ni = n2 = O 1
'i
P' (O, n2, t) = - (X + y2) P (O, n2, t) + yjP (1, m - 1, t) +
yzP (O, n2+ 1, t) con ni = O , n2 > O 1
P' ( n i , 0 , t ) = - (X + yi) P (m , O, t ) + y2P (n , 1, t) +
XP (m - 1, O, t)-con ni> O , n2 = O |
P' (ni, n2, t) = - (X + yi+ y2) P ( m , n2, t ) + yiP (ni+ 1,n2 +1, t ) +
y2P ( n i , n2 + 1, t) + XP ( m - l , nz, t ) j
con ni y n2 > 0. . 1
por lo que para estado estacionario tendremos: i
i
P ( m , n2) = Yi"^' Y2''' P (O, 0)
Siendo Ui y n2 las unidades en el primer y segundo sistema respecti-
vamente. (Ver Fig. 2.7). •.'
Sumamos desde ni y n2 en cero hasta M (con ni + n2 < M) e igualan ^
do a uno se obtiene:
„" ^ ,, (Y1-Y2) (1 -YO (1 -Y2)
P (O, 0) - (li/j-vi-^) - (myt+¿ . «i-^M+Z) + YiY2(Yi¡'l+' - Y^l^')
M M i
n = Z Z (n 1 + n 2) P (n 1 , n 2) con n 1 + n 2 < M j
ni=0 n2=0
P (O, 0) I Yfd - (M + 1)Yi^' + MYi^'''h Y| 1 - (M + 1)Y2^' - H M Y ^ ^
~ Yl - Ya ' (1 - Yi)2 ' (1 -Y2)^
_ M • M M M 1
j = Z P (ni, 0) + Z P (O, n2) + 2 Z Z P ( m , n2)
ni=1 n2 = 1 ni = l n2=l
_ (Y1+Y2) {(Y1-Y2) - (Yi^^^^ - ^ A ^ h ^ YiY2(Yi^' + Y2^h} P (0. 0) '
(1 - Yl) (1 - Y2) (Yl - Y2)

22. 46 -
_ II • M
V = Z (n; - 1) P (ni, 0) + Z (nz - 1) P (O, nz) +
ni=2 n2=2
M M-1
z (m - 1) p (m, 1) + z (nz - 1) p (1, m) +
ni =2 n2=2
M-2 M-2
Z Z (ni + n2 - 2) P (ni , n2)
ni=2 n2=2
- I "ÜÍO ^'í'i) {1 - MH'f'"^ + (M - 1) Yi^^} ^
- I (1 - Y^
Yjd +Y2) 1 - MYz'"'"^ + (M - 1) Y2^'^ ^
(1 -Y^^"^
Y1Y2 rl - (M - 1) Y p ^ + (M - 2 ) Yi^^"^
Yl- Y2 ^ (1 -Yl)"
1 -
M-2 . rt. . t tu M-1
2.5 TEORÍA DEL DESGASTE Y REEMPLAZO DE LOS BIENES PRODUCTIVOS
2 5 1 Introducción
El tratamiento del desgaste, deterioro de bienes productivos, y su
reenplazo es una técnica nueva que se introduce dentro del manteni-
miento; más propiamente dentro del mantenimiento correctivo.
Pero a veces los términos y elementos que rodean al bien productivo
en lo que respecta a su reenplazo, se sale de las funciones del man-
tenimiento en general y por ende del correctivo, puesto que hay ne-
cesidad de analizar no solo las frecuencias de las fallas sino tam-
bién los costos que por ellas se acarrean al bien productivo.
A pesar de los planes que se hagan dentro del mantenimiento para la
buena presentación y buen rendimiento de los bienes productivos, la
vida de dicJio bien tiene sienpre a su fín.
2.5.2 Factores y ventajas que se contemplan en el reemplazo de los bienes
productivos
Un alto porcentaje de todo estudio de renovación (reemplazo), cons-
tituye una operación financiera en la cual se tienen en cuenta fac-
tores como:
a. Interés
U Saaty, T.L. Elementos de Teoría de colas (p. 287)

23. 47 -
b. Valor del dinero en cl tiempo
c. Provisión necesaria para la solución del problema.
Un último factor, el más importante se pudiera decir, lo constituye
el que todo problema de renovación debe estar aclarado y reconocido
dentro de la organización de la en^^resa y su parte directiva puesto
que las políticas generales inplantadas en un proceso de renovación
deben ser bien diáfanas para evitar entorpecimiento.
Hay otros factores que se contemplan ya dentro de la ingeniería eco^
nómica que trataremos muy someramente más adelante.
En lo que respecta a las ventajas, de hacer una renovación de un
bien productivo en primera instancia no nos traerá ninguna ventaja
en particular, pero estas mejorías si se ven cuando dicho bien en-
tra en función y se relaciona con el tiempo, por lo tanto tendremos
las siguientes ventajas:
a. Reducción de los costos de mantenimiento.
b. Reducción de los costos de producción.
c. Reducción de las pérdidas por chatarra o de reparaciones.
d. Reducción de paros y por ende de tiemi^os improductivos.
e. El personal que maneja el bien productivo renovado trabaja con
más entusiasmo que con otro bien productivo que se sabe con ma-
yor probabilidad un pronto fallo (debido a las muchas reparacio-
nes) .
2.5.3 Análisis de la renovación de un bien productivo en el caso de un
desgaste aleatorio.
Dentro de este punto tendremos variables como:
P = valor de con^Dra del bien
Ci = costo de mantenimiento y reparación para i = 1, 2, 5 n
períodos.
Suponiendo que estos costos se dan en períodos iguales tendremos:
que si el equipo se reemplaza sistemáticamente ai expirar los n pe-
ríodos, el costo total al cabo de k reenplazos es
r = (P + Cl + C2 + + Cn)i + (P + Cl + C2 + + Cn)2
(P + Cl + C2 + + Cn)k
y si se tiene en cuenta la variación con el tiempo es:-
r = (Pl + Cn+ C21+ + Cm) + .... (Pk + Cij^ + C2k +
+ Cnk)
k n
r = z (Pi + z Cij)
i=i j=i
+

24. - 48 -
Con Pi y Cij costos elementales que corresponden al reemplazo i.
Ahora el costo por período será:
. k n
y= - k - 1¡F .^ ^Pi ^ . Cij) .
1=1 j=1
para el mismo caso, de igual empleo, pero diferente en lo que se re
fiere a los costos y frecuencia en los reenplazos tendremos que los
costos por los diferentes períodos serán:
Yl Y2 Y3
los cuales entran en el canpo comparativo de acuerdo a los clásicos
tomados dentro de la ingeniería económica. En forma general tendría_
mos:
Sea PQ = precio de conpra
Po B (t) = precio de reventa después de un cierto tienpo t.
definiendo para t = O B (0) = 1 y ij; (t)
una función monótona y decreciente.
lj; (t) = costo de reparación y mantenimiento (costo acumulado)
El costo total del bien productivo para un período t es una expre-
sión del tipo
r (t) = Po - Po B(t) + 4/(t)
con un costo raedio de:
Y'(t) = - ^ = 1 {Po - Po 0(t) + Y(t)}
Si derivaraos la expresión del costo medio tendremos:
rt-^ t r (t) - r(t) T , •
Y' (t) = x"^ ^ ^ y para un caso de mínima:
t r^ (t) - r(t) _
t^ — — ^ = o
F' (t) = I ' es decir el costo mínimo se da cuando
éste es igual al costo medio.
Las funciones 3(t) y Y(t) tienen diferentes interpretaciones para
los casos siguientes:
a. Lineales
B(t) = 1 - i ; T(t) = kt

25. - 50 -
a = 1 ^ y vemos que a < 1 ; s i r = 0 a = 1
Si suponemos que existe un mínimo entonces:
r^ < r^ - 1 y
Pn < Tn - 1
Es decir en el punto de equilibrio obtenemos:
r + 1 - 1 - a" „ . an Cn+l
^n "^ ^ - 1 - «n+l ^n ^ 1 - J A
al reemplazar n por n+1. Si decimos que
r + 1 - r > O tendremos:
n n
Fn (gn-H - gH) + gn Cn+1
l - a 'Trrr^^ '^-^ > O
dividiendo por on
- r ^ > r^ Cn+1 > r^ (1 - a)
ahora si r^-l - T^ > O con n = n-1
V I (1 - a) - Cn > o ; y ^ < r-l
Reenplazando en las expresiones anteriores a rn y dividiendo nume-
rador y divisor por 1 - a tendremos:
r 1 ^ P + C, + gC, + g^C, + + gn-l Cn
^"'' ^ 1 + a + a2+ a^ + + a n-1
Cn < P ^ C, + gC, + g^C, + + g^'^ Cn-1
i + a + a^ + + a n-'
Para el caso de mantenimiento tendremos que reemplazar en el tiem-
po para el cual
r I ^ P + Cl + gC, + + g"'"* Cn .
^""1 ^ 1 + a + g' + + an-1
Ejenplo:
Se tiene un número de bienes productivos equivalentes en lo que se
refiere a sus fines y modo de enpleo, pero sus costos y la frecuen
cia de los reemplazos es diferente. Encontrar YÍ'> (se da a conti^
nuación la tabla de costos). Cuál de los bienes productivos cree

26. - 51 -
usted debe reenplazarse y cada cuánto?
Cuadro 2.1
Bien
Productivo
Ba
Bb
Bc
Bd
Po + Cl
2500
3000
4000
6600
C2
600
120
95
90
Cs
300
215
210
c^
240
230
Cs
490
Solución: Dado el cuadro 2.1 tenemos
1
Para Y2
Y3
. y-
Ys
, Ba
Bb
Bc
Bd
3
1
(2500 + 600) = 1550
(3000 + 120 + 300) = 1140
(4000 + 95 + 215 + 240) = 1137.50
= - y - (6600 + 90 + 210 + 330 + 490) = 1524
La solución ^x corresponde a un bien productivo que se reenplaza
cada 4 años, es decir es el mínimo costo.
Ejenplo:
Se tienen 4 bienes productivos Ba, Bb, Bc, Bd; el primero se compra
en $1.700.000; el segundo en $820.000, pero exige un gasto adicio-
nal de $880.000 al principio del tercer año, el tercer bien se com-
pró en $950.000 y posteriormente en él hay que invertir para dos p£
ríodos $90.000 y $660.000 respectivamente; el cuarto bien, Bd, se
compró en $1.300.000 y se le tiene que hacer para períodos consecu-
tivos los gastos de $90.000, $100.000 y $210.000 respectivamente.
Cuál es el costo real si se supone una tasa de interés del IÜ'Ó?
Solución:
Se tiene que el costo total para los cuatro bienes es igual, pero
la tasa de interés hace que el costo real sea diferente así:
Primer bien productivo Ba : 1.700.000
Segundo bien productivo Bb : 820.000 + ^^^'"j" = 1.620.000

27. • i t ^
- 52 -
Tercer bien productivo Bc: 9 5 0 . 0 0 0 + ^ p ^ + ^ j y W - =
1.577.272.9
Cuatro bien productivo Bj: 1.300.000 + ^ T A J ^ + ^"^'"0° +
^ 1 2 ^ = 1.622.238.9
El tercer equipo es elraenoscostoso si se tiene en cuenta la tasa
de aumento del dinero en el tiempo, es decir de todos los costos
reales encontrados. El costo del bien B^ es raenor.
Ejemplo: Dado el cuadro 2.2 tenemos
Si se conpra un bien productivo por $900.000 y por costos, Ci, son
como se muestran en la tabla siguiente, calcule si se tiene un in-
terés del S% el tierapo óptimo de reemplazo.
Ci 20 30 40 70 80 110 140 150 180 190 200 260
(miles)
año 1
Solución:
r = S%
^ ° (mieles)
1 20
2 30
3 40
4 70
5 80
6 110
7 140
8 150
9 180
10 190
11 200
12 260
2 3
" =T
i-1
a
1
0.952
0.906
0.863
0.821
0.782
0:744
0.709
0.675
0.642
0.611
0.582
4 5
P s - 0
6 7 8
.952
Cuadro 2.2
Cl g
20
28.56
36.24
60.41
65.68
68.02
104.16
106.35
121.5
121.98
122.30
151.35
P+ZCig^"^
920
948.56
984.8
1.045.2
1.110.81
1.196.91
1.301.07
1.407.42
1.528.92
1.650.9
1.773.2
1.924.5.
9 10
Za
1
1.952
2.858
3.721
4.542
5.324
6.068
6.777
7.452
8.094
8.705
9.287
11 12
P+ ZCia^'^
Zg
920
485.9
331.98
280.89
244.58
224.81
214.41
207.89
205.69
203.96
• 203.69
207.22

28. - 53
12 • i-1
P + Z Cia^ '
Ci2 > TT . período óptimo a los 11 años.
Z a
i=1
2.5.5 Curva de Supervivencia de bienes productivos
Dentro de la gama de bienes productivos se ha de considerar el tiem
po que han de durar, realmente el equipo tendrá una existencia dada
por su fabricante pero también dentro de ese valor existirá el valor
de probabilidad de que ese tienpo de vida se cumpla. Cada momento
nuestros bienes productivos van feneciendo, tales el caso de los fo-
cos que se distribuyen en la planta y oficinas de la enpresa.
Sea n(t) el número de bienes productivos supervivientes en el tiem-
po t distinguiendo que para t = O enpiezan su período de vida total,
es decir para n(t) = n(0) todos los bienes productivos están en
buenas condiciones.
Por lo anterior llamaremos mortalidad la diferencia para un período
así:
n (t - 1) - n (t)
Es decir siempre tendremos que para un período t cualquiera habrá
un número menor de bienes productivos que los del período anterior,
t - l .
Sabiendo que n(0) > n(t) t ?^ O tendremos: al hacer u (t) = - P l
la relación entre el número de bienes productivos supervivientes y
el número de bienes productivos que se habían instalado al princi-
pio.
Al decir nosotros que todos los bienes productivos que tenga la em-
presa constituyen una población homogénea desde el punto de vista
probabilistico, hay que admitir las funciones de probabilidad res-
pectivas a los hechos dados para cualquier tienpo t.
Es decir la probabilidad de sui:)ei-vivencia para cada bien productivo
después del tierapo t, que llamareraos edad, es:
p (Tí ^' = " = S }
Si referenciamos la probabilidad contraria tendremos la función de
acumulación del tienpo de duración T.
P (T < t) = 1 - u = nCt)
Lo anterior para casos en los cuales se asocian con un período de
tienpo instantáneo, pero cuando ya pensamos, en un intervalo de tiem-
po para el cual necesitamos saber más oraenoscuantos bienes produc

29. 54
tivos dejan de funcionar hablaremos entonces de otra clase de pro-
babilidad así:
P{ (t- 1) < T<t} = "^^ - l^] "^^^ = ;(t)
Las funciones u (t) y ^(t) se pueden graficar dando una gráfica de
la siguiente forma: Fig. 2.8
1 '
Probabilidad
(%)
^ u(t)
C (t)
0 (t) Fig. 2.8 Función de su-
pervivencia.
t = tienpo
Un análisis que se podría hacer previo conociraiento de las funcio-
nes anteriores es lo que respecta a que un bien productivo falle des
pués de cierta edad; es decir entraríamos a ver la llamada probabi-
lidad de avería dada una condición que es la probabilidad condicio-
nal de que un bien productivo haya alcanzado el tienpo t - 1 sin des
componerse, tenga un daño en el intervalo de tiempo comprendido en-
tre (t - 1) a t.
Si llamamos Pc(t) probabilidad condicional, tendremos:
P { (t - 1) < T < t } = P (T ^ t - 1) Pc(t)
Pc(t) =
P { (t - 1) .< T < t}
P(T 5- t - 1)
n(t r 1) - n(t)
n(0) ^
n(t - 1)
n(t - 1) - n(t) _ . n(t)
n(t - 1) - 1 n(t - 1)
n(0)
Generalmente el intervalo de tiempo transcurrido entre la puesta de
servicio de un bien productivo y el instante t que se considera se
le llama edad del bien productivo.
Todo bien productivo llega a un tienpo que se denomina tienpo lími-
te de retiro, su curva de servicio, siguiendo las curvas de sipervi^
vencía, es de la forraa: Fig. 2.9

30. 55
Probabilidad
u (t)
Fig. 2.9: Curva de
supervivencia y edad.
e t = tienpo
Y dado un tiempo e<t presenta una discontinuidad, para este límite
es probable plantearse la necesidad de cambiar el bien productivo.
2.5.6 Consumo y Averías como función de probabilidad
Dentro de cualquier empresa es necesario conocer el número de bie-
nes productivos que hay en un tiempo dado para con ello poder saber
que porcentaje de los bienes productivos totales ya están fuera de
servicio. En otras palabras, deseamos saber que bienes productivos
han alcanzado el límite de funcionamiento, por lo tanto lo que real^
mente nos proponemos encontrar es la llamada probabilidad de consu-
mo Pm(t); que indica la probabilidad de que haya habido m reempla-
zos de los bienes productivos iniciales por nuevos en el tiemi^o com
prendido entre O y t.
Podemos decir que si m = O la Pg(t) de un consumo nulo es el porcen
taje entre el número de bienes productivos supervivientes en ty los
del tienpo inicial t = O ó sea:
p„ rn = "(t)
^° ^^^ n(0)
podríamos también escribir la probabilidad de que haya una avería
entre t - 1 y t.
fft) = n(t - 1) - n(t)
^ ^ n(0)
Entonces la probabilidad de que haya m reemplazos en el inteirvalode
O a t debe tratarse para un tiempo intermedio en el mismo intervalo,
es decir si O < w < t (con w = tienpo dado) tendreraos que la probabi^
lidad de que un bien productivo instalado en el tierapo w deje de
funcionar será:
u (t - w)
y la probabilidad de que suceda un caso u otro de avería es

31. 56
ft. cr ce t, n(w - 1) - n(w)
U (t - w) f(w) con f(w) = —^^ -^^ '^-^—
y u (t - w) = — ^ ^ " y ^ es decir teniendo Po(t) y sabiendo que
Pni (t = 0) = O tendremos:
t
Pi(t) = Z Po f(w)
w=1
t
Z u (t - w) f (w)
w=1
t
P2(t) = Z Pl(t - W). f(w)
w=1
t
Pm(t) = Z Pm-1 (t - w). f(w)
w=1
2.5.7 Función de supervivencia para equipos viejos
Es muy notorio que en nuestro medio se tenga que hacer uso de un
bien productivo de segunda, es decir que ya tiene una edad cuando
se le coloca a funcionar, por lo tanto la función de supervivencia
u (t) de un bien productivo nuevo se transformará para este caso en
Ub (t) siendo b la edad "antigua" del bien. Tendremos, además, que
el tienpo t tendrá un tienpo b agregado que dará un tienpo de vida
T<t + b y así tendremos que la probabilidad de funcionamiento del
tienpo b al tiempo t será:
u (t + b) = u j-^j-j . Uj^ (t)
o sea que
n rt^ - ^ (t + b)
""b ft) - u(b)
Si la curva de supervivencia u (t) la desplazamos hacia la izquier
da el valor b y multiplicamos por 1/u (b) la ordenada obtenemos la

32. - 57
curva de sui^ervivencia para un bien productivo dado que haya funcio-
nado con una edad b así:
u
Probabilidad
(.%)
u(t)
u(t + b)
u(t)
Fig. 2.10 Función de
supervivencia de equi-
pos viejos.
•• t = tiempo
Finalmente es inportante, para estos casos de bienes productivos o
viejos, obtener el grado de desgaste y se expresa en porcentaje; es-
te grado es:
W(b) = 1 - u(b), en un análisis se dice que si un material es usa-
do en un 85°6 tiene una probabilidad de supervivencia del 151.
2.5.8 Relación de el número de bienes productivos supendvientes con la
función de supervivencia
Nosotros sabemos que n(t), para un t dado, es el número de bienes
productivos que hay aún en servicio. Si relacionamos este número,
n(t), con VJ (t), función de supervivencia obtenemos un número, N ,
de bienes productivos, puestos en t = O, es decir: (Fig. 2.11)
n (ti _
N
Esto teniendo el caso de que no haya habido ningún reemplazo, podría
mos decir que
n(t) = N u (t) son los bienes que quedan en uso para el tiempo t.
Podemos, similar a una función ergonómica de supervivencia, grafi-
car lo anterior, dado una función f(t) llamada utilización, así:

33. - 58 -
4 f (t)
N^
*»t
Período de .Período de.
uso
Período de
extincióniniciación
Fig. 2.11 Función ergonómica de supervivencia
2.5.9 Tasa de Abastecimiento
Dado un número P(w) de bienes productivos reemplazados hasta w, tiem
po que está entre O y t así: 1 < w < t; llamamos
p (w) = P(w) - P(w-1) tasa de abastecimiento.
El número de bienes productivos utilizables en un tiempo t y prove-
nientes de esos abastecimientos anteriores será dado por
p(w) u (t - w)
por lo que el abastecimiento nos proporciona más bienes a utilizar y
los bienes totales que tengamos en t será:
t
f(t) = n(t) + Z p (w). u (t - w)
w=1
= No u (t) + Z
w=1
p (w). u (t - w)
Si
f(0) = No para t = O
f(1) = No u(1) + p(l) u(0)
entonces

34. - 59
pd) =
p(2) -
•
•
p(t) =
= £(1)
= f(2)
= f ( t )
- N o u d )
- Nou(2)
- N o u ( t )
- p(l)uCl)
t-1
- Z p (w) u (t
w-1
- w)
2.5.10 Función de Costo
Uno de los factores más inportantes y decisorios está constituido
por el costo. Las políticas de las enpresas están encaminadas a re^
ducir los costos a lo máximo, no debe confundirse este término con
el control de costos.
Dentro de las políticas a tomar para los costos de bienes producti-
vos hay que señalar la necesidad de tener un factor límite que nos
diga hasta donde pueden llegar los costos; aquí es precisamente don
de pueden llegar los costos; aquí es precisamente donde vemos que
es mejor hacer una renovación de equipos que seguirlos reparando.
Ya liabíamos visto el aspecto de los costos límites de mantenimiento,
aliora veamos el tienpo óptimo que se asocia con el costo global mí-
nirao por la anidad de tiempo, al utilizar la política de reemplazo
de un bien productivo. Así, por lo anterior tendremos:
Cl = Costo unitario de reenplazo por lotes.
Cj = Costo unitario de reemplazo tomados uno a uno.
No E Número de bienes produtivos puestos en el tienpo t = O paraca
da período.
Por lo que si llamamos a r(t) el costo total para un período de tiem
po tomado como un intervalor de tienpo t, tendremos:
r (t) = Costo de funcionamiento y reenplazo del lote + costo de re-
enplazo tomado uno a uno.
Costo de funcionamiento del lote = Cj Ng.
Costo de reemplazo tomado uno a uno = Cj p (t - 1)
Con p(t) = función acumulada de aprovisionamiento para Ng.
Similar a los aspectos económicos de teoría de colas tendremos:
r(t) = J ^
derivcindo y obteniendo Y Ctg - 1) y Y(to+ 1) para un punto de mí-
nima en la cual

35. - 60 -
Y(to+ 1) > Y(to)
Y(to- 1) > YCto)
tendremos que:
( t - l ) p(t - 1) - t p(t - 2)< -§i No
t P (t) - (t + 1) p (t - 1) > - ^ No
Si y(t) = t p (t) - (t + 1) p(t - 1)
se tiene:
y(t -!)<--§- No < y(t)
r
Es decir cuando — ¡ ^ N , esté conprendido entre y (t - 1) y y(t)
obtendremos el tienpo óptimo de reemplazo, aquí se trata en forma pa
recida cuando teníanras los costos de mantenimiento en un límite da-
do para poder reemplazar.
2.6 ADELANTOS EN EL MANTENIMIENTO
El mantenimiento en general ha tenido buenos adelantos en los últimos tiem-
pos, estos radican en lo que respecta a estudios hechos alrededor del mant£
nimiento preventivo.
Se sabe que con un mantenimiento preventivo adecuado ha de requerirse el re
enplazo periódico de componentes mecánicos de los bienes productivos, aún
cuando éstos estén en buen estado, el cumplimiento estricto de todo lo an-
terior ayuda a la merma de costos por tiempo inproductivo y evita serias
averías.
Hoy, gracias a las investigaciones realizadas por los ingenieros Paul En-
glish y Roy Williams de la British Steel Corp, han encontrado métodos per-
feccionados ^ara vigilar el estado de los bienes productivos y detectar las
fallas jpqtencíales antes de_que_ocmTan. Existen tresraétodosque ayodana
detectar lo antes dicho y son:
- Detección de vibraciones
- Formación de imágenes térmicas
- Análisis Oleoso.
2.6.1 Detección de vibraciones
La vigilancia de los cojinetes resulta especialmente útil para veri-
ficar el estado de plantas o maquinaria nueva antes de ser instala-
da. En este sistema un acelorómetro, que detecta vibraciones a fre-
cuencias de 20.000 ciclos por segundo, se acoplan a la nueva máquina
Las vibraciones se registran y analizan en un monitor central fijo o

36. - 61
bien, al ser necesario inspeccionar muchos cojinetes en un instrumen
to portátil. Un sistema portátil se emplea también al liabcr probabi
lidad de que los cojinetes se deterioren muy lentamente y, en conse"
cuencia, no requieren vigilancia continua.
El dispositivo de vigilancia puede dar aviso de fallas o señalar la
gravedad de la avería.
Para reducir los costos de los sistemas de vigilancia fabricados se-
gún las especificaciones del comprador, e instalados pennanentemente,
BSC desarrolló un analizador de vibraciones móvil, trasladable acual^
quier parte de la planta para conectarse al cojinete que se desea
inspeccionar; tiene unos traductores que pueden acoplarse por perío-
dos que dure el análisis, o pueden ser fijos. Las señales emitidas
por los traductores pueden grabarse en cinta magnética para análisis
subsecuente. Este método se cumple para la verificación periódica
del equipo (anual). Las cintas se guardan en un archivo central para
conparar las señales vibratorias con las obtenidas en inspecciones
previas.
2.6.2 Imágenes térmicas
Especialmente para procesos baj o tenperaturas elevadas, la formación
de imágenes térmicas superficiales. El empleo del método térmico pa
ra vigilar el estado de la maquinaria se ha difundido a muchos de
los altos hornos, hornos de termodifusión, y otro equipo relacionado
con temi:)eraturas elevadas.
2.6.3 Análisis Oleoso
Este sistema se enplea para vigilar el estado de locomotoras, moto-
res de aviación y equipo portátil accionado por combust-6n interna.
La idea básica es: inspeccionar el aceite para detectar los contami-
nantes producidos por la máquina.
El análisis espectroscópico del aceite permite identificar y anali-
zar partículas metálicas de tamaño muy reducido. En la actualidad,
las experiencias que se tienen está relacionada con motores de com-
bustión interna, los elementos más reveladores son el hierro, para
detectar el desgaste del cigüeñal y la camisa del cilindro; las si-
liconas, como indicio de polvo atravesando filtro de aire; el cromo,
para señalar desgaste en los aros de pistón; y el cobre, para dcsga£
te de cojinetes de empuje. El plomo y el estaño están relacionados
con cojinetes durante funcionamiento inicial.
2.7 MANTENIMIENTO PRONOSTICABLE
Es posible predecir cuando va a ocurrir una falla y con anterioridad a ese
momento podrá ejecutarse una acción de mantenimiento planificado a fin de
eliminar, o por lo menos reducir considerablemente, la posibilidad de ave-
ría.
El mantenimiento pronosticable algunos lo suelen llamar mantenimiento pre-
dictivo. Se puede decir que se han hecho esfuerzos técnicos inportíintes

37. - 62 -
para disminuir al máximo cl efecto negativo del bien productivo so-
bre las máxin^as posibilidades de utilización operativa confiable al
equipo productivo. Estos esfuerzos se basan sobre el heclio confir-
mado de que un gran porcentaje de fallas técnicas ( excepto la debi^
das a fatiga del material) están precedidas por variaciones de los
parámetros de perfomance o mecanismos del equipo de producción indi^
cadores que ellas se van a producir. Al usar e interpretar correc-
tamente estas indicaciones se determina cuando un equipo o bien pro
ductivo está llegando a su límite de vida útil y debe ser desarmado
para su reparación y renovación o reacondicionamiento. Lo mismo que
estos datos podrían servir para ser usados como base para efectuar
cortes operativos de emergencia que eviten paros o accidentes prema
turos o serios.