El documento analiza la respuesta transitoria de sistemas de control en tiempo discreto a una entrada escalón. Explica que la respuesta presenta oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado permanente y define parámetros como tiempo de retardo, levantamiento y establecimiento. Luego discute el error en estado permanente para diferentes tipos de entrada y cómo depende de constantes como la de posición estática Kp.

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ANÁLISIS DE LA RESPUESTA
EN EL TIEMPO
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
La respuesta transitoria para un sistema de control,
donde la salida es continua, presenta a menudo
oscilaciones amortiguadas antes de llegar al estado
permanente (esto funciona para la mayoría de
sistemas discretos o digitales ya que la planta a
controlarse en la mayor parte de los casos es en
tiempo continuo, de allí que sus salidas sean
continuas)
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Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

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Considerando el sistema de control
anterior encontramos que la
salida c(t) presenta el
comportamiento siguiente a una
entrada escalón unitario.
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Al igual que en los sistemas continuos, la
respuesta transitoria de un sistema de tiempo
discreto se puede caracterizar por un análisis
paramétrico, en respuesta a una entrada
escalón.
Especificaciones de la Respuesta Transitoria :
• Tiempo de retardo (td)
• Tiempo de levantamiento (tr)
• Tiempo pico (tp)
• Sobreimpulso (Mp)
• Tiempo de establecimiento(ts)
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1. Tiempo de retardo (td): es el tiempo
requerido para que la repuesta llega a la
mitad del valor final la primera vez.
2. Tiempo de levantamiento (tr): es el tiempo
requerido para que la respuesta crezca del
10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de
su valor final, según la situación. Para
sistemas de segundo orden subamortiguados
normalmente se utiliza el tiempo de
crecimiento de 0 al 100%. Para sistemas
sobreamortiguados se acostumbra usar el
tiempo de crecimiento de 10 al 90%.
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3. Tiempo de pico (tp): es el tiempo requerido
por la respuesta para alcanzar el primer
pico del sobreimpulso.
4. Máximo sobreimpulso (Mp): es el valor pico
máximo de la curva de respuesta medido
desde la unidad. Está definido del
siguiente modo:
La cantidad de sobrepaso máximo (en
porcentaje) indica de manera directa la
estabilidad relativa del sistema.
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4.Tiempo de establecimiento o
asentamiento (ts): es el tiempo
requerido por la curva de
respuesta llegue y se quede
dentro de un rango alrededor de
un valor final de un tamaño
específico, por lo general 2%.
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Análisis del Error en Estado
Permanente:
El desempeño de un sistema de control
estable, se juzga debido al error en
estado permanente debido a entradas
escalón, rampa, etc.
Considere el sistema de control de
tiempo continuo cuya función de
transferencia de lazo abierto es:
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El término sN representa un polo de
multiplicidad N en el origen. Un sistema se
denomina de tipo 0, de tipo 1, de tipo 2,...
si N = 0, N = 1, N = 2,..., respectivamente.
Considere el sistema de control digital a
continuación cuyo error es:
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Considere ahora el error en estado
permanente en los instantes de muestreo,
a partir del teorema del Valor Final
A partir del diagrama de bloques
encontramos
y Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Entonces tenemos
Despejamos el error, nos
queda:
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)(
)(1
1
)( zR
zGH
zE



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A reemplazar el error en la ecuación
del valor final se obtiene, el error
en estado estable
Consideremos tres tipos de entrada:
escalón unitaria, rampa unitaria y
aceleración unitaria.
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1. Constante de error de posición
estática. Para una entrada
escalón unitaria r(t) = 1(t).
Tenemos:
Al reemplazar en la ecuación del
error en estado estable
obtenemos:
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• Por conveniencia definimos la constante de
posición estática como
Entonces el error de actuación en estado
permanente a una entrada escalón unitario
puede obtenerse a partir de:
Claramente se observa que dicho error es cero
si Kp es igual a infinito. Esto quiere
decir que GH(z) debe tener por lo menos un
polo en z=1.
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)(lim
1
zGHK
z
p


2. Constante de error de velocidad
estática: para una entrada rampa
unitaria r(t)=t.1(t). Tenemos:
Al reemplazar en la ecuación del error
en estado estable obtenemos:
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• Si por conveniencia escogemos la
constante del error de velocidad estática
Kv como:
Entonces el error de actuación en estado
permanente a una entrada rampa unitario
puede obtenerse a partir de:
Si Kv =∞, entonces el error en estado
permanente en respuesta a una entrada
rampa unitaria es cero. Esto requiere que
GH(z) tenga un polo doble en z=1Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
v
ss
K
e
1

3. Constante de error de aceleración
estática: para una entrada
aceleración r(t)=0.5*t2 1(t)
tenemos:
Al reemplazar en la ecuación del
error en estado estable
obtenemos:
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10. 23/04/2013
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• Si por conveniencia escogemos la
constante del error de aceleración
estática Ka como:
Entonces el error de actuación en estado
permanente se convierte
Si Ka =∞, entonces el error en estado
permanente en respuesta a una entrada
rampa unitaria es cero. Esto requiere
que GH(z) tenga un polo triple en z=1
Ing. Jhon Jairo Anaya
Díaz
Resumen: el la tabla se muestra los
tipos de sistemas y los errores
correspondientes al estado
permanente a respuesta de
diferentes entradas.
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SISTEMA
ERRORES EN ESTADO PERMANENTE EN RESPUESTA A:
Entrada escalón
r(t)=1
Entrada rampa
r(t)=t
Entrada aceleración
r(t)=1/2t2
Sistema
tipo 0
Sistema
tipo 1
0
Sistema
tipo 2
0 0
pK1
1
vK
1
aK
1



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Ing. Jhon Jairo Anaya
Díaz
Constantes
de error
estáticos
para
configurac
iones en
lazo
cerrado
típicas de
sistemas
de control
de tiempo
discreto Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo
Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y
Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems.
Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering.
Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System
Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de
Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno.
Décima Edición.