Resolución directa mediante el uso de Cuaternios

1. NOMBRE: JUAN GALARZA
NIVEL: VII SISTEMAS NOCTURNO

3. Puesto que las matrices de transformación homogénea y
los cuaternios son los métodos alternativos para
representar transformaciones de rotación y
desplazamiento, será posible utilizar estos últimos de
manera equivalente a las matrices para la resolución del
problema cinemático directo de un robot.
El procedimiento a seguir será el de obtener la expresión
que permite conocer las coordenadas de posición y
orientación del sistema de referencia asociado al extremo
del robot (S4) con respecto al sistema de referencia
asociado a la base (S0). Esta relación será función de las
magnitudes I1, I2, y I3, de los elementos del robot así
como de las coordenadas articulares q1, q2, q3 y q4.

4. 









Para obtener la relación entre (S0) y (S4) se ira convirtiendo
sucesivamente (S0)
en (S1), (S2), (S3) y (S4) según la siguiente serie de transformaciones:
1. Desplazamiento de (S0) una distancia I1 a lo largo del eje Z0 y giro un
ángulo q1 alrededor del eje Z0, llegándose a (S1).
2. Desplazamiento de (S1) una distancia I2 a lo largo del eje X1 y giro un
ángulo q2 alrededor del nuevo eje Z, para llegar al sistema (S2).
3. Desplazamiento a lo largo del eje X2 una distancia I3 para llegar al
sistema (S3).
4. Desplazamiento de (S3) una distancia q3 a lo largo del eje Z3 y un
giro entorno a Z4 de un ángulo q4, llegándose finalmente a (S4).
De manera abreviada las sucesivas transformaciones quedan
representadas por:
S0
S1
S2
S3
--->
--->
--->
--->
S1:
S2:
S3:
S4:
T( z,I1 ) Rot( z,q1 )
T( x,I2 ) Rot( z,q2 )
T( x,I3 ) Rot ( z,0 )
T( z,-q3 ) Rot( z,q4 )

5. 
Donde los desplazamientos quedan definidos por los vectores:

p1
p2
p3
p4

Y los giros de los cuaternios:



=
=
=
=
(
(
(
(
0,0,1 )
I2,0,0 )
I3,0,0 )
0,0,-q3 )


Q1
Q2
Q3
Q4

Donde:










=
=
=
=
( ^C1, 0, 0, ^S1 )
( ^C2, 0, 0, ^S2 )
( 1, 0, 0, 0 )
( ^C4, 0, 0, ^S4 )
^C1 = cos ( q1/2 )
^S1 = sen ( q1/2 )
Lo que indica que el extremo del robot referido al sistema de su base (S0), esta
posicionado en:
x = a0x = I3 cos( q1 + q2 ) + I2 cosq1
y = a0y = I3 sen( q1 + q2 ) + I2 senq1
z = a0z = I1 -q3