ACELERACIÓN CENTRÍPETA
D E D U C C I Ó N D E L A E X P R E S I Ó N U T I L I Z A N D O U N A C O L I S I Ó N
E L Á S T I C...
Imaginemos una partícula que se desprende con
velocidad tangencial −𝑣 𝑡,desde el borde de un
círculo en rotación (Fig 1).
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COMPONENTES DE V Y CAMBIO
DE VELOCIDAD:
Descomponemos 𝑣𝑟 en un vector vertical hacia abajo y otro
horizontal hacia la dere...
Para obtener la aceleración derivamos (2’) con respecto a 𝑡, teniendo
en cuenta que:
(a) tanto 𝑣𝑟 como 𝑣𝑡 son constantes
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Multiplicamos (4) por
𝑟
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para obtener 𝑎 𝑐, la aceleración centrípeta:
𝑎 𝑐 = −𝑣
𝑟
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Aceleración Centrípeta: Deducción utilizando una colisión.

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Deducción de la expresión de la aceleración centrípeta utilizando una colisión

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Aceleración Centrípeta: Deducción utilizando una colisión.

  1. 1. ACELERACIÓN CENTRÍPETA D E D U C C I Ó N D E L A E X P R E S I Ó N U T I L I Z A N D O U N A C O L I S I Ó N E L Á S T I C A
  2. 2. Imaginemos una partícula que se desprende con velocidad tangencial −𝑣 𝑡,desde el borde de un círculo en rotación (Fig 1). Por ser la colisión elástica, la rapidez, 𝑣 de la partícula es constante tal que 𝑣 𝑡= 𝑣𝑟. Luego, a cierta distancia de su punto de desprendimiento, colisiona elásticamente con un objeto en P (Fig. 2) para rebotar en dirección radial con velocidad 𝑣𝑟. Fig. 2 Fig. 1
  3. 3. COMPONENTES DE V Y CAMBIO DE VELOCIDAD: Descomponemos 𝑣𝑟 en un vector vertical hacia abajo y otro horizontal hacia la derecha (Fig. 3): 𝑣𝑟= (−𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) (1) ∆𝑣 = [ 𝑣𝑟− −𝑣𝑡 ] = (−𝑣 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) + 𝑣𝑡 (2) Con (1) calculamos el cambio de velocidad de la partícula: ∆𝑣 = [𝑣𝑟 + 𝑣𝑡 ] = −𝑣(𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) + 𝑣𝑡 (2’)
  4. 4. Para obtener la aceleración derivamos (2’) con respecto a 𝑡, teniendo en cuenta que: (a) tanto 𝑣𝑟 como 𝑣𝑡 son constantes (b) 𝜃 = 𝜃(𝑡): 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = −𝑣 −𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 (3) = −𝑣 𝑑𝜃 𝑑𝑡 −𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (3’) Luego, cuando 𝜃 → 0, −𝑠𝑖𝑛 𝜃 → 0 𝑎𝑛𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 → 1, razón por la cual podemos escribir (3’) como sigue: 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = −𝑣 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = −𝑣𝜔 (4) Aproximándonos a la expresión final:
  5. 5. Multiplicamos (4) por 𝑟 𝑟 para obtener 𝑎 𝑐, la aceleración centrípeta: 𝑎 𝑐 = −𝑣 𝑟 𝑟 𝜔 = - 𝑣𝑟𝜔 𝑟 (5) De (5) y en vista que 𝑟𝜔 es igual a 𝑣 llegamos a la expresión que buscábamos: 𝑎 𝑐 = − 𝑣2 𝑟 El signo negativo indica que la aceleración centrípeta está dirigida hacia el centro. La Fuerza Centrípeta es, por lo tanto: 𝐹 = −𝑚 𝑣2 𝑟 . Por último:

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