trabajo social

1. PROBABILIDAD
Y ESTADÍSTICA
TEMA 2:
DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS
Ec, Víctor Zárate E, Mgs
UNIDAD 2
PROBABILIDADES

2. SUBTEMAS
» Sub tema 1 : Conceptos de variable
aleatoria, Distribución de
probabilidad
» Sub tema 2 : Distribución Binomial,
Hipergeométrica y Poisson
» Sub tema 3 : Distribución normal

3. OBJETIVOS
Aplicar conocimientos adquiridos de
combinación para la resolución de
ejercicios de distribución mediante
probabilidades.

4. Variable Aleatoria
En cualquier experimento aleatorio,
los resultados se presentan al azar;
así, a éste se le denomina variable
aleatoria.

5. Distribución de probabilidad
Las distribuciones de probabilidad
están relacionadas con las
distribuciones de frecuencias. Una
distribución de frecuencias es una
distribución de probabilidades que
describe la forma en que se espera
varíen los resultados

6. DITRIBUCIÓN BINOMIAL
Es una distribución discreta que calcula
la cantidad de éxito en una secuencia de
n ensayos Bernoulli independientes
entre sí, si p determina la probabilidad
de que en un solo experimento suceda
un evento (probabilidad de éxito) y q
determina la probabilidad de que dicho
evento no suceda en un solo
experimento (probabilidad de fracaso)

7. Viene dada por la siguiente fórmula:
𝑃 𝑥 = 𝑘 =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘
1 − 𝑝 𝑛−𝑘
Donde x = k = 0,1,2, ….,n;
𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …..1; y 0! = por definición.
n = cantidad de eventos.
x = k = cantidad de éxitos.
f(x) = probabilidad de que en un ensayo exista x
éxitos en un numero n de ensayos.

8. 8

9. 9

10. 10

11. Ejercicios de aplicación
Se construye una casa con cierta cantidad de
departamentos. Un departamento tiene cuatro
habitaciones, cada uno con una probabilidad de
0.2 de destrucción en menos de 1000 días. El
departamento va a ser alquilado si dos de las
cuatro habitaciones están ordenados. Suponga
que las habitaciones son ordenadas de manera
independiente. Encuentre la probabilidad de
que:
a) Exactamente dos de las cuatro habitaciones
dure más de 1000 días.
b) El departamento sea alquilado por más de
1000 días.

12. Resolución
q=0.2 se destruya en menos de 1000 días
a)x= “no se destruya una habitación”
𝑝𝑥 = 0.8 éxito
Aplicamos la fórmula:
𝑃 𝑥 = 𝑘 =
𝑛
𝑘
𝑝𝑘 1 − 𝑝 𝑛−𝑘
𝑃 𝑥 = 2 =
4
2
(0.8)2
1 − 0.8 4−2
Resolvemos por combinación
𝑃 𝑥 = 2 = 0.1536

13. DITRIBUCIÓN BINOMIAL
» 𝑛
𝑘
= n! 4.3.2.1 4.3.2.1
x! (n-x)! 2.1.(4-2)! 2.1.2.1
13

14. b) x= el departamento se alquile
𝑝𝑥 = 0.8 éxito
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃 𝑥 = 3 + 𝑃(𝑥 = 4)
𝑃(𝑥 ≥ 2) =
4
2
0.8 2 0.2 2 +
4
3
0.8 3 0.2 1 +
4
4
0.8 4 0.2 0
= 0.8 2
0.2 2
+ 0.8 3
0.2 1
+ 0.8 4
0.2 0
= 0.8 2 0.2 2 + 0.8 3 0.2 1 + 0.8 4 0.2 0
𝑃 𝑋 ≥ 2 = 0.1536 + 0.4096 + 0.4096
𝑃 𝑥 ≥ 2 = 0.972
4.3.2.1
2.1.(4-2)!
4.3.2.1
3.2.1.(4-3)!
4.3.2.1
2.1.2.1
4.3.2.1
3.2.1.1
4.3.2.1
4.3.2.1.(4-4)!
4.3.2.1
4.3.2.1

15. DITRIBUCIÓN BINOMIAL
» Ejercicio
» La probabilidad que a un cliente nuevo le guste
hamburguesa en un bar es de 0,8; Si llegan 5 clientes
nuevos ¿ Cuál es la probabilidad que solo a 2 de ellos les
guste la hamburguesa ?.
» x= a números de clientes nuevos de 5 a los que les gusta la
hamburguesa x= B (5;0,8)
» x= 2
» n= 5 números de ensayos
» p= 0,80 probabilidad de exito
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16. DITRIBUCIÓN BINOMIAL
» 𝑃 𝑥 = 𝑘 = 𝑛
𝑘
𝑝𝑘
1 − 𝑝 𝑛−𝑘
» P (x = 2) = 5
2
0.8 2
1 − 0.8 5−2
» P (x = 2) = 0.8 2
0,20 3
» P (x = 2) = 0.8 2
0,20 3
» P (x = 2) = 10 0.8 2
0,20 3
» P (x = 2) = 0,0512
» P (x = 2) = 5,12 %
16
5.4.3.2.1
2.1.(5-2)!
5.4.3.2.1
2.1.3.2.1

17. DITRIBUCIÓN BINOMIAL
» USO DE TABLAS BINOMINALES
» ¿ Cuál es la probabilidad de que 8 de los 15 votantes
demócratas empadronados de Prince Street no pueden votar en
las elecciones preliminares, si la probabilidad de cualquier
individuo no pueda votar es de 0,30; y si las personas deciden
de manera independiente si votan o no?
» Primero representamos los elementos de este problema en
notación de distribución binomial:
» n= 15 número de demócratas empadronados
» q= 0,30 probabilidad de que cualquier individuo no vote
» x= r = k= 8 número de individuos que no van ha votar
17

18. DITRIBUCIÓN BINOMIAL
» Entonces el problema implica 15 ensayos, debemos
encontrar la tabla correspondiente a n=15. Como la
probabilidad de que un individuo no vote es de 0,30.
Nos desplazamos después hacia debajo de la columna
hasta que estamos opuestos a la columna r= 8, en
donde tenemos la respuesta, 0,0348. Ésta es la
probabilidad de que ocho votantes empadronados no
voten, 3,48 %
18

19. DITRIBUCIÓN BINOMIAL
19

20. DITRIBUCIÓN
HIPERGEOMETRICA
La probabilidad de éxito no es la misma
en todos los ensayos cuando se realiza
un muestreo sin reemplazo en una
población relativamente pequeña, no
debe aplicarse la distribución binomial.

21. Viene dada por la siguiente fórmula:
𝑃 𝑥 = 𝑘 =
𝑀
𝑘
𝑁 − 𝑀
𝑛 − 𝑘
𝑁
𝑛
Donde:
» N representa el tamaño de la población.
» M es el número de éxitos en la población.
» k es el número de éxitos en la muestra; éste
puede asumir los valores 0, 1, 2, 3…
» n es el tamaño de la muestra o el número
de ensayos

22. Ejercicios de aplicación
De un lote de 10 proyectiles, 4 se
seleccionan al azar y se disparan. Si el lote
contiene 3 proyectiles defectuosos que no
explotarán, ¿cuál es la probabilidad de
que,
a) los 4 exploten?
b) b) al menos 2 no exploten?

23. Resolución
a) N = 10 n = 4 k=4 M = 7
Aplicamos la fórmula:
𝑃 𝑥 = 4 =
7
4
3
0
10
4
Resolvemos por combinación
𝑃 𝑥 = 4 = 0.1667

24. Resolución
b) N = 10 n = 4 k=2,1 M = 7
Aplicamos la fórmula:
𝑃 𝑥 ≤ 2 = 𝑃 𝑥 = 2 + 𝑃 𝑥 = 1
=
3
2
7
2
10
4
+
3
3
7
1
10
4
Resolvemos por combinación
𝑃 𝑥≤2 = 0,3333

25. DITRIBUCIÓN POISSON
La distribución de probabilidad de
Poisson describe el número de veces
que se presenta un evento durante un
intervalo específico. El intervalo puede
ser de tiempo, distancia, área o volumen

26. Viene dada por la siguiente fórmula:
𝑃 𝑥 = 𝑘 =
𝜇𝑥𝑒−𝜇
𝑥!
Donde:
» 𝜇 (mu) es la media de la cantidad de veces
(éxitos) que se presenta un evento en un
intervalo particular.
» 𝑒 Es la constante 2.71828 (base del sistema de
logaritmos neperianos).
» “x” es el número de veces que se presenta un
evento.
» P(x) es la probabilidad de un valor específico
de x.

27. Ejercicios de aplicación
Si un banco recibe en promedio 6 cheques
sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba,
a) cuatro cheques sin fondo en un día
dado.
b) 10 cheques sin fondos en cualquiera
de dos días consecutivos.

28. Resolución
a) 𝜇 = 6 cheques sin fondo por día
Aplicamos la fórmula:
𝑃 𝑥 = 4 =
64
𝑒−6
4!
Resolvemos por combinación
𝑃 𝑥 = 4 = 0.1339

29. Resolución
b) 𝜇 = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo
por dos días consecutivos
Aplicamos la fórmula:
𝑥 = 10 =
1210𝑒−12
10!
Resolvemos por combinación
𝑃 𝑥 = 10 = 0,1048

30. DITRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es una
distribución continua en ella la variable
aleatoria logra tomar cualquier valor
dentro de un intervalo de valores dados,
es muy utilizada debido a su aporte
ajustable a las distribuciones de
frecuencia reales que se visualiza en
muchos fenómenos incluyendo
características humanas.

31. Generalmente para hallar el área
bajo la curva se hace uso de las
integrales, debido a que no es un
curso de Integrales, para proceder
hallar el área bajo la curva de una
distribución normal lo haremos
mediante una tabla de distribución
normal.

32. NORMALIZACIÓN
La normalización sucede al partir de una
distribución normal y llegar a un a
distribución normal estandarizada,
mediante la fórmula:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
32

33. Donde:
z= número de desviaciones estándar
x= valor de la variable aleatoria que nos ocupa
μ= media proporcional de la distribución
variable aleatoria
σ= desviación estándar.
Para la normalización es necesario el uso de la
tabla de distribución normal estándar para así
lograr encontrar el área bajo cualquier curva
normal
33

34. Los resultados se presentan mediante curvas de
frecuencia:
El extremo izquierdo se extiende de forma
indefinida y nunca toca el eje horizontal.
La distribución normal de probabilidad es simétrica
con respecto a una línea vertical que pase por la
media.
El extremo derecho se extiende de forma
indefinida y nunca toca el eje horizontal.
34

35. Ejercicios de aplicación
» La temperatura en el mes de diciembre
está distribuida normalmente con
media de 19,5°C y una desviación
estándar de 6°. Calcular la probabilidad
de que durante el mes de septiembre
la temperatura este a 22°C.

36. Resolvemos:
𝜇 = 19,5 ; 𝜎 = 6 ; 𝑥 = 22
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
𝑧 =
22 − 19,5
6
𝑧 = 0,42
Utilizando la tabla normal Z buscamos
0,4 de lado izquierdo y 0,02 en la
parte superior, dando como resultado
0,3372 o 33,72%
36

37. BIBLIOGRAFÍA
• Aldana, J. S. (2009). Relación fuente - recurso de
información - documento . Biblios, 10.
• Auchay, J. W. (2016). Estadística aplicada a la
educación con actividades de aprendizaje.
Riobamba: EDG-FIE.
• Rubin, R. I. (2004). Estadística para administración
y economía. México: Pearson Educación.