1. Primer Taller Modelos Dinámicos
Presentado por:
Fredy Alejandro Guevara
Kevin Mauricio Mosquera
Presentado a:
Ing. José Vicente Vázquez
Institución Universitaria Colegio Mayor del Cauca
Facultad de ingenierías sexto semestre
Popayán, septiembre 2013

2. 1. Introducción
La teoría de juegos es una rama de la economía que estudia las decisiones en las que para
que un individuo tenga éxito tiene que tener en cuenta las decisiones tomadas por el resto
de los agentes que intervienen en la situación. La teoría de juegos como estudio matemático
no se ha utilizado exclusivamente en la economía, sino en la gestión, estrategia, psicología
o incluso en biología.
En teoría de juegos no tenemos que preguntarnos qué vamos a hacer, tenemos que
preguntarnos qué vamos a hacer teniendo en cuenta lo que pensamos que harán los demás,
ellos actuarán pensando según crean que van a ser nuestras actuaciones. La teoría de juegos
ha sido utilizada en muchas decisiones empresariales, económicas, políticas o incluso para
ganar jugando al póker. La teoría de juegos es nuestro Concepto de esta semana
Para representar gráficamente en teoría de juegos se suelen utilizar matrices (también
conocidas como forma normal) y árboles de decisión como herramientas para comprender
mejor los razonamientos que llevan a un punto u otro. Además los juegos se pueden
resolver usando las matemáticas, aunque suelen ser bastante sofisticadas como para entrar
en profundidad.

3. 2. Objetivos
a. Utilizar los conocimientos adquiridos en programación lineal para darle solución a los
problemas de teoría de juegos
b. Profundizar en el aprendizaje para la resolución de los diferentes problemas planteados
en la teoría de juegos.
c. Aprender diferentes aplicaciones de lo aprendido en clase

4. 1. A. Emplear el método grafico para encontrar la estrategia optima del jugador 2.
Para dejar la matriz positiva, lo que vamos hacer el sumarle 3 a todos los valores.
Obtenemos la nueva matriz:
2 9
4 8
7 1
6 7
8 0
Ahora con esto podemos obtener nuestras ecuaciones, como queremos encontrar la
mejor estrategia para el jugador 2 debemos encontrar W.
W1 = -7Y1 + 9
W2 = -4y1 + 8
W3 = 6Y1 + 1
W4 = -1Y1 + 7
W5 = 8Y1 + 0
Cuando reemplazamos en cada una de estas por 0 obtenemos lo siguiente:
W1 = 9 W2 = 8 W3 = 1 W4 = 7
W5 = 0
Cuando reemplazamos en cada una de estas por 1 obtenemos lo siguiente:
W1 = 2 W2 = 4 W3 = 7 W4 = 6
W5 = 8
FOTO GRAFICA

5. Ahora aplicamos el criterio Min (Max)
Como podemos observar en la gráfica el punto solución es la intercepción entre w2
y w3, procedemos a comprobarlo:
W2 = W3
- 4Y1 + 8 = 6Y1 + 1
-10Y1 = -7
Y1 = 0.7777
Y1 + Y2 = 1
0.7777 – 1 = Y2
Y2 = 0.22223
c)Emplear el algoritmo simplex para encontrar las estrategias optimas y el valor del
juego.
 Método Simplex
-1 6
1 5
4 -2
3 4
5 -3
Para eliminar los números negativos sumamos el más negativo (+3)
2 9
4 8
7 1
6 7
8 0

6. Realizamos el método simplex don las restricciones activas (W3, W5)
Min: W+0Y1+0Y2
Rest: W + -4Y1 >= 8S1
W + 6Y1>= 1Sa
W = 8 Restando el número que sumamos a la matriz:
W = 8-3
W = 5
Valor del juego es: 5
Y1=0 Y2 = 1 (0 ;1)  Mejor estrategia para el jugador 2

7. d) Emplear Win Q.S.B (Fichero D.A) para comprobar los resultados efectuados a mano
anexar todos los resultados obtenidos con el programa.

8. 2. A. PROBLEMA 8
La Universidad del Estado jugará ante el IvyCollege por el campeonato de tenis. El
equipo de la Universidad tiene dos jugadores, A y B, y el IvyCollege tres, X, Y, y Z.
Se conoce lo siguiente acerca de las capacidades relativas de los jugadores: X
siempre le gana a B. Y siempre le gana a A. A siempre le gana a Z. En cualquier
otro encuentro, todo jugador tiene una probabilidad ½ de ganar. Antes del juego, el
entrenador de la Universidad debe determinar quién jugará el primer individual y
quién el segundo. El entrenador de IvyCollege, después de haber seleccionado los
jugadores para los dos individuales, también debe determinar quién jugará el
primero y quién el segundo. Suponga que cada entrenador desea maximizar el
número esperado de encuentros individuales que gane su equipo. Utilice la teoría
de los juegos para determinar las estrategias óptimas para cada entrenador y el
valor del encuentro para cada equipo.
SOLUCIÓN
Las estrategias posibles para cada entrenador son las que se detallan en la tabla siguiente,
donde AB para la Universidad significa que el primer partido lo juega A y el segundo B y
Análogamente para todas las demás. Se trata de un juego de suma constante ya que para
cada par de estrategias la suma de los números esperados de ganar es 2. Para la Universidad
el número esperado de partidos ganados se detalla en la tabla.
IVY COLLEGE
XY XZ YX YZ ZX ZY
UNIVERSID
AD
AB 1 1 0 1/2 1 3/2
BA 0 1 1 3/2 1 1/2

9. A continuación se indica de forma más detallada la construcción de las estrategias posibles
para cada entrenador. Para ello debemos tener en cuenta:
-X siempre gana a B
-Y siempre gana a A
-A siempre gana a Z
-En el resto de los casos, cualquier jugador tiene probabilidad ½ de ganar
IVY COLLEGE
XY XZ YX YZ ZX ZY
UNIVERSID
AD
AB ½+½ ½+½ 0+0 0+½ 1+0 1+½
BA 0+0 0+1 ½+½ ½+1 ½+½ ½+0
Es claro que para el entrenador del IvyCollege cualquier estrategia en la que interviene el
jugador Z está dominada por la XY o la YX. Por tanto, simplificando se tiene:
XY YX
AB 1 0
BA 0 1
Para hallar las estrategias óptimas a seguir, se asignan probabilidades:
Probabilidad y (1-y)
X 1 0
(1-x) 0 1

10. Buscamos la estrategia óptima para la Universidad mediante la resolución de la ecuación:
x = 1-x
Obteniendo un valor óptimo de x=1/2, siendo (1/2,1/2) la estrategia mixta óptima y
V= (1-(1/2)) = ½ como valor del juego.
B. PROBLEMA 5
Una empresa electrónica japonesa y una americana del mismo ramo están pensando en
diseñar un superconductor. Si ambas compañías trabajan en el superconductor, tendrán
que compartir el mercado y cada compañía perderá 10 000 millones de dólares. Si sólo
una compañía trabaja en el superconductor, dicha empresa tendrá una ganancia de 100
000 millones de dólares. Desde luego, si ninguna compañía trabaja en el superconductor,
las ganancias de cada una son 0 dólares.
a) Formule esta situación como juego de dos personas con suma no constante. ¿Tiene
el juego algún punto de equilibrio con estrategias simples? ¿Y con mixtas?
b) Suponga ahora que el gobierno japonés ofrece a la empresa japonesa un subsidio
en dólares de 15 000 millones para crear el superconductor. Plantee la matriz de
recompensas para este juego. ¿Tiene este juego algún punto de equilibrio con
estrategias simples?¿ Y con mixtas?
c) Con frecuencia, los hombres de negocios dicen que una actitud proteccionista en
los negocios puede aumentar las exportaciones, pero los economistas en general
han dicho que una actitud proteccionista hacia un negocio reducirá las
exportaciones. ¿Qué punto de vista respalda este problema?
SOLUCIÓN
a) Formule esta situación como juego de dos personas con suma no constante. ¿Tiene
el juego algún punto de equilibrio con estrategias simples?
En la situación dada las estrategias posibles a seguir tanto por la empresa japonesa
como la americana son trabajar o no en el superconductor (lo que indirectamente, implica
compartir o no el mercado con la otra empresa). Por tanto podemos expresar esta situación
mediante la siguientetabla (dada en miles de dólares):
Empresa Americana
Trabaja en el
superconductor
No trabaja en el
superconductor
Empresa Japonesa
Trabaja en el
superconductor
(-10, -10) (100, 0)
No trabaja en el
superconductor
(0, 100) (0, 0)

11. En nuestro caso concreto hay dospuntos de equilibrio que vienen dados por los
pares (100, 0) y (0, 100), porque si cada jugador cambia su estrategia, su recompensa
disminuye de 100 a 0 o de 0 a -10.
Realizamos lo mismo para el equipo de IvyCollege. Resolvemos la ecuación:
y = 1-y para obtener un valor óptimo y=1/2 y por lo tanto una estrategia óptima de
(1/2,1/2)y como valor del juego, V= (1-(1/2)) = 1/2.
b) Suponga ahora que el gobierno japonés ofrece a la empresa japonesa un
subsidio de 15.000 millones de dólares para crear el superconductor. Plantee la
matriz de recompensas para este juego. ¿Tiene este juego algún punto de
equilibrio con estrategias simple?
La matriz de recompensas ahora será
Empresa Americana
Trabaja en el
superconductor
No trabaja en el
superconductor
Empresa Japonesa
Trabaja en el
superconductor
(5, -10) (115, 0)
No trabaja en el
superconductor
(0, 100) (0, 0)
En este caso el único punto de equilibrio usando estrategias simples es el par (115, 0),
porque si cada jugador cambia unilateralmente su estrategia, su recompensa disminuye de
115 a 0 para la empresa japonesa y de 0 a –10 para la empresa americana.
Hay una única solución que es la estrategia mixta (x1,y1)= (1,0) de la que se deduce que:
x*
=(1,0) e y*
=(0,1): Por tanto:
115
1
0
00
1155
01,)A(v
y
0
1
0
0100
010
01,)B(v
Por tanto solo hay un punto de equilibrio que es el par (115,0).

12. c) Con frecuencia, los hombres de negocios dicen que una actitud proteccionista
en los negocios puede aumentar las exportaciones, pero los economistas en
general han dicho que una actitud proteccionista hacia un negocio reducirá las
exportaciones. ¿Qué punto de vista respalda este problema?
Si se entiende por actitud proteccionista en los negocios de un país el dar subvenciones a
sus empresas, este problema respalda el punto de vista de los hombres de negocios.
No obstante, a largo plazo esta actitud no se puede mantener ya que si los demás países
protestan las subvenciones deben retirarse y las empresas que se han acostumbrado a las
subvencione pueden no estar preparadas para la libre competencia y, por tanto, no poder
exportar por que los otros lo hacen a menores precios. Este enfoque respalda el punto de
vista de los economistas.

13. BIBLIOGRAFIA
1. [8] Shapley, L. S. (1953) A value for n-person games. En: Contributions to
the Theory of Games, vol 2, H. W. Kuhn y A. W. Tucker, eds.
2. [20] Von Neumann, J. & Morgenstern, O. (1944) Theory of Games and
Economic Behavior. Princeton, NJ: Princeton University Press.
3. Investigacion de operaciones de Wayne Wiston. 4Edicion