Probabilidad. Estadística

1. ESTADÍSTICA Y TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN GRADO EN ENFERMERÍA
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EJERCICIO OBLIGATORIO VI
Lucía Zabala Sánchez- Noriega Grupo 2, subgrupo 9
1. Es sabida por todos, la probabilidad de que una pareja tenga un hijo (de sexo masculino).
En una pareja que tiene 6 hijos, todos ellos de sexo masculino.
a) Construye y dibuja en un gráfico adecuado, la distribución Binomial para los 6 hijos de
esa pareja.
b) Calcular la probabilidad de que esa pareja tenga como mucho 2 hijos.
c) Calcular la probabilidad de que esa pareja tenga más de 4 hijos.
a) La variable estudiada (tener hijos varones) es una variable aleatoria discreta (VAD),
toma un número finito numerable de valores posibles y es una sucesión de números
enteros. Puesto que es una VAD es posible asignar probabilidades a cada uno de los
valores puntuales de la variable en función de la probabilidad. Al ser una distribución
Binomial, calcularemos la probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, 4,5 y 6 hijos varones.
X→ (n; α) X→ (6; 0,5)
La fórmula que tendremos que utilizar es la siguiente: P(X=K) = ( 𝒏 𝒌). (𝝅 𝒌
). (1-𝝅)n-k
 P (X=k) es la probabilidad (P) de encontrar la característica en K sujetos.
 K es el número de éxitos, en nuestro caso tener un hijo varón.
 n es el tamaño de la muestra aleatoria.
 𝝅 es la prevalencia del carácter medido.
 (𝒏 𝑲) = n!/k! (n-k)!
▪ Probabilidad de no tener hijo varón (X=0)
K=0 → P (X=0) = (60). (0,5)0
. (1-0,5)6
= 1. 1. 0,015625 = 0,016
(60) = 6!/0! (6-0)! =
720
1 𝑥 720
= 1
▪ Probabilidad de tener 1 hijo varón (X =1)
K =1 → P (X=1) = ( 61). (0,5)1
. (1-0,5)5
= 6. 0,5. 0,03125 = 0,094
(61) = 6!/1! (6-1)! =
720
1 𝑥 120
= 6

2. ESTADÍSTICA Y TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN GRADO EN ENFERMERÍA
2
▪ Probabilidad de tener 2 hijos varones (X=2)
K =2→ P (X=2) = (62). (0,5)2
. (0,5)4
= 15. 0,25.0, 0625 = 0,23
(62) =6!/2! (6-2)! =
720
2 𝑥 24
=
720
48
= 15
▪ Probabilidad de tener 3 hijos varones (X=3)
K=3 → P(X=3) = (63). (0,5)3
. (0,5)3
= 20. 0,015625 = 0,31
(63)= 6!/3! (6-3)! =
720
6 𝑥6
=
720
36
= 20
▪ Probabilidad de tener 4 hijos varones (X=4)
K =4 → P(X=4) = (64). (0,5)4
. (0,5)2
= 15. 0,0625. 0,25 = 0,23
(64) =6!/4! (6-4)! =
720
24 𝑥 2
=
720
48
= 15
▪ Probabilidad de tener 5 hijos varones (X=5)
K=5 → P(X=5) = (65). (0,5)5
. (0,5) = 6. 0,03125. 0,5 = 0,094
(65) = 6!/5! (6-5)! =
720
120 𝑥 1
= 6
▪ Probabilidad de tener 6 hijos varones (X=6)
K=6 → P(X=6) = 1- [P(X=0) +P(X=1) + P(X=2)+P(X=3)+(P(X=4)+ P(X=5)]=1-0,974= 0,026
Una vez calculadas las probabilidades, construimos y dibujamos el grafico
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 éxitos 1 éxito 2 éxitos 3 éxitos 4 éxitos 5 éxitos 6 éxitos
Probabilidad de éxitos(K)
Probabilidad de éxitos(K)

3. ESTADÍSTICA Y TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN GRADO EN ENFERMERÍA
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b) Nos piden calcular la probabilidad de que la pareja tenga como mucho 2 hijos, es decir,
tenemos que calcular P (X≤2). Para ello sumaremos las probabilidades de tener o hijos
P(X=0); de tener 1 hijo P(X=1) y de tener 2 hijos P(X=2).
P (X≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) P (X≤2)= 0,016 + 0,094 + 0,23 = 0,34
La probabilidad de que la pareja tenga como mucho dos hijos es del 34% (P (X≤2)=0,34)
c) Nos piden calcular la probabilidad de que la pareja tenga más de 4 hijos varones, es
decir P (X≥4). Para ello podremos hacerlo de dos formas:
 Sumando la probabilidad de tener 5 hijos varones + la probabilidad de tener 6 hijos
varones. P(X≥4) = P(X=5) + P(X=6)
P (X≥4) = 0,094 + 0,026 = 0,12
 O bien, restaremos a 1 la probabilidad de tener 0, 1, 2,3 y 4 hijos.
P (X≥4) = 1- [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)]
P (X≥4) = 1 – (0,016+0,094+0, 23+0, 31+0, 23) = 0, 12
La probabilidad de que la pareja tenga más de 4 hijos varones es del 12%
2. A 300 niños y niñas se ha aplicado un test de hiperactividad sobre 70 puntos, y se ha
observado que los resultados se distribuyen normalmente, con media 30 puntos y
desviación típica 12 puntos. Se pide que calcules y expreses gráficamente cada una de las
situaciones siguientes:
a) ¿Qué probabilidad hay de que un niño/a obtenga 12 puntos o menos en el test?
b) ¿Qué proporción de niños/as tendrá una puntuación en dicho test entre 20 y 35
puntos?
c) ¿Cuántos niños/as tendrán una puntuación superior a 48
En este caso, la variable es aleatoria continua (VAC): “puntuación de hiperactividad” y
sabemos que los resultados se distribuyen normalmente; por lo que para el cálculo de las
probabilidades pedidas nos basamos en la función de probabilidad normal o distribución
normal o de Gauss.
Sabemos que la media (μ) es 30 puntos y la desviación típica (σ) es 12 puntos.

4. ESTADÍSTICA Y TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN GRADO EN ENFERMERÍA
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X→N (μ, σ) = X→N (30,12)
a) Nos piden calcular la probabilidad de que un niño/a obtenga 12 o menos puntos en el
test, nos piden P (X≤12). Para empezar, dibujamos la grafica de distribución normal,
siendo el punto máximo la media (μ=30). Seguidamente dibujamos una escala
tipificada (valores de z) de los valores del eje X. Señalamos en la grafica el valor 12 y
marcamos el área inferior a 12 (tener 12 o menos puntos).
A continuación tipificamos el valor 12, es decir, transformamos X en una variable z (de media 0
y desviación típica 1).
z = (x-μ)/σ z= (12-30)/12 =-18/12 = -1,5
P (X≤12) = P (z≤ -1,5)
Utilizando el carácter simétrico de la normal tenemos que P (Z≤ -1,5) = P (z ≥ 1,5), y aplicando
la probabilidad del suceso complementario P(z ≤ -1,5) = 1- P(z ≥ 1,5) obtenemos el valor de
P(X≤12). P (X≤12) = 1-P(X>12)
Buscando en la tabla de distribución normal, tenemos que P (z ≤ 1,5) = 0,9332
Donde, P (X≤ 12) = 1- 0,9332 = 0,0668 La probabilidad de que un niño/a obtenga 12 puntos
o menos en el test es de 0,0668.
b) Nos piden calcular la proporción de niños/as que obtendrá una puntuación en el test
entre 20 y 35 puntos, P (20 ≤X ≤ 35).
El proceso a seguir es similar al anterior. Dibujamos la grafica de distribución normal,
seguidamente la escala tipificada (valores de z) para el eje X. Por último marcamos en la
grafica los valores 20 y 35, y marcamos el área que buscamos.

5. ESTADÍSTICA Y TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN GRADO EN ENFERMERÍA
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Tipificamos ambos valores:
▪ X1 = 20 = z1 = (20-30)/12 = -0,83
▪ X2 = 35 = z2 = (35-30)/12 = 0,42
Para X1 el valor de z es negativo, por lo que utilizando el carácter simétrico de la normal
tenemos que P (z ≥ -0,83) = P (z ≤ 0,83), y aplicando la probabilidad del suceso complementario
P (z ≤ 0,83) = 1- P (z ≥ 0,83), llegamos a P (X≥ 20) =P (z ≥ -0,83)= 1- P( z ≤0,83).
Buscamos en la tabla de distribución normal, tenemos que P (z ≤ 0,83) = 0,7967; luego
P (X≥20)= 1- 0,7967 =0,2033
Para el valor X2, buscamos en la tabla de distribución normal el valor para z = 0,42. Tenemos
que P(X ≤35) = P (z ≤ 0,42) = 0,6628
Una vez tipificados los valores calculamos P (20 ≤X≤ 35) = P (-0,83 ≤z≤ 0,42) = P (z≤0,42) – P(z ≤
-0,83) = P(z ≤ 0,42) – [1- P(z ≥ 0,83)] = 0,6628 – 0,2033 = 0,46
El 46% de los niños/as obtendrá en el test una puntuación entre 20 y 35 puntos.
c) Nos piden calcular cuántos niños/as tendrá una puntuación superior a 48, es decir,
P (X≥ 48). Realizamos el mismo proceso que en los dos apartados anteriores:
dibujamos la grafica de distribución normal, a continuación la escala de valores
tipificados (valores de z) para el eje X y situamos el valor 48 en nuestra gráfica.
Tipificamos el valor de x=48, donde z = (48-30)/12= 18/12 =1,5. Puesto que nuestra tabla de
distribución normal es de cola izquierda, calcularemos la probabilidad de obtener puntuación
inferior o igual a 48. Para hallar P (X≥48) restamos a 1 la probabilidad de P (X≤48).
P (X≥48) = P (z≥ 1,5)= 1- P (z≤1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668

6. ESTADÍSTICA Y TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN GRADO EN ENFERMERÍA
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TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL