PL APLICADA A LA MEDICINA VETERINARIA

1. MVZ Laura Sánchez

2.  Método algebraico capaz de arrojar soluciones
matemáticas óptimas en función de un objetivo
de maximización o de minimización.

3.  Ideado por Dantzig durante la segunda guerra mundial para
resolver problemas de transporte.
 Es una técnica de planeación.
 Se utiliza frecuentemente en empresas agropecuarias, para
formular raciones alimenticias a mínimo costo, seleccionar
actividades, diseño de rutas de transporte y calendarización de
actividades.

4.  La programación lineal (PL) se usa para
representar mediante ecuaciones matemáticas
las relaciones que existen entre los componentes
de problemas de planeación.
 Se basa en los procesos de álgebra para dar
soluciones óptimas a modelos matemáticos de
problemas de planeación

5. Ventajas.
• Evita experimentar con la empresa.
• Evaluar los efectos de la toma de decisiones.
• Encuentra la mejor alternativa.

6. 1. Objetivos
2. Actividades
3. Restricciones

7. Incrementar
utilidades
Elevando
ingresos
Reducción de
costos

8.  Son los diferentes procesos productivos que se
pueden realizar en una empresa.
 Diferentes productos finales.

9.  Diferentes formas de llegar al producto final.
 La PL trata de encontrar la mejor combinación, sólo
se podrá usar cuando existan dos o más actividades
alternativas.

10.  Cantidades limitadas de recursos.
 Controles a la producción impuestos por el
gobierno, el mercado o el productor.

11.  Representa los tres elementos de los problemas de
planeación mediante ecuaciones algebraicas.
 Consta de tres partes:
 Función Objetivo
 Restricciones
 Condición de no negatividad.

12.  Representa el objetivo del problema que es
obtener el máximo de utilidad.
Z = X1(C1)+ X2(C2)+… +Xn(Cn)
 Z = utilidad total a maximizar.
 X = actividades
 C = utilidades por actividad.

13.  Representan las limitantes.
b1 ≥ X1(A1)+X2(A2)+...+Xn(An)
b = restricción. Ej. Total de capital con que se
cuenta.
X = actividad. Ej. Ha a sembrar de maíz.
A = cantidad de recurso que necesita la
actividad. Ej. Costo para sembrar una Ha.

14.  Representa un supuesto básico, que indica que
los valores que adopten X1 y X2 deben de ser
iguales o mayores que cero.
X1 + X2 ≥0

15.  Métodos manuales:
 Gráfico (Máx. dos actividades)
 Simplex
 Métodos por computadora:
 Excel (Solver)

16.  Un agricultor dispone de 50 ha de tierra
cultivable, en las que puede sembrar
alfalfa o maíz, y $26,000.
 El maíz genera $900 de utilidad/ha
 La alfalfa genera $1,040 de utilidad/ha
 El agricultor quiere saber cuántas ha de
maíz y de alfalfa debe sembrar para
obtener el máximo de utilidad

17. A
X1
(maíz)
B
X2
(Alfalfa)
Disponibilidad
Producción/
ha
$900 $1040 Máximo Ingreso
Agua m3/ha 40 50 2400m3
Capital /ha 500 600 $26 000
Tierra 1 1 50

18. Función objetivo:
Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)
 Z = Utilidad de la empresa
 X1 = Maíz
 X2 = Alfalfa

19.  Agua 40 X1 + 50 X2 ≤ 2400
 Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000
 Tierra X1 + X2 ≤ 50
Condición de no negatividad
• Donde X1 , X2 ≥ 0

20.  Método gráfico
 El primer paso en este método es graficar
las ecuaciones de restricción en un plano
cartesiano
 Las ecuaciones son de primer grado, ésta
es una de las condiciones para resolver un
problema de planeación por medio de la
PL

21.  Produciendo sólo maíz:
40X1 + 50X2 = 2400
40X1 + 50(0) = 2400
X1= 2400/ 40 = 60
A ( 60, 0 )

22. Obtención de coordenadas
AGUA
• Produciendo sólo alfalfa:
40X1 + 50X2 = 2400
40(0) + 50X2 = 2400
X2= 2400/ 50 = 48
B (0 , 48 )

23. 0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
B (0,48)
A (60,0)

24. 0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
B (0,48)
A (60,0)
Área de
solución

25.  Produciendo sólo maíz:
500X1 +600 X2 = 26000
500X1 +600(0) = 26000
500X1 + 0 = 26000
X1 = 26000/ 500 = 52
C ( 52 , 0 )

26.  Produciendo sólo alfalfa:
500X1 + 600 X2 = 26000
500(0) + 600 X2 = 26000
0 + 600 X2 = 26000
X2 = 26000/ 600 = 43.33
D (0 , 43.33)

27. 0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
D
(0,43.33)
A (60,0)
C (52,0)

28. 0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
D
(0,43.33)
A (60,0)
C (52,0)

29.  Produciendo sólo maíz:
X1 + X2 = 50
X1 + 0 = 50
X1 = 50
E (50 , 0)

30.  Produciendo sólo alfalfa:
• X1 + X2 = 50
• 0 + X2 = 50
• X2 = 50
• F (0 , 50)

31. 0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80
E (50, 0)
F (O,50)

32.  Queda delimitada por los puntos E,D y el
vértice de las líneas EF y CD

33.  “La solución gráfica de un problema de
programación lineal se encuentra en un
vértice”
 Ya se tiene el área factible de solución,
ahora es necesario encontrar cual de los
vértices proporciona mayor utilidad, para
ello, se sustituye el valor de E y D en la
función objetivo

34. Sustituir el punto
E (50,0)
Z=50 (900) + 0 (1,040)
Z=45,000 + 0
Z = 45,000
La utilidad del punto E es
$45,000
Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)
Sustituir el punto
D (0,43.3)
Z = 0 (900) + 43.3 (1,040)
Z = 0 + 45,032
Z = 45,032
La utilidad del punto D es
$45,032

35.  Para encontrar las coordenadas del vértice
de las líneas EF y CD (punto G) es preciso
solucionar el sistema de ecuaciones formado
por:
Tierra X1 + X2 ≤ 50
Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000

36.  La solución de un sistema de ecuaciones se
localiza en el vértice, en donde las líneas
que representan a las ecuaciones se cruzan.
 Métodos:
 Suma y resta
 Igualación
 Sustitución

37. Método de suma y resta
PRIMER PASO:
Consiste en multiplicar una de las ecuaciones por un
número negativo tal que permita igualar a uno de los
elementos en ambas ecuaciones, pero con signo
contrario.
Esto se logra en este sistema multiplicando la primera
ecuación por -500
X1 + X2 = 50
500X1 +600 X2 = 26,000
• Se multiplica tierra por –500:
-500(X1 + X2= 50)
-500X1 - 500X2 = -25,000

38. Método de suma y resta
 El nuevo sistema queda:
-500X1 - 500X2 = -25,000
500X1 +600 X2 = 26,000

39.  Se suman ambas ecuaciones para
obtener una sola incógnita
-500X1 - 500X2 = -25,000
+
500X1 +600 X2 = 26,000
0 + 100 X2 = 1,000
X2 =1,000/100 = 10
X2 = 10
Método de suma y resta

40. Se despeja X2
X1 + X2 = 50
X1 + 10 = 50
X1 = 50 – 10 = 40
X1 = 40

41. Coordenada del Vértice
Punto G (40, 10)

42.  Para saber la utilidad de esta combinación de
sustituyen los valores del PUNTO G en la
función objetivo.
Z= 40 (900) + 10 (1,040)
Z= 36,000 + 10,400
Z= 46,400
Maximizar Z = X1 (900) + X2 (1,040)

43.  Se puede comprobar que ésta solución cumple
con las restricciones establecidas si se sustituyen
los valores obtenidos, en las ecuaciones del
problema: X1= 40 X2 =10
 Agua 40 X1 + 50 X2 ≤ 2400
40(40) + 50 (10) = 2,100
 Capital 500 X1 + 600 X2 ≤ 26000
500 (40) + 600 (10) = 26,000
 Tierra X1 + X2 ≤ 50
(40) + (10) = 50

44.  Un Médico Veterinario atiende un a un paciente el
cual sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le
indica que debe ingerir al menos 2,400 mg hierro,
2,100 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1,500 mg de
vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto tiempo.
 Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca
A y la marca B.
 Cada píldora de la marca A contiene 40mg de hierro,
10mg de vitamina B-1, 5mg de vitamina B-2 y cuesta 6
centavos.
 Cada píldora de la marca B contiene 10mg de hierro,
15mg de vitamina B-1 y 15mg de vitamina B-2, y
cuesta 8 centavos.

45.  ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe
comprar el dueño del paciente para cubrir sus
requerimientos de hierro y vitamina al menor
costo?

46. Marca A Marca B
Requerimientos
mínimos
Hierro 40 mg 10 mg 2400 mg
Vitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mg
Vitamina B-2 5 mg 15 mg 1500 mg
Costo por
píldora
6 centavos 8 centavos

47. Función objetivo:
Minimizar Z = X1 (6) + X2 (8)
 Z = Costo de las píldoras
 X1 = píldora A
 X2 = píldora B

48.  Fe 40 X1 + 10X2 ≥ 2400
 Vitamina B1 10X1 + 15 X2 ≥ 2100
 Vitamina B2 5X1 + 15 X2 ≥ 1500
Condición de no negatividad
• Donde X1 , X2 ≥ 0

49.  Comprando sólo Píldora A:
40X1 + 10X2 = 2400
40X1 + 10(0) = 2400
X1= 2400/ 40 = 60
A ( 60, 0 )

50. Obtención de coordenadas
Fe
• Comprando sólo Píldora B:
40X1 + 10X2 = 2400
40(0) + 10X2 = 2400
X2= 2400/ 10 = 240
B (0 , 240 )

51.  Comprando sólo Píldora A:
10X1 +15 X2 = 2100
10X1 +15(0) = 2100
10X1 + 0 = 2100
X1 = 2100/ 10 = 210
C ( 210 , 0 )

52.  Comprando sólo Píldora B:
10X1 + 15 X2 = 2100
10(0) + 15 X2 = 2100
0 + 15 X2 = 2100
X2 = 2100/ 15 = 140
D (0 , 140)

53.  Comprando sólo Píldora A :
5 X1 + 15 X2 = 1500
5 X1 + 0 = 1500
X1 = 300
E (300 , 0)

54.  Comprando sólo Píldora B :
• 5X1 + 15 X2 = 1500
• 0 + 15 X2 = 1500
• X2 = 100
• F (0 , 100)

55. 230
300
250
200
150
100
50
50
100
150
200
250
300

56.  Queda delimitada por los vértices de las líneas AB y CD; y el
vértice de las líneas CD y EF.
230
300
250
200
150
100
50
50
100
150
200
250
300
A (60,0)
B (0,240)
C (210,0)
D (0,40)
E (300,)0
F (0,100)

57.  “La solución gráfica de un problema de
programación lineal se encuentra en un
vértice”
 Ya se tiene el área factible de solución,
ahora es necesario encontrar cual de los
vértices proporciona mayor utilidad, para
ello, se sustituye el valor de E y B en la
función objetivo

58.  Para encontrar las coordenadas del vértice
de las líneas AB y CD (punto G) es preciso
solucionar el sistema de ecuaciones formado
por:
Fe 40X1 + 10X2 = 2400
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100

59.  La solución de un sistema de ecuaciones se
localiza en el vértice, en donde las líneas que
representan a las ecuaciones se cruzan.
 Métodos:
 Suma y resta
 Igualación
 Sustitución

60. Método de suma y resta
Fe 40X1 + 10X2 = 2400
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100
• Se multiplica Vitamina B1 por –4:

61. Se realiza la suma
40X1 + 10X2 = 2400
+
-40X1 - 60 X2 = -8400
0 - 50X2 = -6000
X2 =-6000/-50 = 120
X2 = 120

62. Se sustituye
10X1 + 15 X2 = 2100
10X1 + 15(120) = 2100
10X1 = 2100-1800
X1 = 300/10
X1 = 30

63. Coordenada del Vértice
Punto G (30, 120)

64.  Para encontrar las coordenadas del
vértice de las líneas CD y EF (punto H)
es preciso solucionar el sistema de
ecuaciones formado por:
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100
Vitamina B2 5X1 + 15X2 = 1500

65. Método de suma y resta
Vitamina B1 10X1 + 15 X2 = 2100
Vitamina B2 5X1 + 15X2 = 1500
• Se multiplica Vitamina B1 por (–):

66. Se realiza la suma
10X1 + 15X2 = 2100
+
-5X1 - 15 X2 = -1500
5 X1 = 600
X1 =600/5= 120
X1= 120

67. Se sustituye
5X1 + 15 X2 = 1500
5( 120) + 15X2 = 1500
15 X2= 1500-600
X2 = 900/15
X2 = 60

68. Coordenada del Vértice
Punto H (120, 60)

69. Sustituir el punto
E (300,0)
Z=300 (6) + 0 (8)
Z=1800 + 0
Z = 1800
El costo en el punto E es
$18.00
MINIMIZAR Z = X1 (6) + X2 (8)
Sustituir el punto
B (0, 240)
Z = 0 (6) + 240 (8)
Z = 0 + 1920
Z = 1920
El costo en el punto B es
$19.20

70. Sustituir el punto
G (30,120)
Z=30 (6) + 120 (8)
Z=180 + 960
Z = 1140
El costo en el punto G es
$11.40
MINIMIZAR Z = X1 (6) + X2 (8)
Sustituir el punto
H (120,60)
Z = 120 (6) + 60 (8)
Z = 720 + 480
Z = 1200
El costo en el punto H es
$12.00

71.  ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe
comprar el dueño del paciente para cubrir
sus requerimientos de hierro y vitamina al
menor costo?
 30 PÍLDORAS A Y 120 PÍLDORAS B, A UN
COSTO DE $ 11.40