Funciones exponenciales, gráficas y aplicaciones.

1. Funciones Exponenciales
y sus gráficas
Prof. Rosa E. Padilla

2. Función exponencial
• Una función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, donde 𝑥𝜖ℝ,
𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, es llamada una función
exponencial, base a.
𝑓 𝑥 = 2 𝑥
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
𝑓 𝑥 = (3.57) 𝑥

3. Graficando funciones
exponenciales
• Grafica la función 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
• Construir una tabla de valores y graficar
x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒙
(x, y)
0 𝑓 0 = 20
= 1 (0, 1)
1 𝑓 1 = 21
= 2 (1, 2)
2 𝑓 2 = 22
= 4 (2, 4)
3 𝑓 3 = 23
= 8 (3, 8)
-1
𝑓 −1 =
1
21
=
1
2
−1,
1
2
-2
𝑓 −2 =
1
22
=
1
4
−2,
1
4
-3
𝑓 −3 =
1
23
=
1
8
−3,
1
8

4. x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙
(x, y)
Graficando funciones
exponenciales
• Grafica la función 𝑓 𝑥 = 3 𝑥
• Practica:
x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝒙
(x, y)
0 1 (0, 1)
1 3 (1,3)
2 9 (2, 9)
3 27 (3, 27)
-1 1
3
−1,
1
3
-2 1
9
−2,
1
9
-3 1
27
−3,
1
27

5. x 𝒚 = 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙
(x, y)x 𝒚 = 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟐
𝒙
(x, y)
0 1 (0, 1)
1 1
2
1,
1
2
2 1
4
2,
1
4
3 1
8
3,
1
8
-1 2 −1, 2
-2 4 −2, 4
-3 8 −3, 8
Graficando funciones
exponenciales
• Grafica la función 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥

6. x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐−𝒙
(x, y)x 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟐−𝒙
(x, y)
0 1 (0, 1)
1 1
2
1,
1
2
2 1
4
2,
1
4
3 1
8
3,
1
8
-1 2 −1, 2
-2 4 −2, 4
-3 8 −3, 8
Graficando funciones
exponenciales
• Grafica la función 𝑓 𝑥 = 2−𝑥

7. ¿Qué relación se observa entre
las bases a en 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
?

8. Propiedades de las funciones
exponenciales
• Dado 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥
, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1.
– Continuo
– Uno a uno
– Dominio: −∞, ∞
– Creciente si 𝑎 > 0
– Decreciente si 0 < 𝑎 < 1
– Asíntota horizontal en el eje x
– Intercepto en y: (0,1)

9. x f(x)
-1
0
1
2
3
4
5
Grafica cada función
1. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥−2
x f(x)
-1 1
8
0 1
4
1 1
2
2 1
3 2
4 4
5 8

10. x f(x)
-2
-1
0
1
2
3
Grafica cada función
2. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
− 4
x f(x)
-2 −3
3
4
-1 −3
1
2
0 −3
1 −2
2 0
3 4

11. x f(x)
−3
−2
−1
0
1
2
Grafica cada función
3. 𝑓 𝑥 = 5 − 2−𝑥
x f(x)
−3 −3
−2 1
−1 3
0 4
1 4
1
2
2 4
3
4

12. Aplicaciones
• Interés compuesto
– La cantidad de dinero A que el principal P crecerá después de t
años a una tasa de interés compuesto r (en forma decimal) por
n veces por año, está dada por la fórmula:
– 𝐴 = 𝑃 1 +
𝑟
𝑛
𝑛𝑡
– Suponga que $100,000 son invertidos al 6.5% de interés
compuesto semianual.
• Halla la función para la cantidad de dinero después de t
años.
• Grafica la función.
• Halla la cantidad de dinero en la cuenta para t = 0, 4, 8, 10
años.
• ¿Cuándo la cantidad de dinero en la cuenta llegará a
$400,000?

13. Solución a.
• Como P = $100,000, r = 6.5% = 0.065, n = 2
se sustituyen los valores en la función:
• 𝐴 𝑡 = 100,000 1 +
0.065
2
2∙𝑡
• 𝐴 𝑡 = $100,000(1.0325)2𝑡

14. Solución b.

15. Solución c.
• Calculamos valores utilizando la función
A(t) para los valores dados:
• 𝐴 0 = 100,000(1.0325) 2∙0
= $100,000
• 𝐴 4 = 100,000(1.0325) 2∙4
= $129,157.75
• 𝐴 8 = 100,000(1.0325) 2∙8
= $166,817.25
• 𝐴 10 = 100,000(1.0325) 2∙10
=
$189,583.79

16. Solución d.
• Para hallar el tiempo que toma para hacer
crecer su dinero a $400,000:
• 100,000(1.0325) 2𝑡
= $400,000
• Se resuelve para hallar el valor de t.
• 𝑦 = 100,000(1.0325) 2𝑥
−400,000
• 𝑥 = 21.67 años.
• Aproximadamente 21 años, 8 meses y dos
días.

17. Solución d.

18. El número e
• Nombrado así en 1741 por Leonhard
Euler.
• Surge de la función de interés compuesto.
• Suponga que $1 es invertido al 100% de
interés por un año.
• La fórmula de la función A definida en
términos de un número n de periodos
compuestos.

19. El número e
• P = 1, r = 100% = 1, t = 1
𝐴 = 𝑃 1 +
𝑟
𝑛
𝑛𝑡
= 1 +
1
𝑛
𝑛
= 1 1 +
1
𝑛
𝑛∙1
Si visualizamos la gráfica de la función A(n) cuando 𝑛 → ∞ nos encontramos con:

20. El número e

21. El número e
• Utiliza tu calculadora para hallar el valor
de 𝑒 𝑥
en cada caso. Redondea a 4 lugares
decimales.
𝑒 = 2.7182818284 …
1. 𝑒3
2. 𝑒−0.23
3. 𝑒0
4. 𝑒1
= 20.0855 = 0.7945
= 1 = 2.7183

22. Gráficas de funciones
exponenciales, Base e

23. Grafica las siguientes
funciones:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑒−0.5𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒−2𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+3

24. 1. 𝑓 𝑥 = 𝑒−0.5𝑥

25. 2. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒−2𝑥

26. 3. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+3

27. Calcula a cuatro lugares
decimales:
1. 𝑒4
2. 𝑒10
3. 𝑒−2.458
4.
1
e3
2
= 54.5982 = 22026.4658
= 0.0856 = 0.0025

28. Parea cada gráfica con su
función
1. 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 2. 𝑓 𝑥 = −
1
2
𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥
+ 3
4. 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑥+1 5. 𝑓 𝑥 = 3−𝑥 − 2 6. 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑒 𝑥
a)
e)f) c)
b) d)

29. Grafica las siguientes
funciones:
1. 𝑓 𝑥 = 5 𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 6 𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 3−𝑥 4. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑥
5. 𝑓 𝑥 =
2
3
𝑥
6. 𝑓 𝑥 = 3 − 3 𝑥
7. 𝑓 𝑥 = −0.25 𝑥
+ 4 8. 𝑓 𝑥 = 0.6 𝑥 − 3
9. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑒 𝑥
10. 𝑓 𝑥 = 2𝑒−𝑥

30. 1. 𝑓 𝑥 = 5 𝑥

31. 2. 𝑓 𝑥 = 6 𝑥

32. 3. 𝑓 𝑥 = 3−𝑥

33. 4. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑥

34. 5. 𝑓 𝑥 =
2
3
𝑥

35. 6. 𝑓 𝑥 = 3 − 3 𝑥

36. 7. 𝑓 𝑥 = −0.25 𝑥 + 4

37. 8. 𝑓 𝑥 = 0.6 𝑥 − 3

38. 9. 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑒 𝑥

39. 10. 𝑓 𝑥 = 2𝑒−𝑥

40. Interés compuesto 1
• Suponga que $82,000 son invertidos a
4
1
2
% compuesto, trimestralmente.
– Halla la función para la cantidad de dinero
disponible a t años.
– Grafica la función.
– Halla la cantidad de dinero para t = 0, 2, 5 y 10
años.
– ¿Cuánto tiempo toma aumentar el dinero de
la cuenta a $100,000?

41. Interés compuesto 2
• Suponga que $750 son invertidos a 7%
compuesto, semianual.
– Halla la función para la cantidad de dinero
disponible a t años.
– Grafica la función.
– Halla la cantidad de dinero para t = 1, 6, 10, 15
y 25 años.
– ¿Cuánto tiempo toma aumentar el dinero de
la cuenta a $3,000?