Ex resolts 1a av 4t eso op b

Tema 6 – Semejanza de triángulos – Matemáticas - 4º ESO 1

TEMA 6 – SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
ESCALAS

EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la
realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene
Fernando en la realidad?

Solución
Altura en la foto de María 2,5 1
 Calculamos la escala: Escala     La escala es 1:67.
Altura real de María 167,5 67
 Calculamos la altura real de Fernando: Altura real  67 · 2,7  180,9 cm

EJERCICIO 2 : Una empresa de construcción ha realizado la maqueta a escala 1:90 de un nuevo
edificio de telefonía móvil, con forma de pirámide cuadrangular. En la maqueta, la altura de la
pirámide es de 5,3 dm y el lado de la planta es de 2,4 dm. Calcula el volumen real del edificio
expresando en metros cúbicos el resultado.

Solución:
1
El volumen de una pirámide es  Área de la base  Altura.
3
Calculamos la altura en la realidad: Altura real  5,3 · 90  477 dm
Calculamos el área de la base en la realidad, aplicando que la razón entre las áreas de dos figuras
Maqueta  2,42  5,76 dm2
semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza: Área de la base 
Real  A
A
Razón de semejanza  90  Luego:  902  A  90 2  5,76  46 656 dm2
5,76
Finalmente, sustituyendo en la fórmula del volumen, se obtiene:
1
VREAL   46 656  477  7 418304 dm3  7 418,304 m3
3

EJERCICIO 3 : Lorena presenta este plano de su cocina junto con el tendedero a una empresa de
reformas. ¿De qué superficie dispondrá si decide unir la cocina y el tendedero?

Solución:
Medimos en el plano las dimensiones correspondientes:
Largo  7,4 cm Largo  3,5 cm
Cocina  Tendedero 
 Ancho  3,4 cm  Ancho  1,3 cm
Calculamos las dimensiones reales sabiendo que el plano está realizado a escala 1:50:
Largo  7,4  50  370 cm  3,7 m

Cocina    Área  3,7  1,7  6,29 m
 Ancho  3,4  50  170 cm  1,7 m 

Largo  3,5  50  175 cm  1,75 m

Tendedero    Área  1,75  0,65  1,14 m2
 Ancho  1,3  50  65 cm  0,65 m 

Área total disponible  6,29  1,14  7,43 m2

EJERCICIO 4 : Se quiere enmarcar una fotografía de dimensiones 6 cm  11 cm. Calcula las
dimensiones del marco para que la razón entre el área del marco y el área de la fotografía sea 25/16.

Solución
Llamamos x  área del marco  x 25
2   por ser la fotografía y el marco
Área fotografía  66 cm  66 16
25
semejantes, y la razón entre sus áreas, .
16
x 25 25 5
De la igualdad  se deduce que la razón de semejanza es  .
66 16 16 4
5 30 5 55
Dimensiones del marco: 6    7,5 cm 11   13,75 cm.
4 4 4 4

EJERCICIO 5 : En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm.
a ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos?
b ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km?

Solución
Distancia mapa
a) Distancia real   1,3  250000  325 000 cm  3,25 km 
Escala
En la realidad están separados 3,25 km.
1500000
b) Distancia mapa  Escala  Distancia real   6 cm
250000
En el mapa, los dos pueblos están separados 6 cm.

EJERCICIO 6 : Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la
habitación y las dimensiones de la cama.

Solución

 Dimensiones en el plano de la habitación:
 Largo  6,5 cm  Ancho  6,3 cm
Dimensiones reales de la habitación:
 Largo  6,5 · 50  325 cm  3,25 m  Ancho  6,3 · 50  315 cm  3,15 m
Área de la habitación  3,25 · 3,15  10,24 m2
 Dimensiones en el plano de la cama:
 Largo  3,8 cm  Ancho  2,7 cm
En la realidad, las dimensiones de la cama serán:
 Largo  3,8 · 50  190 cm  1,9 m  Ancho  2,7 · 50  135 cm  1,35 m

EJERCICIO 7 : En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese
mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la
distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm?

Solución

En este mapa, 7,5 cm representan 153 km reales. 7,5 cm  153 km  15 300 000 cm
Distancia mapa 7,5 1
Escala     La escala es 1:2 040 000.
Distancia real 15300 000 2040000
Si en el mapa hay dos poblaciones que distan 12,25 cm, la distancia real será:
12,25 · 2 040 000  24 990 000 cm  249,9 km

PROBLEMAS

EJERCICIO 8 : Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura
de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué
profundidad tiene la piscina?

Solución: Hacemos un dibujo que refleje la situación:

x  profundidad de la piscina

Los triángulos ABC y CDE son semejantes (sus ángulos son iguales).
2,3 x 2,3  1,74
Luego:   x  3,45 m  La profundidad de la piscina es de 3,45 m.
1,16 1,74 1,16

EJERCICIO 9 : Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la
altura y la proyección de un lado sobre el lado mayor hipotenusa miden 15,3 m y 8,1 m,
respectivamente. Calcula el perímetro del parterre.

Solución: Dibujamos un triángulo rectángulo y ponemos los datos en él:

Hemos de calcular x, y, z.
 Por el teorema de la altura, calculamos x: 15,32  8,1 · x  234,09  8,1 · x  x  28,9 m
 Calculamos y, z usando el teorema del cateto:
z 2  8,1 28,9  8,1  z 2  8,1 37  z2  299,7
y 2  28,9  28,9  8,1  y 2  28,9  37  y 2  1069,3
Luego: z  17,31 m, y  32,7 m
Así, el perímetro del parterre será: 17,31  32,7  37  87,01 m

EJERCICIO 10 : Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día
proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una
sombra de 85 cm.

Solución
La casa y la persona forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes por
ser los rayos del sol, en cada momento, paralelos.


x  altura de la casa
x 3,5 3,5  1,87
Por la semejanza de triángulos, se tiene:  x  7,7 m es la altura de la casa.
1,87 0,85 0,85

EJERCICIO 11 : Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina, que
está en el portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento. Observa el dibujo e indica
cuál de las dos farmacias está más cerca de Cristina haciendo los cálculos que correspondan. ¿A
qué distancia está Cristina del quiosco?

Solución
Según el dibujo, las visuales desde donde está Cristina a las farmacias forman un ángulo de 90.
Pongamos los datos en el triángulo:

 Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:
x 2  18,05  21,25  x 2  383,56  x  19,58 m
 
y 2  3,2  21,25  y 2  68  y  8,25 m
Cristina está más cerca de la farmacia 2.
2 2
 Calculamos h usando el teorema de la altura:h  18,05 · 3,2  h  57,76  h  7,6 m
Cristina está a 7,6 m del quiosco.

EJERCICIO 12 : En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su
altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del
rectángulo.

Solución
Hacemos un dibujo que represente la situación:


Los triángulos ABC y CDE son semejantes (están en posición de Tales).
5 7
Luego   7a  5 7  2a   7a  35  10a  17a  35  a  2,06 cm
a 7  2a
Las dimensiones del rectángulo son, aproximadamente, 2,06 y 4,12 cm.

EJERCICIO 13 : Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los
días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y
responde:

a ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo?
b ¿Qué distancia separa ambas casas?

Solución

Necesitamos calcular x e y:
 Para calcular x lo más rápido es calcular el valor de la hipotenusa, que llamaremos z, aplicando el
teorema del cateto: 7,52  4,5 · z  56,25  4,5 · z  z  12,5 km
Así, la distancia entre ambas casas es de 12,5 km.
 Calculamos y aplicando, de nuevo, el teorema del cateto:
y 2  x  z  y 2  12,5  4,5   12,5  y 2  8  12,5  y 2  100  y  10 km
Entre la casa de Víctor y el polideportivo hay 10 km.

EJERCICIO 14 : El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de
A. Calcula la longitud del circuito sabiendo que AC  5 km y la distancia de B al albergue
.
es de 2,4 km.

Solución

El objetivo es calcular AB y BC.
 Empezamos por calcular x aplicando el teorema de la altura: 2,42  x · 5  x  5,76  5x  x2 
3,2
5  25  23,04 5  1,96 5  1,4 
x2  5x  5,76  0   x  
2 2 1 
1,8
Si x  3,2  5  x  5  3,2  1,8
 Tenemos pues, según el dibujo, que x  1,8 km y 5  x  3,2 km.
Si x  1,8  5  x  5  1,8  3,2
y 2  1,8  5  y 2  9  y  3km
 Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto: 2 2
z  3,2  5  z  16  z  4km
La longitud del circuito será 3  4  5  12 km.

EJERCICIO 15 : Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos
se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y
los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella.
¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos
muelles es de 90).

Solución
Hacemos una representación del problema:

x 2  6,1 2,5  x 2  15,25  x  3,91km
 Aplicando el teorema del cateto, calculamos x e y:
y 2  6,1 3,6  y 2  21,96  y  4,69 km
El barco se encuentra a 3,91 km de un muelle y a 4,69 km del otro.
 Calculamos la distancia del barco a la playa, aplicando el teorema de la altura: h2  2,5 · 3,6 
2
h  9  h  3 km  La distancia del barco a al playa es de 3 km

EJERCICIO 16 : Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en
el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

Solución
La longitud de un puente será x  10,2; la del otro, y  6,5; por tanto, el objetivo está en calcular el valor
de x e y.
Los triángulos que se forman son semejantes (sus tres ángulos son iguales) y son:


15,9 10,2 10,6  10,2
  x  6,8 m
10,6 x 15,9
Se cumple, pues, la proporcionalidad entre lados respectivos:
15,9 y 15,9  6,5
  y  9,75 m
10,6 6,5 10,6
Las longitudes de los puentes son: 6,8  10,2  17 m y 9,75  6,5  16,25 m.

EJERCICIO 17 : Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se
refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del
lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente.

Solución
Hacemos una representación del problema llamando x a la altura del árbol:

Los dos triángulos rectángulos que se obtienen son semejantes (sus ángulos son iguales),
x 7,5
Luego:   x  3,56 Por tanto, la altura del árbol es de 3,56 m.
1,52 3,2

EJERCICIO 18 : Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del día, una vara
vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante
por la torre?

Solución
La torre y la vara forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes por ser
los rayos del sol, en cada momento, paralelos.

Por la semejanza de triángulos se obtiene:
100 x 100  0,6
  x  150 Por tanto, la sombra de la torre mide 150 m.
0,4 0,6 0,4

EJERCICIO 19 : Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de
un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y
los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la
montaña, calcula la altura de la montaña.

Solución


x 138 1,5  138
En la figura tenemos dos triángulos semejantes. Luego:   x  90
1,5 2,3 2,3
La altura de la montaña será: x  1,82  90  1,82  91,82 m

EJERCICIO 20 : Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 m en el mismo
momento que la sombra de Alberto, de altura 1,80 m, mide 3 m.

Solución
Alberto y el edificio forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes pues
los rayos del sol, en cada momento, son paralelos.

x 47 1,8  47
Por la semejanza de triángulos se tiene:   x  28,2 
1,8 3 3
El edificio mide 28,2 m de altura.

EJERCICIO 21 : Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B,
C, rectángulo en B. Se sabe que AC  35,36 m y la altura sobre AC es 15,6 cm. .
Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m.

Solución

El objetivo es calcular x e y; calculamos previamente a y b, usando el teorema de la altura:
15,62  a  b  2 2 2
  15,6  a  35,36  a   243,36  35,36a  a  a  35,36a  243,36  0 
b  35,36  a 
26  b  9,36
35,36  276,8896 35,36  16,64 
 a 
2 2 
9,36  b  26
Observando el dibujo, tomamos a  9,36 m y b  26 m.
Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:

x 2  a  35,36  x 2  9,36  35,36  x 2  330,9696
 Luego, x  18,19 m e y  30,32 m.
y 2  b  35,36  y 2  26  35,36  y 2  919,36
La cantidad de cable que se necesita coincidirá con el perímetro del triángulo:
18,19  30,32  35,36  83,87 m
Y su coste será 83,87 · 0,3  25,16 €

EJERCICIO 22 : Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la
proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente.

Solución:

Necesitamos calcular el valor de x, y, z.
 Calculamos x aplicando el teorema de la altura:22  x · 2,5  4  x · 2,5  x  1,6 cm
 Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto:
y 2  1,6  1,6  2,5   y 2  1,6  4,1  y 2  6,56
 Luego, y  2,56 cm y z  3,2 cm.
z2  2,5  1,6  2,5   z 2  2,5  4,1  z 2  10,25
4,1 2
Por tanto: Perímetro  2,56  3,2  4,1  9,86 cm Área   4,1 cm2
2

AREAS Y VOLÚMENES

EJERCICIO 23 : Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a
oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen
que el edificio tendrá en la maqueta.

Solución
Calculamos la longitud, L; de la arista en la maqueta:
7 000
70 m  7 000 cm longitud  L  Longitud real  escala   70 cm
100
Luego: Area de la planta  70 · 70  4 900 cm2  0,49 m2
Volumen del edificio  703  343 000 cm3  0,343 m3

EJERCICIO 24 : Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son
semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas.

Solución
Sí son semejantes. Por ser pentágonos regulares, todos sus lados y sus ángulos medirán lo
7
mismo, luego la razón de semejanza será siempre la misma, .
5
La razón de semejanza entre sus áreas será igual al cuadrado de la razón de semejanza,
2
7 49
es decir, será    .
 5 25

EJERCICIO 25 : Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm  6 cm. Calcula el área y las dimensiones de
9
otro rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de .
4
Solución

Área del rectángulo conocido  3  6  18 cm2 
 x 9 18  9
    x  40,5 cm2
Área del rectángulo que nos piden  x 
 18 4 4
La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Por
9 3
tanto: Razón de semejanza  
4 2
3 9 3 18
Luego las dimensiones del rectángulo que nos piden son: 3    4,5 cm 6   9 cm
2 2 2 2

CUESTIONES

EJERCICIO 26 : ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona la respuesta:
a Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes.
b

Los triángulos AOC A’OB’ y A’’OB’’ no son semejantes.
c El valor de x es de 4 cm.

Solución
a Verdadero. En un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales, 60.
b) Falso. Los tres triángulos tienen dos ángulos iguales, el de 90° y el ángulo O, luego son semejantes.
c Verdadero. Los dos triángulos que se forman están en posición de Tales, luego:
2 x 23
  x  4 cm
1,5 3 1,5

EJERCICIO 27 : Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones:
a En dos triángulos semejantes, la razón de dos alturas correspondientes es igual a la razón de
semejanza.

b ABC es semejante a CDE.

c En dos triángulos isósceles, el ángulo que forman sus dos lados iguales coincide (70), pero los
triángulos no son semejantes.

Solución
a Verdadero. Dibujamos dos triángulos y trazamos la misma altura en ambos:

ABC y ABC son semejantes  A  A.

ABD y ABD serán semejantes por tener dos ángulos iguales, que son A y D  90.

BD AB
Luego, sus lados han de ser proporcionales. Así:   razón de semejanza
BD AB
Luego la razón entre dos alturas correspondientes será igual a la razón de semejanza.
b Falso. Sus lados no son proporcionales.

15 10 9
   A simple vista se ve que uno es isósceles y otro no.
3 2 2
c Falso. En ambos triángulos los ángulos van a coincidir.

    180  70
    110  110  En ambos triángulos, los ángulos son de 70, 55 y 55.
    55
  2

EJERCICIO 28 : Explica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes.
b Si unimos los puntos medios de un cuadrado obtenemos otro cuadrado que no es semejante al
anterior.
c


Los triángulos ABC y CDE son semejantes.

Solución
a Verdadero. Por ser rectángulo, un ángulo será de 90. Luego,     90. Por ser isósceles,   , es
decir,     45.

Todos los triángulos rectángulos isósceles serán semejantes, por tener los ángulos respectivos iguales:
90, 45 y 45.
b

Falso. La razón de semejanza entre los lados de dos cuadrados es siempre la misma,
a
, según la figura.
b
c Verdadero. Los tres ángulos son iguales en ambos:
180  115  21  44  Los ángulos son pues de 115, 21 y 44.

EJERCICIO 29 : Razona las siguientes afirmaciones, indicando si son ciertas o no.
a Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes.

b Los triángulos ABC y ABD están en posición de Tales.

c Los triángulos ABC y A’B’D’ con C = C’, AC = 6 cm, BC = 8 cm, A’B’ = 9 cm y
B’C’ = 12 cm son semejantes.

Solución
a Falso. Tendrían el ángulo recto igual, pero necesitaríamos que los catetos fueran proporcionales entre
ambos triángulos, o bien que uno de los ángulos agudos coincidiera en los dos triángulos.
b Falso. Tienen un ángulo en común, pero los lados opuestos a este ángulo no son paralelos.
c

9 12
  1,5  Verdadero. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman esos lados es igual.
6 8

EJERCICIO 30 : Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
a El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm.

b El triángulo ABD es semejante al triángulo ABC.

c Dos antenas verticales y paralelas forman con sus sombras dos triángulos que están en posición
de Tales se suponen antenas de distintas alturas.

Solución
7,5 12,5 16,8
a Falso. Los lados no son proporcionales:  
3 5 7
b Verdadero. Colocamos los dos triángulos rectángulos por separado:

34,56 14,4
  2,4
14,4 6
Son semejantes porque tienen un ángulo igual el de 90 y los lados de ese ángulo son proporcionales.
c Verdadero. Hagamos un dibujo que represente la situación:

Se forman dos triángulos rectángulos, con un ángulo común  y los lados opuestos a éste ángulo son
paralelos. Por tanto, están en posición de Tales.

Tema 7 – Trigonometría – Matemáticas 4º ESO 1

TEMA 7 – TRIGONOMETRÍA
UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS

EJERCICIO 1
7π
) ° °
a) Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210° y 70° b) Pasa a grados los ángulos : rad y 3, 5 rad
6

Solución:
π 7π π 7π
a) 210 o = 210 ⋅ rad = rad 70 o = 70 ⋅ rad = rad
180 6 180 18
7π 7π 180 o 180 o
b) rad = ⋅ = 210 o 3, 5 rad = 3, 5 ⋅ = 200 o 32' 7"
6 6 π π

EJERCICIO 2 : Completa la tabla:

Solución:
π 13 π 4π 4π 180 o
130 o = 130 ⋅ rad = rad rad = ⋅ = 240 o
180 18 3 3 π
π 11π 180 o
330 o = 330 ⋅ rad = rad 1, 5 rad = 1, 5 ⋅ = 85 o 56' 37"
180 6 π
Por tanto:

CÁLCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIO 3 : Sabiendo que α es un ángulo agudo y que el cos α = 1/5, calcula sen α y tg α.

Solución:
2
1  1 1 24 2 6
Como cos α = →   + sen α = 1 →
2
+ sen 2 α = 1 → sen 2 α = →→ sen α =
5  5 25 25 5
sen α 2 6 1
Luego, tg α = = : =2 6 → tg α = 2 6
cos α 5 5

EJERCICIO 4 : Completa la siguiente tabla haciendo uso de las relaciones fundamentales y sabiendo
que α es un ángulo agudo:
sen α

cos α 0,25

tg α 0,6

Solución:
• Si cos α = 0,25 → (0,25) + sen α = 1 → sen α = 0,9375
2 2 2

0,97
Luego, sen α ≈ 0,97 y tg α = ≈ 3,88.
0,25

• Si tg α = 0,6 → sen α = 0,6 cos α → (0,6 cos α) + cos α = 1
2 2

0,36 cos α + cos α = 1 → 1,36 cos α = 1 → cos α ≈ 0,74 → cos α ≈ 0,86
2 2 2 2

Luego, sen α = 0,6 · 0,86 ≈ 0,52 y la tabla queda:
sen α 0,97 0,52

cos α 0,25 0,86

tg α 3,88 0,6

4
EJERCICIO 5 : Calcula sen α y cos α de un ángulo agudo, α , sabiendo que la tg α = .
3
Solución:
4 sen α 4 4
Si tg α = → = → sen α = cos α
3 cos α 3 3
2
4  16
sen 2 α + cos 2 α = 1 →  cos α  + cos 2 α = 1 → cos 2 α + cos 2 α = 1
3  9
25 9 3
cos 2 α = 1 → cos 2 α = → cos α =
9 25 5
4 3 4
Luego, sen α = ⋅ → sen α =
3 5 5

EJERCICIO 6 : Sabiendo que 0° < α < 90°,
° ° completa la siguiente tabla usando las relaciones
fundamentales:
sen α 0,8

cos α

tg α 0,75

Solución:
sen α
• Si tg α = 0,75 → = 0,75 → sen α = 0,75 ⋅ cos α
cos α
( 0,75 cos α )
2
sen 2 α + cos 2 α = 1 → + cos 2 α = 1 → 0,5625 cos 2 α + cos 2 α = 1

1,5625 cos 2 α = 1 → cos 2 α = 0,64 → cos α = 0,8
Luego, sen α = 0,75 · 0,8 = 0,6.
• Si sen α = 0,8 → sen α + cos α = 1 → (0,8) + cos α = 1 →
2 2 2 2

→ 0,64 + cos α = 1 → cos α = 0,36 → cos α = 0,6
2 2

0,8 )
Luego, tg α = = 1,3.
0,6
Completamos la tabla:
sen α 0,6 0,8

cos α 0,8 0,6
)
tg α 0,75 1,3

3
EJERCICIO 7 : De un ángulo agudo, α, conocemos que sen α = . Halla cos α y tg α.
5
Solución:

2
3 9
sen α + cos α = 1 →   + cos 2 α = 1 →
2 2
+ cos 2 α = 1
5 25
9 16 4
cos 2 α = 1 − → cos 2 α = → cos α =
25 25 5
sen α 3 4 3 3
tg α = = : = → tg α =
cos α 5 5 4 4

EJERCICIO 8 : Completa la tabla sin usar calculadora (0° ≤ α ≤ 90°):
° °

α °
90°

sen α 0

cos α 3/2

tg α 3

Solución:
α 0 °
90° 60° 30°

sen α 0 1 3/2 1/2

cos α 1 0 1/2 3/2
NO
tg α 0 EXISTE 3 3/3

EJERCICIO 9 : Sin hacer uso de la calculadora, halla el valor exacto de las razones trigonométricas
°
que faltan o del ángulo α, sabiendo que 0° ≤ α ≤ 90°:
°

sen α 1

cos α 1/2

tg α 3 /3

α °
45°
Solución:
sen α 3/2 1/2 1 2/ 2

cos α 1/2 3/2 0 2/ 2
NO
tg α 3 3/3 EXISTE 1

α 60° 30° 90° °
45°

°
EJERCICIO 10 : Sin usar calculadora, completa la siguiente tabla (0° ≤ α ≤ 90°):
°

α °
60°

sen α 2 /2

cos α 1
NO
tg α EXISTE

Solución:
α 90° °
60° 0° 45°

sen α 1 3/2 0 2/2

cos α 0 1/2 1 2/ 2
NO
tg α EXISTE 3 0 1

EJERCICIO 11 : Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas que faltan o del ángulo α, sin
usar calculadora (0° < α ≤ 90°):
° °
sen α 3/2

cos α 2/2

tg α 0

α °
30°

Solución:
sen α 3/2 0 1/2 2/ 2

cos α 1/2 1 3/2 2/2

tg α 3 0 3/3 1

α 60° 0° °
30° 45°

EJERCICIO 12 : Completa la tabla sin usar calculadora (0° ≤ α ≤ 90°):
° °
α °
0°

sen α 1/2

cos α 0

tg α 1

Solución:
α °
0° 30° 45° 90°

sen α 0 1/2 2/ 2 1

cos α 1 3/2 2/ 2 0
NO
tg α 0 3/3 1 EXISTE

EJERCICIO 13 : Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo
siguiente:

Solución:

Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras:
x + 1,2 = 1,3 → x + 1,44 = 1,69 → x = 0,25 → x = 0,5 m
2 2 2 2 2

Calculamos las razones trigonométricas de α y β:
0,5 1,2 0,5
sen α = ≈ 0,38 cos α = ≈ 0,92 tg α = ≈ 0,42
1,3 1,3 1,2
1,2 0,5 1,2
sen β = ≈ 0,92 cos β = ≈ 0,38 tg β = ≈ 2,4
1,3 1,3 0,5

EJERCICIO 14 :
)
a) Comprueba, usando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de lados 6 cm, 8 cm y 10 cm es
rectángulo.
)
b) Calcula las razones trigonométricas de sus dos ángulos agudos.

Solución:
a) 10 = 6 + 8 → 100 = 36 + 64 → 100 = 100
2 2 2

Se cumple el teorema Pitágoras. Por tanto, es rectángulo.
b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β:
6 8 6
sen α = = 0,6 cos α = = 0,8 tg α = = 0,75
10 10 8
8 6 8 )
sen β = = 0,8 cos β = = 0,6 tg β = = 1,3
10 10 6

EJERCICIO 15 : Halla las razones trigonométricas de los ángulos α y β del triángulo ABC
sabiendo que es rectángulo.

Solución:
Sea x la longitud de la hipotenusa; por el teorema de Pitágoras:
12,96 + 17,28 = x → x = 466,56 → x = 21,6 cm
2 2 2 2

Calculamos las razones trigonométricas de α y β:
12,96 17,28 12,96
sen α = = 0,6 cos α = = 0,8 tg α = = 0,75
21,6 21,6 17,28
17,28 12,96 17,28 )
sen β = = 0,8 cos β = = 0,6 tg β = = 1,3
21,6 21,6 12,96

EJERCICIO 16 :
)
a) Calcula x e y en el triángulo:

)
b) Halla el seno, el coseno y la tangente de los ángulos α y β .

Solución:
a) Calculamos y aplicando el teorema de Pitágoras:
5 = 3 + y → 25 = 9 + y → 16 = y → y = 4 cm
2 2 2 2 2


Calculamos x sabiendo que la longitud de los catetos del triángulo BDC miden 3 cm y 12 − 4 = 8 cm:
x = 3 + 8 → x = 9 + 64 → x = 73 → x ≈ 8,54 cm
2 2 2 2 2

b) Calculamos las razones trigonométricas de α y β:
4 3 4 )
sen α = = 0,8 cos α = = 0,6 tg α = = 1,3
5 5 3
3 8 3
sen β = ≈ 0,35 cos β = ≈ 0,94 tg β = ≈ 0,375
8,54 8,54 8

EJERCICIO 17 : Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo en el que
uno de sus catetos mide 2,5 cm y la hipotenusa, 6,5 cm.

Solución:
Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor aplicando el teorema de Pitágoras:
x + 2,5 = 6,5 → x + 6,25 = 42,25 → x = 36
2 2 2 2 2

Luego x = 6 cm es la longitud del otro cateto.

• Calculamos las razones trigonométricas de α:
6 2,5 6
sen α = ≈ 0,92 cos α = ≈ 0,38 tg α = ≈ 2,4
6,5 6,5 2,5
• Calculamos las razones trigonométricas de β:
2,5 6 2,5
sen β = ≈ 0,38 cos β = ≈ 0,92 tg β = ≈ 0,42
6,5 6,5 6

EJERCICIO 18 : De un ángulo α sabemos que la tag α = 3/4 y 180º < α < 270º. Calcula sen α y cos α.

Solución:
3 sen α 3 3
Como tg α = → = → sen α = cos α
4 cos α 4 4
sen 2 α + cos 2 α = 1
 19 25
3  cos 2 α + cos 2 α = 1 → cos 2 α = 1
sen α = cos α  6 16
4 
16 4
cos 2 α = → cos α = − por estar α en el tercer cuadrante.
25 5
3  4 3 3
Asi, sen α = ⋅  −  = − → sen α = −
4  5 5 5

2
EJERCICIO 19 : Si cos α = y 270° < α < 360°, calcula sen α y tg α.
3
Solución:

En el cuarto cuadrante, sen α < 0 y tg α < 0.
2
 2 2 7
sen 2 α + cos 2 α = 1 →  + sen 2 α = 1 → sen 2 α = 1 − → sen α = −
 3 
 9 3
 
sen α  7 2 7 14 14
tg α = = − =− =− → tg α = −
 3  3
:
cos α   2 2 2


EJERCICIO 20 :
5
Sabiendo que cos α = − y que α es un ángulo del tercer cuadrante, calcula sen α
5
y tg α.

Solución:
2
5  5 5
Como cos α = − → − + sen 2 α = 1 → + sen 2 α = 1
5  5 
 25
 
20 2 5
sen 2 α = → sen α = − (elegimos el signo − por estar α en el
25 5
tercer cuadrante).
sen α  2 5   5
Así, tg α = = −  : − =2 → tg α = 2
cos α    5 
5   


5
EJERCICIO 21 : Si sen α = y 90° < α < 180°, ¿Cuánto valen cos α y tg α?
3

Solución:
2
5  5 5
Si sen α = →  + cos 2 α =1 → + cos 2 α = 1
3  3  9
 
5 4 2
cos 2 α = 1 − → cos 2 α = → cos α = −
9 9 3
donde elegimos el signo − por ser 90° < α < 180°.
sen α 5  2 5 5
Así, tg α = = : −  = − → tg α = −
cos α 3  3 2 2

EJERCICIO 22 : Calcula sen α y cos α sabiendo que la tg α = − 5 y α ∈ 2º cuadrante.

Solución:
Como tg α = − 5 → sen α = − 5 cos α
sen α + cos α = 1 →
2 2
5 cos 2 α + cos 2 α = 1 →
1 1 6
→ 6 cos 2 α = 1 → cos 2 α = → cos α = − =− ,
6 6 6
por estar α en el 2º cuadrante.
 6 30
Así, sen α = − 5  − =
 6 
.
 6
 
6 30
La solución es: cos α = y sen α =
6 6

15
EJERCICIO 23 : Sabiendo que sen α = y que 90° < α < 180°, calcula el valor de cos α y tg α.
17

Solución:
En el 2º cuadrante, cos α < 0 y tg α < 0.
15 
sen α =
2
  15  225 64 8
17    + cos α = 1 →
2
cos 2 α = 1 − → cos 2 α = → → cos α = −
 17  289 289 17
sen α + cos α = 1
2 2

sen α 15  8  15 15
Luego: tg α = = : −  = − → tg α = −
cos α 17  17  8 8

5
EJERCICIO 24 : De un ángulo agudo, α, a sabemos que tg α = . Calcula sen α y cos α.
4

Solución:
5 sen α 5 5 
tg α = → = → sen α = cos α 
4 cos α 4 4  →
sen 2 α + cos 2 α = 1

2
5  25 41
→  cos α  + cos α = 1 →
2
cos 2 α + cos 2 α = 1 → cos 2 α = 1 →
4  16 16
16 4 4 41 5
→ cos 2 α = → cos α = → cos α = ≈ 0,62 ⇒ sen α = ⋅ 0,62 ≈ 0,78
41 41 41 4
7
EJERCICIO 25 : Sabiendo que cos α = − y que 180° < α < 270°, calcula sen α y tg α.
4
Solución:

sen 2 α + cos 2 α = 1
 7 9 3
7  sen 2 α + =1 → sen 2 α = → sen α = −
cos α = −  16 16 4
4 
En el tercer cuadrante, sen α < 0 y tg α > 0.

sen α 3 − 7 3 3 7 3 7
Luego: tg α = =− : = = → tg α =
cos α 4 4 7 7 7

EJERCICIO 26 : Calcula sen α y tg α de un ángulo agudo, α, sabiendo que cos α = 0,6.

Solución:
sen α + cos α = 1 → sen α + 0,6 = 1 → sen α = 1 − 0,36 → sen α = 0,64 → sen α = 0,8
2 2 2 2 2 2

sen α 0,8 ) )
Luego: tg α = = = 1,3 → tg α = 1,3
cos α 0,6

12
EJERCICIO 27 : Si sen α = − y α ∈ 4° cuadrante, calcula cos α y tg α.
13
Solución:
En el cuarto cuadrante, el cos α es positivo, y la tangente, negativa.
12 
sen α = −
2
  12  144 25
 − 13  + cos α = 1 → cos 2 α = 1 − → cos 2 α = →
2
13 
  169 169
sen 2 α + cos 2 α = 1

5
→ cos α =
13

sen α 12 5 12 12
Luego: tg α = =− : =− → tg α = −
cos α 13 13 5 5

CAMBIO DE CUADRANTES

° ° °
EJERCICIO 28 : Expresa, con valores comprendidos entre 0° y 360°, el ángulo de 2 130°. Calcula sus
razones trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo
con un ángulo del primer cuadrante.

Solución:
2 130° = 5 · 360° + 330°, luego calcular las razones trigonométricas de 2 130° equivale a calcular las
razones trigonométricas de 330°.

sen 2 130° = sen 330° = − sen 30° cos 2 130° = cos 330° = cos 30°
1 3 3
Así: sen 2130° = − ; cos 2130° = ; tg2130° =−
2 2 3

EJERCICIO 29 : Representa en la circunferencia goniométrica las razones trigonométricas del ángulo
° °
de 225°, y calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 225° con uno del primer
cuadrante.

Solución:

2
sen 225° = −sen 45° → sen225° = −
2
2
Observamos que: cos 225° = −cos 45° → cos225° = −
2
tg 225° = tg 45° → tg225° =
1

° °
EJERCICIO 30 : Representa en la circunferencia goniométrica sen 150°, cos 150° y tg 150°. °
°
Calcula el valor de cada una de ellas relacionando el ángulo de 150° con un ángulo del primer
cuadrante.

Solución:

1
sen 150° = sen 30° → sen150° =
2
3
En la circunferencia goniométrica observamos: cos 150° = −cos 30° → cos150° = −
2
3
tg 150° = −tg 30° → tg150° = −
3

°
EJERCICIO 31 : Calcula las razones trigonométricas de 240° dibujando previamente este ángulo en
la circunferencia goniométrica.

Solución:

3
sen 240° = −sen 60° → sen 240° = −
En el dibujo se observa que: 2
1
cos 240° = −cos 60° → cos 240° = −
2
sen 240°  3   1
Luego: tg 240° = = −  :  −  = 3 → tg 240° = 3
cos 240°  2   2 



°
EJERCICIO 32 : Sitúa sobre la circunferencia goniométrica, el ángulo de 135° y calcula sus razones
trigonométricas relacionándolo con uno del primer cuadrante.

Solución:

2
sen 135° = sen 45° → sen 135° =
2
Se observa en la circunferencia goniométrica que:
2
cos 135° = −cos 45° → cos 135° = −
2
Luego, tg 135° = −1.

EJERCICIO 33 : Relacionándolo con un ángulo del primer cuadrante, calcula las razones
°
trigonométricas de 210°.

Solución:
210° pertenece al 3 cuadrante y 180° + 30° = 210°.
er

Luego, las razones trigonométricas de 210° van a estar relacionadas con las razones trigonométricas de
1
sen 210° = −sen 30° → sen 210° = −
2

3
30°: cos 210° = −cos 30° → cos 210° = −
2

3
tg 210° = tg 30° → tg 210° =
3

°
EJERCICIO 34 : Sabiendo que cos 58° = 0,53, sen 58° = 0,85 y tg 58° = 1,6, calcula las razones
° °
°
trigonométricas de 122°.

Solución:
122° pertenece al 2º cuadrante y 122° + 58° = 180°.
sen 122° = sen 58° → sen 122° = 0,85

Relacionamos las razones trigonométricas de 122° y 58°: cos 122° = −cos 58° → cos 122° = −0,53

tg 122° = −tg 58° → tg 122° = −1,6

°
EJERCICIO 35 : Halla las razones trigonométricas de 315° estableciendo una relación entre dicho
ángulo y uno del primer cuadrante.

Solución:
Se sabe que 315° es un ángulo del 4º cuadrante, y además, 315° + 45° = 360°.
Relacionamos, pues, las razones trigonométricas de 315° con las razones trigonométricas de 45°:
2
sen 315° = −sen 45° → sen 315° = −
2

2
cos 315° = cos 45° → cos 315° =
2

tg 315° = −tg 45° → tg 315° = −1
°
EJERCICIO 36 : Calcula las razones trigonométricas de 227° a partir de las razones trigonométricas
de 47°: sen 47° = 0,73; cos 47° = 0,68; tg 47° = 1,07
° ° ° °
Solución:
227° es un ángulo correspondiente al 3 cuadrante. Además, 180° + 47° = 227°, luego:
er

sen 227° = −sen 47° → sen 227° = −0,73

cos 227° = −cos 47° → cos 227° = −0,68

tg 227° = tg 47° → tg 227° = 1,07

° ° °
EJERCICIO 37 : Calcula el valor del sen 120°, cos 120° y tg 120°, relacionándolos con un ángulo
del primer cuadrante.

Solución:
Observamos que 120° ∈ 2º cuadrante y que 180° −60° =120°.

3
Luego: sen 120° = sen 60° → sen 120° =
2

1
cos 120° = −cos 60° → cos 120° = −
2

tg 120° = −tg 60° → tg 120° = − 3

PROBLEMAS

EJERCICIO 38 : El ángulo que forma el suelo con la recta que une el extremo de la sombra de un
°
árbol con la parte superior del árbol es de 40°. Calcula la longitud de la sombra sabiendo que el árbol
mide 15 m de altura.

Solución:
Sea x la longitud de la sombra del árbol.

Como datos tenemos un ángulo y el cateto opuesto a ese ángulo; nos piden el cateto contiguo, luego la
15 15 15
tangente es la razón trigonométrica a usar: tg 40° = → x= ≈ ≈ 17,86 m
x tg 40° 0,84
La sombra del árbol mide 17,86 m.

EJERCICIO 39 : Carlos sube por una rampa de 35 m hasta el tejado de su casa. Estando ahí, mide la
°
visual entre su casa y la rampa, resultando ser de 70°. Calcula la altura de la casa de Carlos y el
ángulo que hay entre la rampa y el suelo.

Solución:

Llamamos h a la altura de la casa y α al ángulo que hay entre la rampa y el suelo.
Calculamos α: 90° + 70° + α = 180° → α = 20°
h
Calculamos h: cos 70° = → h = 35 ⋅ cos 70° ≈ 35 ⋅ 0,34 ⇒
35
h = 11,9 m es la altura de la casa de Carlos.
EJERCICIO 40 : Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de
°
55°.
)
a) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado?
)
b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.

Solución:
h → altura que alcanza el tronco apoyado en la pared.
x → distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.

La hipotenusa del triángulo que se forma mide 6,2 m, y un ángulo agudo, 55°.
Así:

h
a ) sen 55° = → h = 6,2 ⋅ sen 55° ≈ 6,2 ⋅ 0,82 = 5,08 m
6,2
El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.
x
b ) cos 55° = → x = 6,2 ⋅ cos 55° ≈ 6,2 ⋅ 0,57 = 3,53 m
6,2
La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m.

EJERCICIO 41 : Halla la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte
°
superior de la antena bajo un ángulo de 30°.

Solución:
Llamamos h a la altura de la antena.

Como datos tenemos un ángulo y el cateto contiguo; nos piden el cateto opuesto al ángulo, luego la
h 3
tangente será la razón trigonométrica a usar: tg 30° = → h = 18 ⋅ tg 30° = 18 = 6 3 ≈ 10,39 m
18 3
La altura de la antena es de 10,39 m.

EJERCICIO 42 : Calcula la altura de una casa sabiendo que al tender un cable de 9 m desde el tejado,
°
este forma con el suelo un ángulo de 60°. ¿A qué distancia de la casa cae el cable?

Solución:

Llamamos h a la altura de la casa; como conocemos la longitud del cable, que es la hipotenusa, y tenemos
que hallar el cateto opuesto al ángulo que nos dan, debemos usar el seno como razón trigonométrica:
h 9 3
sen 60° = → h = 9 ⋅ sen 60° = = 7,79 m ⇒ La altura de la casa es de 7,79 m.
9 2
Sea x = distancia entre el pie de la casa y el cable sujeto al suelo por un extremo. En este caso, el coseno
x 1
es la razón trigonométrica que debemos usar: cos 60° = → x = 9 ⋅ cos 60° = 9 ⋅ = 4,5 m
9 2
El cable está sujeto al suelo a 4,5 m de distancia de la casa.

EJERCICIO 43 : Desde el tejado de un edificio de 150 m de altura, se divisa el tejado de otro edificio
°
cercano bajo un ángulo de 45°. La distancia entre ambos en línea recta es de 0,21 km. Calcula la
altura del otro edificio.

Solución:

0,21 km = 210 m
x
tg 45° = → x = 210 ⋅ tg 45° → x = 210 m
210
Luego, la altura del otro edificio será x + 150 = 210 + 150, es decir, 360 m.

EJERCICIO 44 : Un globo, sujeto al suelo por una cuerda, se encuentra a una altura de 7,5 m; entre la
altura y la cuerda se forma un ángulo de 54°. Calcula la longitud de la cuerda y el ángulo que esta forma con
el suelo.

Solución:

Llamamos: x → longitud de la cuerda α → ángulo entre la cuerda y el suelo
La razón trigonométrica a usar con los datos del problema es el coseno:
7,5 7,5 7,5
cos 54° = → x= ≈ ≈ 12,71 ⇒ La cuerda tiene una longitud de 12,71 m.
x cos 54° 0,59
Calculamos α → 54° + 90° + α = 180° → α = 36°

EJERCICIO 45 : Dos torres de 198 m y 203 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un
puente bajo el cual hay un río. Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el
°
ángulo que hay entre el puente y la torre más alta es de 75°.

Solución:
Hagamos un dibujo que represente el problema:

Llamamos x → longitud del puente y → anchura del río
Observamos que tenemos un triángulo rectángulo del cual conocemos el cateto contiguo al ángulo de 75°:
203 − 198 = 5 m.
5 5 5
cos 75° = → x= ≈ ≈ 19,23 m
x cos 75° 0,26

y
sen 75° = → y = x ⋅ sen 75° ≈ 19,23 ⋅ 0,97 ≈ 18,65 m
x
La longitud del puente es de 19,23 m, y la anchura del río, 18,65 m.

°
EJERCICIO 46 : Una escalera de 5 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 46°. Calcula
la distancia entre la base de la escalera y la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

Solución:

Llamamos: x → distancia entre la base de la escalera y la pared
α → ángulo entre la escalera y el suelo
Conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, y nos piden calcular el cateto opuesto a ese ángulo; usamos
x
el seno como razón trigonométrica: sen 46° = → x = 5 ⋅ sen 46° ≈ 5 ⋅ 0,72 = 3,6
5
La distancia entre la base de la escalera y la pared es de 3,6 m.
Calculamos α → 46° + 90° + α = 180° → α = 44° es la inclinación que hay entre la escalera y el suelo.

EJERCICIO 47 : El lado de un rectángulo mide 4 m y la diagonal forma con dicho lado un ángulo de
°
33°. Calcula la longitud de la diagonal y el área del rectángulo.

Solución:

Llamamos: d → longitud de la diagonal x → longitud del otro lado
Nos dan un ángulo y el lado contiguo a este ángulo. Para calcular d y x, usamos el coseno y la tangente,
4 4 4
cos 33° = → d= ≈ ≈ 4,76 m
d cos 33° 0,84
respectivamente:
x
tg 33° = → x = 4 ⋅ tg 33° ≈ 4 ⋅ 0,65 = 2,6 m
4
La longitud de la diagonal es de 4,76 m.
A = 4 · 2,6 = 10,4 → El área del rectángulo es 10,4 m .
2
Calculamos el área:

EJERCICIO 48 : Dos ambulancias, distanciadas 8 km en línea recta, reciben una llamada de urgencia
de una casa. Observa la figura y calcula la distancia que separa a cada ambulancia de la casa:

Solución:
Trazando la altura desde la casa al lado AB, conseguimos dos triángulos rectángulos: CHA y CHB.

h 
tg 45° = → h = x ⋅ tg 45° 
x 
Del dibujo deducimos: 
h
tg 42° = → h = ( 8 − x ) ⋅ tg 42°
8−x 

x tg 45° = ( 8 − x ) tg 42° → x = ( 8 − x ) 0,9 → x = 7,2 − 0,9 x → 1,9 x = 7,2 →
→ x = 3,79 km, luego h = 3,79 km
De este modo hemos calculado el valor de los catetos en ambos triángulos rectángulos. Aplicando el
teorema de Pitágoras, obtendremos la hipotenusa en cada caso:
b = h 2 + x 2 = 2 ⋅ ( 3,79 ) = 3,79 2 ≈ 5,36 km
2

a = h 2 + ( 8 − x ) = 3,79 2 + 4,212 ≈ 5,66 km
2

La ambulancia A está a 5,36 km de la casa, y la ambulancia B, a 5,66 km.

EJERCICIO 49 : Antonio está descansando en la orilla de un río mientras observa un árbol que está
°
en la orilla opuesta. Mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35°;
°
retrocede 5 m y mide el nuevo ángulo, obteniendo en este caso un ángulo de 25°. Calcula la altura
del árbol y la anchura de río.

Solución:

Hacemos una representación del problema y llamamos: h → altura del árbol x → anchura del río

h 
tg 35° = → h = x ⋅ tg 35° 
x 

h
tg 25° = → h = ( x + 5 ) tg 25°
x +5 

x tg 35° = ( x + 5 ) ⋅ tg 25° → 0,7x = ( x + 5 ) ⋅ 0,47 → 0,7 x = 0,47 x + 2,35 →
→ 0,23 x = 2,35 → x ≈ 10,22 m
h = 10,22 · 0,7 = 7,15 m
La altura del árbol es de 7,15 m, y la anchura del río, de 10,22 m.

EJERCICIO 50 : La base de un triángulo isósceles mide 64 cm, y el ángulo que se forma entre los
°
lados iguales es de 40°. Calcula el perímetro y el área del triángulo.

Solución:

Trazamos la altura sobre la base para conseguir dos triángulos rectángulos.
Para calcular el perímetro y el área, necesitamos conocer el valor de la altura, h, y del otro lado, x.
64
En cada triángulo conocemos el ángulo de 20° y el cateto opuesto a este ángulo que mide = 32 cm.
2
32 32 32
sen 20° = → x= ≈ = 94,12 cm
x sen 20° 0,34
h ≈ 94,12 · 0,94 ≈ 88,47 cm
h h
cos 20° = → cos 20° = → h = 94,12 ⋅ cos 20°
x 94,12
64 ⋅ 88,47
Luego: Perímetro = 64 + 2 · 94,12 = 252,24 cm Área = = 2831,04 cm2
2
EJERCICIO 51 : El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68°. La granja A °
está a 230 m de ese punto, y la granja B, a 435 m. ¿A qué distancia en línea recta está la granja A
de la granja B?

Solución:

Llamamos x a la distancia en línea recta entre la granja A y la B.
Por no ser rectángulo el triángulo ABC, trazamos la altura h que lo divide en dos triángulos rectángulos:
AHC y AHB.
En el triángulo AHC conocemos C = 68° y AC = 230, podemos calcular h e y :

y
cos 68° = → y = 230 ⋅ cos 68° = 230 ⋅ 0,37 = 85,1 m
230
h
sen 68° = → h = 230 ⋅ sen 68° = 230 ⋅ 0,93 = 213,9 m
230
En el triángulo AHB, ahora conocemos h = 213,9 m y 435 − y = 435 − 85,1 = 349,9 m.
Podemos calcular x usando el teorema de Pitágoras:
x 2 = h 2 + ( 435 − y ) x 2 = ( 213,9 ) + ( 349,9 )
2 2 2
→ →

x = 45 753,21 + 122 430,01 = 168183,22 ≈ 410,1 m
La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m.

EJERCICIO 52 : Se quiere medir la altura de una estatua colocada en el centro de un lago circular.
Para ello, se mide la visual al extremo superior de la estatua desde el borde del lago y resulta ser de
° °
50°; nos alejamos 45 dm y volvemos a medir la visual, obteniendo un ángulo de 35°. Averigua la
altura de la estatua y la superficie del lago.

Solución:
Hacemos una representación. Llamamos: h → altura de la estatua x → radio del lago

h 
tg 50° = → h = x ⋅ tg 50° 

x ⋅ tg 50° = ( x + 45 ) ⋅ tg 35°
x
 → →
h
tg 35° = → h = ( x + 45 ) ⋅ tg 35°
x + 45 

→ x ⋅ 1,19 = ( x + 45 ) ⋅ 0,7 → 1,19 x = 0,7 x + 31,5 → 0,49 x = 31,5 → x = 64,29 dm

Luego h = 64,29 · 1,19 = 76,51 dm = 7,65 m
Calculamos la superficie del lago circular: ACIRCULO = π ⋅ x 2 ≈ 3,14 ⋅ ( 64,29 ) ≈ 12978,26 dm2 ≈ 129,78 m2
2

2
La superficie del lago es de 129,78 m .

ÁNGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA

EJERCICIO 53 :
1
Si tg α = y α es un ángulo que está en el primer cuadrante, calcula (sin hallar α ) :
3
(
a) tg 180 o − α )
b) tg 180 o + α ( )
c) tg 360 o − α (
d) tg 360 o + α ) ( )
Solución:
( )
a) tg 180 o − α = − tg α = −
1
3
( )
b) tg 180 o + α = tg α =
1
3
c) tg ( 360 − α ) = − tg α = − d) tg ( 360 + α ) = tg α =
o 1 o 1
3 3

EJERCICIO 54 : Si sen α = 0,35 y 0° < α < 90° halla (sin calcular α):
° °
(
a) sen 180 o − α ) (
b) cos 180 o + α )

Solución:
( )
a) sen 180 o − α = sen α = 0, 35
( )
b) cos 180 + α = − cos α
o

Necesitamos saber cuánto vale cos α: sen 2α + cos 2α = 1 → 0, 35 2 + cos 2α = 1
0,1225 + cos 2 α = 1 → cos 2 α = 0, 8775 ⇒ cosα = 0, 94 (es positivo, pues 0 o < α < 90 o )
( )
Por tanto: cos 180 o + α = −cosα = −0, 94

SIMPLIFICACIONES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIO 55 : Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:
sen 2 x.(1 + cos x ) cos x
a) b)
1 - cos x tagx.(1 - senx)

Soluciones:
sen 2 x.(1 + cos x ) (1 - cos 2 x ).(1 + cos x ) (1 - cosx).(1 + cosx).(1 + cos x )
a) = = = (1 + cos x ) 2
1 - cos x 1 - cos x 1 - cos x

cos x cos x cos 2 x 1 - sen 2 x (1 + senx)(1 - senx) 1 + senx
b) = = = = =
tagx.(1 - senx) senx senx.(1 - senx) senx.(1 - senx) senx.(1 - senx) senx
.(1 - senx)
cos x

EJERCICIO 56 : Demostrar la siguiente igualdad trigonométrica:
sec 2 x ctg 2 x 1
+ =
cos ec x - sec x ctg x - 1 cos x - sen 2 x
2 2 2 2

Soluciones:
1 cos 2 x 1 cos 2 x
sec 2 x ctg 2 x cos 2 x 2
cos 2 x sen 2 x
+ = + sen x =
2 + =
2 2 2
cos ec x - sec x ctg x - 1 1 1 cos x cos x - sen x cos x - sen 2 x
2 2 2
- -1
sen 2 x cos 2 x sen 2 x sen 2 x. cos 2 x sen 2 x
sen 2 x cos 2 x sen 2 x + cos 2 x 1
= + = =
cos x - sen x cos x - sen x cos x - sen x cos x - sen 2 x
2 2 2 2 2 2 2

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

EJERCICIO 57 : Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen x = 0 b) sen (x + Π/4) = 3 / 2 c) 2.tag x – 3. cotag x – 1 = 0
2 2 2
d) 3sen x – 5 sen x + 2 = 0 e) cos x – 3sen x = 0 f) 2cosx = 3tagx

Solución:
x 1 = 0º +360º k
a) sen x = 0 ⇒ ∀ k ∈ Z ⇒ x = 0º + 180ºk ∀ k ∈ Z
x 2 = 180º +360º k
3 x + 45º = 60º +360º k ⇒ x = 15º +360º k
b) sen (x + Π/4) = ⇒ ∀k∈ Z
2 x + 45º = 120º +360º k ⇒ x = 75º +360º k

3
c) 2tagx – 3 cotag x -1 = 0 ⇒ 2 tagx - - 1 = 0 ⇒ 2tag2x – tag x – 3 = 0
tagx
1 ± 1 + 24 1 ± 5 1,5
tag x = = =
4 4 -1
tag x = 1,5 ⇒ x = 56º 18º 35” + 180ºk
tag x = -1 ⇒ x = 135º + 180º k
5 ±1
d) 3sen2x – 5senx + 2 = 0 ⇒ sen x =
6
sen x = 1 ⇒ x = 90º + 180ºk
41º 48´37´´+360º k
sen x = 2/3 ⇒ x =
138º11´23´´+360º k

e) cos2 x – 3 sen2x = 0 ⇒ 1 – sen2x – 3sen2x = 0 ⇒ 1 – 4 sen2x = 0 ⇒ sen2x = ¼ ⇒ sen x = ± 1/2
x = 30º +360º k
sen x = 1/2 ⇒
x = 150º +360º k
x = 210º +360º k
sen x = -1/2 ⇒
x = 330º +360º k

x = 30º +180º k
O resumido:
x = 150º +180º k

3senx
f) 2cosx = 3 tag x ⇒ 2cosx = ⇒ 2cos2x = 3 sen x ⇒ 2(1 – sen2x) = 3 sen x ⇒
cos x
3 ± 9 + 16 3±5 1/ 2
2 – 2sen2x = 3sen x ⇒ 2sen2x + 3sen x – 2 = 0 ⇒ sen x = = =
4 4 -2
x = 30º +360º k
Sen x = 1/2 ⇒
x = 150º +360º k
Sen x = -2 ⇒ No tiene solución.

Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 1

TEMA 8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA
RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO

EJERCICIO 1 : Halla el punto medio del segmento de extremos P2, 1 y Q4, 3.

Solución:
Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:
 2  4  1  3 
M 

,   1, 2 
 2 2  

EJERCICIO 2 : Halla el simétrico, A, del punto A1, 0 respecto de B2, 8.

Solución:
Llamamos x, y  a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es B.
1  x  
2
2
 x  5 
Por tanto:   A 5,  16 
 y   16 
0  y
 8 
2 


EJERCICIO 3 : Determinar si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados.

AB  (5,2) (3,1)  (2,1)  2 1
Solución:   Cierto  Están alineados
AC  (1,0) (3,1)  (-2,-1)  2 1

EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que los puntos A1, 1, B0, 3 y C2,k estén alineados.

AB  (0,3) - (1,1)  (-1,2)  1 2
Solución:)     k  1  2  k  1
AC  (2, k) - (1,1)  (1, k - 1) 1 k 1

ECUACIONES DE RECTAS

EJERCICIO 5 :
a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 0 y 3, 6.
1
b  Halla la ecuación de la recta, s , paralela a y  x que pasa por el punto 4, 4 .
2
c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.
Solución:
60 6
a  Pendiente   3
3 1 2
Ecuación: y  0  3x  1  y  3x  3  3x  y  3  0
1
b  Si son paralelas, tienen la misma pendiente: m  .
2
1
Ecuación: y  4  x  4   2y  8  x  4  x  2y  4  0
2
c Es la solución del sistema siguiente:
3 x  y  3  0  y  3x  3

x  2y  4  0  x  2 3 x  3   4  0  x  6 x  6  4  0  5 x  10  x  2 
 y 3 Punto: 2, 3 

EJERCICIO 6 :

a Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por 3, 2 y tiene como vector dirección d 1, 1.
b Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por 5, 2 y es paralelo al eje X.
c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.

Solución:
1
a) Pendiente   1  Ecuación: y  2  1 x  3  y2x3  yx1
1
b y  2
y  x  1
c Es la solución de este sistema: x 1 2  x 3 Punto: 3, 2 
y 2 

EJERCICIO 7 :

a  Halla la ecuación de la recta, r , que pasa por 0, 0  y es paralela al vector d 3, 6 .
b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por 3, 4 y es perpendicular a x  y  5  0.
c Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores.

Solución:
6
a  Pendiente  2
3
Ecuación: y  2 x
b Pendiente de x  y  5  0 y  x  5  m  1
1 1
Pendiente de la perpendicular   1
m 1
Ecuación de s: y  4  1x  3  y  4  x  3  x  y  1  0
y  2x  x  2x  1  0  x  1  y 2
c Es la solución del siguiente sistema: 
x  y  1  0 Punto: 1, 2 

EJERCICIO 8 :
1
a  Obtén la ecuación de la recta, r , que pasa por 3, 1 y tiene pendiente
.
2
b Escribe la ecuación de la recta, s, perpendicular a x  3y  2 que pasa por 2, 4.
c Halla el punto de intersección de las rectas r y s.

Solución:
1
a  y  1  x  3   2 y  2  x  3  x  2y  1  0
2
 x  2 1 2 1
b  Pendiente de x  3 y  2  y  x  m
3 3 3 3
1 1
Pendiente de la perpendicular   3
m 1 3
Ecuación: y  4  3x 2  y  4  3x  6  y  3x 10

c Es la solución del siguiente sistema:
x  2y  1  0  x  2 3 x  10   1  0  x  6 x  20  1  0 

y  3 x  10   7 x  21  x  3  y  1 Punto: 3, 1

EJERCICIO 9 :
a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 0, 5 y 1, 2.
b Obtén la ecuación de la recta, s, paralela a 2x  y  3 que pasa por el punto 1, 1.
c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores.

Solución:
2  5 3
a  Pendiente    3  Ecuación: y  5  3x  0  y  5  3x  3x  y  5  0
1 0 1

b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: 2x  y  3  y  2x  3  m  2
Ecuación: y  1  2x  1  y  1  2x  2  y  2x  3
3 x  y  5  0  3 x  2 x  3  5  0  x  2  y  1
c Es la solución del sistema siguiente: 
y  2 x  3  Punto: 2,  1

EJERCICIO 10 :
1
a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a y  x  3.
2
b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicular a 2x  y  3.

Solución:
1 1
a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y  x 3  m
2 2
1 x
Ecuación: y  1  x  2   2 y  2  x  2  2 y  x  y
2 2
b Pendiente de 2x  y  3  y  2x  3  m  2
1 1 1
Pendiente de la perpendicular   
m 2 2
1
Ecuación: y  2  x  2y  4  x  x  2y  4  0
2

EJERCICIO 11 : Dados los puntos A 2, 1 y B 3, 4, halla las ecuaciones de las dos rectas
siguientes:
a) r: pasa por A y es paralela a AB b) s: pasa por B y es paralela a AB

Solución: AB  1, 5 
5
Recta r : m  . Ecuación: y  1  5 x  2   y  1  5 x  10   5x  y  11  0
1
1 1 1 1
Recta s : m      Ecuación: y  4  x  3   5 y  20  x  3  x  5y  23  0
m 5 5 5

EJERCICIO 12 :
a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto 5, 1.
b Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 3x  y  1 que pasa por el punto 0, 1.

Solución: a y  1
b Pendiente de 3x  y  1  y  3x  1  m  3
1 1
Pendiente de la perpendicular  
m 3
1
Ecuación: y  1  x  3y  3  x  x  3 y  3  0
3

EJERCICIO 13 :
a Halla la ecuación de la recta, r, paralela a 2x  3y  4  0, que pasa por 1, 2.
b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y  1  0 que pasa por 3, 2.

Solución:
a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente:
2x  4 2 4 2
2x  3y  4  0  y   x  m
3 3 3 3
2
Ecuación de r : y  2  x  1  3y  6  2 x  2  2 x  3 y  8  0
3
b La recta y  1  0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación
será x  3.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

EJERCICIO 14 : Calcula la distancia que hay entre los puntos A8, 10 y B2, 14.

2 2
Solución: dist A, B   2  8   14  10   102  242  100  576  676  26

EJERCICIO 15 : Halla la distancia entre los puntos P6, 2 y Q0, 6.

2 2
Solución: dist P, Q   0  6   6  2   62  82  36  64  100  10

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

EJERCICIO 16 : Halla la ecuación de la circunferencia de centro 4, 2 y radio 5.

2 2
Solución: La ecuación es: x  4   y  2   5.

EJERCICIO 17 : Escribe la ecuación de la circunferencia de centro 3, 4 y radio 4.

2 2
Solución: La ecuación es: x  3   y  4  4

REGIONES EN EL PLANO

EJERCICIO 18 :¿Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponden a este recinto?

2 2
b) x  0  c) x  y  9 
a) x 2  y 2  25 
  

2 2
x  y  25  x 2  y 2  25 
x2  y2  9    
x2  y2  9  x 0 
Solución:
c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios 3 y 5,
respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semicircunferencias de radio entre 3 y
x2  y 2  9 

5, esto es: x 2  y 2  25 
x0 


EJERCICIO 19 : Indica cual de los siguientes recintos corresponde a este sistema de
3  x  3 
inecuaciones: 4  y  4  

x 2  y 2  9

Solución:
Le corresponde el recinto c).
x  3 y x  3 son rectas paralelas al eje Y que pasan, por ejemplo, por 3, 0 y 3, 0
respectivamente.
y  4 e y  4 son rectas paralelas al eje X que pasan, por ejemplo, por 0, 4 y 0, 4.
x2  y2  9 es una circunferencia de centro 0, 0 y radio 3; los puntos que cumplen x2  y2  9
pertenecen a la circunferencia o están fuera de ella.

x 2  y 2  16 

EJERCICIO 20 : Representa gráficamente el siguiente recinto: yx 0 
0x3 

Solución:
x2  y2  16 es la inecuación que describe la circunferencia de centro 0, 0 y radio 4, y el interior de
dicha circunferencia.
y  x  0  y  x bisectriz del 1er y 3er cuadrante.
Para saber que parte del plano corresponde a la inecuación y  x > 0 tomamos, por ejemplo, el
punto 3, 1 y lo sustituimos en y  x  1  3   2 < 0.
Por tanto, el semiplano en el que no esta el punto 3, 1 es el que corresponde a la inecuación y  x
> 0.
x  0, x  3 son rectas paralelas al eje Y.
La representación gráfica correspondiente será:

EJERCICIO 21 : Describe, mediante un sistema de inecuaciones, el siguiente recinto:

Solución:
Hallamos las ecuaciones de las rectas AB, BC, CD y DA.
3
 AB es la recta que pasa por A(4, 0) y tiene pendiente m  .
2
3
La ecuación será: y  x  4   2y  3 x  12  0
2
Tomamos un punto cualquiera del recinto, por ejemplo 1, 2, y lo sustituimos en la ecuación
anterior: 2 · 2  3 · 1  12  11 < 0. Por tanto, el semiplano buscado es 3x  2y  12  0.
 BC es paralela al eje X y pasa por 0, 3  y  3
El semiplano buscado es y  3.

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