HOJA DE EJERCICIOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA. VECTORES. Contenidos: módulo, bases, producto escalar, y aplicaciones.

1. GEOMETRÍA ANALÍTICA I-VECTORES EN EL PLANO. HOJA 2-IBAC-CURSO 10/11
Contenidos: vecotres unitarios, producto escalar y bases.
1. Dados los siguientes vectores, te pido que me calcules el módulo y los
r
a )v(−2,1)
ur
b) w(1, 2)
r
c) z (5, −5)
Ahora calcula los módulos de los vectores anteriores multiplicados por 3, -3, 1/3. ¿qué
observas?
¿Sabrás decirme cuál es el ángulo que forman con el eje horizontal?
2. Conociendo que el módulo vale 3, y la segunda coordenada de un vector vale 6,¿cuánto vale la
primera coordenada?
3. Calcula el producto escalar entre los vectores del ejercicio 1, y los de la base canónica.
B = {i = (1,0); j = (0,1)}
rr
a )i·v =
rr
b) j·v =
rur
c)i·w =
rur
d ) j·w =
Conociendo las coordenadas de un vector, ¿Podrías decirme cuanto vale el producto
escalar del mismo con cualquiera de los elementos de la base canónica?
En consecuencia, para cualquier base B, si queremos hallar las coordenadas de un
vector con respecto a esa base, ¿sería suficiente con calcular los productos escalares por cada
elemento de la base? Pon un ejemplo.
4. Un vector es unitario, si el módulo es 1. ( u es unitario si u = 1 ). Si queremos crear un vector
unitario linealmente dependiente y con el mismo sentido a uno dado, debemos dividir cada
coordenada por su módulo. Comprueba que esta afirmación es cierta si u = (1 , 2)
5. Convierte la siguientes bases en unitarias:
a. B = {v = (1,−1); u = (1,1)}
b. B = {v = (2,0); u = (1,3)}
6. Dados los siguientes vectores dime cual es su producto escalar.
r uu r u
r r r ur
a )v, w, < v, w = 30º ; v = 2; w = 3;
r uu r u
r r r ur
b)v, w, < v, w = 120º ; v = 2; w = 3;
r uu r u
r r r ur
c)v, w, < v, w = 270º ; v = 2; w = 3;
r uu r u
r r r ur
d )v, w, < v, w = 180º ; v = 2; w = 3;
r u u
r r
e)v = 3·w; w = 3; representalo _ para _ encontrar _ el _ ángulo.
r u u
r r
f )v = −3·w; w = 3; representalo _ para _ encontrar _ el _ ángulo.

2. GEOMETRÍA ANALÍTICA I-VECTORES EN EL PLANO. HOJA 2-IBAC-CURSO 10/11
Contenidos: vecotres unitarios, producto escalar y bases.
7. Observando los resultados anteriores y la definición del producto escalar. Demuestra:
a. Si el ángulo que forman dos ángulos es obtuso, el signo del su producto escalar es
negativo.
b. Si el signo del su producto escalar es negativo entonces el ángulo que forman dos
ángulos es obtuso.
c. Si el ángulo que forman dos ángulos es agudo, el signo del su producto escalar es
positivo.
d. Si el signo del su producto escalar es positivo entonces el ángulo que forman dos
ángulos es agudo.
rur rr
8. Si v·w = 3; v·z = 4 entonces:
r u rr
a. v·( w + z ) =
ru r
b. 3·v·w =
ru r
c. −2·v·w =
r u
r
d. v = 2; w = 3 ; ¿Cuánto vale el ángulo que forman?
9. Completa este cuadro:
Valor del producto escalar Ángulo que forman
Positivo
Negativo
Cero
Producto de los módulos
r r u
r
10. Usa la expresión analítica del producto escalar. Sean los vectores: u (2,3); v(−3,1); w(5, 2);
resuelve
r r uuur
a. (3u + 2v )·w =
rr u r
b. (u·v)·w
ru ru
r r
c. (3u·w − v·w)
11. Calcula el valor del parámetro x, conociendo el producto escalar.
r r rr
a. a (3, −5); b( x, 2); a·b = 7
r r rr
b. a (3, x ); b( x, 2); a·b = 2
r r rr
c. a (3, −5); b( x, 2); a·b = 0
12. Si dos vectores son perpendiculares, ¿Cuánto vale el producto escalar entre ellos? Si
r r
a (3, −5); b( x,3) son vectores perpendiculares, ¿cuánto vale x?.
Observa que las coordenadas de b son las mismas pero cambiadas en orden y una de ellas de
signo.

3. GEOMETRÍA ANALÍTICA I-VECTORES EN EL PLANO. HOJA 2-IBAC-CURSO 10/11
Contenidos: vecotres unitarios, producto escalar y bases.
13. Dadas las coordenadas de un vector cualquiera en el plano. ¿podrías darme las de otro
perpendicular? Primero ponte un ejemplo.
r
v(3, 2)
14. Conociendo las coordenadas de los siguientes vectores r
u (1, −5)
a. Halla su módulo
b. El producto escalar a través de sus coordenadas.
c. ¿puedes decirme el valor del coseno del ángulo que forman?
15. Escribe una fórmula que me ofrezca el coseno del ángulo que forman dos vectores, a partir de
sus coordenadas.
16. Halla el valor de k, para que estos vectores formen un ángulo de 30º.
r
u (1, 2)
r 1
v(k , 3 + )
2
r r
v( −3,5) _ sobre _ u (−7, −1)
17. Halla la proyección de un vector sobre otro:
uu uu
r r
18. Dos fuerzas f1 , f 2 de intensidades 20 y 30 N, respectivamente, actúan sobre el mismo cuerpo y
forman entre ellas un ángulo de 60º. ¿Cuál será la intensidad de la resultante? Si quiero que actúe
una tercera fuerza para que el móvil se quede en equilibrio, ¿Cuál debe ser su intensidad?
uu
r
19. Sea f1 (−1N , 0 N ) la fuerza que actúa sobre un móvil, produciendo un desplazamiento sobre el
plano de (2, 3) .¿qué trabajo hemos realizado? . ¿Qué ángulo forma la fuerza con el vector
desplazamiento?