Problemas de Administración para el Curso de Calculo para las Ciencias Económicas de la Universidad Central

1. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 1
CALCULO PARA CIENCIAS DE LA ECONOMIA
Ejemplos de problemas que se resuelven con las ecuaciones cuadráticas
Ingresos mensuales:
Una vendedora gana un salario base de ¢600 por mes más una comisión del 10% de las
ventas que haga. Descubre que, en promedio, le toma 1
21 horas realizar ventas por un
valor de ¢100. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus
ingresos sean de ¢ 2000 ?
Solución:
Supóngase que trabaja " "x horas al mes. Cada
3
2
hora, efectúa ventas por ¢100, de modo
que cada hora promedia dos terceras partes, es decir, ¢
200
3
 
 
 
en ventas. Su comisión es
del 10% de esto, de modo que su comisión promedio por hora es
20
3
. Por lo tanto, en " "x
horas ganará una comisión de ¢
20
3
x
 
 
 
.
Agregando su salario base, obtenemos un ingreso mensual de total de
20
600
3
x
 
 
 
. Esto
debe ser igual a 2000, de modo que obtenemos la ecuación.
20
600 2000
3
x 

2. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 2
Resolviendo la ecuación obtenemos:
 
20
600 2000
3
20
2000 600
3
20
1400
3
3
1400
20
210
x
x
x
x
x
 
 



La vendedora deberá trabajar 210 horas por mes, en promedio, si desea alcanzar el nivel
de ingreso deseado.
Utilidades:
Un comerciante de ganado compró 1000 reses a ¢150 cada una. Vendió 400 de ellas
obteniendo una ganancia del 25%. ¿A qué precio deberá vender las restantes 600 si la
utilidad promedio del lote completo ha de ser del 30%?
Solución:
Su ganancia por cada una de las 400 reses ya vendidas es del 25% del precio del costo,
que es el 25% de ¢150, o bien ¢37.50. En 400 reses, su ganancia fue de ¢37.50 X 400 =
¢15000. Sea " "x colones el precio de venta de las restantes 600 reses. Entonces su
utilidad por reses es 150x y su ganancia por las restantes 600 es  600 150x  colones.
Por lo tanto, su ganancia total por la venta completa es:
 15000 600 150 45000x  

3. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 3
Ahora resolvemos la ecuación:
 15000 600 150 45000
15000 600 90000 45000
600 45000 15000 90000
600 120000
120000
200
600
x
x
x
x
x
  
  
  

 
El comerciante debe vender las restantes reses a ¢200 cada una para lograr una ganancia
del 30%.
NOTA:
Si una cantidad de dinero P colones se invierte a un año a una tasa de interés anual del
R por ciento, la cantidad de interés anual está dada por:
100
R
I P
 
  
 
colones
Por ejemplo, una suma de ¢5000 invertida al 6% anual producirá una cantidad de interés
cada año dad por:
6
5000 300
100
I
 
  
 
Entonces el interés a cancelar por la inversión de ¢5000 será de ¢300.
Con base en esta información, veamos el siguiente ejemplo de interés.

4. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 4
Inversiones:
La señora Cordero va a invertir ¢70000. Ella quiere recibir un ingreso anual de ¢5000.
Puede invertir sus fondos en bonos del gobierno a un 6% o, con un riesgo mayor, al 8.5%
de los bonos hipotecarios. ¿Cómo debería invertir su dinero de tal manera que minimice
los riesgos y obtenga ¢5000?
Solución:
Sea la cantidad invertida en bonos del gobierno " "x colones. Entonces la cantidad
invertida en bonos hipotecarios es  70000 x colones. El ingreso recibido por los bonos
gubernamentales al 6% es de
6
100
x colones. El ingreso percibido por los bonos
hipotecarios al 8.5% es:
   
8.5 85
70000 70000
100 1000
x x  
Dado que el ingreso total recibido por los dos tipos de bonos debe ser de ¢5000
   
6 85
70000 70000
100 1000
x x  
Multiplicamos ambos lados por 1000 y despejamos " "x
   
 
6 85
70000 70000
100 1000
60 85 70000 5000000
60 5950000 85 5000000
25 5000000 5950000
950000
38000
25
x x
x x
x x
x
x
  
  
  
  

 

En consecuencia, la señora Cordero debería invertir ¢38000 en bonos del gobierno y los
restantes ¢32000 en bonos hipotecarios. Ella podría aumentar su ingreso invirtiendo una
proporción más grande de su capital en bonos hipotecarios, pero incrementaría su riesgo.

5. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 5
Problema de Mezclas
Una compañía vitivinícola requiere producir 10000 litros de jerez encabezando vino blanco,
que tiene un contenido de alcohol del 10%, con brandy, el cual tiene un contenido de
alcohol del 35% por volumen. El jerez debe tener un contenido de alcohol del 15%.
Determine las cantidades de vino blanco y de brandy que deben mezclarse para obtener
el resultado deseado.
Solución:
Sean " "x litros de brandy usados en la producción de 10000 litros de jerez. Luego, el
volumen de vino blanco usado deberá ser de  10000 x litros. Puesto que el brandy
contiene 35% de alcohol, la cantidad de alcohol en " "x litros de brandy es
35
100
x , De
manera similar, el vino contiene 10% de alcohol, de modo que  10000 x litros de vino
contienen  
1
10000
10
x litros de alcohol. Por lo tanto, la cantidad total de alcohol en la
mezcla será de:
 
35 1
10000
100 10
x x  litros
La mezcla debe contener 15% de alcohol, por lo que los 10000 litros deberán contener
 
15
10000 1500
100
 de alcohol. Por lo tanto, tenemos la ecuación:
35 1
1000 1500
100 10
35 1
1500 1000
100 10
35 10 50000
25 50000
50000
2000
25
x x
x x
x x
x
x
  
   
 

 
En consecuencia, 2000 litros de brandy y 8000 litros de vino deben mezclarse.

6. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 6
Determinación del Precio de Renta de Departamentos
Esteban es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones. El puedo
alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de ¢180 al mes. Al subir el alquiler, algunas
de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por cada incremento de ¢5 una
habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Encuentre el alquiler que
debería cobrar con el fin de obtener un ingreso total de ¢11475.
Solución:
Sean " "n el número de incrementos de ¢5 colones. Entonces, el incremento en el alquiler
por habitación es de colones, lo cual significa que el alquiler por habitación es de  180 5n
colones. El número de habitaciones no alquiladas será entonces n , de modo que el
número de las alquiladas será 60 n . El total de alquiler que recibirá es igual a
(alquiler por habitación) X (número de habitaciones alquiladas)
Por tanto,
  11475 180 5 60n n  
O bien
  11475 5 36 60n n  
Dividiendo ambos lados entre 5, obtenemos:
  
2
2295 36 60
2295 2160 24
n n
n n
  
  
En consecuencia,
  
2
24 135 0
9 15 0
n n
n n
  
  

7. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 7
Así 9n  o 15. De aquí, el alquiler debería fijarse en 180 5n , lo cual es 180 45 225  o
180 75 255  . En el primer caso, 9 de las habitaciones estarán vacías y 51 alquiladas,
que producirán un ingreso de ¢225 cada una. En el segundo caso en el que el alquiler es
¢225. 15 habitaciones quedarán vacantes y solo 45 alquiladas, pero la ganancia total será
la misma.
NOTA:
El ingreso de un negocio para un período determinado de operación es el nombre dado al
ingreso total en tal período. La Utilidad es igual a este ingreso menos el costo de operación
en el período en cuestión. Escribimos esto como:
Utilidad = Ingresos – Costos
U I C 
Decisión sobre fijación de precios
La cámara de comercio del huevo de San Antonio de Belén sabe por experiencia que si
fija en " "p colones la docena de huevo, el número de docenas de huevo vendidas a la
semana será de " "x millones, donde 2p x  . Si ingreso semanal total sería entonces
 2I xp x x   millones de colones. El costo industrial de producir " "x millones de
docenas de huevos por semana está dado por 0.25 0.5C x  millones de colones. ¿Qué
precio de huevo debería fijar la cámara de comercio para asegurar una utilidad semanal
de 0,25 millones de colones?
Solución:
La utilidad está dada por la ecuación siguiente:
   
2
2 0.25 0.5
1.5 0.25
U I C
U x x x
U x x
 
   
   

8. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY 8
Igualando esto a 0.25, obtenemos la ecuación:
2
1.5 0.25 0.25x x   
O bien
2
1.5 0.5 0x x  
Utilizando la fórmula cuadrática, encontramos las raíces " "x .
      
 
 
2
2 1.5 1.5 4 1 0.54
2 2 1
1.5 2.25 2 1
1.5 0.5
2 2
b b ac
x
a
x
      
 
 
  
Nos quedan los valores de las " "x en 1 y 0.5.
Ahora 2p x  . De modo que cuando 1x  , tenemos que 1p  y si 0.5x  . En
consecuencia, la cámara de comercio tiene a su elección dos políticas: fijar en ¢ 1 la
docena, en cuyo caso las ventas serían de 1 millón por docena o puede fijarlo en ¢ 1.5 la
docena, en el cual las ventas serían de 0.5 millones de docenas por semana. En ambos
casos las utilidades de la industria serán de ¢ 0.25 millones a la semana.