Ejercicios practicos Grafos y Digrafos

1. ESTRUCTURAS
DISCRETA II
Sección: SAIA-B
Prof. Edecio Freitez
Por: Manuel Eduardo Torres Rivas
C.I. 26.561.400
Junio de 2017
EJERCICIOS PROPUESTOS

2. a) Matriz de adyacencia.
b) Matriz de incidencia.
c) Es conexo?. Justifique su respuesta.
d) Es simple?. Justifique su respuesta.
e) Es regular?. Justifique su respuesta.
f) Es completo? Justifique su respuesta.
g) Una cadena simple no elemental de grado 6
h) Un ciclo no simple de grado 5.
i) Arbol generador aplicando el algoritmo
constructor.
j) Subgrafo parcial.
k) Demostrar si es euleriano aplicando el
algoritmo de Fleury.
l) Demostrar si es hamiltonianos.
I.DadoelSiguiente
GrafoEncontrar:
v4
v5
v6
v7
v8

3. a)MatrizAdyacencia:
Una matriz de adyacencia es aquella que
muestra de la forma mas rustica cómo está compuesto
un grafo, esto es que dónde se coloque un uno se
representa como una arista que una los dos nodos y
con cero donde no hay unión.
Nota: Se puede obtener el Grafo a
partir de la matriz de Adyacencia.

4. b)MatrizIncidencia:
Una matriz de Incidencia es la que está compuesta por unos y ceros, en la
que se representan los nodos unidos por las aristas. Cada arista une dos y nada
más que dos nodos. En general, las matrices de incidencia no son usadas
computacionalmente, pero sirven como ayuda conceptual. No tiene por qué ser
ni cuadrada ni simétrica

5. Grafo Conexo: cuando para cualesquiera dos vértices u y v existe un camino dirigido de ida y
de regreso se dice grafo fuertemente conexo. Un conjunto de corte de vértices U en un grafo G,
es un conjunto de vértices de G, tal que G-U no es conexo o trivial.cuando existe un camino
entre cualquier par de nodos. En este caso, SI es conexo, porque en el grafo siguiente
podemos ubicar varios caminos.
Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 3 : V1,V3,V2Camino 2 : V1,V4,V3
c)EsConexo?:

6. En este caso NO es simple, porque en el grafo contiene aristas paralelas, falla una
condición, por ende ya es no simple.
Grafo Sencillo o Simple: Se dice que un Grafo G es simple si no tiene aristas
cíclicas y existe una sola arista entre dos vértices. También puede ser aquel que
no contiene lazos, ni aristas paralelas o dirigidas.
d)EsSimple?:

7. Grafo Regular: grafo donde cada vértice tiene el mismo grado (número de aristas que inciden en
el vértice) que se obtiene a partir de la tabla de incidencia del grafo, de donde se obtienen la
cantidad de aristas que inciden en cada vértice para ubicar su grado, se suman todas las aristas
correspondiente a cada vértice
En este caso, No es regular, porque los vértices tienen distintos grados o valencias.
e)EsRegular?:

8. Posee aristas paralelas y sub. Grafos, como
lo hemos demostrado anteriormente.
En este caso, NO es Completo, porque posee aristas paralelas y más de una
arista por cada par de vértices, dando origen a los sub. Grafos.
f)EsCompleto?: Grafo Completo: Un grafo es completo si cada vértice tiene un grado igual a n-1,
donde n es el número de vértice que componen el grafo.
Para saber el número máximo de aristas que posee un grafo completo se aplica la
formula.
A=(n*(n-1))/2

9. Cadena Simple: Es una cadena con todas sus aristas distintas.
Utilizando la Matriz de Incidencia, se ubica una cadena no elemental de grado 6: Tenemos
dos de grado 4 con el vértice V4 y V7.
g)Unacadenasimpleno
elementaldegrado6:
De esta manera
describimos una
cadena simple
que no sea de
grado 6

10. En este caso: No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay
cadenas no simples de ningún grado.
h)Demostrarunciclono
simpledegrado5:
Ciclo Simple: Consiste en un camino cerrado en el que no se repite ningún vértice a
excepción del primero que aparece dos veces como principio y fin del camino.

11. Paso 3: Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 y se coloca
H3={V1,V4}.
Paso 4: Se elige la arista a 17 que conecta V7 con V5 y se coloca
H4={V1,V4,V7,V5}
i)Árbolgeneradoraplicando
elalgoritmoconstructor
Paso 1: Elegir S1=V1, y coloca H1= {V1}
Paso 2: Se elige a a4 que conecta a V1 con V4 y se coloca H2=
{V1,V4]
a4
v4
v1

12. Paso 6: Se elige la arista a20 que conecta V8 con V6 y se coloca H6={V1,V4,V7,V5,V8,V6}.
Paso 5: Se elige la arista 19 que conecta V5 con V8 y se coloca H5={V1, V4, V7, V5,V8}i)Continuación:

13. Paso 7: Se elige la arista a10 que conecta V6 con V2 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2}
Paso 8: Se elige la arista a3 que conecta V2 con V3 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6,V2,V3} y
obtenemos el arbol generador siguiente:
i)Continuación:

14. j)SubgrafoParcial:
Camino 1: v2.v7,v6,v7
v2
v8 v7
v6
a8 a10
a19
a20
v1
v4
v3
Camino 2: v1.v4,v3
a11
a4
a2
Camino 3: v1.v3,v2
v1
v3
v2
a2
a1
a3

15. k)Demostrarsies
eulerianopor
AlgoritmodeFleury: El grafo No es Euleriano, ya que no es posible la construcción de un ciclo euleriano, dado
que No todos los vertices tiene grado par
El grafo posee 8 vertices, el grado de v1 ≥ 4, el de v2 ≥ 4, el de v8 ≥ 4, el grafo es simple
por lo que es Halmitoniano. A continuación se muestra un ciclo hamiltoniano.
l)Demostrarsies
hamiltoniano:

16. II.DadoelSiguiente
DigrafoEncontrar:
a) Matriz de conexión.
b) Es simple?. Justifique su respuesta.
c) Encontrar una cadena no simple no
elemental de grado 5.
d) Encontrar un ciclo simple.
e) Demostrar que si es fuertemente utilizando
la matriz de accesibilidad.
f) Encontrar la distancia de V2 a los demás
vértices utilizando el algoritmo de dijkstra.

17. a.EncontrarlaMatrizde
Conexión:

18. b.EsSimple?:
El grafo No es Simple, ya que para serlo no debe poseer ni arcos ni lazos paralelos.
Arcos paralelos:
a4,a12, a13
Arcos paralelos:
a1,a10
Arcos paralelos:
a6,a10, a14
Arcos paralelos:
a5,a2
Arcos paralelos:
a3, a8, a11

19. c.Encontrarunatrayectoria
nosimplenoelementalde
grado5: Trayectoria Simple: es la que no repite arcos
Trayectoria Elemental: es la que no repite vertices.
Trayectoria
V1,a1,v2, a4, v6, a14, v5, a10,v2,a3,v4
O(T)= 5

20. Ciclo Simple: es un ciclo que a su vez es trayectoria simple y el vertice inicial es igual al
final.
d.EncontrarunCiclosimple:
No repite Vertices ni Arcos
Trayectoria
v1,a1,v2, a3, v4, a9, v1

21. e.Demostrarqueesfuertemente
conexoutilizandolaMatrizde
Accesibilidad:
Acc(Ds) = bin [In + M + M2 + M3 + M4 + M5]
+ + +
+
+
=
+
=
In
M M2 M3
M4 M5
bin =
Como la matriz Acc no tiene
componentes nulas “0”
El Dígrafo es Fuertemente
Conexo

22. f.Encontrarladistanciav2alos
demásvérticesporDijkstra:
Pasos:
1. Ubicar el vertice de inicio
2. Ubicar los vertices mas cercanos al v2 para analiazarlo.
3. Agregar etiquetas a cada vertice analizado de la forma siguiente:
4. Colocar la ponderación de la arco mas la ponderación de la
etiqueta anterior que esta directa al vertice analiazado.
5. Colocar a un lado de la etiqueta el numero de iteración que se
esta realizando.
6. Se estudian las distancias y se selecciona la menor, de haber
dos iguales se selecciona cualquiera.

23. Distancia de v2 a v1= 2
Distancia de v2 a v3= 3
Distancia de v2 a v5= 3
Distancia de v2 a v4= 4
Distancia de v2 a v6= 3
Distanciav2alosdemás
vértices