6 matematica

6º Básico
53 =1
II Semestre 2013
MATEMÁTICA
Planificaciones
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C
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exclusivo
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hile

Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile 9
Información de referencia para el profesor
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
1. Realizar teselados de figuras 2D, usando traslaciones,
reflexiones y rotaciones.
2. Construir ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos
y completos con instrumentos geométricos o software
geométrico.
3. Estimar y medir ángulos, usando el transportador y
expresando las mediciones en grados.
4. Calcular ángulos en rectas paralelas cortadas por una
transversal y en triángulos.
MATERIALES
• Regla.
• Escuadra.
• Compás.
• Transportador.
• Tijeras.
• Pegamento en barra.
• 4 hojas blancas por alumno.
• Papel lustre.
• Imágenes alusivas al texto.
• Archivos de Geogebra.
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exclusivo
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Texto Utilizable Única y Exclusivamente para Fines de Enseñanza - Aptus Chile10
Unidad Movimientos en el plano
GEOMETRÍA6ºBÁSICO
2 horas‹Clase 1
Objetivos de Clase
űű Ubicar puntos en el plano cartesiano.
űű Realizar movimientos de traslación en el plano cartesiano.
Recursos pedagógicos
űű Ficha 1.
űű Regla.
űű Imágenes.
Inicio
• El profesor muestra las siguientes imágenes
• El profesor pregunta:
¿Qué son los paralelos y meridianos? (líneas imaginarias horizontales y verticales que ha creado el hombre) ¿para qué
se usan los paralelos y meridianos? (para ubicar lugares en el planeta tierra).
¿Dónde se ubica Chile? (El eje central corresponde al meridiano 70° longitud oeste al 74° longitud oeste. De norte-sur
corresponde a los paralelos 17°30’y 56°30’latitud Sur).
• El profesor explica que en esta clase recordarán la ubicación de puntos en el plano.
• El profesor explica que así como la tierra tiene sus líneas imaginarias para ubicar lugares en la tierra, en matemáticas tam-
bién existe un sistema de líneas que permite ubicar puntos en el plano. A este se le conoce como plano cartesiano y mues-
tra la siguiente imagen:
Meridianos Paralelos
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y
x
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2 horas‹
• El profesor muestra el siguiente plano cartesiano en el pizarrón y pregunta ¿qué es un plano cartesiano? (sistema de refe-
rencia formado por dos líneas que permite ubicar puntos) ¿para qué nos sirve este plano cartesiano? (para ubicar puntos)
¿Qué nombre recibe el eje horizontal? (eje x, también llamado eje de las abscisas) ¿y el vertical? (eje y o eje de las ordenadas)
Identifica cada eje anotando la respectiva letra x e y, ubica el origen, el punto (0,0).
• El profesor pregunta ¿qué necesitamos para poder ubicar los puntos en él? (enumerar los ejes) El profesor enumera los ejes
dese el 0 hasta el 10.
• El profesor escribe de título“Plano cartesiano”
• Los alumnos dibujan el plano cartesiano en sus cuadernos y lo definen.
• Plano Cartesiano: es un sistema de referencias formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se
cortan en un determinado punto llamado origen. A la recta horizontal se le llama eje de las abscisas o x y al eje vertical de
las ordenadas o eje y.
• La función del plano cartesiano es describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas.
• Luego el profesor pregunta, si quiero ubicar el punto Q(4,2) ¿qué me indica el 4? (la ubicación en el eje x) ¿y el 2? (la ubi-
cación en el eje y) El profesor modela la ubicación del punto (4,2), primero se ubica en el punto (0,0) y se desplaza cuatro
unidades en sentido horizontal y luego 2 unidades verticalmente hacia arriba.
Clase 1
Desarrollo
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2 horas‹
• El profesor le pide a distintos alumnos que ubiquen los puntos (2,0); (5,0); (0,6) y (0,3) en el plano cartesiano dibujado.
Luego les pregunta ¿dónde se ubican los puntos con ordenadas iguala a 0? (sobre el eje x) ¿dónde se ubican los puntos con
abscisas iguala a 0? (sobre el eje y)
• Luego el profesor muestra que este punto se puede mover a la derecha o izquierda de acuerdo a la cantidad de unidades
que se le diga, de igual manera hacia arriba o hacia abajo. El profesor le pide a un alumno que mueva el punto 3 unidades
a la derecha y 6 unidades hacia arriba, pregunta ¿en qué posición final ha quedado? (En la posición (7,8))
• Luego, de ejercicio, los alumnos ubican los siguientes puntos en un plano cartesiano construido por ellos en sus cuadernos:
a) (1,0)
b) (3,0)
c) (2,2)
• El profesor pide a los alumnos que unan los puntos y pregunta ¿qué figura obtuvieron? (un triángulo).
• El profesor pregunta ¿qué movimiento es posible aplicarle al triángulo sin que cambie de tamaño? (traslación, rotación,
reflexión)
• El profesor guía a los alumnos a recordar cada uno de los movimientos.
• Muestra las siguiente imágenes y los alumnos las asocian a cada uno de los movimientos nombrados:
• Alumnos escriben de título“Transformaciones isométricas”.
Clase 1
4 unidades
2 unidades
(4,2)
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2 horas‹
Transformaciones en el plano: Comúnmente usamos la palabra transformación para referirnos a algún cambio ya
sea en el tamaño, la forma o en la posición de un objeto o cuerpo. En matemática se habla de transformación cuando un
conjunto de puntos se ha movido en el plano, siguiendo una regla o una condición dada.
Isometría: Palabra de origen griego que significa“igual medida”; iso = metria = medir
űű Cuando se aplica una transformación a una figura en el plano, modificando su posición y sin alterar su forma y su
tamaño, se habla de una T.I (Transformación Isométrica)
űű Existen tres transformaciones isométricas: traslación, rotación y reflexión.
• El profesor les pide que, partir del triángulo ABC que dibujaron anteriormente realicen los siguientes movimientos: mover
tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba. ¿En qué posición ha quedado el triángulo? (A’(4,2); B’(6,2); C’(5,4))
¿Cómo es el triángulo obtenido con respecto al triángulo inicial?(de igual tamaño, solo cambió la posición)¿Qué proce-
dimiento realizaron para poder trasladar el triángulo? (varias respuestas) ¿qué información necesitan saber para poder
trasladar el triángulo? (la posición inicial y el movimiento vertical y horizontal que se realizará) ¿hay algo que queda fijo al
realizar una traslación? (nada)
• En sus cuadernos, los alumnos dibujan un plano cartesiano con 10 unidades a la derecha y 10 unidades hacia arriba.
• El profesor les pide que ubiquen los siguientes puntos A(5,1); B(5,4); C(8,1); D(8,4) y luego los unan. Pregunta ¿qué figura se
formó? (un cuadrado)
• Les pide que muevan el cuadrado dos unidades a la izquierda y tres hacia arriba. Pregunta, ¿cuál es la nueva posición del
punto A? (3,4) ¿Y de los otros puntos? (B’(3,7) ; C’(5,4); D’(5,7))
1) Traslación:
Una traslación es un movimiento lineal, en el cual cada punto de la figura inicial se desplaza según un vector (este deter-
mina un movimiento horizontal y vertical). De esta manera se obtiene la otra figura de igual forma y tamaño.
• Los alumnos guiados por el profesor explican los pasos para realizar una traslación:
1° Se dibuja la figura a trasladar en el plano
2° Se determina el vector de desplazamiento, es decir, los movimientos horizontales y verticales que se realizarán. Por
ejemplo: (3,5), lo cual significa 3 unidades a la derecha y 1 hacia arriba.
3° Se aplica la traslación a cada vértice de la figura.
Clase 1
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2 horas‹
• El profesor pregunta ¿en donde es posible ubicar puntos? (en un plano cartesiano) ¿qué es al abscisa? (el eje x) ¿y las orde-
nadas? (el eje y) ¿qué es una traslación? (movimiento lineal en el cual cada punto de la figura inicial se desplaza según un
vector dado) ¿qué necesito para realizar una traslación? (un vector y una figura inicial)
Cierre
• Se unen los nuevos puntos y se obtiene la figura final o la imagen de la figura inicial.
• Resuelven la ficha 1.
Clase 1
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Referencias para el docente:
Estrategias y Estimación
En toda traslación se desplaza cada punto de la figura, pero para hacer más fácil el movimiento basta con trasladar los vértices y
luego unirlos.
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Aptus
C
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2 horas‹Clase 2
Objetivos de Clase
űű Realizar movimientos de rotación y reflexión en el plano
cartesiano.
űű Ficha 2.
űű Regla.
űű Escuadra.
űű Compás.
űű Transportador.
Inicio
• El profesor muestra algunos de los siguientes videos, en los cuales se muestran las tres transformaciones isométricas que
han visto.
https://www.youtube.com/watch?v=Q3Feur2f9qY
https://www.youtube.com/watch?v=RTQUMv5_7do
• En caso de no tener recursos tecnológicos puede mostrar imágenes impresas.
• El profesor explica que en esta clase recordarán la rotación y reflexión.
• El profesor muestra la imagen:
(rotación en 180º)
• El profesor pregunta ¿qué ha sucedido con la figura? (varias respuestas) ¿ha cambiado su forma o tamaño? (no) ¿cómo se
llama este movimiento? (rotación) ¿qué ángulos se ha usado para realizar la rotación? (90º) ¿cuál es su centro de rotación?
(Punto R) ¿en qué sentido se realiza el giro de la figura? (en sentido antihorario)
2) Rotación:
Movimiento por el cual todos los puntos de la figura inicial se mueven en torno a un punto, llamado centro de rotación en
un ángulo dado.
• Cada alumno dibuja un eje cartesiano en sus cuadernos de 14 unidades en el eje x y 14 unidades en el eje y. El profesor
muestra el eje cartesiano en el pizarrón y dibuja en él un triángulo con las siguientes coordenadas A (4,2) , B(4,1), C (6,2).
Desarrollo
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B’
C’
A
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2 horas‹Clase 2
• El profesor guía a los alumnos a realizar una rotación de 90º en sentido antihorario con centro en el punto B.
• Luego, el profesor modela una rotación en 90º del triángulo MPQ en sentido antihorario pero con centro en el punto O.
• Alumnos, guiados por el profesor, establecen los pasos para realizar la rotación:
1° Fijar el ángulo de rotación y el centro de rotación.
2° Se une cada vértice de la figura con el centro de rotación y se traza la línea perpendicular a ella.
3° Mide la distancia del vértice al centro de rotación.
4° Se copia la distancia en la perpendicular construida desde el centro de rotación.
5° Se repite el paso anterior para cada uno de los vértices de la figura.
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űű centro de rotación O.
űű ángulo de rotación 90º
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2 horas‹Clase 2
6° Se unen los puntos obtenidos para formar la figura final.
• El profesor pide a los alumnos que, usando otro color, dibujen un rectángulo con coordenadas P(9,4), Q (11,4) R(11,7)
S (9,7). Luego hacen una rotación en 90º con centro en P.
• Profesor pregunta ¿qué necesitan para poder realizar una rotación? (el ángulo de rotación, la figura inicial y el centro de
rotación)
Les plantea el siguiente ejercicio:
• Rotar el triángulo RST en 180º con centro de rotación en F.
• Luego, el profesor muestra la siguiente figura:
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P Q
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S
T
F
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B
C C’
B’
A’
L
S’
S R
Q’
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R’
S’
T’
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2 horas‹
• El profesor pregunta ¿qué movimiento se ha realizado? (reflexión) ¿cómo es la figura A’B’C’con respecto al triángulo ABC?
(congruente) ¿qué se necesita para poder realizar una reflexión? (la figura inicial y un eje de simetría).
3) Reflexión:
Corresponde a un movimiento por el cual cada punto de una figura se refleja respecto al eje de simetría, ubicándose a la
misma distancia del eje de simetría pero en sentido contrario.
• El profesor dibuja un cuadrilátero cualquiera en el pizarrón y un eje de simetría como la siguiente imagen:
• Luego, guiado por los alumnos, realiza la reflexión de un triángulo y establecen los pasos para realizar una reflexión:
1° Se dibuja la figura que se desea reflejar y el eje de simetría que se usará.
2° Medir la distancia desde cada vértice de la figura con el eje de simetría.
• Recordar a los alumnos que“la distancia”es la menor distancia y está dada por la perpendicular.
3° Se copia la distancia al otro lado del eje de simetría, marcando el punto que será la“imagen”.
Clase 2
AB
C
AB
C
AB
C
A’
C’
B’A’
C’
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2 horas‹Clase 2
4° Se repite el paso 3 con cada uno de los vértices de la figura.
5° Se unen las imágenes de los puntos y se obtiene la figura reflejada.
• Resuelven la ficha 2.
Figura inicial Figura final o imagen
• El profesor propone el siguiente desafío:
• La figura 2 es la figura trasladada, si se movió tres unidades a la izquierda y 6 hacia abajo. ¿Cuál era la posición inicial de la
figura?
• El profesor pregunta ¿qué recordamos del año anterior? (ubicar puntos en el plano cartesiano, rotación, traslación, reflexión)
Cierre
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2 horas‹Clase 3
Objetivos de Clase
űű Construir triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos
regulares con regla y compás.
űű Construir teselaciones con triángulos equiláteros,
cuadrados y hexágonos regulares.
űű Tijeras, pegamento en barra.
űű 4 hojas blancas por alumno.
űű Papel lustre.
űű Regla.
űű Compás.
űű Ficha 3.
Inicio
• El profesor muestra las siguientes imágenes a los alumnos:
• Luego de dar un tiempo para que los alumnos observen las imágenes, el profesor les pregunta ¿qué tiene en común las
imágenes? (varias respuestas) ¿qué polígonos se usaron en la imagen 1 y 2? (hexágonos y cuadrados) ¿ha quedado espacio
entre los polígonos? (no) ¿se han superpuesto los polígonos? (no) ¿Qué figuras se usaron en la imagen 3 y 4? (pescados y
caballos) ¿dejaron espacios entre las figuras? (no) ¿y se superpusieron las figuras? (no).
• El profesor les explica que estas imágenes son teselaciones, es decir, usaron una figura para cubrir un plano y que en esta
clase y las siguientes trabajaremos con las teselaciones, cada uno podrá construir algunas con papel y también con instru-
mentos geométricos además de descubrir con qué polígonos regulares es posible teselar.
Imagen 1 Imagen 2
Imagen 3 (Autor Escher) Imagen 4 (Autor Escher)
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erecho
exclusivo
Aptus
C
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2 horas‹
• El profesor dibuja un segmento cualquiera en el pizarrón y guía los pasos para copiar un segmento usando regla y compás.
• Pasos
1° Dibuja el segmento AB que se desee copiar.
2° Dibujar una recta más extensa al segmento que se copiará. Marcar un punto A’en un extremo de ella.
3° Abrir el compás de acuerdo a la abertura del segmento que se desea copiar.
4° Poner el compás en el punto A’de la recta y dibuja el arco que intersecta a la recta, obteniendo así el punto B’.
• El profesor entrega una hoja blanca por alumno y modela la construcción del triángulo equilátero con regla y compás para
ello construirá un equilátero de lado 3cm,con los siguientes pasos:
1. Dibujar un segmento de 3 cm. Nom brar el segmento con las letras A y B.
2. Abrir el compás de acuerdo a la medida del segmento y copiar el segmento a partir de cada uno de los puntos A y B,
como muestra el dibujo.
3. Marcar la intersección de los arcos dibujados, como el punto C.Se une el punto C con el A y luego con el punto B.
Clase 3
Desarrollo
A B
A’
A B
A’ B’
A B
A B AB
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erecho
exclusivo
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2 horas‹
4. Se une el punto C con el A y luego con el punto B.
• El profesor pregunta ¿cómo son las medidas de los lados del triángulo que dibujé? (congruentes o iguales). Esto porque
siempre copié el segmento que mide 3 cm. Por lo cual es un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un
triángulo equilátero? (60º, pedirle a los alumnos que verifiquen esta medida con su transportador)
• Cada alumno construye su triángulo equilátero dada la medida del lado de 5 cm, luego lo copian en papeles lustre, de ma-
nera de obtener 8 triángulos equiláteros de distintos colores.
• El profesor entrega una hoja blanca por alumno y guía la construcción de un cuadrado de lado 3 cm a partir de los siguien-
tes pasos:
1° Dibujar un segmento de 3 cm.
2° Dibujar otro segmento cualquiera. Marcar el punto A al inicio de este segmento.
3° Con la escuadra, formar el ángulo recto en el punto A.
4° Con el compás, copiar el segmento de 3 cm en cada uno de los lados construidos. Marcar los vértices B y C.
5° Luego desde el punto B, formar un ángulo recto. Repetirlo desde el ángulo C.
A
Clase 3
A B
A B
A
A
B
C
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
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2 horas‹
6° Marcar el punto D, donde se intersectan los dos segmentos construidos en los pasos 2 y 3.
• El profesor pregunta ¿cómo son los lados del cuadrado? (congruentes) ¿cuánto mide cada ángulo interior? (90º)
• El profesor le pide a cada alumno que construyan 8 cuadrados congruentes a los anteriores de lado 3 cm, usando distintos
colores y que los marquen, pues se usarán en esta clase y en la siguiente.
• El profesor guía la construcción del hexágono regular a partir de los triángulos equiláteros. Les pide que tomen seis triángu-
los equiláteros y hagan una teselación con ellos, manteniendo un vértice en común (D). El profesor pide a un alumno que
pegue la teselación obtenida en el pizarrón y luego el profesor les pregunta ¿qué figura obtuvieron? (un hexágono regular)
• El profesor pregunta ¿cuál es la medida de un ángulo interior de un triángulo equilátero? (60º) Observando el hexágono
regular, ¿cuál será la medida del ángulo interior de un hexágono regular? (120º)
• Cada alumno construye 8 hexágonos regulares congruentes al modelo realizado, de distintos colores. Los lados de cada
hexágono medirán 5 cm que corresponden al lado del triángulo.
B
C
D
D
• Luego, el profesor pide a los alumnos que se formen en grupos. Entrega a cada grupo una hoja blanca en la cual deberán
poner sobre los triángulos equiláteros para cubrir su hoja sin superponer los polígonos ni dejar espacios vacíos. Realizan el
mismo ejercicio con los cuadrados y, finalmente con los hexágonos, en tres hojas separadas.
• Los alumnos guardan los trabajos, ya que la próxima clase se trabajará un concepto con ellos.
Cierre
Clase 3
A AC
B
B
A C
Las construcciones geométricas se pueden presentar usando programas computacionales como geogebra.
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
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2 horas‹Clase 4
Objetivos de Clase
űű Comprender el concepto de teselaciones.
űű Identificar polígonos regulares con los cuales es posible
realizar teselaciones.
űű Imágenes de teselaciones.
űű 6 Pentágonos regulares a partir de la plantilla dada
(archivo adjunto).
űű 2 triángulos equiláteros, 2 cuadrados, 2 hexágonos
regulares, 2 rectángulos. (archivo adjunto, solo para el
profesor .
űű Ficha 4.
Inicio
• El profesor pega en el pizarrón las siguientes figuras geométricas:
a) ¿Cómo se llaman los siguientes polígonos?
b) ¿Cuáles de ellos tiene igual medida sus lados? ¿Cómo se llaman estos polígonos?
• El profesor especifica que para esta unidad, se trabajará solo con los polígonos regulares.
• ¿Existen otros polígonos regulares? (pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular, octágono regular, etc.)
• El profesor explica que en esta clase van a identificar los polígonos que forman una teselación.
• El profesor selecciona algunos trabajos de los alumnos realizados en la clase anterior y los pega en el pizarrón.
• Ejemplos de los trabajos que deberían quedar:
Desarrollo
Imagen 1 Imagen 2 Imagen 3
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erecho
exclusivo
Aptus
C
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2 horas‹Clase 4
• El profesor les pregunta: ¿Qué tiene en común los tres trabajos? (varias respuestas)
• ¿qué polígono se usó en la imagen 1? (hexágono regulares) ¿y en la imagen 2? (cuadrado) ¿y en la imagen 3? (triángulo
equilátero)
• El profesor explica que esto se llama Teselación, de tipo regular.
• Los alumnos escriben de título“Teselaciones”y pegan sus trabajos en el cuaderno.
• El profesor dibuja un punto cualquiera en el pizarrón y, con las figuras que él lleve (triángulos equiláteros, cuadrados, hexá-
gonos, rectángulos, pentágonos), pide a los alumnos que prueben construir una teselación usando los polígonos.
• Concluyen que es posible teselar con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares y algunas combinados de
ellos. El profesor explica que solo se trabajará con ellos, ya que con la medida de sus ángulos interiores es posible de formar
un ángulo exacto de 360º.
• El profesor escribe de título“teselaciones”
• Luego, el profesor comenta al observar la imagen 2, ¿qué movimiento se realizó con el cuadrado para cubrir ese espacio?
(traslación) En la imagen 3, ¿qué movimiento se habrá usado para cubrir el plano con triángulos equiláteros? (rotación con
centro en uno de sus vértices) ¿y en la imagen 1? (rotaciones con centro de uno de sus vértices)
• El profesor dibuja las siguientes rectas secantes en el pizarrón:
• El profesor pregunta ¿cuál es la medida de la suma de los cuatro ángulos juntos? (360º) ¿Qué nombre recibe este ángulo?
(ángulo completo) El profesor explica que este ángulo equivale al ángulo del centro de una circunferencia. Lo muestra en
un dibujo.
Recuerda que:
űű Los polígonos regulares son aquellos que tiene sus lados y ángulos de igual medida. Estos son: triángulo equilátero,
cuadrado, pentagóno regular, hexágono regular, etc…
űű Una teselación es un recubrimiento de un plano a partir de polígonos. Este debe cumplir dos condiciones:
1. Las figuras no se deben superponer
2. No pueden quedar espacios vacíos entre los polígonos.
a
b
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c
360º
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exclusivo
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C
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2 horas‹Clase 4
• El profesor muestra la siguiente imagen:
• El profesor marca con un punto la intersección de las figuras en la imagen y le pide a los alumnos que hagan lo mismo en sus pro-
pias teselaciones pegadas en el cuaderno. Luego pregunta ¿qué ángulo se forma en el punto? (un ángulo completo, de 360º)
• El profesor pregunta, ¿cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo? (180º) ¿cuánto mide cada ángulo interior
del triángulo equilátero? (60º) ¿Por qué? (Son los tres congruentes, entonces 180 : 3 = 60) Al hacer la teselación con trián-
gulos equiláteros, ¿existe alguna relación entre el ángulo completo y la medida de cada ángulo interior del triángulo?
(si, 60 es divisor de 360)
• El profesor dibuja la siguiente teselación en el pizarrón y pregunta ¿cuánto mide el ángulo interior de cada cuadrado? (90º)
• El profesor marca el ángulo recto en el dibujo. ¿Se puede teselar el plano con cuadrados? (sí) ¿Por qué? (si, 90 es divisor de
360)
• El Profesor dibuja un pentágono regular en el pizarrón. Desde un vértice traza todas las diagonales posibles
• El profesor pregunta,¿cuantostriángulossehanformado? (3),¿cuántosgradossumanlosángulosinterioresdeuntriángulo?
(180º), ¿cuánto medirá la suma de los ángulos interiores de un pentágono? (180º x 3 = 540º), ¿y cada ángulo interior? ( 540 : 5
= 180º)
• El profesor lleva varios pentágonos regulares (plantilla en recurso del profesor) y le pide a un alumno que haga la teselación
en el pizarrón.
108 º
108 º
108 º
108 º
36 º
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2 horas‹Clase 4
• El profesor pregunta ¿es una teselación? (no, pues queda un espacio sin cubrir) ¿Existe alguna relación en que la medida de
su ángulo interior sea 108º y no exista teselación? (si pues 108 no es divisor en 360º)
• El profesor dibuja un hexágono regular en el pizarrón y lo divide en seis triángulos equiláteros:
• El profesor pregunta ¿cuánto medía cada ángulo interior de un triángulo equilátero? (60º) ¿cuántos ángulos interiores del
triángulo forman un ángulo interior del hexágono? (dos) ¿cuánto mide el ángulo interior de un hexágono? (120º)
• El profesor pregunta: sabiendo que la medida de cada ángulo interior de un hexágono regular es 120º, ¿por qué es posible
construir una teselación regular con ellos? (porque 120 es divisor de 360)
• Alumnos escriben en sus cuadernos:
• En toda teselación se cumple que en un punto donde se intersectan los polígonos, la suma de los ángulos interiores de las
figuras debe ser 360º
• Estudiaremos dos tipos de teselaciones:
1. Teselación regular: para teselar utilizan solo un polígono. Es posible realizar teselaciones regulares con triángulos equi-
láteros, cuadrados y hexágonos regulares.
2. Teselación semirregular: aquella en la cual es posible de teselar combinando polígonos regulares. Por ejemplo: una
teselación formada con dos cuadrados y tres triángulos equiláteros.
• Los alumnos resuelven la ficha 4.
120 º
• El profesor pregunta ¿qué concepto trabajamos hoy? (teselación) ¿con qué polígonos regulares se puede teselar? (triángu-
lo equilátero, cuadrado, hexágono regular) ¿qué condición se debe cumplir para poder teselar? (que la medida del ángulo
interior del polígono debe ser divisor de 360°) ¿qué movimientos se pueden realizar para construir una teselación? (trasla-
ción, rotación, reflexión)
Cierre
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

2 horas‹
• Teselación semirregular: es el recubrimiento del plano usando más de un tipo de polígono regular, sin dejar espacios vacíos
ni superponer las figuras. El profesor explica que para nombrarlas se usa las figuras que se juntan en un punto determinado.
Por ejemplo, en la teselación de la imagen 1, su nombre es 3-6-3-6, pues en un punto de ella se junta un triángulo, luego
un hexágono, luego un triángulo y un hexágono, las cuatro figuras juntas forman los 360º. ¿Cómo se llamará la teselación
de la imagen 2? (4-3-4-6)
Clase 5
Objetivos de Clase
űű Comprender el concepto de teselación semirregular
űű Identificar polígonos regulares con los cuales se puede
realizar una teselación semirregular
űű Construir teselaciones semiregulares con material
concreto.
űű Hojas blancas
űű Recortables:
űű 8 triángulos equiláteros de lado 3 cm
űű 8 cuadrados de lado 3 cm
űű 8 hexágonos regulares de lado 6 cm
űű Pegamento en barra
űű Plantilla de pentágonos regulares recortable 2
űű Plantilla de pentágono regular
Inicio
• Observan las siguientes imágenes:
• El profesor pregunta ¿son teselaciones? (si) ¿por qué? (porque cubren un plano sin dejar espacios vacíos y no se super-
ponen las figuras) ¿qué diferencias tiene con las vistas en la clase anterior? (combinan figuras) ¿qué polígonos utiliza la
imagen 1? (hexágonos regulares y triángulos) ¿y la imagen 2? (hexágonos regulares, triángulos y cuadrados) ¿Qué transfor-
mación isométrica se ha aplicado al hexágono de la imagen 1? (rotación en 180º con centro de rotación en un vértice) ¿y al
triángulo? (rotación en 180º con centro de rotación en un vértice).
• El profesor explica que en esta clase construirán teselaciones.
Imagen 1 Imagen 2
Desarrollo
Imagen 1 Imagen 2
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

2 horas‹Clase 5
• ¿Qué diferencia existe con la teselación regular? (En la teselación regular se usa solo un polígono para cubrir el plano, mien-
tras que en la semirregular se usan 2 o más polígonos regulares)
• El profesor les pide recortar los polígonos: 8 triángulos equiláteros, 8 cuadrados y 8 hexágonos regulares y les pide que
guarden un ejemplar de cada uno para la siguiente clase.
• El profesor les pide formar dos teselaciones distintas en las hojas blancas (sin pegar las figuras) con dos cuadrados y tres
triángulos equiláteros.
• Alumnos concluyen que con cierta cantidad de figuras no existe una única teselación posible de realizar.
• Luego, los alumnos construyen, pegando los polígonos en hojas blancas, dos teselaciones semirregulares distintas a las
mostradas al inicio de la clase.
• El profesor entrega la plantilla de un pentágono regular , les pide a los alumnos que recorten 6 pentágonos en sus papeles lustre.
• Luego, los alumnos intentan teselar con los pentágonos regulares.
• El profesor pregunta ¿es posible teselar con el pentágono regular y otro de los polígonos? (no) ¿por qué? (no existe ninguna
combinación que sumados nos de 360º).
• Los alumnos deben guardar los triángulos, cuadrados y hexágonos recortados para la siguiente clase.
• El profesor desafía a los alumnos a realizar un listado de las teselaciones semirregulares que han podidos construir en la
clase de hoy, usando la nomenclatura con los números.
• Algunos ejemplos:
• De tarea, el profesor les pide a los alumnos investiguen todas las otras combinaciones posibles.
Cierre
3-3-3-3-6 3-3-3-4-4
3-3-4-3-4
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

2 horas‹Clase 5
• Solución:
• Las que no se trabajaron en clases:
3 3 4 3 4 3 3 3 3 6 3 4 4 6 3 6 3 6
3 3 3 4 4
8 8 4 3 12 12 4 6 12
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

2 horas‹Clase 6
Objetivos de Clase
űű Construir teselación regular y semirregular con regla y
compás y procesador geométrico.
űű Regla
űű Transportador, compás.
űű Hojas blancas.
űű Plantilla de triángulo equilátero, cuadrado, hexágono
regular usados en clases anteriores.
Inicio
• ¿Qué es una teselación? (recubrimiento de un plano con polígonos), ¿cuáles son las condiciones para que exista una te-
selación? (los polígonos no se deben superponer y tampoco deben quedar espacios vacíos) ¿Qué tipos de teselaciones
existen? (regular y semirregular) ¿en qué se diferencian? (la regular utiliza solo un polígono para teselar, mientras que la
semirregular utiliza dos o más polígonos regulares) ¿Cuánto deben sumar los ángulos que se encuentran en un punto de
una teselación? (360º) ¿con qué polígonos regulares es posible teselar? (triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos)
• El profesor explica que en esta clase, se realizarán las teselaciones regulares y semirregulares utilizando regla, compás y el
geogebra. Este último es un programa matemático que ayuda a realizar construcciones geométricas.
• El profesor pregunta ¿qué movimiento se aplica para realizar teselaciones con triángulos equiláteros? (rotaciones) ¿cuál
será el centro de rotación que se usará? (un vértice del triángulo) ¿cuál será el ángulo de rotación que se usará? (60º)
• El profesor muestra la teselación de triángulos equiláteros en geogebra. Si no dispone de sala tecnológica, el profesor, usan-
do las plantillas de triángulos equiláteros, comienza a formar una teselación en el pizarrón y les pregunta a los alumnos
¿qué movimiento realizó con los triángulos para formar la teselación? (rotación)
• Luego, desafía a los alumnos a construir su propia teselación usando los triángulos recortados la clase anterior.
• Alumnos realizan la teselación con triángulos equiláteros y los pegan en la mitad de una hoja blanca, dejando un triángulo
sin pegar.
• Luego , tomando un triángulo como plantilla lo calcan y hacen la teselación. Primero determinan sobre que vértice la apli-
carán y luego van verbalizando los movimientos que realizan (rotaciones y traslaciones).
• Luego, el profesor pregunta ¿qué movimiento se asocia a la teselación de cuadrados? (traslación)
• El profesor muestra la teselación de cuadrados usando traslaciones en el geogebra. Si no dispone de sala tecnológica, el
profesor, usando las plantillas de cuadrados, comienza a formar una teselación en el pizarrón y les pregunta a los alumnos
¿qué movimiento realizo con los cuadrados para formar la teselación? (traslación)
• Alumnos, guiados por el profesor, deducen los pasos para realizar la teselación de cuadrados usando sus recortables de la clase
anterior hacen las traslaciones consecutivas.
Desarrollo
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

2 horas‹Clase 6
• Alumnos realizan la teselación con cuadrados en la mitad de una hoja blanca, los pegan y dejan uno que servirá como plantilla.
• Luego tomando el cuadrado que no pegaron, como plantilla lo calcan y van formando la teselación. Primero determinan
sobre qué vértice la aplicarán y luego verbalizan los movimientos que realizan.
• Profesor pegunta ¿qué movimientos se deben realizar para hacer una teselación con hexágonos? (rotaciones) ¿cuál es el
ángulo de rotación y el centro de rotación? (120º y un vértice del hexágono)
• Alumnos observan la teselación en geogebra mostrada por el profesor. Si no dispone de sala tecnológica, el profesor, usan-
do las plantillas de hexágonos regulares, comienza a formar una teselación en el pizarrón y les pregunta a los alumnos ¿qué
movimiento realizo con los hexágonos para formar la teselación? (rotación)
• Alumnos, guiados por el profesor, deducen los pasos para realizar la teselación con hexágonos regulares usando rotaciones
consecutivas.
• Alumnos realizan la teselación con hexágonos en la mitad de una hoja blanca, los pegan y dejan uno que servirá de plantilla.
• El profesor pregunta ¿cuáles son las teselaciones semirregulares? (aquellas que combinan, al menos, dos polígonos distin-
tos) Un alumno, guiado por el profesor, escoge dos polígonos de las plantillas del profesor con los cuales es posible realizar
una teselación semirregular y los pega en el pizarrón. Profesor pregunta ¿qué movimiento nos permitirá continuar esta
teselación? (por ejemplo una reflexión) Un alumno pasa al pizarrón a indicar cuál será el eje de reflexión y copia las figuras
para formar la teselación.
• Alumnos escogen las figuras para formar una teselación semirregular y la construyen en sus hojas blancas usando las planti-
llas.Tomando el hexágono que no pegaron como modelo o plantilla van formando una teselación. Primero determinan sobre
qué vértice la aplicarán y luego verbalizan los movimientos que realizan.
• Por último, toman las tres figuras: triángulo, cuadrado y hexágono, y tratan de hacer una teselación semirregular usando
como plantillas las figuras.
*Calcar la plantilla completando la teselación.
*Calcar la plantilla completando la teselación.
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

2 horas‹
• Los alumnos, guiados por el profesor, construyen un organizador gráfico acerca de los tipos de teselaciones y con qué po-
lígonos es posible realizarlas.
• Teselación regular: triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares.
• Teselación semirregular: combinando dos o más polígonos regulares. Por ejemplo la teselación 3-6-3-6.
Cierre
Teselación
Teselación regular
Teselación semirregular
Triángulos equiláteros
Cuadrados
Hexágonos regulares
Combina dos o más
polígonos regulares.
Estrategias y Estimación
Si se tiene acceso a la sala de computación, esta clase se puede hacer ahí y todas las construcciones se hacen en geogebra. En este
caso, dentro de las herramientas de geogebra está el protocolo de construcción. Ahí se especifica paso a paso cómo se realizó la
construcción.
• El profesor explica que a continuación trabajarán haciendo teselaciones con regla y compás o con regla y transportador.
• Luego el profesor pide a los alumnos que con regla y compás teselen usando triángulos equiláteros:
a) Construyen un triángulo equilátero de lado 5 cm.
b) Determinan un vértice como punto de partida.
c) Realizan rotaciones, traslaciones o reflexiones para completar la teselación.
• De la misma manera construyen con regla y compás o con regla y transportador un cuadrado de lado 4 cm y con esa figura
realizan una teselación:
a) Construyen un cuadrado de lado 4 cm.
b) Determinan un vértice como punto de partida.
c) Realizan rotaciones, traslaciones o reflexiones para completar la teselación.
• Con regla y transportador construyen un hexágono regular de lado 4 cm y hacen la teselación con esa figura repitiendo los
pasos anteriores.
• Luego, el profesor muestra una teselación semirregular que se ha construido con geogebra.
Clase 6
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

2 horas‹Clase 7
Objetivos de Clase
űű Reconocer teselaciones en obras de arte.
űű Construir teselaciones a partir de la modificaciones de
polígonos regulares.
űű Reconocer características de una teselación y clasificarlas.
űű Realizar movimientos en el plano en figuras dadas.
űű Reconocer movimientos en el plano.
űű Regla
űű Transportador
űű Hojas blancas
űű Plantilla de triángulo equilátero, cuadrado, hexágono
regular usados en clases anteriores (cada alumno con la
suya y el profesor tiene un ejemplar)
űű 4 Archivos en geogebra de construcciones
űű Si es posible, ir a la sala de computación y qué esté
instalado el geogebra.
űű Ficha 5.
Inicio
• El profesor muestra las siguientes imágenes:
Angels and devils Butterflies Autor: Escher
• El profesor les cuenta que Escher es un artista holandés que vivió entre los años 1898 y 1972. Se dedicó a realizar grabados,
en los cuales realizaba teselados, mundos imaginarios y figuras imposibles. Para realizar sus teselaciones, las comenzaba a
partir de un polígono regular que modificaba para poder cubrir el plano.
• Luego, el profesor les muestra otra obra del mismo autor:
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

2 horas‹Clase 7
• El profesor les pregunta ¿Qué polígono habrá modificado en la siguiente teselación? (triángulo equilátero) El profesor
muestra otras obras de este autor en las cuales ha modificado los polígonos para construir las figuras con las cuales el reali-
za la teselación, en el siguiente link http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/escher.htm
• En el siguiente link (http://www.geometriadinamica.cl/2008/04/siete-formas-de-teselar/), el profesor muestra la transfor-
mación de los polígonos para poder teselar.
*Observación: para ambos link, el profesor necesita tener geogebra y java instalado en su computador.
• El profesor explica que lo mostrado anteriormente se conoce cómo la“técnica del mordisco”.
• A partir de un cuadrado, realiza los siguientes cortes para poder hacer una teselación con él. Se sugiere que le profesor lleve
varios cuadrados, previamente marcados para que, con la ayuda de los alumnos, pueda cortar los restantes y así armar la
teselación en el pizarrón.
• Alumnos escriben“Técnica del mordisco”.
• Consiste en cortar en uno de los lados del polígono algún tipo de figura, la cual mediante traslaciones, rotaciones o reflexio-
nes se ubica en el lado opuesto al corte, dando origen a la figura con la cual se construirá la teselación.
• El profesor entrega la ficha 4, en ella hay un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono regular. Desafía a los alumnos
a elegir solo un polígono y hacerle un corte, de modo que quede una figura posible de teselar. Repliquen esa figura en sus
papeles lustres y construyan su propia teselación en hojas blancas, usando la técnica del mordisco.
• Profesor entrega la ficha 5 y los alumnos la resuelven.
Desarrollo
• Los alumnos, guiados por el profesor, se les pide que definan con sus propias palabras los siguientes conceptos:
• Transformación isométrica
• Rotación
• Traslación
• Reflexión
• Teselación regular y semirregular
• Condiciones para que se cumpla una teselación
• Técnica del mordisco
Cierre
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Movimientos en el Plano
Clase 1
Ficha 1
1. Ubicar los siguientes puntos en el plano cartesiano.
E (2,5)
F (1,4)
G (0,6)
H (5,5)
I (4,3)
J ( 2,0)
K (5,4)
L (6,2)
2. Indica las coordenadas de cada punto.
3. Realiza las siguientes traslaciones.
a) Punto Q 3 unidades a la izquierda y 5 unidades hacia abajo
¿ Cuáles son las nuevas coordenadas del punto Q?
Q ( ; )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11 12
P
F
RS
Q
P ( , )
Q ( , )
R ( , )
S ( , )
T ( , )
U ( , )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11 12
Q
y
x
y
x
0
0
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Ficha 1
Clase 1
b) ABC 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo.
¿ Cuáles son las coordenadas de cada vértice?
A ( , ) B ( , ) C ( , )
c) RSTU 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba.
¿ Cuáles son las coordenadas de cada vértice?
R ( , ) S ( , ) T ( , ) U ( , )
4. Indica el desplazamiento que se han realizado en cada caso para obtener la figura 2.
1 2 3 4
1
2
3
4
5
A
B
C
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11 12
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11 12
y
x
10
10
A C
B A’ C’
B’
2
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
H
Figura 2
H’
E’
F’
G’ E G
F
y
x
a) b)
0
1
12
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Clase 1
Ficha 1
5. Realiza las siguientes traslaciones al cuadrado PQRS.
a) 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo.
¿Cuáles las coordenadas de cada vértice?
b) A partir de la nueva posición del cuadrado, realiza los siguientes movimientos:
5 unidades a la izquierda y 4 unidades hacia arriba
¿cuáles son las coordenadas?
c) Determina una única traslación que resuma las dos anteriores
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
y
R’
Q’
C’
P’
c)
x
R
Q
C
P
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
11 12
y
x
13 14 15
2
1
S R
QP
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Clase 2
Ficha 2
2. Realiza las siguientes rotaciones.
2
4
6
8
10
y
x
2 4 6 8 10 11 12
12
13
14 16 18 20
B
C
A
a)
Ángulo de rotación 90º
Centro de rotación C
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
y
M
O
N
P
c)
x
0
Z
Centro de rotación Z
B
C
A
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
y
A B
D C
b)
x
0
Centro de rotación A
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Clase 2
Ficha 2
3. Realiza las reflexiones de las figuras dadas.
a) b) c)
4. Determina el eje de reflexión en cada caso.
a) b)
c)
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
y
A B
C
a)
x
0
A’B’
C’
El centro de rotación es____________
El ángulo de rotación es___________
2. Determina el ángulo de rotación y centro de rotación.

D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Clase 2
Ficha 3
1. Construye con regla y compás:
a) Un triángulo equilátero de lado 6 cm.
b) Un cuadrado de lado 4 cm.
c) Un triángulo equilátero de lado a
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Clase 4
Ficha 4
1. Pinta aquellas figuras con las cuales es posible teselar

a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
2. Las condiciones para realizar una teselación son:
a) ____________________________________________________________________________

b) ____________________________________________________________________________
3. Determina que transformaciones isométricas se usó en cada teselación
a) b) c)
teselación con teselación con triángulos teselación con hexágonos
cuadrados equiláteros regulares
______________________ ______________________ ______________________
1cm
1cm
1cm
1cm
1cm
1cm
3cm
3 cm
3cm
3cm
3cm
12 cm 12 cm
7 cm
7 cm 7 cm
4 cm4 cm
2 cm
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Ficha 4
Clase 4
4. En cada imagen, determina si es teselación o no. En el caso que sea, determina que polígono se usó.
¿ Es teselación? Sí No
¿ Qué polígono se usó?_______________________
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Clase 7
Ficha 5
c) Reflexión con respecto al segmento x d) Rotación en 90º con respecto al punto x
2. Determinar qué movimiento se ha realizado en cada caso.
a) b)
3. Completa
* Una teselación es: ______________________________________
* Para que una teselación esté correcta se debe cumplir que:
a) _______________________________
b) _______________________________
* Las teselaciones regulares se diferencian de las irregulares en:
___________________________________________________
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
y
Z
x
0
X
Y
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
y
B
x
0
C
A
6
B’
C’
A’
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
y
x
0
6
G’ H’
F’
G
E
H
F
1. Realizar los siguientes movimientos:
a) Traslación 3 unidades a las derecha b) Rotación en 180º con respecto al punto E
y 4 unidades hacia abajo.
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
y
A B
D C
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
y
FE
G
x
0 9 10
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Clase 7
Ficha 5
4. Pinta aquellos polígonos con los cuales es posible realizar una teselación regular.
(cuadrado girado) (equilátero)
5. En las siguientes teselaciones, clasifica en regular o irregular y nombrar los polígonos usados.
a) b)
c) d)
e) f)
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Información de referencia para el profesor
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
• Estimar y medir ángulos, usando el transportador y ex-
presando las mediciones en grados.
• Construir ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos
y completos con instrumentos geométricos o software
geométrico.
• Construir y comparar triángulos de acuerdo a la medida
de sus lados y/o ángulos con instrumentos geométricos
o software geométrico.
• Identificar los ángulos que se forman entre dos rectas
que se cortan (pares de ángulos opuestos por el vértice
y pares de ángulos complementarios).
• Calcular ángulos en rectas paralelas cortadas por una
transversal y en triángulos.
• Demostrar, de manera concreta, pictórica y simbólica, que
la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º
y de un cuadrilátero es 360º.
MATERIALES
• Regla.
• Transportador.
• Compás.
• Escuadra.
• Hojas blancas.
• Hoja cuadriculada por estudiante.
• Molde de tiras cuadriculadas del profesor.
• Tijeras.
• Pegamento en barra.
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
2 horas‹Clase 1
Objetivos de Clase
űű Recordar concepto, clasificación y medición de ángulos.
űű Estimar la medida de ángulos.
űű Regla
űű Transportador
űű Compás
Inicio
• El profesor pregunta ¿qué unidad de medida se usa para medir el largo de una cancha de fútbol? (metros) ¿y el contenido
de una botella de agua? (en cc o ml) ¿y el tiempo? (horas, minutos, meses, años) ¿y la masa de la fruta? (en kilos, gramos)
¿y los ángulos? (en grados) ¿qué instrumento usamos para medirlos? (transportador) ¿cómo se forma un ángulo? (son
dos rayos unidos en un punto, llamado vértice)
• El profesor explica que en esa clase trabajarán con los ángulos, los clasificarán, estimarán sus medidas y los medirán usando
transportador.
• El profesor dibuja los siguientes ángulos en el pizarrón:
• Pregunta ¿quétipodeánguloesABC?(agudo) ¿yel β? (recto) ¿PQR? (obtuso) ¿yelα?(extendido) El profesor pregunta:
• Alumnos escriben de título“ángulos: definición y clasificación”
• Los ángulos corresponden a la unión de dos rayos con un vértice en común. Medir un ángulo es medir la abertura de los
lados del ángulo, se utiliza el transportador.
Desarrollo
A
β
B R Q
P
O
Agudos si miden entre 0º y 90º. Ejemplos
Rectos si miden 90º. Ejemplos
Obtusos si miden entre 90º y 180º. Ejemplos
Extendidos si miden 180º. Ejemplos
C
α
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
2 horas‹Clase 1
• Profesor recuerda que existen dos maneras de nombrar los ángulos:
1. Por convención, usando letras griegas
2. Usando tres letras mayúsculas, una letra de cada rayo y la tercera corresponde al punto en que se intersectan ambos
rayos.
• Profesor dibuja un ángulo obtuso en el pizarrón.
• Profesor dibuja un ángulo agudo en el pizarrón.
• El profesor pregunta ¿cuánto debiese medir el ángulo? (varias respuestas). Un alumno pasa al pizarrón a comprobar la
medida del ángulo usando el transportador. Primero estiman la medida y luego comprueban la estimación usando el
transportador. El profesor dibuja los siguientes ángulos:
• EL profesor pregunta ¿cuánto debiese medir el ángulo? Luego otros alumnos comprueban las medidas dadas, midiendo
con el transportador los ángulos dibujados.
• A continuación, los alumnos, guiados por el profesor, recuerdan los pasos para medir el ángulo usando transportador:
1° Ubicar el transportador sobre uno de los lados del ángulo, de manera que coincida con la línea horizontal del
transportador.
2° Hacer coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo.
3° Observar la medida del ángulo que marca el otro lado del ángulo en el transportador.
4° Contar los grados desde el cero.
Observación: si los lados del ángulo son muy cortos se pueden prolongar.
A
O
C
AOC
α α
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
2 horas‹
• El ángulo mostrado en el transportador mide 50º.
• El profesor pide que tomen el transportador y pregunta ¿qué mide el transportador? (grados).
• Los alumnos dibujan en su cuaderno un círculo, usando un compás, el profesor les pide que marquen su centro y dibujen
el radio, es decir, un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.
• Si doy la vuelta completa sobre ese segmento o radio, ¿cuánto mide el ángulo formado? (0º o 360º) . ¿Qué es un grado?
(la 360 parte de una circunferencia)
• Los alumnos comprueban que la medida de un ángulo extendido corresponde a 180º, es decir, la mitad de una circunferencia.
• El profesor dibuja los siguientes ángulo en el pizarrón, pregunta ¿cuáles son agudos? (varias respuestas) ¿cuál de ellos
tendrá la medida más cercana a 45º? (BGC) ¿y a un ángulo recto? (CGD) ¿Qué ángulos obtusos hay? (varias respuestas)
¿cuál tiene la medida más cercana a 120º? (BGE) ¿Qué ángulo tiene la medida más cercana a 170º? (AGD)
Cierre
A
C
B
D
E
G
Clase 1
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
2 horas‹Clase 2
Objetivos de Clase
űű Estimar y construir ángulos con el transportador.
űű Regla.
űű Compás.
űű Transportador.
űű Ficha 1.
Inicio
• El profesor explica que esta clase estimarán y construirán ángulos con el transportador.
• El profesor lleva en una cartulina dibujados los siguientes ángulos:
• El profesor pregunta ¿qué tipo de ángulo es ? (Agudo) ¿Y ? (obtuso) ¿cuál es la mejor estimación para la medida del
ángulo α ? (45º aprox.) ¿y para β ? (120º aprox.) ¿y cuánto será la estimación de (180 - α )? (135º aprox.) ¿y de (180 - β )?
(60º aprox.)
• Con un transportador, miden ambos ángulos en el pizarrón y comprueban las estimaciones realizadas.
• Los alumnos, guiados por el profesor, construyen un organizador gráfico sobre lo que han visto de ángulos. Por ejemplo:
• El profesor dibuja un círculo y recuerda que mide 360º. Luego plantea la siguiente situación: si quisiera dibujar 6 ángulos
congruentes (que miden lo mismo) al interior de la circunferencia, ¿cuánto debe medir cada uno? (60º)
• Establecen que 60º 6= 360º
• Los alumnos dibujan los seis ángulos en un círculo.
• Luego los alumnos dibujan cuatro nuevos círculos en sus cuadernos y en cada uno de ellos deben dividir la circunferencia
según las siguientes indicaciones:
a) 5 ángulos de distintas medidas.
• Luego de que los alumnos realizan el dibujo en el cuaderno, el profesor pregunta ¿por qué son distintos? ¿cuánto suman
sus medidas? Estime la medida de cada ángulo y luego compruebe con transportador.
b) 3 ángulos congruentes.
Luego de que los alumnos realizan el dibujo en el cuaderno, el profesor pregunta ¿cuánto mide cada ángulo? (120º)
c) 4 ángulos congruentes.
• Luego de que los alumnos realizan el dibujo en el cuaderno, el profesor pregunta ¿cuánto mide cada ángulo? (90º)
Desarrollo
β
α
βα
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
2 horas‹
d) Dos ángulos agudos, uno recto y uno obtuso.
• Luego de que los alumnos realizan el dibujo en el cuaderno, el profesor pregunta ¿cuáles podrían ser sus posibles medidas?
• Sin hacer las construcciones, los alumnos deben resolver las siguientes situaciones:
a) Escriba la medida de cuatro ángulos que uno sea agudo, dos rectos, uno obtuso y que sumandos los cuatro ángulos se
obtenga 360º. (varias respuestas)
b) Escriba la medida de cuatro ángulos, de modo que sean dos obtusos, uno agudo y uno recto y, que la suma de ellos sea
360º. (varias respuestas)
c) Determinar la medida de dos ángulos agudos, no congruentes entre sí, que sumados den 180º. (no se puede)
d) Determinar la medida de tres ángulos agudos distintos, que sumandos se obtenga 180º. (varias respuestas)
e) Determinar la medida dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, de modo que la suma de ellos sea 180º. (varias respuestas)
• A continuación el profesor explica que para medir con precisión se usa el transportador, juntos escriben los pasos para
construir un ángulo usando transportador.
• El profesor les pregunta ¿cómo podremos construir un ángulo de 65º? Los alumnos, guiados por el profesor, establecen
los pasos para la construcción:
1° Dibujan un rayo cualquiera.
2° Sobre el rayo, hacen coincidir el transportador.
3° Marcan un punto en los 65º
4° Con la regla, unen el punto marcado en el paso 3 y el punto donde se originó el rayo inicial.
• El profesor propone a los alumnos construir los siguientes ángulos:
a) 45º b) 90º c) 120º d) 150º e) 210º f) 270º
• Se corrigen las construcciones.
• Resuelven la fiche 1
Clase 2
• El profesor pregunta: ¿ cómo se clasifican los ángulos? (agudos entre 0 º - 90 º, rectos 90º, obtusos entre 90- 180º , extendi-
dos 180º). ¿Qué instrumento usamos para medir y construir ángulos? (el transportador).
• pida a algunos alumnos que verbalicen el procedimiento para construir un ángulo.
Cierre
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
2 horas‹Clase 3
Objetivos de Clase
űű Comprender concepto de ángulos complementarios y
suplementarios.
űű Identificar ángulos opuestos por el vértice.
űű Verificar la congruencia de ángulos opuestos por el
vértice con transportador y rotación.
űű Regla.
űű Transportador.
űű Ficha 2.
Inicio
• El profesor comienza la clase dibujando en el pizarrón la siguiente figura:
• El profesor pregunta ¿son rectas paralelas? (no) ¿porqué? (varias respuestas) ¿y son perpendiculares? (no) ¿por qué? (no
forman ángulos rectos) Entonces, ¿cuánto debiese medir el a? (aprox. 30º) Comprueban con transportador la medida. Lue-
go pregunta ¿podremos calcular la medida del b? (sí) ¿por qué? (ambos forman un ángulo extendido), ¿cuánto mide b?
(150º) ¿Es posible determinar la medida del ángulo c? (Sí) ¿Por qué?¿Cuánto mide? (30º) ¿y el d? (150º).
• Alumnos concluyen que a ≅ c y b ≅ d (son congruentes, es decir, miden lo mismo).
• El profesor explica que esta clase recordarán los ángulos complementarios, suplementarios y opuestos por el vértice.
b
a
c
d
• Escriben de título“ángulos opuestos por el vértice”.
• Escriben la definición y dibujan en el cuaderno ángulos opuestos por el vértice.
• Se llaman ángulos opuestos por el vértice a aquellos que tienen un vértice en común y cuyos lados están sobre una mis-
ma recta. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
• Utilizando el dibujo anterior, el profesor les pide que midan los cuatro ángulos usando transportador y comprueben la
igualdad, con letras y con números.
• El profesor pregunta, sabemos que α mide lo mismo que ε , ¿con qué movimiento en el plano podemos relacionar esta
igualdad? (con una rotación) ¿Cuál es el centro y ángulo de rotación? (punto de intersección y ángulo de 180ª).
Desarrollo
α
λ
ε
β α opuesto por el vértice con ε medida α ≅ ε
β opuesto por el vértice con λ medida β ≅ λ
α =110º y ε = 110º, por lo tanto, α ≅ ε
β = 70º y λ = 70º, por lo tanto, β ≅ λ
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
2 horas‹Clase 3
• El profesor dibuja las rectas en el pizarrón y en una hoja blanca, copia el α
• Luego, lo superpone en el pizarrón y muestra la rotación que se realiza para obtener el ε
• Alumnos dibujan un paralelogramo cualquiera en el pizarrón. Dibujan sus diagonales y luego identifican los ángulos opues-
tos por el vértice en él. Se corrige la actividad en el pizarrón.
• Posteriormente, se recuerdan los siguientes conceptos:
a) Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado y el vértice en común. Ejemplos:
b) Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un vértice y un lado en común y sus otros lados están sobre una misma
recta. La suma de las medidas de dos ángulos adyacentes es siempre 180º.
• Ejemplo:
• Luego, el profesor pregunta ¿qué nombren reciben los ángulos que suman 180º? (suplementarios) ¿Cómo podemos cal-
cular el suplemento de un ángulo? (Restándole a 180º el ángulo dado)
• Luego, pregunta ¿qué nombre reciben los ángulos que suman 90º? (complementarios) Realiza el siguiente dibujo en el
pizarrón y les pide que identifiquen los ángulos complementarios.
• Si el β mide 65º, ¿cuál es su complemento? (25º) ¿Cómo podemos calcular el complemento de un ángulo cualquiera?
(Restándole a 90º el ángulo dado)
• Los alumnos escriben la definición en sus cuadernos:
α β
αχ
φ
λ
α consecutivo con β λ consecutivo con φ χ consecutivo con α
x z
x y z son adyacentes
x + z = 180º
α
λ
ε
β
α β
δ
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
2 horas‹
c) Dos ángulos que suman 90º son complementarios. Para calcular el complemento de un ángulo x se debe hacer 90º - x.
Ejemplo:
d) Dos ángulos que suman 180º son suplementarios. Para calcular el complemento de un ángulo x se debe hacer 180º - x
Ejemplo:
• IMPORTANTE: Los ángulos adyacentes son siempre suplementarios, pero los ángulos suplementarios no son siempre
adyacentes.
• Alumnos resuelven los siguientes ejercicios:
a) ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 67º?
b) ¿Cuál es el suplemento de un ángulo de 86º?
c) ¿Cuál es el complemento de un ángulo de 17º?
d) ¿Cuál es el suplemento de un ángulo de 152º?
e) ¿Cuál es el complemento del suplemento de 160º?
f) ¿Cuál es el suplemento del complemento de un ángulo de 55º?
• Los alumnos resuelven la ficha 2.
Clase 3
α y β son complementarios si α + β = 90º
El complemento de α es 90 - α
El complemento de β es 90 - β
α y β son suplementarios si α + β = 180º
El suplemento de α es 180 - α
El suplemento de β es 180 - β
• Finalmente, a cada alumno el profesor le entrega un cuarto de una hoja blanca doblada en dos partes. En cada parte deberá
escribir una pregunta relacionada con la materia trabajada en la clase de hoy, que no le haya quedado muy clara deberá
escribir dos preguntas relacionadas a la materia trabajada en la clase de hoy que no le haya quedado muy claro. Corte la
hoja en dos partes, en cada una de ellas tendrá una pregunta.
• El profesor recolecta las preguntas y las mete dentro de una bolsa o cajita. Luego le pide a un alumno que pase adelante y
escoja una pregunta, si la sabe él mismo contesta, sino pide ayuda un compañero que él mismo elija.
• Se continúa con la dinámica, de manera de permitir que pase el mayor número de alumnos adelante.
Cierre
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
Clase 1
Ficha 1
1. Clasificar ángulos y estimar su medida.
2. Usando transportador, comprueba tus estimaciones del ejercicio 1.
3. Construye los siguientes ∢ a partir de las rayas dadas.
a)
B
A
C
90º
∢ ABC =
a)
∢α = 60º
d)
∢δ = 90º
c)
∢γ = 60º
f)
∢ζ = 250º
b)
∢β = 80º
e)
∢ε = 190º
d)
K
J
L
75º
∢JKL =
e)
N
JM
O
120º
∢MNO =
f)
QP R
∢PQR =
b)
E F
D
45º
∢DEF =
c)
H I
G
135º
∢GHI =
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
Clase 3
Ficha 2
1. En cada uno de las figuras, identifica un par de ángulos opuestos por el vértice. Prolonga los lados
cuando sea necesario.
a) b) c) d)
2. Observa las siguientes rectas secantes. Responde lo pedido:
a) Mide los ángulos con transportador
b) ¿Cuál es el resultado de α - β ?
c) ¿Cuál es el resultado de α +δ ?
d) ¿Cuál es el resultado de 2•α + 3•δ ?
e) ¿En cuánto debe disminuir el α , para que las rectas sean perpendiculares?
• El profesor se pasea observando y corrigiendo el trabajo de sus alumnos. Cuando todos han terminado
la ficha, se revisa cada ejercicio y se aclaran las dudas.
3. Encierra de color rojo los ángulos complementarios y de color verde los suplementarios
α
g β
δ
45º
45º
50º 130º 125º 55º
70º 20º 18º
72º
90º
90º
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

Unidad Figuras 2D
Clase 3
Ficha 2
4. Complete las siguientes oraciones con algunas veces, siempre o nunca:
a) Dos ángulos agudos ………. son complementarios
b) Dos ángulos obtusos ………. son complementarios
c) Dos ángulos obtusos ………. son suplementarios
d) Dos ángulos rectos……….son suplementarios
e) Un ángulos agudo y un ángulo obtuso…………son suplementarios
5. Determina el valor del ángulo x en cada figura
6. Observa el dibujo, ¿es posible que y mida 30º? Explica tu respuesta
50º
50º
x
110º x
x 2x
50º
x
2x
y3y
4y
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

ANEXO 1 Unidad Movimientos en el plano -
Clase 4
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

ANEXO 1 Unidad Movimientos en el plano-
Clase 4
D
erecho
exclusivo
Aptus
C
hile

6 matematica

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