Esta guia fue realizada por la docente jackelinne galvis de la udea para que los estudiantes del curso didáctica IV la resolvieran

1. GUÍA DIDÁCTICA N°2
INTEGRACIÓN DIDÁCTICA IV
ESTRATEGIAS DEL TALLER PARA LA ENSEÑANZA
DE LAS MATEMÁTICA
DESCRIPCIÓN
“Para el estudio de los cuerpos planos se partirá de la manipulación de objetos
tridimensionales como cajas con caras de diferente forma y tamaño, donde se
identificaran algunos elementos como: formas de las caras (cuadradas,
rectangulares, triangulares y otras formas geométricas), vértices, aristas y ángulos.
Las caras de los poliedros son polígonos, que se pueden clasificar según el número
de lados y a su vez en regulares e irregulares. Estos polígonos nos permiten
determinar los elementos que los componen: lados, ángulos, diagonales, y las
relaciones existentes entre ellos.
En el estudio, tanto de los cuerpos planos como los redondos, se hace indispensable
la formulación de situaciones problema - entendidas como espacios donde se
formulan interrogantes algunos de los cuales no son de respuesta inmediata, y que
tienen que ver con: una red de conceptos planeados por el docente -. En este caso se
evidencia la aplicación de conceptos como: perímetro, área, distancia entre puntos,
volumen, paralelismo, congruencia, semejanza, perpendicularidad, transformaciones
en el plano entre otros conceptos.
Posterior a la presentación de este plan se pone en consideración de docentes y
alumnos algunas situaciones problemáticas que se espera han de ser suficientemente
exploradas y enriquecidas con otros interrogantes”, tomado de la Implementación
de los Estándares de Matemática creado por la Gobernación de Antioquia año 2005.
OBJETIVO
Al terminar el módulo de la intervención 2 los estudiantes del Programa la licenciatura en
matemática y física, estarán en capacidad de explorar, reconocer y construir conceptos
geométricos a partir del trabajo orientado en el módulo, utilizando el material de apoyo propuesto
para los temas.
• Clasificar poliedros
• Hallar patrones entre los elementos de los poliedros
• Realizar construcciones básicas con regla y compás
CONTENIDO

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ESTRATEGIAS DEL TALLER PARA LA ENSEÑANZA
DE LAS MATEMÁTICA
DESARROLLO
Guía de Intervención
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
Desarrollo elementos de escucha y participación, se desarrolla de manera individual y tendrá una
duración de 30 min.
Actividad 1
Reconocer los integrantes del
grupo, los conceptos básicos
de geometría plana
TAREA 1
1. Escuchar la explicación sobre las guías de trabajo
2. Repartir las guías a los diferentes equipos
3. Lectura inicial sobre las guías de trabajo. Justificación,
objetivos, actividades. LECTURA N°1
TAREA 2
Se definen los siguientes conceptos cuerpos sólidos,
espacio, volumen, planos, líneas, aristas, puntos
vértices, ángulos diedros y poliedros, volúmenes,
caras, ect.
TAREA 3
Buscar la Clasificación de poliedros

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ACTIVIDAD DE PROFUNDIZACIÓN
Esta actividad se desarrolla en grupos de 3 estudiantes, donde cada uno debe hacer su proceso
individual para entregarlo.
Tiene un tiempo aproximado de 30 min
Actividad 2
La generalización única
realidad en la enseñanza
de las matemáticas
“Clase de matemática que no se generalice no es clase de matemática”
Jhon Mason
TAREA 1
TALLER DE PATRONES
Encontrar patrones para desarrollar definir los cuerpos
sólidos, desarrollar los talleres de Pirámides y prismas.
(archivo anexo)
TAREA 2
Realizar construcciones con regla y compás
TAREA 3
Exploración del programa Poly Pro y el Cabri
ACTIVIDAD DE CULMINACIÓN
Esta actividad se desarrolla en grupos de 3 estudiantes,
Tiene un tiempo aproximado de 15 min
ACTIVIDAD
Reconozcamos habilidades y
fortalezas en el pensamiento
espacial en los alumnos.
TAREA 1
Estrategias para abordar la enseñanza de la
Matemática:
Leer sobre el modelo de Van Hiele y de una breve
descripción sobre cómo se puede utilizar en el
desarrollo del pensamiento geométrico y espacial.
EVALUACIÓN
Según la guía anterior, ¿Qué evaluación propondrías como profesor de matemáticas?
BIBLIOGRAFIA/ CIBERGRAFIA

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http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=418
Desarrollo (Actividad de exploración)
Tarea 3: Clasificación de los poliedros
Clasificación de Poliedros.
En primer lugar es necesario que se haga una manipulación de los cuerpos para
observar sus elementos y sus propiedades. Se debe intentar construir con los niños
definiciones de polígono, polígono regular, ángulo diedro y ángulo poliedro, arista y
vértice.
Por ejemplo:
Polígono: Figura plana con todos sus bordes rectos. (Poli = varios, Gono = ángulo).
Polígono regular: Polígono con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales.
Ángulo diedro: Ángulo formado por dos caras planas que se intersectan en una línea
(la arista).
Ángulo poliedro: Ángulo formado por más de dos caras planas que se intersectan en
un punto (el vértice).
2.1. Poliedros regulares.
Un ejemplo de clasificación de acuerdo a las características individuales lo podemos
realizar con los poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro,
dodecaedro e icosaedro, llenando el siguiente cuadro:
NOMBRE CARAS ARISTAS VÉRTICE
S
ÁNGULOS
DIEDROS
ÁNGULOS
POLIEDROS
Tetraedro 4 6 4 6 4
Octaedro 8 12 6 12 6
Cubo 6 12 8 12 8
Dodecaedro 12 30 20 30 20
Icosaedro 20 30 12 30 12

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Verificar de acuerdo con los resultados obtenidos en el cuadro anterior, la siguiente
relación:
C + V - A = 2. (...Relación de Euler!)
Donde:
C = Número de caras.
A = Número de aristas.
V = Número de vértices.
De acuerdo a la experiencia realizada, ¿Cuáles son las características comunes de
los poliedros regulares? ¿Cómo son sus caras? ¿Cómo son sus ángulos poliedros?
R/: tienen todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros son
iguales y en todos ellos se cumple la relación de Euler, Son polígonos regulares,
convexos.
Se han trabajado 5 poliedros regulares. ¿Existirán otros poliedros que también
sean regulares? Confronte su definición.
R/: NO, como todos sabemos, un poliedro es una figura tridimensional limitada
por polígonos regulares, que son las caras del poliedro. Se llama arista al segmento
común a dos caras y vértice al punto donde concurren tres o más caras.
Para que el poliedro sea regular se tiene que dar que todas sus caras sean
polígonos regulares iguales y que en cada vértice concurran el mismo número de
caras. Por otra parte, si tomamos las caras que concurren en un vértice y
las aplastamos hasta que queden en un plano, el ángulo formado por todas ellas
debe ser menor que 360º, ya que si es igual o mayor que 360º no se podrá formar
un poliedro regular convexo.
Bien, sabiendo todo esto lo que vamos a hacer es ir valorando todas las
posibilidades. Supongamos que queremos formar un poliedro con triángulos
equiláteros (recordad que las caras deben ser polígonos regulares), donde, como
sabemos, cada ángulo mide 60º. Podríamos juntar tres de ellos para formar un
vértice, obteniendo un ángulo de 180º. Como es menor que 360º esta configuración
sería válida. De hecho da como resultado el tetraedro:

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También podríamos juntar cuatro triángulos equiláteros para formar un vértice.
En este caso formarían un ángulo de 240º, que al ser también menor que 360º dará
lugar a otro poliedro regular, el octaedro en este caso:
Y podríamos juntar cinco triángulos equiláteros, formando así un ángulo de 300º,
menor que 360º también. Tenemos así otro poliedro regular, el icosaedro:
¿Qué ocurre si tomamos más de cinco triángulos equiláteros? Pues que el ángulo
que formaría el desarrollo plano de esa configuración sería mayor o igual que
360º, por lo que no tendríamos un poliedro regular convexo.
Pasemos a la siguiente opción, el cuadrado, en el que cada ángulo mide 90º. Si
tomamos tres cuadrados obtenemos un ángulo de 270º, menor que 360º, por lo que
tenemos poliedro regular, el cubo (o hexaedro):
Si tomamos cuatro cuadrados o más, el ángulo que se formaría es mayor o igual
que 360º, por lo que tampoco nos sirve.
Pasamos al pentágono regular, cuyos ángulos miden 108º. Si tomamos tres de ellos
tendríamos un ángulo de 324º, que al ser menor que 360º nos da otro poliedro
regular más, el dodecaedro:
Si tomamos cuatro o más pentágonos tendríamos un ángulo mayor que 360º.
Siguiente opción, el hexágono regular, en el que los ángulos miden 120º. Tomando
tres de ellos ya tendríamos un ángulo de 360º, hecho que descarta la posibilidad de
que se pueda construir un poliedro regular convexo con hexágonos.
Y de aquí en adelante la situación es análoga. Con cualquier polígono regular con
más de seis lados se tiene que al juntar tres de ellos iguales el ángulo formado es
mayor que 360º, por lo que no se puede construir un poliedro regular con
ellos. Tenemos así demostrado que solamente existen cinco poliedros regulares
convexos.

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De acuerdo a los conceptos construidos, constate la verdad (o falsedad) de las
siguientes afirmaciones:
En un poliedro regular...
- Todas las caras son polígonos regulares. (V)
- Todas las caras son polígonos regulares iguales. (V)
- Todos los ángulos poliedros son iguales. (V)
2.2. Poliedros Arquimedianos.
Existe un conjunto de poliedros muy especiales llamados poliedros Arquimedianos,
que cumplen casi todas las características de los poliedros regulares. Tienen la
propiedad de que todas sus caras son polígonos regulares y todos sus ángulos
poliedros son iguales. Dos ejemplos de ellos son el cubo-octaedro y el rombi-cubo-
octaedro cuya manipulación y construcción en cartulina debe estimularse.
Preguntas
- ¿Todas las caras de cada poliedro son polígonos regulares? R/: Si
- ¿En cada poliedro sus ángulos poliedros son iguales? R/: Si
- ¿Cuál es entonces la diferencia entre los poliedros regulares y los arquimedianos?
R/: Que en los arquimedianos sus caras son polígonos regulares de dos
o más tipo, a diferencia de los poliedros regulares que no se presente
ello.
- Verifican los poliedros arquimedianos la relación de Euler?
R/: No
Se sabe que existen trece (13) poliedros arquimedianos -¡uno de ellos es el que sirve
de base para el balón de fútbol! - Investigue sobre su construcción y propiedades.
R/= Los balones actuales de fútbol están conformados por un conjunto
de doce pentágonos y veinte hexágonos que ocupan el 86.74 % del
volumen que ocuparía una esfera perfecta circunscrita al balón.

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Sin embargo existe una figura geométrica llamada
“rombicosidodecaedro” que se aproxima aún más a la forma esférica.
Ésta está formada por veinte triángulos, treinta cuadrados y doce
pentágonos teniendo un total de 62 caras. De esta manera el balón
ocuparía un 94.33% del volumen de la esfera circunscrita, ganando
mayor control del esférico por parte del jugador.
Construcción:
1. Con ayuda del compás y transportador construyan 20 triángulos
equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares del mismo tamaño
de lado para las tres figuras (utilice cartón similar al de las cajas de
zapatos) en ambos casos deje aletas en los lados
(que luego se convertirán en aristas) para ser engomadas.
2. En los lados de un pentágono pegue un cuadrado (esta es su base).
Pegue al medio de dos cuadrados consecutivos un triángulo equilátero.
3. Repita este proceso teniendo cuidado de que en cada lado de los
pentágonos debe estar pegado un cuadrado y unidos cada dos por un
triángulo.
4. Repita este proceso con cada pentágono que se va pegando,
verificando que este rodeado siempre de 5 cuadrados y 5 triángulos en
forma intercalada.
5. El poliedro semirregular se cerrará solo por este efecto de repetición
del modelo base.
2.3. Pirámides.
Dada una colección concreta de pirámides - construidas por el maestro o por los
alumnos - realizar las siguientes actividades:

9. GUÍA DIDÁCTICA N°2
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• Reconocer la forma de las diferentes caras y diseñar cooperativamente con los
alumnos una definición de pirámide.
• Contar el número de caras, de aristas, de vértices, de ángulos diedros y de
ángulos poliedros. Organizar la información en el cuadro que aparece a
continuación.
• ¿Se verifica la relación de Euler encontrada para los poliedros regulares?
R/= Si
• ¿Qué otras relaciones puede establecer?
R/=Desde la matemática se puede relacionar con el número π (pi), con
la teoría de la correlación de orión, con la religión, entre otros.
2.4 Prismas.
Dada una colección concreta de prismas - construidos por el maestro o por los
alumnos - realizar las siguientes actividades:
• Reconocer la forma de las diferentes caras y diseñar cooperativamente con los
alumnos una definición de prisma.
• Contar el número de caras, de aristas, de vértices, de ángulos diedros y de
ángulos poliedros. Organizar la información en el cuadro que aparece a
continuación.
NOMBRE CARAS ARISTAS VÉRTICE
S
ÁNGULOS
DIEDROS
ÁNGULOS
POLIEDROS
Pirámide
triangular
4 6 4 6 4
Pirámide
cuadrangular
4 triángulos
1 cuadrado
8 5 8 5
Pirámide
pentagonal
5 Triángulos
1 pentágono
10 6 10 6
Pirámide
Hexagonal
6 Triángulos
1 Hexágono
12 7 12 7

10. GUÍA DIDÁCTICA N°2
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NOMBRE CARAS ARISTAS VÉRTICES ÁNGULOS
DIEDROS
ÁNGULOS
POLIEDROS
Triangular 3 9 6 9 6
Cuadrangular 4 12 8 12 8
Pentagonal 5 15 10 15 10
Hexagonal 6 18 12 18 12
• ¿Se verifica la relación de Euler encontrada para los poliedros regulares?
R/= No
• ¿Qué otras relaciones puede establecer?
R/= El prisma también es usado para fraccionar la luz y conocer los
espectros de emisión y absorción, por su forma se usa en cajas, edificios,
entre otros.
3. Clasificación global de cuerpos geométricos.
Con base en todas las experiencias anteriores y teniendo a mano un conjunto amplio
de cuerpos geométricos, proceder a una clasificación global utilizando cuerdas para
formar los diferentes conjuntos. Tenga cuidado con las intersecciones entre los
conjuntos y el uso de cuantificadores en el lenguaje.
El siguiente diagrama muestra una posible clasificación inicial que recoge las
propiedades estudiadas en las actividades anteriores.

11. GUÍA DIDÁCTICA N°2
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ESTRATEGIAS DEL TALLER PARA LA ENSEÑANZA
DE LAS MATEMÁTICA
Establezca una clara relación entre las propiedades de los cuerpos estudiados y las
relaciones entre los conjuntos considerados.
¿Cuál es el prisma que también es poliedro regular?
R/=Cubo
¿Cuál es la pirámide que también es poliedro regular?
R/= Pirámide triangular
Los poliedros regulares, ¿Son también arquimedianos?
R/=No
Los poliedros arquimedianos, ¿son también regulares?
R/=Si
Modelo de Van Hiele
El aprendizaje de la geometría se construye pasando por niveles de
pensamiento. Según este modelo, se requiere una adecuada instrucción
para que los alumnos puedan pasar a través de los distintos niveles. En
relación a esto, los Van Hiele proponen cinco fases secuenciales de
aprendizaje: información, orientación guiada o dirigida, explicitación,
orientación libre e integración. Ellos afirman que al desarrollar la
instrucción de acuerdo a esta secuencia, se puede promover al alumno
al nivel siguiente del que se encuentra.

12. GUÍA DIDÁCTICA N°2
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