Técnicas numéricas

1. Técnicas numéricas en las ecuaciones de movimiento
Marco Antonio Alpaca Chamba
Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas, Escuela de Física de la Universidad
Nacional del callao
REGLADE DISPERSIÓN NUMÉRICA
Figura 1: Perfil de propagación de una onda sobre un fondo inclinado
Sabemos que las ecuaciones que gobiernan la dinámica son:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= −𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝜕ℎ
𝜕𝑡
= −𝐻
𝜕𝑢
𝜕𝑥
Con soluciones de la forma:
𝑢 = 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
𝑣 = 𝑣0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
ℎ = ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔𝑡)
Mediante diferencias hacia atrás tenemos:
𝜕𝑢 𝑗
𝜕𝑡
= −𝑔
𝜕(ℎ 𝑗−ℎ 𝑗−1)
∆𝑥
(1)
Y mediante diferencias hacia adelante tenemos:
𝜕ℎ 𝑗
𝜕𝑡
= −𝐻
𝜕( 𝑢 𝑗+1−𝑢 𝑗)
∆𝑥
(2)

2. Resolviendo (1) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
= −𝑔
(ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
− ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘(𝑗−1)∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
)
∆𝑥
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
= −
𝑔ℎ0
∆𝑥
𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
(1− 𝑒−𝑖𝑘∆𝑥
)
𝑢0 =
𝑖𝑔ℎ0
𝜔 𝐷∆𝑥
(𝑒−𝑖𝑘∆𝑥
− 1)
Ahora resolviendo (2) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷 ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
= −𝐻
(𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘(𝑗+1)∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
− 𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
)
∆𝑥
−𝑖𝜔 𝐷 ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
= −
𝐻𝑢0
∆𝑥
𝑒 𝑖( 𝑘𝑗∆𝑥−𝜔 𝐷 𝑡)
(𝑒𝑖𝑘∆𝑥
− 1)
𝑖𝜔 𝐷ℎ0 = −
𝐻ℎ0 𝑖𝑔
∆𝑥𝜔 𝐷
(𝑒−𝑖𝑘∆𝑥
− 1)(𝑒 𝑖𝑘∆𝑥
− 1)
( 𝜔 𝐷)2
=
𝐻𝑔
(∆𝑥)2
2(1− cos(𝑘∆𝑥)
( 𝜔 𝐷)2
=
𝐻𝑔
(∆𝑥)2
4((𝑠𝑒𝑛(
𝑘∆𝑥
2
))
2
)
𝜔 𝐷 = 2√ 𝐻𝑔
𝑠𝑒𝑛(
𝑘∆𝑥
2
)
∆𝑥
𝜔 𝐷 = √ 𝐻𝑔
𝑠𝑒𝑛(
𝑘∆𝑥
2
)
∆𝑥/2
El cual obtenemos:
𝐶 𝐷 =
𝜔 𝐷
𝑘
= √ 𝐻𝑔
𝑠𝑒𝑛(
𝑘∆𝑥
2
)
𝑘∆𝑥/2
ONDAS EN AGUASSOMERAS CON ROTACIÓN PERO SIN FRICCIÓN
Las ecuaciones del modelo de aguas someras linearizado con respecto a un
estado base en reposo son:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
− 𝑓𝑣 = −𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑓𝑢 = −𝑔
𝜕ℎ
𝜕𝑦

3. 𝜕ℎ
𝜕𝑡
= −𝐻 (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
)
Con soluciones de la forma:
𝑢 = 𝑢0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
(1)
𝑣 = 𝑣0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
(2)
ℎ = ℎ0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
(3)
Resolviendo (1) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
− 𝑓𝑣0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
= −𝑔𝑖𝑘ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 − 𝑓𝑣0 + 𝑔𝑖𝑘ℎ0 = 0
Resolviendo (2) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷 𝑣0 𝑒 𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
+ 𝑓𝑣0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
= −𝑔𝑖𝑘ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔𝑡)
𝑓𝑢0 − 𝑖𝜔 𝐷 𝑣0 + 𝑔𝑖𝑙ℎ0 = 0
Resolviendo (3) tenemos:
−𝑖𝜔 𝐷ℎ0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
= −𝐻(𝑖𝑘𝑢0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
+ 𝑖𝑙𝑣0 𝑒𝑖( 𝑘𝑥+𝑙𝑦−𝜔 𝐷 𝑡)
)
𝐻𝑖𝑘𝑢0 + 𝐻𝑖𝑙𝑣0 − 𝑖𝜔 𝐷ℎ0 = 0
Obtenemos un sistema lineal de ecuaciones homogéneas:
−𝑖𝜔 𝐷 𝑢0 − 𝑓𝑣0 + 𝑔𝑖𝑘ℎ0 = 0
𝑓𝑢0 − 𝑖𝜔 𝐷 𝑣0 + 𝑔𝑖𝑙ℎ0 = 0
𝐻𝑖𝑘𝑢0 + 𝐻𝑖𝑙𝑣0 − 𝑖𝜔 𝐷ℎ0 = 0
El cual siempre tiene una solución trivial o impropia. Sin embargo este sistema
lineal homogéneo admite soluciones no triviales (propias) si el determinante de
los coeficientes es nulo.
Por lo tanto, las ondas ocurren sólo cuando se cumple la siguiente condición:
Resolviendo el determinante tenemos:
𝑖𝜔3
+ (−f)iglHki + figkHil − (iHkωgk + iHlglω + i𝑓2
𝜔)=0
𝑖𝜔3
+ fglHk − fgkHl − (iHkωgk + iH𝑙2
gω + i𝑓2
𝜔) = 0
𝜔2
= 𝐻𝑔( 𝑘2
+ 𝑙2) + 𝑓2
Esta condición, llamada la relación de dispersión, proporciona la frecuencia de
la onda en términos de la magnitud del número de onda k y las constantes del
problema.