1. El documento describe un tipo de pregunta de selección múltiple con múltiple respuesta donde el estudiante debe seleccionar la combinación correcta de dos opciones numéricas. 2. Se presenta un procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior y encontrar las soluciones homogénea y particular. 3. Como ejemplo, se pide encontrar las soluciones de la ecuación diferencial x2y'' + xy' = x, siendo estas yh = c1 + c2ln(x) y yp = x.

1. ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA
Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir
del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá
seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la
pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente
información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas.
Seleccione B si 1 y 3 son correctas.
Seleccione C si 2 y 4 son correctas.
Seleccione D si 3 y 4 son correctas.
Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
1. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden
superior con coeficientes variables de la forma:
𝑎2( 𝑥) 𝐷2 𝑦( 𝑥) + 𝑎1( 𝑥) 𝐷𝑦( 𝑥) + 𝑎0( 𝑥) 𝑦( 𝑥) = 𝑔(𝑥)
Se procede sustituir 𝑦 = 𝑥 𝑚, 𝑦′ = 𝑚𝑥 𝑚−1, 𝑦 = 𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2 Para, en
primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea
asociada de la forma
𝑦ℎ = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2
Luego, con la ayuda de los wronskianos
𝑤 = |
𝑦1 𝑦2
𝑦1
′
𝑦
| 𝑤1 = |
0 𝑦2
𝑓(𝑥) 𝑦2
′| 𝑤2 = |
𝑦1 0
𝑦1
′
𝑓(𝑥)
|
Se procede a encontrar la solución particular.
Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la
ecuación 𝑥2
𝑦’’ + 𝑥𝑦’ = 𝑥 son:
1. 𝑦ℎ = 𝑐1 + 𝑐2 𝑙𝑛𝑥
2. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 − 𝑐2 𝑙𝑛𝑥
3. 𝑦 𝑝 = 𝑥
4. 𝑦 𝑝 = −𝑥

2. Solución:
Sea 𝑥2
𝑦’’ + 𝑥𝑦’ = 𝑥 la ecuación diferencial a evaluar; sea 𝑦 = 𝑥 𝑚
,
solución de la ecuación homogénea por lo cual:
𝑦′
= 𝑚𝑥 𝑚−1
y 𝑦′′
= 𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2
Reemplazamos en la Ecuación diferencial homogénea y tenemos
que:
( 𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚−2) 𝑥2
+ ( 𝑚𝑥 𝑚−1 ) 𝑥 = 0
𝑚( 𝑚 − 1) 𝑥 𝑚
+ 𝑚𝑥 𝑚
= 0 → como 𝑥 𝑚
≠ 0, entonces:
𝑚( 𝑚 − 1) + 𝑚 = 0 → 𝑚( 𝑚 − 1 + 1) = 0 → 𝑚2
= 0
Tenemos raíces reales e iguales, por lo tanto la solución de la
homogénea sería de la forma
𝒚 𝑯 = 𝑪 𝟏 + 𝑪 𝟐 𝐥𝐧(𝒙 )
Ahora bien, vamos a hallar la solución particular de la ecuación no
homogénea, de la siguiente manera:
𝑥2
𝑦’’ + 𝑥𝑦’ = 𝑥 → 𝑦’’ + (
1
𝑥
) 𝑦’ =
1
𝑥
, de aca podemos decir que 𝑓( 𝑥) =
1
𝑥
Con 𝑦1 = 1 y 𝑦2 = ln(𝑥), entrando a calcular con los wronskianos de
la siguiente manera:
𝑤 = |
𝑢1 𝑢2
𝑢1
′
𝑢2
′ | = |
1 ln(𝑥)
0
1
𝑥
| =
1
𝑥
𝑤1 = |
0 𝑢2
𝑓(𝑥) 𝑢2
′ | = |
0 ln(𝑥)
1
𝑥
1
𝑥
| = −
1
𝑥
ln(𝑥)
𝑤2 = |
𝑢1 0
𝑢1
′
𝑓(𝑥)
| = |
1 0
0
1
𝑥
| =
1
𝑥

3. Entonces, tenemos que:
𝑢′
1 =
𝑤1
𝑤
=
−
1
𝑥
ln(𝑥)
1
𝑥
= −ln( 𝑥) → 𝑢1 = − ∫ln( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑥𝑙𝑛(𝑥)
𝑢′
2 =
𝑤2
𝑤
=
1
𝑥
1
𝑥
= 1 → 𝑢2 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥
La solución particular es de la forma 𝑦 𝑃 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2,
reemplazando valores, tenemos:
𝑦 𝑃 = ( 𝑥 − 𝑥𝑙𝑛(𝑥))(1)+ ( 𝑥)(ln(𝑥)) = 𝑥 − 𝑥𝑙𝑛( 𝑥)+ 𝑥𝑙𝑛( 𝑥) = 𝑥
𝒚 𝑷 = 𝒙