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E.D.O. homogéneaCPJN
- 1. Carrera: Tronco común Asignatura: Matemática III Grupo: 1 Realizado por: Claudio Pérez Johanna Nathaly Fecha: 20/02/2018 Presentación: 1 Universidad Regional Amazónica IKIAM
- 2. E.D.O. HOMOGÉNEAS Definición 1: Una función 𝑓: ℝ2 → ℝ se denomina Homogénea de grado n con n ϵ Z, se verifica de la forma siguiente: 𝒇 𝝀𝒙, 𝝀𝒚 = 𝝀 𝟐 𝒇 𝒙, 𝒚 • Ejemplo 1. 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟒 − 𝒙 𝟑 𝒚 + 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 𝟐 Se agrega landa (λ) a la función: 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝜆4 𝑥4 − 𝜆4 𝑥3 𝑦 + 2𝜆4 𝑥2 𝑦2 = 𝜆4 𝑥4 − 𝑥3 𝑦 + 2𝑥2 𝑦2 = 𝜆4 𝑓(𝑥, 𝑦) Es una función homogénea de grado 4
- 3. • Ejemplo 2.- 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐 𝟐𝒙𝒚 Se agrega landa (λ) a la función: 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝜆2 𝑥2 − 𝜆2 𝑦2 2𝜆2 𝑥𝑦 = 𝜆2(𝑥2 − 𝑦2) 2𝜆2 𝑥𝑦 = 𝜆0 𝑓(𝑥. 𝑦) Es una función homogénea de grado 0
- 4. • Definición 1.2: Se denomina E.D.O. homogénea a toda E.D.O. de primer orden que son aquellas que se pueden expresar de la forma: • 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙, 𝒚 • 𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝟎 • Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden 𝐏 𝐱, 𝐲 𝐝𝐱 + 𝐐 𝐱, 𝐲 𝐝𝐲 = 𝟎 • Será una ecuación diferencial con coeficientes homogéneos si: Q(x, y) y P(x, y) son homogéneas de grado n. • Teorema 1.- Si los coeficientes P(x, y) y Q(x, y) de una ecuación diferencial son homogéneos de orden n, entonces la siguiente sustitución: y = ux, convertirá la ecuación diferencial en una ecuación diferencial donde las variables son separables.
- 5. • Ejemplo 3.- Aplicando lo aprendido Solución de una E.D.O. homogénea. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝜆2 𝑥𝑦 𝜆2(𝑥2 − 𝑦2) • La función es homogénea, es de primer orden y de grado 0 Realizamos cambio de variable y por u 𝑢 = 𝑦 𝑥 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑥(𝑢𝑥) 𝑥2 − 𝑢𝑥 2 𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢𝑥2 𝑥2 − 𝑢2 𝑥2 𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢𝑥2 𝑥2(1 − 𝑢2) 𝑢 + 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢 1 − 𝑢2
- 6. 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢 1 − 𝑢2 − 𝑢 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢 − 𝑢 + 𝑢3 1 − 𝑢2 𝑑𝑥 𝑥 = 1 − 𝑢2 𝑢3 𝑑𝑢 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 = ∫ 1 − 𝑢2 𝑢3 𝑑𝑢 ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 𝑢 = ln |𝑥| + 𝑐 − 𝑢2 2 − ln |𝑢| = ln |𝑥| + ln|𝑐| Remplazamos los valores de u: − 𝑢2 2 − ln |𝑢| = ln 𝑥𝑐 − 𝑦 𝑥−2 2 − ln 𝑦 𝑥 = ln |𝑥𝑐| − 𝑥2 2𝑦2 − ln 𝑦 𝑥 = ln |𝑥𝑐|
- 7. • Bibliografía • Benjumea, J. C. (2006). Matemáticas avanzadas y estadística para ciencias e ingenierías. Sevilla-Espana : Universidad de Sevilla. • Kurmyshev, E. (2003). Fundamentos de métodos matemáticos para física e ingeniería. México : Editorial Limusa