Calcular la antiderivada de una función

1. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN

2. OBJETIVO GENERAL
Utilizar las reglas básicas de integración para hallar la antiderivada de una función.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1 Hallar la antiderivada de una función potencia.
2 Usar las propiedades de la suma y resta para hallar la antiderivada de una función po-
linómica.
3 Determinar la antiderivada de una función exponencial.

3. CONTENIDO
1 ANTIDERIVADA
2 FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS

4. ANTIDERIVADA
DEFINICIÓN
Una función F(x) es la Antiderivada de una función f(x) en un intervalo I, si
F0
(x) = f(x)
para todas las x ∈ I.
F(x) = x3 +5 es antiderivada de f(x) = 3x2.
F(x) = sin(x)+10 es antiderivada de f(x) = cos(x).
F(x) = ex −4 es antiderivada de f(x) = ex.

5. ANTIDERIVADA
TEOREMA
Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada
más general de f sobre I es
F(x)+C
donde C es una constante arbitraria.

6. ANTIDERIVADA
FUNCIONES ANTIDERIVADA
−3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
X
Y
ANTIDERIVADAS DE f(x) = 2x
F(x) = x2 +2
F(x) = x2 +1
F(x) = x2
F(x) = x2 −1
F(x) = x2 −2

7. ANTIDERIVADA
ANTIDERIVADAS DE f(x) = x2
F(x) =
x3
3
+2
F(x) =
x3
3
+1
F(x) =
x3
3
F(x) =
x3
3
−1
F(x) =
x3
3
−2
FIGURA 1: Antiderivadas de f(x) = x2

8. ANTIDERIVADA
DEFINICIÓN
El conjunto de todas las antiderivadas de f es la integral indefinida de f respecto a x, denotada
por Z
f(x)dx
El sı́mbolo
R
es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral y x es la
variable de integración. Por tanto,
Z
f(x)dx = F(x)+C

9. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
Función Antiderivada
Z
(k)dx k constante kx+C
Z
(xn
)dx ∀n 6= −1
xn+1
n+1
+C
Z
1
x
dx ln|x|+C
Z
(ex
)dx ex +C
Función Antiderivada
Z
ekx
dx k constante
ekx
k
+C
Z
(ax
)dx
ax
ln(a)
+C
Z
akx
dx k constante
akx
kln(a)
+C

10. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
Función Antiderivada
Z
(cos(x))dx sin(x)+C
Z
(cos(kx))dx
sin(kx)
k +C
Z
(sin(x))dx −cos(x)+C
Z
(sin(kx))dx −
cos(kx)
k +C
Función Antiderivada
Z
sec2
(x)
dx tan(x)+C
Z
sec2
(kx)
dx
tan(kx)
k +C
Z
(sec(x)tan(x))dx sec(x)+C
Z
(sec(kx)tan(kx))dx
sec(kx)
k +C

11. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
Función Antiderivada
Z
csc2
(x)
dx −cot(x)+C
Z
csc2
(kx)
dx −
cot(kx)
k +C
Z
(csc(x)cot(x))dx −csc(x)+C
Z
(csc(kx)cot(kx))dx −
csc(kx)
k +C
Función Antiderivada
Z
1
√
1−x2
dx arcsin(x)+C
Z
1
1+x2
dx arctan(x)+C
Z
(sec(x))dx ln|sec(x)+tan(x)|+C

12. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
EJEMPLO
1
Z
(3)dx = 3x+C
2
Z
x5
dx =
x6
6
+C
3
Z
x3/4
dx =
4
7
x7/4
+C
4
Z
e3x
dx =
e3x
3
+C
5
Z
cos
x
2
dx =
sin 1
2 x
1
2
+C = 2sin 1
2 x
+C

13. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
EJERCICIO
Determine si cada una de las siguientes fórmulas es cierta o falsa, y argumente brevemente el
porqué de su respuesta.
1
Z
(2x+1)2
dx =
(2x+1)3
3
+C
2
Z
3(2x+1)2
dx = (2x+1)3
+C
3
Z
6(2x+1)2
dx = (2x+1)3
+C
4
Z √
2x+1
dx =
p
x2 +x+C
5
Z √
2x+1
dx =
p
x2 +x+C
6
Z √
2x+1
dx =
1
3
√
2x+1
3
+C

14. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
REGLAS PARA INTEGRACIÓN INDEFINIDA
DEFINICIÓN
1
Z
k f(x)dx = k
Z
f(x)dx donde k es constante.
2
Z
(f(x)+g(x))dx =
Z
f(x)dx+
Z
g(x)dx
3
Z
(f(x)−g(x))dx =
Z
f(x)dx−
Z
g(x)dx

15. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
EJEMPLO
1
Z
4
5
dx =
4
5
x+C
2
Z
2x2
dx = 2
Z
x2
dx = 2
x3
3
=
2
3
x3
3
Z
(ex
+sin(2x))dx =
Z
(ex
)dx+
Z
(sin(2x))dx = ex
−
cos(2x)
2
+C
4
Z
x6
−e5x
dx =
Z
x6
dx−
Z
e5x
dx =
x7
7
−
e5x
5
+C

16. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
EJEMPLO
Encuentre la antiderivada de la función f(x) = x2 −2x+5. Por tanto,
F(x) =
Z
x2
−2x+5
dx
=
Z
x2
dx−
Z
(2x)dx+
Z
(5)dx
=
x3
3
−x2
+5x+C

17. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
REESCRIBIR ANTES DE ANTIDERIVAR
EJEMPLO
Halle la antiderivada de Z
x2
(x+3)
dx
Para dar respuesta al ejercicio, es necesario reescribir la función dada ya que no existe una
propiedad que relacione directamente la antiderivada de un producto.

18. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
SOLUCIÓN
Por lo cual, al reescribir, se obtiene
Z
x2
(x+3)
dx =
Z
x3
+3x2
dx
=
Z
x3
dx+
Z
3x2
dx
=
x4
4
+3
x3
3
+C
=
x4
4
+x3
+C

19. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
NOTA: En el ejemplo anterior
Z
(f(x)·g(x))dx 6=
Z
(f(x))dx·
Z
(g(x))dx
Es decir,
Z
x2
(x+3)
dx 6=
Z
x2
dx
·
Z
(x+3)dx

20. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
EJEMPLO
Encuentre la antiderivada de
f(x) =
2x5 −
√
x
x
Por tanto,
f(x) =
2x5 −
√
x
x
= 2x4
−x−1/2
Ası́ que:
F(x) =
Z
2x4
−x−1/2
dx
=
Z
2x4
dx−
Z
x−1/2
dx
=
2
5
x5
−2
√
x+C
=
2
5
x5
−2
√
x+C

21. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
NOTA: En el ejemplo anterior
Z
f(x)
g(x)
dx 6=
Z
(f(x))dx
Z
(g(x))dx
Es decir,
Z
2x5 −
√
x
x
dx 6=
Z
2x5
−
√
x
dx
Z
(x)dx

22. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
Reescribir antes de integrar
Función Reescrito Integral Simplificar
Z
1
x2
dx
Z
x−2
dx
x−1
−1
−
1
x
+C
Z
1
√
x
dx
Z
x−1/2
dx
x1/2
1/2
+C 2
√
x+C
Z
4x5 +4x4
x5
dx
Z
4+
4
x
dx 4x+4ln|x|+C 4(x+ln|x|)+C

23. FÓRMULAS DE ANTIDERIVADAS
Reescribir antes de integrar
Función Reescrito Integral Simplificar
Z
(2x−3)2
dx
Z
4x2
−12x+9
dx 4
x3
3
!
−12
x2
2
!
+9x+C
4
3
x3 −6x2 +9x+C
Z
cos(x)
sin2(x)
dx
Z
cos(x)
sin(x)
1
sin(x)
dx
=
Z
(csc(x)cot(x))dx −csc(x)+C