1) El documento presenta 7 reglas de derivación de funciones. 2) Se proporcionan ejemplos de aplicar estas reglas para derivar funciones y evaluarlas en puntos dados. 3) También se explican las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
Funciones de varias variables Matemáticas IIIAngel Granados
Funciones de varias variables Matemáticas III.
Politécnico Santiago Mariño Extensión San Cristóbal
Profesor Domingo Méndez Autor/estudiante Ángel Granados
Funciones de varias variables Matemáticas IIIAngel Granados
Funciones de varias variables Matemáticas III.
Politécnico Santiago Mariño Extensión San Cristóbal
Profesor Domingo Méndez Autor/estudiante Ángel Granados
En este documento van a encontrar la definición de la derivada con mas profundidad, además de su gráfica para su mayor entendimiento. Allí de igual forma, podemos ver la derivada compuesta, implícita y laterales. También, están insertas las propiedades de la derivada con sus respectivos ejemplos.
La química de los compuestos orgánicos ha sido de gran interés para las ciencias desde principios del siglo XX hasta nuestros días, y la rama que se encarga de ese estudio es la química orgánica, pero salvando esta efímera y superficial descripción, ¿alguna vez te haz preguntado qué es la química orgánica realmente y cuál es su utilidad? Pues ya no tienes porqué hacerlo, hoy quiero invitarte a conocer un poco más en profundidad qué es la química orgánica, por qué es importante, para qué sirve y qué hacen los químicos orgánicos.
1. Reglas de Derivación
Si )(xf y )(xg son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:
1) Si, ( )xf k , es una función constante, entonces: ( ) 0' xf
2) Si, ( ) n
f x x , n , entonces:
1
( )' n
f x nx
3) ( )( ) xx fk f k , donde k es constante.
4) ( ) ( )( ) ( ) x xx x f gf g
5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x
6) 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f x g x f x g x
g x g x
, si ( ) 0xg
7)
1
( )( ) ( )
n n
n f xf x f x
Utilizando las diferentes reglas de diferenciación halle la derivada de las siguientes
funciones y evalúe en el punto dado:
)(xf = 5 31 2
6
4 3
x x x ; 2x
3 2 1
( ) 2 2 3f x x x x
x
; 8x
)(xf =
2
3
(3 4 3)x x
x
; 64x
)(xf = 32
7)(3( xxxx ) ; 1x
2. Ejemplo:
Halle la ecuación general de la recta tangente y de la normal a la parábola:
2
2 8 5y x x en el punto (1, 1)P .
Solución:
a) Derivando 2
( ) 2 8 5f x x x , se tiene: ( ) 4 8f x x .
b) Evaluando la derivada en 1x : 4)1(' f , luego:
La ecuación general de la recta tangente es:
1 4 ( 1)y x : 4 3 0TL x y .
c) La ecuación general de la recta normal es:
1
1 ( 1)
4
y x : 4 5 0TL x y .
Ejercicios:
Determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las
funciones siguientes:
. en (2, 8)P
654)( 2
xxxf , en 1x
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
4.1. Derivada de funciones exponenciales.
( ) ( )
( ) ln
f x f x
f x aa a
, donde i.
( ) ( )
( )
f x f x
f xe e
, donde e es la constante de Euler.
Caso particular ( )'x x
e e
4.2. Derivada de funciones logarítmicas.
( )
ln ( )
( )
f x
f x
f x
, caso particular:
1
lnx
x
ln
( )
( )
( )b
f x
Log f x
f x b
, caso particular:
ln
1
( )b
b
Log x
x
2
( ) 4 5 2f x x x
3. Nota:
Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas
propiedades de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las
siguientes:
1) ln lnn
a an 2) ln( . ) ln lnab a b
3) ln( ) ln ln
a
a b
b
4)
ln
log
lnb
a
a
b
(cambio de base)
Ejercicios:
I. Derive las siguientes funciones:
( 3)( 1)
( )
( 2)
x x
f x
x
32
1 2lny x x
2
22
1
x x
y log
x
22
32
1 1
4
ln
x x
y
x