Estructuras

1. Pruebas de evaluación a distancia
TEORÍA DE ESTRUCTURAS
1

2. 6º.- Calcular la flecha en el punto medio de la barra BC de la estructura
intranslacional de la figura, planteando directamente las ecuaciones de equilibrio y
por el método de Cross. Ambas barras tienen el mismo EI (en Tm2
), la carga
uniforme de la barra AB viene expresada T/m.
La única incógnita es el giro en el nudo B, puesto que, los giros y desplazamientos son
nulos en los nudos A y C. Para el cálculo del ángulo de giro se emplean los métodos
indicados en el problema:
L
L
A
CB
q
a) Ecuaciones de equilibrio:
Los momentos vienen dados por
AB
BA
BC
CB
qL EI
M
L
qL EI
M
L
EI
M
L
EI
M
L
2
2
2
12
4
12
4
2
⎧
= − +⎪
⎪
⎪
θ
= + θ⎪⎪
⎨
⎪ = θ
⎪
⎪
⎪ = θ
⎪⎩
y por la condición de equilibrio se tiene
BA BCM M 0+ =
qL EI qL
L E
2 3
8
0
12 96
+ θ = ⇒ θ = −
I
Calculado el ángulo de giro se tienen los momentos en los nudos:
AB
BA
BC
CB
qL
M
qL
M
qL
M
qL
M
2
2
2
2
5
48
24
24
48
⎧
= −⎪
⎪
⎪
=⎪⎪
⎨
⎪ = −
⎪
⎪
⎪ = −
⎪⎩
2

3. La ley de momentos en la barra BC, es
( ) x
48
qL3
24
qL
xM
2
−=
La flecha en el punto medio de la barra viene dado por:
m
EI256
qL
f
3
=
b) Método de Cross
Por los datos del problema se sabe que la rigidez de las barras son las mismas, por lo
tanto, los coeficientes de reparto son igual, 0.5. Si se designa por 100 el momento de
empotramiento perfecto, para facilitar las operaciones,
qL2
100
12
= .
En la figura 1 se muestra la aplicación del método de Cross y teniendo en cuenta que se
ha designado
qL2
100
12
= , se tiene:
AB
BA
BC
CB
qL
M
qL
M
qL
M
qL
M
2
2
2
2
5
48
24
24
48
⎧
= −⎪
⎪
⎪
=⎪⎪
⎨
⎪ = −
⎪
⎪
⎪ = −
⎪⎩
que son los mismos momentos obtenidos a partir de las ecuaciones de equilibrio.
0.5
0.5
100
-50
+5 0
-50
-25
-100 -25
figura 1
7º.- Calcular los desplazamiento y giros de los nudos B y C de la estructura
translacional de la figura, planteando directamente las ecuaciones de equilibrio y
por el método de Cross. Ambas barras tienen el mismo EI (en Tm2
), la carga
uniforme de la barra AB viene expresada T/m.
3

4. Las incógnitas son los giros en los nudos B y C y el desplazamiento del nudo B (que es
el mismo que el del nudo C).
L
L
A
CB
q
a) Ecuaciones de equilibrio:
Los momentos vienen expresados por:
AB B
BA B
BC B C
CB B C
qL EI EI
M
L L
qL EI EI
M
L L
EI EI
M
L L
EI EI
M
L L
2
2
2
2
2 6
12
4 6
12
4 2
2 4
⎧
= − + θ −⎪
⎪
⎪
δ
= + θ − δ⎪⎪
⎨
⎪ = θ + θ
⎪
⎪
⎪ = θ + θ
⎪⎩
A las ecuaciones anteriores se añaden las de equilibrio:
CB
BA BC
AB BA
M
M M
M MqL
L
0
0
0
2
⎧
⎪ =
⎪
+ =⎨
⎪ +
⎪ + =
⎩
Las siete ecuaciones con las siete incógnitas permiten calcular los datos que nos pide el
problema.
B
C
qL
qL
EI
qL
EI
4
3
3
16
24
48
⎧
δ =⎪
⎪
⎪
θ =⎨
⎪
⎪
θ = −⎪
⎩
8º.- Determinar la matriz de rigidez, vector de cargas y de desplazamientos para
determinar los desplazamientos de los nudos B y C de la estructura de la figura.
Datos: A, E y I son iguales para todas las barras.
4

5. Para ello, lo primero es realizar la numeración de barras y nudos, así como
establecer los ejes locales (se indica el eje x´ con flechas sobre cada una de las
barras en la figura 1 los ejes locales y´ son ortogonales a los anteriores) y
globales (denominados x, y en dicha figura 1).
L
L
A
CB
L/2
P
2P
D
En los nudos A y D los desplazamientos y los giros son cero, por lo tanto,
existen seis incógnitas que son los desplazamientos y los giros en los nudos B y
C.
La matriz de rigidez global, el vector de carga y el vector de desplazamientos
es:
a b b
b b
K K K
K
K K K
22 11 12
21 22 22
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥=
⎢ ⎥c
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎣ ⎦⎦
B
B
B
C
C
C
uP
v
F ;
u
vP
2
0
0
0
0
⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ θ
= δ = ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎢ ⎥
θ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
5

6. figura 1
L
L
A
CB
L/2
P
2P
x
y
a
b
c
D
BARRA “a”:
a
EA EI EI
L L
EI EI EA
K
L L L
EI EI EI EI
L L L L
3 2
22 3 2
2 2
12 6
0 0 0
0 1 0 0 1 0
12 6
1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
6 4 6 4
0 0
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ = − =⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
L
BARRA “c”:
c
EA EI EI
L / L L
EI EI EA
K
(L / ) (L / ) L
EI EIEI EI
L L(L / ) L /
3 2
22 3 2
22
96 24
0 0 0
20 1 0 0 1 0
12 6 2
1 0 0 0 1 0 0 0 0
2 2
0 0 1 0 0 1
24 86 4 00
2 2
⎛ ⎞ −⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤ = − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
La ecuación matricial es que permite el cálculo de los desplazamientos de los
nudos B y C, es:
6

7. EI EA EI EA
L LL L
EI EA EI EI EI
P
LL L L L
EI EI EI EI EI
L LL L L
EA EI EA EI
L LL LP
EI EI EI EA EI
LL L L L
EI EI EI EI EI
L LL L L
3 2
3 2 3 2
2 2 2
3 2
3 2 3 2
2 2 2
12 6
0 0
12 6 12 6
0 02
0 6 6 8 6 2
0
0
0 96
0 0 0
2
12 6 12 2 60 0 0
6 2 24 6 12
0
−⎡
+ −⎢
⎢
−⎢ +⎡ ⎤ ⎢
⎢ ⎥ ⎢
− −⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥
=⎢ ⎥
−⎢ ⎥ − +
⎢ ⎥−
⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ +
− −
⎣
B
B
B
C
C
C
u
v
u
v
⎤
⎥
⎥
⎥
⎡ ⎤⎥
⎢ ⎥⎥
⎢ ⎥⎥
⎢ ⎥θ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
θ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎦
0
24
9º.- Calcular, matricialmente, los desplazamientos y giros de los nudos B y C de la
siguiente viga. Datos: A = 900 cm2
, E = 2x104
T/m2
, I = 8x105
cm4
.
Para ello, lo primero es realizar la numeración de barras y nudos, así como
establecer los ejes locales (se indica el eje x´ con flechas sobre cada una de las
barras en la figura 1 los ejes locales y´ son ortogonales a los anteriores) y
globales (denominados x, y en dicha figura 1). En este caso coinciden ambos
ejes.
4m 2m
10T20 TmA
B
C
En el nudo A son cero los desplazamientos y el giro. En los nudos B y C son
cero los desplazamientos verticales, por lo tanto, se tienen 4 incógnitas, los
desplazamientos horizontales y los giros.
figura 1
4m 2m
10T20 TmA
B
C
a b
a b b
b b
K K K
K
K K
22 11 12
21 22
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥=
⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
La ecuación matricial:
7

8. ⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+−
−
0
Y10
0
20
Y
0
C
B
a b
a b a b b b
a b ba b b
b
b b b b
b b bb
EA EA EA
L L L
EI EI EI EI EI EI
L L L L L L
EI EI EI EI EI EI
L L LL L L
EA EA
L L
EI EI EI EI
L L L L
EI EI EI EI
L L LL
3 3 2 2 3 2
2 2 2
3 2 3 2
2
0 0 0 0
12 12 6 6 12 6
0 0
6 6 4 4 6 2
0 0
0 0 0 0
2
12 6 12 6
0 0
6 2 6 4
0 0
⎡
+ −
−
+ +
−
+ +
=
−
− − −
−
⎣
B
B
C
C
u
u
0
0
⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥θ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ θ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎦
B C
a b b
B C B C
a b b
B
BB C
b b
B C
b b
EA u u
L L L
EI u u
L L L
. rad
. radEA u u
L L
EI
L L
1 1 1
0
1 1 1
20 2 2 0
0 1
1 1 0 050
1 2
0 2
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= + −⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎪ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎪
⎡ ⎤⎛ ⎞⎪− = + θ + θ = =⎧⎢ ⎥⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦ ⇒ θ = −⎨ ⎨
⎡ ⎤⎪ ⎪θ =⎩= − +⎢ ⎥⎪
⎣ ⎦⎪
⎪ ⎡ ⎤
⎪ = θ + θ⎢ ⎥
⎪ ⎣ ⎦⎩
8